2025-2026年济南章丘区九年级中考数学二模考试试题以及含答案

章丘区2026年初中学业水平考试数学模拟试题（二）本试题分选择题和非选择题两部分．选择题部分共2页，满分为40分；非选择题部分共6页，满分为110分．本试题共8页，满分为150分．考试时间120分钟．本考试不允许使用计算器．选择题部分共40分一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.下列各数中，绝对值最大的数是（）A.πB.2C.−3D.02.在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中，卯的俯视图是（）3.国家纳米中心DNA折纸肿瘤纳米机器人由国家纳米科学中心团队研发，是全球首款医用DNA结构纳米手术机器人．2026年3月该款机器人完成新一代升级，尺寸仅有60~100纳米（1纳米=1×10−9m），其中60纳米用科学计数法可表示为（）A.6×10−10米B.60×10−9米C.6×10−8米D.0.6×10−7米4.我国民间建筑装饰图案中，蕴含着丰富的数学之美．下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）5.下列运算结果正确的是（）A.x3·x3=x9B.2x3+3x3=5x6C.(2x2)3=6x6D.(2+3x)(2−3x)=4−9x26.实数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列结论一定正确的是（）A.ac>bcB.2a>a+bC.1−a>1−bD.∣a∣>∣b∣7.计算3x−2−12xA.3B.3x−2C.−3D.8.通常情况下酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色．一次化学课上，老师让学生用酚酞溶液检测四瓶因标签污损无法分辨的无色溶液的酸碱性，已知这四瓶溶液分别是纯水（呈中性）、稀硫酸（呈酸性）、碳酸钠溶液（呈碱性）、氢氧化钠溶液（呈碱性）．小东随机选2瓶溶液，将酚酞溶液分别滴入其中进行检测，选到的2瓶溶液都变成红色的概率为（）A.24B.16C.139.如图，在Rt△ABC中，∠B=90∘，AB>BC．按以下步骤作图：①以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AC于点D；②分别以点D，C为圆心，大于12CD长为半径画弧，两条弧交于点Q，连接BQ交线段CD于点H；③以点A为圆心，AD长为半径画弧，与边AB相交于点E；④分别以点D，点E为圆心，大于12DE长为半径画弧，两条弧交于点F，连接AF并延长，交线段BC于点P．若AD=7A.203B.3C.25910.若函数y1的图象上存在点M，函数y2的图象上存在点N，且M、N关于原点成中心对称，则称函数y1和y2存在“奇对称点”．此时，奇对称点到原点的距离称为“奇对称值”．下列结论：①函数y1=x+2与函数y2=3x−1存在奇对称点；②函数y1=2x+2与函数y2=12x③若2是函数y1=2x+3与函数y2=kx的“奇对称值”，则k=−1或−7④若函数y1=−x2+2x(0≤x≤2)与函数y2=x+t(x<0)存在奇对称点，则−0.25≤t≤2．其中正确的是（）A.①③B.①③④C.①④D.②③④非选择题部分共110分二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11.若代数式3−xx12.中国纸扇历史悠久，古代工匠凭审美与经验形成了稳定的“东方黄金律”，设计中多处暗含黄金分割．如扇面高度（AB）与扇柄长度（AC）之比就符合黄金比，此时重心适中，持握舒适．若AB=16cm，则BC=________cm．（结果保留根号）（第12题图）（第13题图）13.如图，∠AOB=90∘，∠B=30∘，以点O为圆心，OA为半径作弧交AB于点A、点C，交OB于点D，若OA=3，则阴影部分的面积为________．14.如图所示，点A在函数y1=4kx（x>0）的图象上，连接AO并延长，交函数y2=k（第14题图）（第15题图）15.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=42，E是AD的中点，将这张纸片依次折叠两次；第一次折叠纸片，使B点落在E点，折痕为MN；第二次折叠纸片，使N点与E点重合，点C落在C′处，折痕为FH，则tan∠EHF=________．三、解答题：（本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16.（本小题满分7分）计算：(−12)−2−2cos45∘+∣2−2∣+(π−2026)0+817.（本小题满分7分）解不等式组3x+2＞18.（本小题满分7分）如图，已知平行四边形ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长，交DC的延长线于点F，且AF=AD，连接BF，求证：四边形ABFC是矩形．19.（本小题满分8分）平开窗是生活中常见的一种窗户，安装平开窗需要一种滑撑支架，如图①，②是这种平开窗的实物展示图．把上述实物图抽象成如图③所示的示意图．已知滑撑支架的滑动轨道AB固定在窗框底边，EF固定在窗页底边，点B，C，D三点固定在同一直线上，当窗户关闭时，点E与点A重合，DE和DB均落在AB上；当点O向点B滑动时，四边形OCDE始终为平行四边形，其中OE=8cm，DE=16cm，BC=17cm．窗户打开一定角度后，OC与AB形成一个角∠COB．出于安全考虑，部分公共场合的平开窗有开启角度限制要求：平开窗的开启角度应该控制在30∘以内（即∠COB≤30∘）．（1）求滑动轨道AB的长度．（2）为符合安全规范要求，某公共场合的平开窗需在滑动轨道AB上安装一个限位器P，控制平开窗的开启角度，当点O滑动到点P时，∠COB=30∘，则限位器P应装在离点A多远的位置？（结果保留根号）20.（本小题满分8分）如图，CA是⊙O的切线，点A为切点，点F为⊙O上一点，射线CF，AO于点B，连接AF，点E在AF上，过点E作ED⊥AF，交CA于点D，作EG⊥CF，垂足为点G．AE=GF，AD=EF．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若AC=6，sinB=2321.（本小题满分9分）为了解七年级学生的课外自主阅读情况，某校随机抽取了部分学生，对他们每天的阅读时间（阅读时间取整数，不足一分钟按一分钟算）的情况进行了调研．【确立样本】（1）已知学校七年级共6个班，决定抽取60名学生进行调查，下列选取样本的方法中最合理的一种是________．（只需填上正确答案的序号）①在每班抽取10个成绩较好的学生．②在每班按照学号随机抽取10名学生．③在前3个班每班随机抽取20人进行调查．【收集数据】利用EXCEL等软件将数据按由小到大的顺序排序，部分数据呈现如下：…,39,39,39,41,42,44,46,53,53,53,53,54,56,58,59,61,62,72,75…【整理数据】按照每天阅读的总时长分为A，B，C，D，E五组，相关信息如下：【数据分析】根据以上信息，解答下列问题：（2）a=；b=；本次问卷调查中阅读总时长的中位数为________分钟．（3）C组数据的众数是________分钟；小明根据以上数据绘制了扇形统计图，其中C组对应扇形的圆心角为________度．（4）已知七年级学生共有300人，请你估计七年级阅读的总时长超过60分钟的学生人数．22.（本小题满分10分）按照国家体育器材设施配备目录及标准要求配足体育设施器材，某校计划购买一批篮球和足球．已知购买10个篮球和15个足球共需2400元，购买3个篮球和2个足球共需520元．（1）求每个篮球、足球的售价；（2）如果学校计划购买这两种球共100个，足球个数不超过篮球个数的4倍，请你给出一种费用最少的购买方案，并求出该方案所需费用．23.（本小题满分10分）如图1，在平面直角坐标系中，点A(−2,0)，点B(0,2)，直线AB与反比例函数y=kx（k≠（1）求反比例函数的解析式；（2）如图2，点D(4,0)，连接CD，点E是反比例函数y=kx（k≠（3）在（2）的条件下，若点M是反比例函数的图象第一象限上的动点，连结MD，并在MD左侧作正方形MDNF．当顶点F或顶点N恰好落在直线AB上，直接写出点M的坐标．24.（本小题满分12分）如图，抛物线y=x2+bx+c交x轴于A、B两点，点A坐标为(1,0)，与y轴交于点C(0,−3)．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图①，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠PAB=2∠ACO．求点P的坐标；（3）如图②，点Q为x轴下方抛物线上任意一点，点D是抛物线对称轴与x轴的交点，直线AQ、BQ分别交抛物线的对称轴于点M、N．请问DM+DN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．25.（本小题满分12分）皮埃尔・德・费马是17世纪法国著名的数学家，1643年，他在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到过这样一个问题：“能否在平面内找到到三角形三个顶点距离之和最小的点？”这就是著名的费马点问题．如图1，P为△ABC内一点，连接PA，PB，PC，是否存在一点P，使PA+PB+PC最小，最小值为多少？对于三个内角均小于120∘的三角形，托里拆利提出了自己的研究思路：如图2，将△BPC绕点B顺时针旋转60∘得△BP′C′，则PC=P′C′，连接PP′，易证△BPP′是等边三角形，则PP′=BP，因此PA+PB+PC=PA+PP′+P′C′，如图3，当A，P，P′，C′共线时，PA+PP′+P′C′最小，即PA+PB+PC最小．（1）当PA+PB+PC最小时，∠APC=∘，若∠ABC=75∘，AB=7，BC=82，则PA+PB+PC的最小值为；（2）如图4，P是锐角△ABC内部一点，D是线段AC上一动点，连接PB，PC，PD，若BC=4，∠ACB=45∘，求PD+3PB+PC的最小值；（3）如图5，P是等边△ABC内部一点，连接PA，PB，PC，若等边△ABC边长为4，直接写出PA+12PB+3答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.下列各数中，绝对值最大的数是（A）A.πB.2C.−3D.02.在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中，卯的俯视图是（C）3.国家纳米中心DNA折纸肿瘤纳米机器人由国家纳米科学中心团队研发，是全球首款医用DNA结构纳米手术机器人．2026年3月该款机器人完成新一代升级，尺寸仅有60~100纳米（1纳米=1×10−9m），其中60纳米用科学计数法可表示为（C）A.6×10−10米B.60×10−9米C.6×10−8米D.0.6×10−7米4.我国民间建筑装饰图案中，蕴含着丰富的数学之美．下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（A）5.下列运算结果正确的是（D）A.x3·x3=x9B.2x3+3x3=5x6C.(2x2)3=6x6D.(2+3x)(2−3x)=4−9x26.实数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列结论一定正确的是（B）A.ac>bcB.2a>a+bC.1−a>1−bD.∣a∣>∣b∣7.计算3x−2−12xA.3B.3x−2C.−3D.8.通常情况下酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色．一次化学课上，老师让学生用酚酞溶液检测四瓶因标签污损无法分辨的无色溶液的酸碱性，已知这四瓶溶液分别是纯水（呈中性）、稀硫酸（呈酸性）、碳酸钠溶液（呈碱性）、氢氧化钠溶液（呈碱性）．小东随机选2瓶溶液，将酚酞溶液分别滴入其中进行检测，选到的2瓶溶液都变成红色的概率为（B）A.24B.16C.139.如图，在Rt△ABC中，∠B=90∘，AB>BC．按以下步骤作图：①以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AC于点D；②分别以点D，C为圆心，大于12CD长为半径画弧，两条弧交于点Q，连接BQ交线段CD于点H；③以点A为圆心，AD长为半径画弧，与边AB相交于点E；④分别以点D，点E为圆心，大于12DE长为半径画弧，两条弧交于点F，连接AF并延长，交线段BC于点P．若AD=7A.203B.3C.25910.若函数y1的图象上存在点M，函数y2的图象上存在点N，且M、N关于原点成中心对称，则称函数y1和y2存在“奇对称点”．此时，奇对称点到原点的距离称为“奇对称值”．下列结论：①函数y1=x+2与函数y2=3x−1存在奇对称点；②函数y1=2x+2与函数y2=12x③若2是函数y1=2x+3与函数y2=kx的“奇对称值”，则k=−1或−7④若函数y1=−x2+2x(0≤x≤2)与函数y2=x+t(x<0)存在奇对称点，则−0.25≤t≤2．其中正确的是（B）A.①③B.①③④C.①④D.②③④非选择题部分共110分二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11.若代数式3−xx有意义，则x的取值范围为____x≤3，且x=012.中国纸扇历史悠久，古代工匠凭审美与经验形成了稳定的“东方黄金律”，设计中多处暗含黄金分割．如扇面高度（AB）与扇柄长度（AC）之比就符合黄金比，此时重心适中，持握舒适．若AB=16cm，则BC=____85﹣8____cm．（结果保留根号）（第12题图）（第13题图）13.如图，∠AOB=90∘，∠B=30∘，以点O为圆心，OA为半径作弧交AB于点A、点C，交OB于点D，若OA=3，则阴影部分的面积为___34π14.如图所示，点A在函数y1=4kx（x>0）的图象上，连接AO并延长，交函数y2=kx（x<0）的图象于点B，点C为x轴上一点，且AO=AC，连接BC，若△ABC的面积是9，则k的值为____（第14题图）（第15题图）15.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=42，E是AD的中点，将这张纸片依次折叠两次；第一次折叠纸片，使B点落在E点，折痕为MN；第二次折叠纸片，使N点与E点重合，点C落在C′处，折痕为FH，则tan∠EHF=____2____．三、解答题：（本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16.（本小题满分7分）计算：(−12)−2−2cos45∘+∣2−2∣+(π−2026)0+8=4﹣2+2﹣2+1+22=717.（本小题满分7分）解不等式组3x+2＞解不等式①，得：x>−42分解不等式②，得：x≤24分∴不等式组的解集为−4<x≤26分∴不等式组的整数解为−3,−2,−1,0,1,2∴所有整数解之和为−3+(−2)+(−1)+0+1+2=−37分18.（本小题满分7分）如图，已知平行四边形ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长，交DC的延长线于点F，且AF=AD，连接BF，求证：四边形ABFC是矩形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CD，AB=CD，AD=BC∴∠BAE=∠CFE，∠ABE=∠FCE3分∵E为BC的中点∴EB=EC5分∴△ABE≌△FCE(AAS)5分∴AB=CF∵AB∥CF∴四边形ABFC是平行四边形6分∵AF=AD∴BC=AF∴平行四边形ABFC是矩形。7分19.（本小题满分8分）平开窗是生活中常见的一种窗户，安装平开窗需要一种滑撑支架，如图①，②是这种平开窗的实物展示图．把上述实物图抽象成如图③所示的示意图．已知滑撑支架的滑动轨道AB固定在窗框底边，EF固定在窗页底边，点B，C，D三点固定在同一直线上，当窗户关闭时，点E与点A重合，DE和DB均落在AB上；当点O向点B滑动时，四边形OCDE始终为平行四边形，其中OE=8cm，DE=16cm，BC=17cm．窗户打开一定角度后，OC与AB形成一个角∠COB．出于安全考虑，部分公共场合的平开窗有开启角度限制要求：平开窗的开启角度应该控制在30∘以内（即∠COB≤30∘）．（1）求滑动轨道AB的长度．（2）为符合安全规范要求，某公共场合的平开窗需在滑动轨道AB上安装一个限位器P，控制平开窗的开启角度，当点O滑动到点P时，∠COB=30∘，则限位器P应装在离点A多远的位置？（结果保留根号）（1）∵四边形OCDE始终为平行四边形，OE=8cm∴CD=OE=8cm1分∵当窗户关闭时，点E与点A重合，DE和DB均落在AB上∴AB=DE+DB=DE+CD+BC=16+8+17=41(cm)3分答：滑动轨道AB的长度为41cm；（2）如图，四边形OCDE为平行四边形，过点C作CH⊥AB交AB于点H，∴ED=CO=16cm∵CH⊥AB，∠COB=30∘在Rt△OCH中，CH=12CO=8(cm)，cos∠COH=cos30∘=OHOC∴OH=OC⋅cos30∘=16×32=83(cm)5又∵CH⊥AB，CB=17cm在直角三角形BCH中，由勾股定理得：BH=BC2﹣CH∴OB=OH+HB=15+83(cm)，∴限位器P的位置离A点41−(15+83)=26−83(cm)，答：限位器P应装在离A点(26−83)cm的位置。8分20.（本小题满分8分）如图，CA是⊙O的切线，点A为切点，点F为⊙O上一点，射线CF，AO于点B，连接AF，点E在AF上，过点E作ED⊥AF，交CA于点D，作EG⊥CF，垂足为点G．AE=GF，AD=EF．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若AC=6，sinB=23（1）证明：连接OF∵ED⊥AF，EG⊥CF∴∠DEA=∠EGF=90∘在Rt△DEA和Rt△EGF中AE=GF∴Rt△DEA≌Rt△EGF(HL)∴∠GFE=∠EAD∵OF=OA∴∠OFA=∠OAF∵CA是⊙O的切线，点A为切点∴∠DAO=90∘∴∠DAE+∠FAO=90∘∴∠GFE+∠OFA=90∘，即∠CFO=90∘∵OF是⊙O的半径∴CF是⊙O的切线；4分（2）解：∵∠BAC=90∘，AC=6∴sinB=ACBC=6BC∴CB=9∴BA=BC2﹣∵∠CFO=90∘∴∠BFO=180∘−∠CFO=90∘在Rt△BFO中，sinB=OFOB=OFAB−AO=OF∴OF=6即⊙O的半径为655。21.（本小题满分9分）为了解七年级学生的课外自主阅读情况，某校随机抽取了部分学生，对他们每天的阅读时间（阅读时间取整数，不足一分钟按一分钟算）的情况进行了调研．【确立样本】（1）已知学校七年级共6个班，决定抽取60名学生进行调查，下列选取样本的方法中最合理的一种是________．（只需填上正确答案的序号）①在每班抽取10个成绩较好的学生．②在每班按照学号随机抽取10名学生．③在前3个班每班随机抽取20人进行调查．【收集数据】利用EXCEL等软件将数据按由小到大的顺序排序，部分数据呈现如下：…,39,39,39,41,42,44,46,53,53,53,53,54,56,58,59,61,62,72,75…【整理数据】按照每天阅读的总时长分为A，B，C，D，E五组，相关信息如下：【数据分析】根据以上信息，解答下列问题：（2）a=；b=；本次问卷调查中阅读总时长的中位数为________分钟．（3）C组数据的众数是________分钟；小明根据以上数据绘制了扇形统计图，其中C组对应扇形的圆心角为________度．（4）已知七年级学生共有300人，请你估计七年级阅读的总时长超过60分钟的学生人数．（1）②1分（2）a=6；b=51；中位数为45分钟4分（3）C组数据的众数是53分钟；C组对应扇形的圆心角为72度。6分（4）300×(25%+10%)=105（人）答：超过60分钟的学生人数为105人。8分22.（本小题满分10分）按照国家体育器材设施配备目录及标准要求配足体育设施器材，某校计划购买一批篮球和足球．已知购买10个篮球和15个足球共需2400元，购买3个篮球和2个足球共需520元．（1）求每个篮球、足球的售价；（2）如果学校计划购买这两种球共100个，足球个数不超过篮球个数的4倍，请你给出一种费用最少的购买方案，并求出该方案所需费用．（1）设每个篮球的售价为a元，每个足球的售价为b元，由题意可得：10a+15b=2400解得a=120b=803答：每个篮球的售价为120元，每个足球的售价为80元；5分（2）设购买篮球x个，则购买足球(100−x)个，总费用为w元，由题意可得：w=120x+80(100−x)=40x+80007分∴w随x的增大而增大∵足球个数不超过篮球个数的4倍∴100−x≤4x解得x≥209分∴当x=20时，w取得最小值，此时w=8800，100−x=80答：费用最少的购买方案是购买篮球20个，足球80个，该方案所需费用为8800元。10分23.（本小题满分10分）如图1，在平面直角坐标系中，点A(−2,0)，点B(0,2)，直线AB与反比例函数y=kx（k≠（1）求反比例函数的解析式；（2）如图2，点D(4,0)，连接CD，点E是反比例函数y=kx（k≠（3）在（2）的条件下，若点M是反比例函数的图象第一象限上的动点，连结MD，并在MD左侧作正方形MDNF．当顶点F或顶点N恰好落在直线AB上，直接写出点M的坐标．（1）设直线AB的解析式为y=mx+n将点A(−2,0)，点B(0,2)代入−2m+n=0解得m=1∴y=x+2将C(a,4)代入y=x+2中∴a+2=4解得a=22分∴C(2,4)将C(2,4)代入y=k∴k=8∴反比例函数解析式为y=8x；3（2）∵△ACE的面积与且△ACD的面积相等，∴E点在过D点且与AB平行的直线上，设过D点与直线AB平行的直线解析式为y=x+b，∴4+b=0，解得b=−4，∴y=x−45分联立方程组：y=x−4解得x=23+2y=23﹣∵点E在点C的右侧，∴E(23+2,23−2)；6分（3）(83,3)或(5−17,5+17)1024.（本小题满分12分）如图，抛物线y=x2+bx+c交x轴于A、B两点，点A坐标为(1,0)，与y轴交于点C(0,−3)．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图①，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠PAB=2∠ACO．求点P的坐标；（3）如图②，点Q为x轴下方抛物线上任意一点，点D是抛物线对称轴与x轴的交点，直线AQ、BQ分别交抛物线的对称轴于点M、N．请问DM+DN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．（1）∵抛物线y=x2+bx+c经过点A(1,0)，C(0,−3)，得1+b+c=0解得：b=2∴抛物线的函数表达式为y=x2+2x−34；分（2）①若点P在x轴下方，如图1延长AP到H，使AH=AB，过点B作BI⊥x轴，连接BH，作BH中点G连接AG并延长AG交BI于点F，过点H作HI⊥BI于点I∵当x2+2x−3=0，解得：x1=−3，x2=1∴B(−3,0)∵A(1,0)，C(0,−3)∴OA=1，OC=3AC=10AB=4∴Rt△AOC中，sin∠ACO=OAAC=1010，cos∠ACO=OC∵AB=AH，G为BH中点∴AG⊥BH，BG=GH∴∠BAG=∠HAG，即∠PAB=2∠BAG∵∠PAB=2∠ACO∴∠BAG=∠ACO∴在Rt△AB中，∠AGB=90∘，sin∠BAG=BGAB=∴BG=1010AB=2∴BH=2BG=410∵∠HBI+∠ABG=∠ABG+∠BAG=90∘，∴∠HBI=∠BAG=∠ACO，∴Rt△BHI中，∠BIH=90∘，sin∠HBI=HIBH=10cos∠HBI=BIBH=3∴HI=1010BH=45，BI=310∴xH=−3+45=−115，yH=−即H(−115,−12设直线AH解析式为y=kx+a，得k+a=0解得：k∴直线AH：y=34x−3联立：y解得：x1=1y∴P(−94,−39综上所述，点P的坐标为(−94,−3916)或（﹣154(3)825.（本小题满分12分）皮埃尔