河南省华大新高考联盟2026届高三下学期5月联考数学试卷（含答案）

数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知(1+i)z=1-i,则Z=

A.-iB.iC.1-iD.1+i

2.已知集合A={xlx²-4≤0),B=(x|2²-4<0},则A∩B=

A.[-2,2]B.[-2,4]C.[0,2]D.(-2,2)

3.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x²+2ᵗ+m(m为常数),则f(一2)=

A.4B.7C.-7D.8

4.log₂(tan75°+tan15°)=

A.1B.√2C.√3D.2

5.某中学要在五一假期期间组织学生参加爱国主义教育活动，需要挑选10名志愿者.10个志愿者名额要分

给该校高一年级的八个班，每个班至少一个名额，则名额分配方法有

A.45种B.36种C.28种D.8种

6.设等差数列{a,}的首项和公差均为m,等比数列{b。}的首项和公比也均为m,其中m∈N'.若数列{a。)

的前6项和与数列(b。的前3项和都等于S,则S=

A.84B.63C.42D.21

7.若n0.9,则

A.b<a<cB.c<b<aC.b<c<aD.c<a<b

8.函数f(x)=√sin'x+cos²z+1+√cosx+sin²x+1的最小值为

A.2√2B.√7C.√6D.√5

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.已知m,n是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面，则

A.若mLa,nCa,则m_nB.若a⊥β,mCa,则m⊥β

C.若a⊥β,a∩β=n,m⊥n,则m⊥βD.若a⊥β,m⊥a,n⊥β,则m⊥n

10.设△ABC的三个内角分别为A,B,C,重心为G,则

A.以sinA,sinB,sinC的长度为边能构成三角形

B.以△ABC的三条中线的长度为边能构成三角形

C.以|cosAl,|cosB|,|cosC|的长度为边能构成三角形

D.若点G到△ABC的三边BC,AC,AB的距离分别为dA,dB,dc,则以的长度为边能构成

三角形

5·数学试题第1页(共4页)

11.已知双曲线C的左、右焦点分别为F₁,F₂,点P在双曲线C的右支上，且∠F₁PF₂=0,则

A.当时，△PF₁F₂的面积

B.当时，△PF₁F₂的周长为6+2√10

C.当θ为钝角时，

D.△PF₁F₂内切圆的半径的取值范围是(0,+∞)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.空间向量a=(0,1,-1)在b=(1,2,3)上的投影向量的坐标为_·

13.已知直线l与曲线y=x²和都相切，则直线l的方程为_·

14.投掷一枚质地均匀的骰子，直到掷出数字1或6为止，则在掷出1或6之前，数字2,3,4,5每个都至少出

现一次的概率为

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)

为研究新能源汽车的销售量变化情况，现统计了某市2025年第二、第三季度每个月的销售量(单位：万

辆)如下表所示.

月份4月5月6月7月8,月9月.

月份代号x123456

销售量y1.52.32.83.23:74:5

(1)求这6个月销售量数据的平均数和80%分位数；

(2)已知该市销售量y与月份代号x具有很强的线性相关关系，求y关于x的经验回归方程，并预测

2025年12月份的销售量.

附：经验回归方程y=bx+a的斜率与截距的最小二乘估计公式分别为

5·数学试题第2页(共4页)

16.(15分)

设函数，0,将函数f(x)的正零点按照从小到大的顺序排列，得到数列

(an〉,且

(1)求w的值；

(2)求函数y=f(x)图象的对称中心；

(3)求数列{an)的前2n项和Szn。

17.(15分)

如图1,等腰直角△ABC的斜边BC=4,D为BC的中点，沿BC边上的高AD折叠，使得二面角

B-AD-C为60°,如图2所示，设M为CD的中点.

(1)证明：BM⊥平面ACD.

(2)求平面MAB和平面DAB的夹角的余弦值.

(3)在线段AC(含端点)上是否存在点Q,使得直线MQ与平面ABM所成角的正弦值为若存在，

求出线段AQ的长度；若不存在，请说明理由.

图1图2

5·数学试题第3页(共4页)

18.(17分)

已知函数f(x)=sinx+cosx-ax,其中a∈R.

(1)当a=0时，求方程f(x)=1的所有实数解；

(2)证明：当)时，sinx+cosx≤e²;

(3)若f(x)≥2-e在.)上恒成立，求a的值.

19.(17分)

已知椭圆)的左、右焦点分别为F₁,F₂,点在椭圆E上且△F₁QF₂的

周长为6.

(1)求椭圆E的方程.

(2)设过点F₁的直线l₁与椭圆E交于A,B两点，过点F₂的直线l₂与椭圆E交于C,D两点，L₁与l₂

的交点为P,且l₁与l₂的斜率之积

①求点P的轨迹方程；

②求四边形ACBD面积的取值范围.

5·数学试题第4页(共4页)

数学参考答案和评分标准

题号1234567891011

答案BDCDBACBADABDBC

一、选择题

1.【答案】B

【解析】由i,得z=i.

2.【答案】D

【解析】由题意得A=[-2,2],B=(-∞,2),所以A∩B=(-2,2).

3.【答案】C

【解析】由已知得f(0)=0,则m=-1,所以当x≥0时，f(x)=x²+2-1,所以f(2)=7,故f(-2)=-7.

4.【答案】D

【解析】og₂(tan75°+tan15°)=log₂[(2+√3)+(2—√3)]=log₂4=2.

5.【答案】B

【解析】10个名额为相同元素，可用隔板法，10个相同元素分为8组，即将7个隔板插人9个空，C?=36.

6.【答案】A

【解析】依题意可知，a₆=6m,显然m≠1,

则m(m²+m+1)=21m.

又m∈N°,故m≠0,

所以m²+m+1=21,解得m=4,所以S=21×4=84.

7.【答案】C

【解析】由不等式,令

8.【答案】B

【解析】因为sin⁴x+cos²x+1=(1—cos²x)²+cos²x+1=cos¹x-cos²x+2,

cos⁴.x+sin²x+1=cos⁴x+(1-cos²x)+1=cos'x-cos²x+2,

所以f(x)=2√cos³x-cos²x+2.

令cos²x=t,t∈[0,1],设y=f(x),则y=2√i²-t+2.

当时,所以f(x)的最小值为√7.

二、多项选择题

9.【答案】AD

【解析】对于A,若m⊥a,nCα,由线面垂直的性质可知m⊥n,故A正确；

对于B,若a⊥β,mCa,则可能有m⊥β或m//β或m与β斜交或mβ,故B错误；

对于C,若a⊥β,a∩β=n,m⊥n,但是m不一定在a内，故不能推出m⊥β,故C错误；

对于D,因为m⊥a,n⊥β,所以直线m,n的方向向量分别与平面α,β的法向量平行，又因为a⊥β,所以两

5·数学参考答案和评分标准第1页(共9页)

个平面的法向量互相垂直，故两直线的方向向量互相垂直，即m⊥n,故D正确.

10.【答案】ABD

【解析】由正弦定理可知，sinA:sinB:sinC=a:b:c,所以以sinA,sinB,sinC的长度为边能构成

三角形，故A正确；

设三条中线分别为AD,BE,CF,则有

因为GA+GB+GC=0,所以AD+BE+CF=0,即三个向量AD,BE,CF可构成闭合回路，

所以以△ABC的三条中线AD,BE,CF的长度为边能构成三角形，故B正确；

显然当时，cosA=0,故C错误；

因为S△GBC=S△ccA=S△GAB,所以adᴀ=bdB=cdc,所,所以以的

长度为边能构成三角形，故D正确.

11.【答案】BC

【解析】当时,故A错误；

设|PF₁I=m,|PF₂l=n,当

有

→2mn=4→(m+n)³²=36+4=40→m+n=2√10,

所以△PF₁F₂的周长为6+2√10,故B正确；

设|PF₁I=m,|PF₂I=n,当0为钝角时，由余弦定理知m²+n²<36,

因为m-n=4√2→m²+n²=32+2mn<36→0<mn<2,

,故C正确；

由如下引理知△PF₁F₂内切圆的半径的取值范围是(0,b),即(0,1),故D错误

引理双曲线C0,b>0)的焦点三角形的内切圆半径的取值范围是(0,b).证明如下：

如图，点P位于第一象限，F₁,F₂是双曲线的左、右焦点，设焦点△PF₁F₂内切圆的圆心为G,则圆心G

在直线x=a上(证明省略).

设内切圆的半径为r,点P(x。,y。),

由焦半径公式得|PF₁I=ex。+a,|PF₂I=ex。—a,其中

所以

因为点P(x₀,y。)在双曲线C上，所1,得

5·数学参考答案和评分标准第2页(共9页)

于是,把代人得

。∈(a,+∞).

易知在x₀∈(a,+∞)上单调递增，

由函数的单调性及极限的知识可知0<r<b,

因此双曲线的焦点三角形的内切圆半径的取值范围是(0,b).

三、填空题

12.【答案】

【解析】由题意得a·b=2-3=-1,|b|=√1+4+9=√14,

故向量a在b上的投影向量

13.【答案】4.x+y+4=0.

【解析】设l:y=kx+b,与曲线y=x²联立，得x²—kx-b=0,由△=0,得k²+4b=0.

直线l与曲线联立，得kx²+bx-1=0,显然k≠0,由△=0,得b²+4k=0.

,即k⁴+64k=0,又k≠0,所以k=-4,从而b=-4.

所以直线l的方程为y=-4x-4,即4x+y+4=0.

14.【答案】

【解析】定义状态i(i=0,1,2,3,4)表示在停止事件(掷出1或6)发生之前，已经观察到不同的数字来自

集合{2,3,4,5}的个数.设p;为从状态i出发最终成功的概率(即最终在掷出1或6之前已经收集全4

个数字).显然，当i=4时，已经收集全4个数字，此后无论掷出什么,只要首次掷出1或6时即成功，因

此p₄=1.

对于状态i(0≤i≤3),考虑下一次掷骰子的结果，有三种可能：

①掷出数字1或6(概率为·,此时停止，但由于尚未收集全4个数字(i<4),因此失败，成功的概

率为0.

②掷出一个已经出现过的属于(2,3,4,5)的数字,状态保持不变.

③掷出一个未出现过的属于{2,3,4,5)的新数字,状态转移到i+1.

因此，从状态i出发，最终成功的概率满足方程

化简得,移项得

即i=0,1,2,3.

利用p₄=1,依次计算得

5·数学参考答案和评分标准第3页(共9页)

因此，所求概率为

四、解答题

15.【解析】(1)这6个月销售量数据的平均数为.……3分

因为6×0.8=4.8,所以这6个月销售量数据的80%分位数为从小到大排列后的第5个数，是3.7.……4分

(2)因……………………7分

所以a=y-bx=3-0.56×3.5=3-1.96=1.04,9分

所以y=0.56x+1.04.…………………10分

当x=9时，y=0.56×9+1.04=6.08(万辆),

即预测2025年12月份的销售量约为6.08万辆.……………………13分

16.【解析】(1)令

或,其中m,p∈Z,

解得或,……………………2分

所以当m=0时，f(x)的最小正零点为

依题意有,故w=π.……………………4分

(2)由(1)知,令,解得,k∈Z,

所以函数y=f(x)图象的对称中心为,k∈Z.…………7分

(3)由(2)可知f(x)=0满足或，,依据三角函数的特性可知，f(x)=0在一个周

期内有两个零点，所以最小的两个正零点为,周期

所以数列{an}的奇数项构成为首项，2为公差的等差数列，数列(a„}的偶数项构成了一个以

为首项，2为公差的等差数列，

所以………11分

所以

5·数学参考答案和评分标准第4页(共9页)

所以…………………15分

17.【解析】(1)在题图1的等腰直角△ABC中，D为BC的中点，可得AD⊥BC,

所以在题图2中，可得AD⊥BD,AD⊥CD.

因为BD∩CD=D,且BD,CDC平面BCD,所以AD⊥平面BCD.…………………2分

又因为BMC平面BCD,所以AD⊥BM.

因为AD⊥平面BCD,所以∠BDC是二面角B-AD-C的平面角，即∠BDC=60°,

所以△BDC为等边三角形.

因为M为CD的中点，所以CD⊥BM.

又因为AD∩CD=D,且AD,CDC平面ACD,所以BM⊥平面ACD.……………4分

(2)以D为坐标原点，在平面BCD内作垂直于DC的直线为x轴，DC,DA所在直线分别为y轴、z轴

建立空间直角坐标系，如图所示，则A(0,0,2),B(√3,1,0),C(0,2,0),D(0,0,0),M(0,1,0),

则AB=(√3,1,-2),BM=(一√3,0,0)A,D=(0,0,一2).

设平面MAB的法向量为n₁=(x₁,y₁,z₁),则……6分

则x₁=0,取z₁=1,可得y₁=2,所以n₁=(0,2,1).

设平面DAB的法向量为n₂=(x₂,y₂,z₂),则……7分

则z₂=0,取x₂=-1,可得y₂=√3,所以n₂=(-1,√3,0).

所以平面MAB和平面DAB所成角的余弦值为.…………………9分

(3)假设在线段AC上存在点Q,使得直线MQ与平面ABM所成角的正弦值

由(2)得MA=(0,—1,2),AC=(0,2,—2),

设AQ=λAC=(0,2λ,-2λ),λ∈[0,1],则MQ=MA+AQ=(0,2λ-1,2—2λ).……………11分

平面ABM的一个法向量为n₁=(0,2,1),

设直线MQ与平面ABM所成的角为0,

……………………………13分

化简得4λ²-12λ+5=0,解得或(舍去),

5·数学参考答案和评分标准第5页(共9页)

所以存在点Q,使得直线MQ与平面ABM所成角的正弦值为

当时，AQ=√2.……………………15分

18.【解析】(1)当a=0时，f(x)=sinx+cosx,

则sinx+cosx=1,所

所以

即+2kπ或

解得x=2kπ或,k∈Z.

所以方程f(x)=1的所有实数解为x=2kπ或+2kπ,k∈Z..…………………5分

(2)令g(x)=e-sinx-cosx,则

当)时，因为在上单调递增，且g'(0)=0,

所以当x∈时，g'(x)<0,g(x)单调递减；当)时，g'(x)>0,g(x)单调递增.

所以g(x)≥g(x)min=g(0)=0.…………7分

当时，因,…………………8分

所以g(x)>e²—√2>0.

综上所述，当时，g(x)≥0,即sinx+cosx≤e³.……………9分

(3)构造函数F(x)=f(x)-2+e=e+sinx+cosx-2-ax,

则F'(x)=e+cosx-sinx-a,F'(0)=2—a,令G(x)=F'(x),则G'(x)=e³-sinx-cosx=g(x).

由(2)知，当.时，G'(x)=g(x)≥0成立，

上单调递增.……11分

①若a=2,则F'(0)=2—a=0,由F'(x)的单调性知，当时，F'(x)<0,F(x)单调递减；当

x∈(0,+∞)时，F'(x)>0,F(x)单调递增.

所以F(x)≥F(x)m.n=F(0)=0,满足题意.…………13分

②若a>2,则F'(0)=2-a<0.因为F'(x)≥e一√2-a,所以F'(In(√2+2a))>a>2>0,由零点存在

定理可知，必存在x。∈(0,In(√2+2a)),使得F'(x。)=0.此时满足x∈(0,x。)时，F'(x)<0,F(.x)单调

递减，所以F(x)<F(0)=0,矛盾，舍去.………………15分

③若a<2,则F'(0)=2-a>0.

若,则在区间上均有F'(x)>0,于是F(x)在此区间上单调递增，因此在该区间

上有F(x)<F(0)=0,矛盾.

5·数学参考答案和评分标准第6页(共9页)

单

若,则必存在,使得F'(x。)=0.此时满足x∈(x。,0)时，F′(x)>0,F(x)

调递增，所以矛盾.

F(x)<F(0)=0,分

综上所述，a=217

19.【解析】(1)由题意可得

所以椭圆E的方程………………………4分

(2)①设直线l₁与直线l₂的斜率分别为k₁,k₂,则

设点P的坐标为(x,y),则kpp,kpp₂=k₁k;,……………………6分

,化简得3x²+4y²=3(y≠0).

所以点P的轨迹方程为…………8分

②方法一设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),C(x3,y3),D(x,ya),l:y=k₁(x+1),l₂:y=k₂(x-1).

联立’→(3+4k²)x²+8k}x+4k²-12=0,

则…………9分

'→(3+4k2)x²—8