简单的线性规划问题 教学设计

3.3.2简单的线性规划问题

喙堂诙戛・柏校有课前白匕学习，基稳才能楼高

预习课本P87〜91,思考并完成以下问题

(1)约束条件，目标函数，可行解，线性规划问题是如何定义的？

(2)如何求解线性目标函数的最值问题?

［新加切探］

线性规划的有关概念

名称意义

约束条件变量X,)，满足的一组条件

线性约束条件由X,V的二元一次不等式(或方程)组成的不等式组

目标函数欲求最大值或最小值所涉及的变量X,y的解析式

线性目标函数关于x,y的二元一次解析式

可行解满足线性约束条件的解(x,y)

可行域所有可行解组成的集合

最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解

线性规划问题在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题

［点睛］(1)线性约束条件包括两点：一是变量x,y的不等式(或等式)，二是次数为1.

(2)目标函数与线性目标函数的概念不同，线性目标函数在变量x,y的次数上作了严格

的限定：一次解析式，即目标函数包括线性目标函数和非线性目标函数.

(3)可行解必须使约束条件成立，而可行域是所有的可行解组成的一个集合.

［小钱，多］

1.判断下列命题是否正确.(正确的打“，错误的打“X”)

(1)可行域是一个封闭的区域()

(2)在线性约束条件下，最优解是唯一的()

(3)最优解一定是可行解，但可行解不一定是最优解()

(4)线性规划问题一定存在最优解()

解析：(1)错误.可行域是约束条件表示的平面区域，不一定是封闭的.

⑵错误.在线性约束条件下，最优解可能有一个或多个，也可能有无数个，也可能无

最优解，故该说法错误.

(3)正确.满足线性约束条件的解称为可行解，但不一定是最优解，只有使目标函数取

得最大值或最小值的可行解，才是最优解，所以最优解一定是可行解.

(4)错误.线性规划问题不一定存在可行解，存在可行解也不一定存在最优解，故该说

法是错误的.

答案：(1)X(2)X(3)V(4)X

x+jWl,

贝陵=x+2y的最小值为（）

x+120,

A.3IB.1

C.一5D.-6

解析：选C由约束条件作出可行域如图：

由z=x+2y得)，=一%+会为几何意义为直线在)轴上的微

距，当直线)，=—$+楙过直线x=—l和x—y=1的交点4(—1,

—2)时，z最小，最小值为一5,故选C.

3.若,y，0,则z=x—y的最大值为()

.x+yWL

A.-1B.1

C.2D.-2

解析：选B根据题意作出不等式组所表示的可行城如图阴影

部分所示.令z=0,作直线/:J，一x=0.当直线/向下平移时，所对

应的z=x-j的函数值随之增大，当直线/经过可行域的顶点M时，

z=x—y取得最大值.顶点M是直线x+y=l与直线y=0的交点，

[x+y=l,

解方程组彳得顶点M的坐标为(1,0),代入z=x-y,得

ly=o,

Zinax=1•

卜+)区4,

4.己知点P(x,」)的坐标满足条件点O为坐标原点,那么PO的最小值

等于,最大值等于.

解析：如图所示，线性区域为困中阴影部分，PO指线性区域内的

点到原点的距离，所以最短为严乔=也，最长为产后=师.

答案：也屈

课堂讲练设计，举一能通类题

题型一求线性目标函数的最大(小)值

x—4y/一3,

［典例］设z=2x+y,变量x,y满足条件3*+5)W25，求z的最大值和最小值.

［解I作出不等式组表示的平面区域，即可行域，如图所示.把z=2x+_y变形为)，=一

2x+z,则得到斜率为一2,在y轴上的截距为“且随z变化的一组平行直线.由图可以看

出，当直线z=2x+y经过可行域上的点4时，截距z最大，经过点〃时，截距z最小.

无一4)，+3=0

解方程组".''得4点坐标为(5,2),

3x+5y-25=0,

x=1

解方程组：二得8点坐标为(1,1),

x—4」+3=0,

z最大值=2X5+2=12,z最小值=2X1+1=3.

——@©0©--------------------------------------------------------

解线性规划问题的基本步骤

(1)画：画出线性约束条件所表示的可行域.

(2)移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，用平移的方法找出与可行域有公共点

且纵截距最大或最小的直线.

(3)求：通过解方程组求出最优解.

(4)答：根据所求得的最优解得出答案.

［活学活用］

工一2《0,

y-lWO,目标函数t=x-2y的最大值为2,则

（x+2y一心0,

实数〃的值是（）

A.0B.1

C.2D.3

解析：选C作出满足条件的可行域（如图），由目标函数1=x

—2yf得直线,=5—5在点（2,气2）处取得最大值，即fmax=2

a-2,

-2X—z-=4-a=2,得a=2,故选C

x—

2.已知实数x,j满足约束条件•2x+yW4,则目标函数z=x+3j的最大值为

解析：由约束条件作出可行域如图阴影部分所示:

由z=x+3y,得尸一%+学，平移直线x+3y=0可知，当直线y=—经过A点

2x+y=4,

时Z取最大值.由得A(l,2),所以Zmax=l+2X3=7.

[x=lf

答案：7

题型二求非线性目标函数的最值

题点一：距离型最值

x-y+5'O,

1.设x,y满足条件x+720，求〃=工2+）,2的最大值与最小值.

.xW3.

解：画出满足条件的可行域如图所示，x2+y2=〃（除原点）表示一

组同心圆(圆心为原点O),且对同一圆上的点的值都相等，由图可知：当(x,y)在可

行域内取值时，当且仅当圆。过。点时，〃最大.取(0,0)时，〃最小,又C(3,8),所以〃max

=73,〃min=0.

题点二：斜率型最值

2.在题点一的条件下，求。=士的最大值与最小值.

解：0=士表示可行域内的点P(x,刃与定点0(5,0)连线的斜率，由图可知，最大，

XO

Aco最小,又C(3,8),3(3,-3),

—---------------------------------------------------------------------

非线性目标函数最值问题的求解方法

(1)非线性目标函数最值问题，要充分理解非线性目标函数的几何意义，诸如两点间的

距离(或平方)，点到直线的距离，过已知两点的直线斜率等，充分利用数形结合知识解题，

能起到事半功倍的效果.

(2)常见代数式的几何意义主要有：

①正阡了表示点(x,刃与原点(0,0)的距离；

1(x—a)2+(y—6)2表示点(x,y)与点(〃，，)的距离.

表示点(x,刃与原点(0,0)连线的斜率；三上表示点(x,y)与点m,b)连线的斜率.这

XXC1

些代数式的几何意义能使所求问题得以转化，往往是解决问题的关键.

题型三线性规划的实际应用

［典例］某研究所计划利用“神十一”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品

A,B,要根据该产品的研制成本、产品质量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安

排，通过调查，搭载每件产品有关数据如表：

产品4件)产品8(件)

研制成本、搭载计划最大投资

2030

费用之和(万元)金额300万元

最大搭载质量

产品质量(千克)105

110千克

预计收益(万元)8060

试问：如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，最大收益

是多少？

［解］设“神十一”宇宙飞船搭载产品A,8的件数分别为x,j,最大收益为z,则目

'20x+30y《300,

10x+5j<110,

标函数为z=80x+609,根据题意可知，约束条件为4即

x20,丁20,

IxWN,jeN,

"2x+3yW30,

2x+yW22,

、八作出可行域如图阴影部分所示,

GO,y》0,

、x£N,jEN,

作出直线/:80x4-60v=0,并平移直线/,由图可知，当直线过点"时，z取得最大值,

2x+3_y=30,

解得M(9,4),所以Zmax=80X9+60X4=960,即搭载A产品9件，8产品

2*+y=22,

4件，可使得总预计收益最大，为960万元.

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(1)解答此类问题，在按解决线性规划实际问题的步骤进行解题时，应注意以下几点：

①在线性规划问题的应用中，常常是题中的条件较多，因此认真审题非常重要.

②线性约束条件中有无等号要依据条件加以判断.

③结合实际问题，判断未知数右y等是否有限制，如X,)，为正整数、非负数等.

(2)寻找整点最优解的两个方法

①平移找解法：先打网格，描整点，平移直线/,最先经过或最后经过整点便是最优整

点解，这种方法应充分利用非整点最优解的信息，结合精确的作图才行，当可行域是有限

区域且整点个数又较少时，可逐个将整点坐标代入目标函数求值，经比较求最优解.

②调整优值法：先求出整点最优解及最优值，再借助不定方程的知识调整最优值，最

后筛选出整点最优解.

［活学活用］

一小商贩准备用50元钱在一批发市场购买甲、乙两种小商品，甲每件4元，乙每件

7元，甲商品每件卖出去后可赚1元，乙每件卖出去后可赚1.8元.若要使赚的钱最多，那

么该商贩购买甲、乙两种商品的件数应分别为（）

A.甲7件，乙3件B.甲9件，乙2件

C.甲4件，乙5件D.甲2件，乙6件

解析：选D设甲商品x件，乙商品y件，所赚钱数为z,则目标函数为z=x+L8y,

约束条件为,

xeN,j£N,

课后层级训练，步步提升能力

层级一学业水平达标

x+220,

1.设变量x,j满足约束条件•X-j+32O,则目标函数z=x+6y的最大值为（）

.2x+y-3W0,

A.3B.4C.18D.40

解析：选C由题意作出不等式组袅示的平面区域如图阴影

部分所示.

作直线x+61y=0并向右上平移，由图可知，过点A（0,3）时z

=x+6），取得最大值，最大值为18.

2.某服装制造商有10nF的棉布料，10nF的羊毛料和6m2的丝绸料，做一条裤子需

要1nP的棉布料，2n?的羊毛料和1n?的丝绸料，做一条裙子需要1m?的棉布料，1m2

的羊毛料和1nN的丝绸料，做一条裤子的纯收益是20元，一条裙子的纯收益是40元，为

了使收益达到最大，若生产裤子x条，裙子），条，利润为Z,则生产这两种服装所满足的数

学关系式与目标函数分别为（）

>+yW10,

2x+y<10,

Z=20x+40y

x+)W6,

、x,y£N

x+y210,

2x+y210,

Z=20x+40y

x+)W6,

、x,j^N

x+jWlO,

2x+y/10，z=20x+40j

Ix+)W6

"x+yWlO,

2x+y<10,

z=40x+20y

x+)W6,

、x,y£N

解析：选A由题意知A正确.

x-y+2W0,

工21，则:的取值范围是()

x+j-7^0,

A&,61IB.(-8,|]u[6,+8)

C.(一8,3]U[6,4-oo)D.(3,6]

解析：选A作出可行域，如图中阴影部分所示，)可理解为可

行域中一点与原点的连线的斜率，又雄，?，4(1,6),故2的取值

范围是[2，6.

4.某学校用800元购买A,3两种教学用品，A种用品每件100元，6种用品每件160

元，两种用品至少各买一件，要使剩下的钱最少，A,月两种用品应各买的件数为()

A.2,4B.3,3

C.4,2D.不确定

解析：选B设买A种用品x件，B种用品j件，剩下的钱为z元，则

'100x+160yW800,

代1,

、x,jGN8.

求z=80。-lOOx—160)，取得最小值时的整数解(x,y),用图解法求得整数解为(3,3).

x>L

5.已知“x—y+120,若z=ar+y的最小值是2,则。的值为()

2x—y—2W0,

B.2

C.3D.4

解析：选B作出可行域，如图中阴影部分所示，又2="+

y的最小值为2,若2,则(1,0)为最优解，所以。=2;若“W

2

-2,则(3,4)为最优解，触得。=一不舍去，故。=2.

7W0,

6.若点尸前，〃)在由不等式组一—27+5/0,所确定的区

2工一丁+120,

域内，则〃一m的最大值为.

解析：作出可行域，如图中的阴影部分所示，可行域的顶点坐标分别为A(l,3),5(2,5),

C(3,4),设目标函数为z=y—x,则y=x+z,其纵截距为z,由图易知点P的坐标为(2,5)时,

n—m的最大值为3.

答案：3

*21,

7.已知x,丁满足约束条件，x—y+lWO,则/+),2的最小值是

,2x—j—2^0,

解析：画出满足条件的可行域(如图)，根据正巧表示可行域内

一点到原点的距离，可知好+炉的最小值是nop.

2x-y-2=0

X=l,

由

x-y+l=O,

得4（1,2）,所以|4。|2=5.

答案：5

8.铁矿石4和B的含铁率a,冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的

价格c如下表:

a6万吨）“百万元）

A50%13

B70%0.56

某冶炼厂至少要生产1・9（万吨）铁，若要求CO2的排放量不超过2（万吨），则购买铁矿石

的最少费用为（百万元）.

解析：设购买铁矿石A,8分别为X,＞，万吨，购买铁矿石的

费用为z（百万元），

’03+0.7/芬1・9,

x+0.5yW2,

则3

x20,

j，0.

目标函数z=3x+6y.

0.5x4-0.7j=1.9,[x=1,

由nc、得，记尸（1，2）,

x+0.5y=2,ly=2.

画出可行域，如图所示.当目标函数z=3x+6y过点?（1,2）时，z取到最小值，且最

小值为Zmin=3X1+6X2=15.

答案：15

9.若x,丁满足约束条件，工一了2—1，

2x—y^2.

⑴求目标函数z=；x-y+；的最值；

乙乙

⑵若目标函数z="+2），仅在点（1,0）处取得最小值，求。的取值范围.

解：（1）作出可行域如图,可求得4（3,4）,5（0,1）,C（l,0）.

平移初始直线y+；=0,过A（3,4）取最小值-2,过C（l,

0）取最大值1.

，Z的最大值为1,最小值为一2.

⑵直线ax+2y=z仅在点（1,0）处取得最小值，由图象可知一Iv一弓＜2,解得一4vav2.

故所求a的取值范围为（-4,2）.

10.某人承担一项业务，需做文字标牌4个，绘画标牌5个.现有两种规格的原料，

甲种规格每张3m2,可做文字标牌1个，绘画标牌2个；乙种规格每张2m2,可做文字标

牌2个，绘画标牌1个，求两种规格的原料各用多少张，才能使得总用料面积最小.

解：设需要甲种原料x张，乙种原料y张，则可做文字标牌（x+

x+2y，4,

2），）个，绘画标牌（2x+y）个，由题意可得、*20,

卜20，

L,—

所用原料的总面积为z=3x+2y,

作出可行域如图.

在一组平行直线3x+2y=z中，经过可行境内的点且到原点距离最近的直线.

过直线2x+y=5和直线x+2y=4的交点（2』），

・••最优解为x=2,j=l,

・•・使用甲种规格原料2张，乙种规格原料1张，可使总的用料面积最小.

层级二应试能力达标

x+2y22,

2x+y《4,则目标函数z=3x-y的取值范围是（）

4x——1,

-3-

1BJ--T1

L

2,-

fl

C.[-1,6]

解析：选A作出可行域如图所示.

目标函数z=3x—y可转化为y=3x—zf作/o：3x—y=0,在

可行域内平移Io,可知在A点处z取最小值为一白，在B点处z

取最大值为6.

x20,

2.已知实数x,『满足条件若目标函数z

2x-2y+l/0,

=机工一），（mWO）取得最大值时的最优解有无穷多个，则实数m的值为（）

C.-3D.—1

解析：选A作出不等式组表示的平面区域如国阴影部分(包含

边界)所示，由图可知当直线z(mHO)与直线2x—2y+l=O

重合，即时，目标函数z="ix—y取最大值的最优解有无穷多

个，故选A.

X-27+12O,

3.已知实数x,y满足：<x<2,z=|2x-2j-l|,则z的取值范围是()

.x+y—120,

A5

[?]B.[0,5]

噂5)

C.[0,5)

解析：选C作出满足约束条件的可行域，如图中阴影部分

所示.令u=2x—2y—lf当直线2x—2j—1—//=()经过点A(2,

—1)时，〃=5,经过点端，§时，zz=—

则一/W“v5,所以z=|〃|W[0,5),故选C.

x+y—2W0,

4.x,y满足约束条件，2y—x+220,若z=y-2ax取得最大值的最优解不唯一，则

.2工一)，+220,

实数〃的值为()

B.1或—；

C.2或1D.2或一1

解析：选B作出可行域，如图中阴影部分所示.由z=j

—2or,得y=2ax+z・当2a=2或2a=-l,即a=l或。=一；时，

z=y—2ar取得最大值的最优解不唯一，故选B.

x—y+120,

5.若实数x,j满足x+y20,则z=3x+”的最小值是

解析：不等式组表示的可行域如图阴影部分所示,

设Z=x+2y,

1/

则-

J+-2

2X

当x=0,y=0时，，*小=0.

z=3-2「的最小值为1.

答案：1

6.某公司计划用不超过50万元的资金投资A,B两个项目，根据市场调查与项目论证,

A,5项目的最大利润分别为投资的80%和40%,而最大的亏损额为投资的40%和10%,

若要求资金的亏损额不超过8万元，且使利润最大，投资者应投资A项目万元，

投资B项目万元.

解析：设投资者对A,B两个项目的投资分别为X,y万元，则由题意得约束条件为

'x+)W50,'x+)W50,

0.4x+0.1j<8,4x+〉W80,

即＜

x20,x，0,

河

Wy

M

40\l上

"”50