初中数学九年级下册：用树状图法求概率（第二课时）教案

初中数学九年级下册：用树状图法求概率（第二课时）教案

一、课程基本信息与设计理念

学科：初中数学

学段与年级：九年级下册

课题：用树状图法求解两步及两步以上简单事件的概率

课时：1课时（45分钟）

教材依据：冀教版义务教育教科书《数学》九年级下册

设计理念：

本设计以《义务教育数学课程标准（2022年版）》为指导，聚焦“数据观念”与“模型观念”核心素养的培育。教学从真实、复杂的概率情境出发，引导学生认识到直接列举的局限性，自然生长出对结构化分析工具——树状图的需求。通过“问题驱动-探究建构-变式迁移-归纳升华”的路径，让学生亲历数学模型的抽象、构建与应用过程，深刻理解树状图作为枚举法系统化、可视化表达的数学本质。教学过程强调学生的主体性与思维的逻辑性，注重从具体操作到符号化表达的过渡，并有机融合跨学科情境（如遗传学、游戏设计），培养学生的分析能力、决策能力和理性精神，体现数学的广泛应用价值。

二、教学目标

1.知识与技能：

1.2.理解两步及两步以上随机试验中，直接列举的复杂性与局限性。

2.3.掌握绘制树状图的基本规则与方法，能够规范、完整地列出所有等可能的结果。

3.4.熟练运用树状图法计算两步及两步以上简单事件的概率，并能够用概率公式进行规范表述。

4.5.能够辨析树状图法与直接列举法、列表法的联系与区别，根据问题特征选择合适的方法。

6.过程与方法：

1.7.经历从具体情境中抽象出概率问题、探索分析工具、构建数学模型、解决实际问题的全过程。

2.8.通过动手操作、小组讨论、对比分析，发展有序思考、分类讨论、数形结合的逻辑思维能力。

3.9.学会从复杂背景信息中提取关键数据，并将其转化为概率模型中的要素（试验步骤、可能结果）。

10.情感、态度与价值观：

1.11.在探究树状图法的过程中，体验克服思维困难、获得新工具的成就感，增强学习数学的兴趣和信心。

2.12.体会数学工具的简洁美、结构美和逻辑力量，感受数学建模在解决现实不确定性问题中的价值。

3.13.形成严谨、求实的科学态度，培养基于数据分析进行合理推断与决策的理性精神。

三、教学重难点

1.教学重点：树状图法的规范绘制步骤；利用树状图清晰、不重不漏地列出所有等可能结果，并计算相应事件的概率。

2.教学难点：理解树状图中“分支”与“等可能性”的对应关系；在多步骤试验中，正确区分试验的层次（步），并确定每一步的所有可能情况；将非等可能或条件概率的初步情境转化为等可能模型进行分析。

四、教学准备

1.教师准备：多媒体课件（包含动态生成树状图的演示动画）、交互式白板、实物投影仪、学习任务单、纸质卡片（用于课堂活动）。

2.学生准备：复习上节课等可能事件概率的定义及计算方法（P(A)=m/n）、直尺、铅笔、草稿本。

五、教学过程

（一）情境激疑，引出课题（预计用时：6分钟）

活动1：创设认知冲突

师：（课件展示问题）同学们，上节课我们学习了等可能事件的概率。现在有一个实际问题，请大家尝试解决。

问题：“小明的书包里有三本外观无差别的笔记本，封面分别是红色(R)、蓝色(B)、绿色(G)。他先后随机取出两本，第一次取出后不放回。请问，他第一次摸到红色且第二次摸到蓝色的概率是多少？”

（给学生1-2分钟独立思考或与同桌简单交流，教师巡视，可能会发现学生尝试直接列举但易出现重复或遗漏。）

活动2：暴露思维困境

师：请一位同学说说你的思路和答案。

生1：可能的结果有(R,B),(R,G),(B,R),(B,G),(G,R),(G,B)。所以事件“第一次红第二次蓝”是(R,B)，概率是1/6。

师：思路很清晰，列举出了所有6种可能。那我们再来看一个稍复杂的问题。

问题升级：“如果小明先后随机取出三本，每次取出一本都不放回。那么，他依次摸出红、蓝、绿的概率又是多少？”

（学生面露难色，尝试列举但感觉繁琐，容易出错。）

师：大家感觉到了吗？当试验步骤增加到三步或更多，或者每一步的选择较多时，直接用列举法就像在迷宫里找路，容易迷路（重复或遗漏）。今天，我们就来学习一种能为我们指明路径、让列举变得清晰有序的数学工具——树状图。

（二）探究新知，构建模型（预计用时：15分钟）

活动1：概念初识与规范感知

师：什么是树状图？顾名思义，它像一棵倒着生长的树。我们先回到第一个问题（两本不放回），看看如何用树状图来刻画这个试验。

（教师在黑板上或在交互白板上逐步示范，边画边讲解规范）

第一步：确定试验的步骤。本题分两步：第一次取书、第二次取书。我们用两条从左到右的射线代表“生长”方向。

第二步：从“树根”（起始点）开始，画出第一步的所有可能结果。这里第一步有3种可能：R,B,G。画出三条等长的分支线，在线端标注结果。

第三步：在第一步的每一个结果后面，作为新的“起点”，画出第二步的所有可能结果。注意：因为不放回，所以当第一步取走R后，第二步只能从剩下的{B,G}中取。因此在R的分支后，画出两条分支，标注B和G。同理，在B后画R和G，在G后画R和B。

第四步：检查所有路径。从树根到每一个最末端的“树叶”（终点），就代表一种可能的实验结果。例如“树根→R→B”代表结果(R,B)。数一数，一共有6片“树叶”，即6种等可能结果。

第五步：找出目标事件对应的路径。事件“第一次红第二次蓝”对应路径“R→B”，只有1条路径。

第六步：计算概率。P=目标路径数/总路径数=1/6。

活动2：对比归纳，明确优势

师：请大家对比刚才的直接列举和现在的树状图，小组讨论：树状图法有什么优点？

（学生小组讨论后汇报）

生2：树状图看起来更直观，每一步有哪些选择很清楚。

生3：不容易漏掉情况，因为每一步都是按顺序画出来的，所有路径都连在一起。

生4：可以很方便地数出总共有多少种结果，也能清楚地找到我们想要的结果是哪一条路。

教师总结提炼：树状图法的核心优势在于其“有序性”和“可视化”。它将一个多步骤的随机试验，按照发生的先后顺序，层次分明地、图形化地展示出来，确保了枚举的“不重不漏”，是分类讨论思想的完美体现。

活动3：符号抽象与一般化表达

师：我们通常用字母或符号来表示可能的结果。树状图的绘制有通用的规范步骤：

1.明步骤：分析试验分为哪几个有序的步骤。

2.画树干：从左向右画出代表步骤延伸的轴线。

3.分树枝：从第一步开始，在每一步，从当前节点出发，画出该步骤所有可能结果对应的分支，并标注结果。

4.列结果：将所有从“树根”到“树叶”的路径写出，即为所有等可能的结果。

5.算概率：识别事件A包含的路径数k，总路径数n，则P(A)=k/n。

（板书或课件清晰展示这五个步骤）

（三）典例解析，深化理解（预计用时：12分钟）

例题1（放回与不放回的对比）——突破难点

师：现在我们将问题稍作改变。依然是三本书R,B,G。“小明先后随机取出两本，第一次取出后放回，摇匀后再取第二次。求两次都摸到蓝色封面的概率。”

请同学们在任务单上独立画出树状图，并与同桌的“不放回”树状图进行对比。

（学生作图，教师巡视指导。选取典型作品用实物投影展示。）

生5展示“放回”树状图：第一步分支仍是R,B,G。但第二步，在每一个第一步结果后面，分支都有三种可能：R,B,G。因为放回后，每次选择面对的“书堆”是一样的。

生5：总共有3×3=9种等可能结果，事件“两次都蓝”对应路径(B,B)，概率是1/9。

师：对比非常精彩！请大家思考并回答：

1.“放回”与“不放回”的树状图，本质区别在哪里？

2.这导致了总结果数有何不同？

（引导学生得出结论：“不放回”时，后续步骤的可能性受前面步骤结果的影响；而“放回”时，每一步都是独立的，互不影响。这是理解概率问题的关键。）

例题2（三步试验）——巩固步骤

师：现在，请大家用树状图独立解决课开始时那个“取三本不放回”的问题。要求规范画出树状图，写出计算过程。

（学生练习，教师重点指导三步树状图的绘制，强调层次。请一位学生在黑板上板演。）

板演学生展示：树根→第一步：R,B,G→第二步：在R后画B,G；在B后画R,G；在G后画R,B→第三步：在每个第二步结果的节点后，画出剩下的那唯一一本书。最终得到6条路径（实际上是6种排列）。事件“依次为红、蓝、绿”对应唯一路径R→B→G，概率为1/6。

师：通过这个例子我们看到，树状图能轻松将三步甚至更多步的试验清晰地呈现出来。

例题3（非等可能情况的转化）——拓展思维

师：现实中的概率问题并非总是等可能的。例如，一个不透明的袋子中装有1个红球和2个白球，它们除颜色外其他完全相同。随机摸出一个球，记录颜色后放回，摇匀后再摸一次。请问两次摸出的球都是白球的概率是多少？

师：第一步摸球，摸到红球和白球的可能性相同吗？

生：不同。红球1个，白球2个，所以摸到红球的概率是1/3，摸到每个白球的概率是1/3，但摸到“白球”（这个事件）的概率是2/3。

师：那我们的树状图还能用吗？如何处理？

引导学生思考：我们可以将两个白球编号为白1、白2。这样，三个球：红、白1、白2，每次摸到每一个球的可能性是相等的（等可能）。于是，试验转化为：从{红，白1，白2}中有放回地摸两次。画出树状图，总结果3×3=9种。事件“两次都是白球”包含的结果有：(白1,白1)，(白1,白2)，(白2,白1)，(白2,白2)，共4种。所以概率P=4/9。

师：这个结果等于(2/3)×(2/3)吗？（是的）这为我们后续学习独立事件的概率乘法公式埋下了伏笔。关键在于，通过给同质对象编号，可以将非等可能事件转化为等可能的基本事件集合来处理，树状图依然有效。

（四）分层演练，巩固提升（预计用时：8分钟）

A组（基础巩固）

1.抛掷一枚均匀的硬币两次，用树状图列出所有可能结果，求恰好有一次正面朝上的概率。

2.从甲、乙、丙三位同学中随机抽取两人参加志愿服务，用树状图列出所有可能结果，求抽到甲同学的概率。

B组（能力提升）

3.（跨学科联系：遗传学）在生物学中，控制豌豆植株高茎(D)和矮茎(d)的基因遵循分离定律。将高茎豌豆(基因型为Dd)与矮茎豌豆(dd)杂交，子代的基因型可能有哪些？用树状图表示杂交配子组合的过程，并求出子代为高茎表现型（只要含有D基因）的概率。（提示：父本Dd产生D和d两种配子，母本dd只产生d一种配子，配子随机结合）

4.小颖有两件不同的上衣（记为A,B）和三条不同的裤子（记为1,2,3），她随机搭配一套服装。用树状图列出所有搭配方案，求她恰好穿上衣A和裤子2的概率。

C组（挑战拓展）

5.一个游戏规则如下：同时抛掷两枚均匀的骰子（点数为1-6）。若两枚骰子点数之和为奇数，则甲得1分；若和为偶数，则乙得1分。这个游戏公平吗？请用树状图（可简化表示，如用坐标形式(第一枚点数，第二枚点数)）分析并说明理由。

（学生分组选做，教师巡视，对A组学生进行个别辅导，对B、C组学生进行思路点拨。重点检查树状图绘制的规范性，以及概率计算的准确性。约5分钟后，针对共性问题进行集中点评，并让做对挑战题的学生分享思路，展示其简化的“坐标式”树状图或列表与树状图的结合使用。）

（五）课堂小结，提炼升华（预计用时：4分钟）

师：经过这节课的学习，我们共同攀登了“用树状图求概率”这座小山。现在，请大家一起回顾并总结：

1.知识层面：我们学习了用树状图法求解两步及两步以上随机试验概率的“六步法”（明步骤、画树干、分树枝、列结果、识事件、算概率）。核心是“有序枚举，不重不漏”。

2.方法层面：我们掌握了将复杂试验分解为有序步骤的化归思想，体验了通过图形化工具（树状图）将抽象思维可视化的过程。对比了“放回”与“不放回”对树状结构的影响。

3.应用层面：我们认识到，通过给对象编号等方法，可以将一些非等可能的选择转化为等可能的基本事件，从而拓展了树状图的应用范围。树状图是解决生活中许多决策问题、游戏公平性问题、遗传概率问题的有力工具。

4.联系与展望：树状图是枚举法的系统化，它与我们之前学的列表法有何异同？（列表法通常适用于两步试验，且两个步骤的地位对称；树状图适用于多步，且能清晰展示步骤顺序）。它为今后学习更复杂的概率模型（如独立事件、条件概率）奠定了坚实的直观基础。

六、板书设计

主板书区：

用树状图法求概率

一、模型构建（以“取两本不放回”为例）

步骤：第一次取→第二次取

树状图绘制：（图示：规范的树状图，标有R,B,G分支）

所有等可能结果：(R,B),(R,G),(B,R),(B,G),(G,R),(G,B)共6种。

P(第一次红，第二次蓝)=1/6

二、一般步骤

1.明步骤

2.画树干

3.分树枝

4.列结果

5.算概率

三、核心思想

有序思考，分类枚举；

图形助力，不重不漏。

副板书区：

例题关键步骤演算区（如“三步取书”的树状图框架、“放回”与“不放回”对比的关键词）、学生练习展示区、课堂生成性问题的简要记录。

七、作业设计

1.必做题：

1.2.教材对应章节的课后练习题。

2.3.自行设计一个两步的随机试验情境（如抽签、转盘游戏等），用树状图分析其中某个事件的概率，并写成小报告