初中数学北师大九年级上册（2023年修订） 图形的相似北师大初三年级上册教学设计

目录

一、教材内容和内容解析............................-1-

二、教学目标和目标解析............................-1-

三、学生学情分析...................................-2-

四、教学策略分析...................................-3-

五、教学过程设计...................................-3-

（一）教学流程示意图.............................一3一

（二）教学过程及设计意图...........................-4-

（三）板书设计................................-10一

六、教学目标检测设计..........................-10-

七、教学设计思路说明.........................-13-

八、教学反思......................

附件一：教材内容...............................-15_

附件二：部分课堂活动照片.......................-17-

《探索三角形相似的条件》教学设计

（北师大版数学九年级上册•第四章第四节第1课时）

一、教材内容和内容解析

1.教学内容

本节课选自北师大版教材《数学九年级（上）》第四章图形的相似第四节第

1课时，其主要教学内容为探索三角形相似的条件及运用三角形相似的条件解决

简单的问题.

2.教学内容分析

三角形相似的条件是研究相似三角形的重要内容.“探索三角形相似的条件”

的学习是学生在七年级下期学习了探索三角形全等的条件的基础上，在知识和方

法上的一次拓展延伸，是判定三角形相似的起始课。相似三角形的研究是第一次

让学生从全等三角形“能够完全重合”的直观感受到“形状相同、大小不同”的

抽象体验，是图形理解上的一次升华，也是思维上的一次飞跃.本节内容既是前

面知识的延伸和拓展也是后续研究三角形相似的其他判定定理和探究图形问题

的奠基课.

本节课的教学内容蕴含了丰富的数学思想方法，体现了众多的数学核心素养.

这节课不仅可以发展学生探索和归纳能力，而且有助于帮助学生进一步体会类比

思想、分类思想、特殊到一般和转化思想.与此同时，让学生经历探索三角形相

似条件的全过程，能培养学生的直观想象、数学抽象、逻辑推理、数学运算及数

据分析等核心素养.

综上所述，本节无论是知识与方法的传承，还是能力的发展、思维的训练、

思想方法的渗透，都属于图形与几何部分中的重要内容，有着承上启下的重要作

用.

教材中相似三角形判定定理的证明这一内容安排在第五节，但结合我班学

情，故将教材中两个课时的内容略做整合。

二、教学目标和目标解析

（-）教学目标

1.通过类比三角形全等条件的探索方法，经历三角形相似条件的探索过程，

掌握探索的基本方法，掌握相似三角形的判定定理；

2.通过自主探索、合作交流，进一步体会类比、分类、特殊到一般、转化

的思想方法；

3.能够运用三角形相似的判定定理解决简单的问题.

（二）教学目标解析

1.达成目标1的标志是：类比三角形全等条件的探究过程，由少到多逐步探

索三角形相似的条件，经历猜想、验证、证明的探索过程，得到相似三角形的判

定定理.

2.达成目标2的标志是：运用类比思想得到探索三角形相似条件的方法，能

对探索条件进行分类讨论，能由特殊的例子得到猜想、再实践操作进一步验证、

最后到一般的证明得到判定定理.

3.达成目标3的标志是：能利用两角分别相等的两个三角形相似这个定理,

进行基本的计算或证明，解决书上习题.

三、学生学情分析

学生在七年级下期学习了平行线以及全等三角形、平行四边形的相关知识，

能够利用平行线的性质证明角相等或者互补，利用全等三角形、平行四边形的知

识证明线段相等、角相等；在本学期又学习了成比例线段、平行线分线段成比例、

相似多边形的相关知识.另一方面，通过七、八年级的学习，学生已经初步具有

通过观察，操作等活动进行独立思考、合作交流的能力，对于几何图形的学习研

究和思想方法已经具有初步的经验，具备用己有知识解决新知识的能力，这为本

节学习奠定了知识基础和基本技能.

我班学生数学基础较扎实，思维活跃，但学生对相似三角形还比较陌生，对

新的数学问题的探究有一定的困难，因此，需要对学生进行引导，让学生感受到

一以贯之的研究思路、思想和方法；在验证和证明定理时，如何从特殊到一般，

如何合理运用辅助线证明线段成比例，进而证明三角形相似,对学生的数学素养、

数学思维要求较高，部分学生可能存在一定的困难.所以，教学时通过设置层层

递进的问题和活动搭设“台阶”，采用教师引导、合作交流等方式来突破难点.

教学重点及难点

1.教学重点：类比三角形全等条件的探索方法，经历三角形相似条件的探索过

程，掌握相似三角形的判定定理；能够运用定理解决简单问题；体会类比、分类、

特殊到一般、转化的思想方法.

2.教学难点：理解探索三角形相似的条件的过程与方法，证明两角分别相等的两

个三角形相似的判定定理.

四、教学策略分析

基于上述学情，本节课主要采用引导、探究式教学方法引导学生自主探究，

合作交流，探索并运用相似三角形的判定定理.

（1）突出重点：类比三角形全等条件的探索过程，将条件由少到多逐步分

类探究.在这一思想的引导下，学生能掌握有向有序的探究方法，从而设置探索

活动，引导学生在自主探索和合作交流的基础上经历“猜想一验证一证明”的

探究过程.通过特殊的三角形得到猜想，再引导学生充分经历有思考的画图进

一步验证，最后通过严格的证明得到一般性结论，在这一探索过程中，渗透“类

比”、“分类”、“特殊一般”、“转化”的数学思想方法.最后运用定理解决

简单的计算和证明问题.

（2）突破难点：通过设置层层递进的问题和活动搭设“台阶”引导学生

探究和证明.在探究“两角分别相等的两个三角形相似"环节，通过设问：“当

仅凭想象难以解决时，我们可以怎么办？”、“仅由一个例子可以得到结论吗？”

“这样的例子还有很多，我们能说明任意的两个两角相等的三角形一定相似

吗？”培养学生形成探究的基本策略，渗透合情推理在探究活动中的重要地位，

体会证明是探索活动的自然延续和必要发展，感受合情推理与演绎推理的辩证

关系.在画图验证过程中，通过设置活动“尝试一下能不能一组边都不测量得

到这样的两个三角形三边成比例？”为后面的证明做铺垫、搭“台阶”，设问：

“要证明一个比例式，你能想到借助什么？”为运用辅助线引导方向，从而自

然地突破难点.

本节课运用多媒体课件教学，引导学生思考探索方法；借助投影仪辅助实现

师生之间，生生之间的成果共享，交流互助等.

五、教学过程设计

（-）教学流程示意图

结合教材内容和教学目标，以及本班学生的学情，本课的教学环节及时间分

配如下：

生活情境实践探索实践探索

导入新课去伪存真（合情।去伪存真（演绎

（2分钟）推理13分钟）推理10分钟）

启轲

归纳总结随堂练习

内化吸收巩固提升y।运用新知

（3分钟）（5分钟）（7分钟）

（二）教学过程及设计意图

教学

课堂内容、教师活动学生活动设计意图

环节

（1）同学们，能不能根（1）回忆、思考并（1）生活情境导入新课，

据相似多边形的定义，解

作答（齐答）.激发学生学习兴趣，引发学

答老板的疑惑：什么叫做

1.相似三角形？（2）根据定义得到生回忆相似多边形的概念，

生活（2）具体说说判定两个基本的判定方法（齐顺势引出相似三角形的定

情境三角形相似需要哪些条答）.义.

件？（教师根据学生的作（3）思考：能否类（2）根据情景实际需要，

导入答板书符号语言）比三角形全等条件的自然引出对三角形相似条

血（3）引导学生思考：是探索方法，用尽可能件的思考.

否一定需要定义中的全部少的条件来判定两个（3）确定本堂课的研究

条件？能不能用更少的条三角形相似呢？回忆思路：类比三角形全等条件

件判定两个三角形相似当时是怎么做的？的探索过程，来研究三角形

呢？我们在哪里遇到过类相似的条件.激发学生的兴

似问题？趣和求知欲，为本节课后续

的学习埋下伏笔.

教学

课堂内容、教师活动学生活动设计意图

环节

(1)类比三角形全等条

件的探索，由少到多逐步

分类探索.一个条件有几

(1)一个条件时，

种情况？一个角相等的两

学生自主思考，分类(1)引导学生类比三

个三角形相似吗？两边成

讨论，举手发言，举出角形全等条件的探究过程，

比例的两个二角形相似

反例.两个条件时，学渗透类比、分类讨论的思

吗？我们要否定一个结

生举手发言如何分想.

论，可以用什么方法？两

类.

个条件又有哪些情况？

(教师板书分类)

（2）两角分别相等的

两个三角形相似吗？（教

鼓励学生在自主

师设置层层递进的问题（2）

2.探究的基础上再合作交

和活动（“当仅凭想象难

实践

流，培养学生形成探究的

以解决时，我们可以怎么

探索

基本策略，渗透合情推理

办？”、“仅由一个例子

在探究活动中的重要地

去伪可以得到结论吗？"、“尝（2）学生先独立完

成：借助量角器、直

存真试一下能不能一组边都位.

尺、三角板等工具动

通过设计开放的作图探

不测量得到这样的两个

手操作，观察测量，究活动，引导学生体会同学

三角形三边成比例？”）自主探究；再和同伴

间不同的角度取值既可以

引导学生从特殊的三角间相互交流，分享彼

增加可供归纳的例子，又是

形入手得到猜想，再通过此得到的结果，然后对所得猜想的进一步脸证，

画图实践操作进一步验倾听学生代表发言及借此机会要使学生进一步

老师的点评并思考：

证.教师巡视、个别指导，明确：归纳推理不能仅仅依

“能不能一组边都不

据一个例子，而应以尽可能

过程注意发现具有代表

测量得到这样的两个多的例子为基磔.

性的成果，作为教学素

三角形三边成比例”；预设学生会有不同的作

材，并请学生利用投影仪

最后小组合作探讨怎图方式（①用量角器画出含

展示交流，教师在学生作样做辅助线，小组代具体度数的三角形②通过

表上台展示成果，全

品的基础上挖掘，为后续做平行线的方式作出两角

班交流.

的证明做铺垫、搭“台相等的三角形）以学生的成

（3）学生独立思果作为教学素材，贴近学生

阶”，教师参与小组交流、

考，举手发言.

的思维发展区.引导学生体

倾听学生讨论）

（4）完成得到定理会角度的特殊到一般、突出

（3）这样的例子还有很的方法总结与归纳，

平行线的作用，通过设置层

多，我们能说明任意的两

记录定理内容.层递进的问题和活动为后

个两角相等的三角形一定

面的证明做铺垫、搭“台

相似吗？（教师引导学生

阶”.

进行证明，对学生的回答

（3）让学生体会证明活

进行评价和点拨）

动是探索活动的自然延续

（4）得出定理，规范定

和必要发展，感受合情推理

理的符号语言.（教师梳理

探索的过程，板书定理内与演绎推理的辩证关系.

容）通过前面的活动和教

师的问题引导，学生不难

想到通过构造全等三角

形，将“一般”的问题转

化为具有特殊位置的情

况进行解决,渗透两个三

角形位置的特殊到一般、

转化的思想方法.从而

自然地突破难点.

让学生亲身经历和体

验猜想，验证，证明这一

探索过程，培养学生形成

探究的基本策略，渗透特

殊到一般、转化的思想，

培养学生直观想象、数学

抽象、数学运算、数据分

析、逻辑推理素养。

教师在此环节仅是作为

引导者和组织者，充分发挥

学生课堂学习的主体性.达

成教学目标1、2

教学

课堂内容、教师活动学生活动设计意图

环节

通过习题应用检验学生

3.能否利用判定定理解决简

随堂1、下面两组图形中的两个

单的问题，培养竽生的数学

三角形是否相似？为什

练习

么？应用意识.几个练习，层层

、一m递进，分别从图形、文字、

运用K

新知符号语言方面检测学生学

①②

习情况.

2、判断下列说法是否正

确，并说明理由。通过书写严格的推理过

（1）有一个锐角相等的两

学生随堂练习，用程，可以加强几何推理书写

个直角三角形相似。（）

本节课学到的判定定

（2）有一个角为100。的习惯的培养.

两个等腰三角形相似。（）理解决相关问题.

（3）有一个角相等的两个学生齐答、举手发

等腰三角形相似。（）

言、上台展示相结合.

3、如图,D,E分别是4ABC

的边AB,AC上的点，DE

//BC,AB=7,AD=5,

DE=10,求BC的长.

*-------

教学

课堂内容、教师活动学生活动设计意图

环节

4、将两个全等的等腰直角

三角形搜成如图所示的样

子（图中的所有点、线都

在同一平面内），请在图

中找出两对相似而不全等

的三角形，并说明它们相

似的理由.

A

3.

随堂通过几个追问，强化对判

练习少定定理的掌握.进一步优化

学生举手发言

学生思维，提高能力，补充

巩固相似的传递性.

（教师对学生的回答进

提升行点评和适当点睛，对习

题进行适当变式和拓展，

加深学生对知识的理解和

延伸.2（3）题追问：能

不能把条件改一下，使得

这两个等腰三角形一定相

似？4题追问：图中除了

这两对相似还有其他相似

而不全等的三角形吗？）

教学

环节课堂内容、教师活动学生活动设计意图

学生畅所欲言.

1.学习了相似三角形回顾本课学习的知识

的•个判定定理；及应用到的数学思想和数

4.

2.探究的一般方法：学方法.学生小结，教师补

请同学分享通过本节

归纳猜想、验证、证明；

充、提炼、升华，并对后面

总结课的学习，在知识与方法

3.思想方法：类比、

上的收获和感悟，并对学将会学习到的知识进行预

分类、特殊到一般、

生的总结进行提炼归纳和测，使所学知识系统化.通

内化转化思想；

吸收升华，对后面将会学习的过小结，帮助学生将所学知

4.还想学到：相似三

相似的相关知识进行预

角形的其他判定方识纳入自己的认知结构之

测.

法，并可以将相同的中还要能提出新的问题，弓1

探索方法以及思想方发学生新的思考.

法应用到以后的学习

当中.

（三）板书设计

§探索三角形相似的条件（1）

ZJ=ZD,4B=ZE,4C=ZF

ABAC_BC

~DE~~DF~~EF

3.定理：两边分别相等的两个三角形相似

WBGfUADEF中

2.类比探索

Z4=ZD

「个角相等

ZB=ZE

［两边成比例

：.AABCsADEF

两角分别相等

2个条件•一个角相等+两边成比例

两边成比例+另两边成比例

六、教学目标检测设计

1.随堂检测设计

1、下面两组图形中的两个三角形是否相似？为什么？

2、判断下列说法是否正确，并说明理由。

（I）有一个锐角相等的两个直角三角形相似。（）

（2）有一个角为100°的两个等腰三角形相似。（）

（3）有一个角相等的两个等腰三角形相似。（）

3、如图，D,E分别是AABC的边AB,AC上的点，DE/7BC,AB=7,AD=5,DE=1(),

求BC的长.

4、将两个全等的等腰直角三角形摆成如图所示的样子（图中的所有点、线都在

同一平面内），请在图中找出两对相似而不

全等的三角形，并说明它们相似的理由.

设计意图：

通过习题应用检脸学生能否利用判定定理解决箱单的问题，培养学生的数学应

用意识.几个练习，层层递进，分别从图形、文字、符号语言方面检测学生学习

情况.通过几个追问，强化对判定定理的掌握.进一步优化学生思维，提高能力，

补充相似的传递性.

2.课后检测设计

《启航新课堂》第88页1T1,12题作为思考题.

七、教学设计思路说明

《义务教育数学课程标准》（2023年版）提出：“数学探究是一种重要的

学习方式，也是义务教育阶段课程的重要内容。”新的理念要求在教学中逐步

地提高学生的探究能力，让学生亲身经历和体验数学探究活动，提升数学学习

兴趣，增进对数学的情感，理解数学的本质，学习数学探究的方法。作为教师，

在探究活动的设计上要让活动具有目标性，符合学生的已有认知I,符合学生的

认知规律，并能渗透数学思想，让学生实现知识的内化，达到真实探究的目的，

发展学生思维，提高学生能力。

本节课的设计实施思路是：在教学中充分发挥学生的主体作用和教师的主

导作用.采用引导、探究式的教学方式，教师为学生的探索和讨论提供条件，

使学生在自主探索和合作交流的基础上经历“猜想一验证一证明”的探究过程.

在生活情境，导入新课环节，运用贴近学生生活的例子创设情境，激发学生

学习兴趣，自然引发学生回忆相似多边形的概念，得到相似三角形的定义.再根

据情景实际需要，顺势引出对三角形相似条件的思考.通过提问“我们在哪里遇

到过类似的问题？”确定本堂课的探究思路：类比三角形全等条件的探索过程，

来研究三角形相似的条件.激发学生的探究兴趣和求知欲，为本节课后续的学习

埋下伏笔.

在实践探索，去伪存真环节，引导学生类比三角形全等条件的探究过程，渗

透类比、分类讨论的思想。探究一个条件能否判定三角形相似时，学生自主思考,

通过举反例的方法得出否定结论，涉及直观想象、数据分析素养；探究两角分别

相等的两个三角形是否相似时，通过设置层层递进的问题和活动引导学生从特殊

的三角形入手得到猜想，再通过画图实践操作进一步验证，最后再进行严格的证

明.教师在此环节仅是作为引导者和组织者，充分发挥学生课堂学习的主体性.

培养学生形成探究的基本策略，渗透合情推理在探究活动中的重要地位，体会证

明是探索活动的自然延续和必要发展，感受合情推理与演绎推理的辩证关系.鼓

励学生在自主探究的基础上再合作交流.让学生亲身经历和体验探索过程，培养

学生形成探究的基本策略，渗透特殊到一般、转化的思想，培养学生直观想象、

数学抽象、数学运算、数据分析，逻辑推理素养。

在随堂练习，运用新知环节通过习题检验学生能否利用定理解决简单的问

题，培养学生的数学应用意识.几个练习，层层递进，分别从图形、文字、符号

语言方面检测学生学习情况.涉及数学运算、逻辑推理素养.

在随堂练习，巩固遑升环节通过课后习题的追问，强化对判定定理的掌握.进

一步优化学生思维，提高能力，补充相似的传递性.

在归纳总结，内化吸收环节，通过小结梳理使学生对本节课所学知识、运用

到的思想、方法有一个清晰的认识，引导学生建构起自己的知识经验，形成知识

体系，从感性认识上升到理性认识，并对后面将会学习到的知识进行预测.通过

小结，帮助学生将所学知识纳入自己的认知结构之中还要能提出新的问题，引发

学生新的思考.

八、教学反思

整堂课中，学生对类比学习的方式很有热情，探究主动，互动踊跃，小组讨

论、合作交流表现积极.在本节课的教学过程中，通过三角形相似条件的探索，

为学生提供主动学习的机会，让学生经历探究的过程，培养学生形成探究的基本

策略.以学生的成果作为教学素材，展现学生作品背后的思维过程，渗透数学思

想方法，在教学中体现数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算和数据分析等

核心素养.

总的说来有如下几点反思：

1.以贴近学生生活的情境引入，激发学生学习兴趣，自然引发学生的思考.

生活情境导入新课，激发学生学习兴趣，引发学生回忆相似多边形的概念，

顺势引出相似三角形的定义.根据情景实际需要，“要满足这么多条件啊？”自

然引出对三角形相似条件的思考.感受数学来源于生活又最终服务于生活.在从

验证到证明的过渡中，通过情景“万一老板做出来的三角形形状和我们设计的图

样形状不一样就糟糕了”，让学生结合生活实际体会证明的必要性.使学生更能

深刻理解证明是探索活动的自然延续和必要发展.

2.让学生亲身经历和体验探索过程，重视数学活动经验的积累，渗透数学

思想方法.

通过设问：“我们在哪里遇到过类似的问题？”引导学生类比三角形全等条

件的探究过程，渗透类比、分类讨论的思想.通过设置层层递进的问题和活动引

导学生从特殊的三角形入手得到猜想，再通过画图实践操作进一步验证，最后再

进行严格的证明.教师在此过程中作为引导者和组织者，充分发挥学生课堂学习

的主体性.培养学生形成探究的基本策略.结合我班学情，将后面证明的部分整合

到本课时，让学生亲身经历和体验探索过程，通过独立探究、合作探究、倾听交

流等方式积累丰富的数学活动经验，在过程中体会特殊到一般、转化的思想.

3.以学生的探究成果作为教学素材，设置问题、活动，达到教学目标.

在验证环节，学生上台展示，不仅展示探索结果，还展示学生的思维过程.

追问“你怎么想到做平行线的？”，让学生充分表达自己的思维过程，以学生

的成果作为教学素材，引导学生体会角度的特殊到一般、突出平行线的作用，

为后续的证明做铺垫.在学生作出“A”型图时，抓住教学契机，教师在学生利

用平行线分线段成比例，己经少量一组边的基础上进一步挖掘，追问：“尝试

一下能不能一组边都不测量得到这样的两个三角形三边成比例？"、“要证明

一个比例式，你能想到借助什么？”，以学生已有的认知为生长点，贴近学生

的思维发展区.通过设置层层递进的问题和活动引导学生作出辅助线，为后面

的证明做铺垫、搭“台阶”.在证明环节通过前面的活动和教师的问题引导，

学生不难想到通过构造全等三角形，将“一般”的问题转化为具有特殊位置的

情况（“A”型图）进行解决，符合学生的已有认知，符合学生的认知规律，

从而自然地突破难点.

过程中渗透两个三角形位置的特殊到一般、转化的思想方法.发展学生思

维，提