中考数学总复习《猜想与证明综合解答题》专项测试卷（带答案）

第页中考数学总复习《猜想与证明综合解答题》专项测试卷（带答案）1．观察下列等式：第1个等式：13+3×1第3个等式：33+3×3按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第5个等式：_____；(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．2．观察以下等式：第1个等式：1×3=4第2个等式：2×4=5第3个等式：3×5=6第4个等式：4×6=7……按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第6个等式：________________；(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示，n为正整数），并证明．3．小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小石的探究过程，请补充完整：(1)具体运算，发现规律．第1个等式2−3第2个等式3−5第3个等式4−7第4个等式5−9第5个等式6−11(2)观察、归纳、得出猜想．第n个等式为_________（用含n的式子表示，n为正整数）(3)证明你的猜想；(4)应用运算规律．若a−23a=b112（a4．观察下列等式11×2=1−(1)猜想并写出1n×(n+1)(2)直接写出计算结果：11×2(3)探究并计算：1(4)计算：15．【特例与观察】（1）用“>”“=”或“<”填空：当x=−2时，代数式x+12当x=1时，代数式x+12…【归纳与证明】（2）换几个数再试试，猜想x+12证明你的猜想；【拓展与应用】（3）直接写出代数式a26．在数学的学习过程中，通过对简单情形的观察、分析，从特殊到一般地探索规律、提出猜想的思想方法称为归纳．特殊发现（1）①填空：1+8=3×3，18=3×6；7+8=3×______，②填空：3+4+8=3×5，348=3×116；7+6+8=3×______，简单猜想（2）从上面的填空题可猜想：若一个两位数或三位数的各位数字之和能被3整除，则这个数_______（填写“能”或“不能”）被3整除．归纳验证（3）有一个三位数（a，b，c分别为其百位，十位，个位上的数字）．若a+b+c可以被3整除，试说明这个三位数可以被3整除．7．观察下列各式x−1x+1x−1xx−1x……(1)根据以上规律，计算：x−1x(2)你能否由此归纳出一般性规律：x−1((3)根据（2）的规律请你求出：1+2+28．观察下列各式及其验证过程：2+23=23+38=3（1）按照上述两个等式及其验证过程，猜想4+4（2）针对上述各式反映的规律，写出用a（a为自然数，且a≥2）表示的等式，并进行验证；（3）用a（a为任意自然数，且a≥2）写出三次根式的类似规律，并进行验证．9．阅读下列材料∶x+1x=c+1x+2x=c+2（1）请观察上述方程与解的特征，猜想方程x−mx=c−mc的解分别为：x1=（2）利用这个结论可得关于x的方程；x+4x=545的解为：x1=（3）利用这个结论求解关于x的方程：x−10．根据要求解答下列问题(1)①方程x2−2②方程x2−3③方程x2−4(2)根据以上方程特征及解的特征猜想：方程x2−9x(3)根据以上探究得出一般结论：关于x的方程x2−1+11．阅读下列材料，解答问题：关于x的方程x3+x=13+1的解是x=1x3+x=(−2)(1)观察上述方程以及解的特征，请直接写出关于x的方程x3(2)猜想：x3(3)①请验证第（2）问猜想的结论；②利用第（2）问的结论，求解关于x的方程(x−1)3+x−1=(a+1)12．阅读材料：古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10……这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16……这样的数称为“正方形数”，查阅资料可知第n个三角形数可以用nn+1发现：①1+3=4=22，②3+6=9=3结论：一个大于1的“正方形数”可以看作两个相邻“三角形数”之和．(1)请你写出第④个等式：______；(2)请你结合材料，用含nn≥1(3)我们知道2025=4513．根据表格中的信息回答问题方程方程的根x1，x第1个方程xx第2个方程xx第3个方程xx………(1)请写出第4个方程：______________，第4个方程的根为x1=______，(2)通过猜想写出第n（n为正整数）个方程及其方程的根，并用公式法解方程证明猜想的正确性．14．通过计算，不难发现：①

4+92>4×9③16+252>16×25(1)对于任意a>0，b>0，猜想a+b2(2)如图，第一象限的点P在y=1x的图象上，过点P作PM∥y①是否存在点P，使得PM=4，若存在，求点P的坐标，不存在请说明理由；②PM是否存在最小值，若存在请写出最小值，不存在请说明理由．15．在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．观察下图中每一个正方形（实线）四条边上的整点的个数．(1)画出由里向外的第4个正方形，在第4个正方形上有多少个整点？(2)请你猜测由里向外第20个正方形（实线）四条边上的整点个数共有多少？(3)探究点−4,3在第几个正方形的边上？−2n,2n在第几个正方形的边上（n为正整数）？16．我们把按一定规律排列的一列数叫做数列，一般地，把数列中的第1个数记为a1，第2个数记为a2,⋯，第n个数记为an．1202年，意大利数学家斐波那契在《算盘书》中记录了一个数列：a1=1,a2=1,(1)请你帮小明再举一个例子，并写出猜想（即写出a2+a(2)小明认为只要多举一些具体例子，就能证实他的猜想一定成立．你赞同小明的想法吗？如果赞同，请说明理由；如果不赞同，请给出你认为更好的证明方法．(3)①请你借鉴小明的探究思路，直接写出a1②查得该数列中a30=832040,a17．某商场为鼓励消费，设计了抽奖活动，方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时可以从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取2张、3张、4张、…等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额．某顾客获得了一次抽取5张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？问题建模：从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥3）这n个整数中任取a1<a<n个整数，这a模型探究：探究一：（1）从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？所取的2个整数1，21，32，32个整数之和345如表，所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果．（2）从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？所取的2个整数1，21，32，32，43，42个整数之和34567如表，所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，也就是从3到7的连续整数，其中最小是3，最大是7，所以共有5种不同的结果．（3）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有________种不同的结果．（4）从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥3）这n个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有________种不同的结果．探究二：（1）从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有________种不同的结果．（2）从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥4）这n个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有________种不同的结果．探究三：从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥5）这n个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有________种不同的结果．归纳结论：从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥3）这n个整数中任取a1<a<n个整数，这a问题解决：从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张奖券，共有________种不同的优惠金额．18．七年级（1）班某数学学习小组在学习了第9章多边形后对几何学习产生了浓厚的兴趣，他们在同一几何图形中有不同的发现．如图1，直线OM⊥ON，垂足为O，三角板的直角顶点C落在∠MON的内部，三角板的另两直角边分别与ON、OM交于点D和点（1）小“毕达哥拉斯”说：由四边形内角和知识很容易得到∠OBC+∠ODC的值．那么他得到的结论是：∠OBC+∠ODC=________°．（2）小“欧几里得”说：连结BD（如图2），若BD平分∠OBC，那么BD也平分∠ODC．请你说明当BD平分∠OBC时BD也平分∠ODC的理由．（3）小“欧拉”说：若DE分∠ODC，BF平分∠MBC，我发现DE与BF具有特殊位置关系（如图3）．请判断DE与19．问题：点P的坐标为a+1,−a+2（a为实数），当a变化时，点P的横纵坐标均会变化，点P的位置也随之改变．那么点P的位置有何变化规律呢？【方法探究】（1）小明同学看到这个问题后，想到可否先取一些特殊值，看看能不能发现什么规律？请你帮忙将表格补充完整，并在图1坐标系中描出点P4P5．a−2−1012P点坐标PP2PPP猜想：通过列表和描点，你认为点P的位置有何变化规律？【问题解决】（2）小明同学认为通过观察、实验、归纳得到的结论不一定正确，还需要证明．要解决上面的问题，以下是他的简单思路：要想看出P点运动的规律，设点P的坐标为x,y，令x=a+1，y=−a+2，消掉字母a，就可以找出y与【拓展应用】（3）如图2，A点坐标为3−m,−m−2，B点与A点关于x轴对称．C，D为x轴、y轴正半轴上一点OC=OD=2，△BDC周长的最小值为_______，及此时B点的坐标_______．20．在平面直角坐标系xOy中，若一个函数图象上存在P、P′两点，使得∠PO(1)正比例函数“垂动点函数”；（填“是”或“不是”）反比例函数“垂动点函数”；（填“是”或“不是”）(2)如图1，已知第三象限的一点P在一次函数y＝x＋1图象上，点P的“垂动点”是点P′，PA⊥y轴于点A、P′B⊥y轴于点B，若△PAO的面积为38，求△(3)如图2，已知第三象限的一点P在二次函数y＝﹣14x2图象上，点P的“垂动点”是点Q，连接PQ交y轴于点M，过点O作ON⊥PQ于点N．求点M的坐标和点N参考答案1．（1）解：由规律可知，第5个等式为：53（2）解：猜想第n个等式：n3证明：∵左边=右边=∴左边=右边∴原等式成立．2．(1)6×8=(2)nn+2【详解】解：（1）6×8=9（2）第n个等式：nn+2证明：左边=nn+2=∴左边=右边，等式成立．3．(1)5(2)n+1(3)见解析(4)−1【分析】本题考查规律型、数字的变化类、二次根式的混合运算，解题的关键是明确题意，根据已知等式总结一般规律并应用规律解题．（1）根据题目中的例子并计算可以写出第5个等式；（2）根据（1）中特例及发现规律，可以写出相应的猜想；（3）根据猜想的左边利用分式的通分和二次根式的性质进行化简发现与右边一样即可；（4）根据（2）中的规律对比即可求解．【详解】（1）解：6−故答案为：51（2）解：第n个等式为n+1故答案为：n+1−（3）证明：n+1====n1（4）解：根据n+1−2n+12a−1=23解得a=12∴b−a=11−12=−1故答案为：−1．4．(1)1(2)2024(3)253(4)9【分析】本题考查了数的变化规律，关键是观察发现数的变化规律，得到一般性结论，并利用它解决问题；（1）利用题干发现算式的规律，得到一般结论；（2）直接应用前一问的结论进行运算；（3）在第二问的基础上每一项都乘以14（4）在第二问的基础上每一项都乘以12【详解】（1）解：∵11×2=1−12∴1n×（2）解：原式=1−12=1−=（3）解：原式====（4）解：原式===5．（1）>=（2）x+12−4x≥0【分析】本题考查因式分解-运用公式法非负数的性质和计算求值（1）利用代入法把x的值代入代数式可得答案（2）首先根据题意代入几个其他数值求解再把代数式变形为x+12−4x=x−12根据非负数的性质可得（3）首先把代数式化为a−42+4根据偶次幂具有非负性可得a−42≥0【详解】（1）解：当x=−2时代数式x+12当x=1时代数式x+12故答案为：>=（2）解：当x=−5时代数式x+12当x=3时代数式x+12猜想x+12−4x与0的大小关系为故答案为：x+12（3）解：a==∵a−4∴a−4∴代数式a2−8a+20的最小值为6．（1）①526②7256（2）能（3）见解析【分析】本题考查通过观察分析特殊情况来归纳总结规律并对规律进行验证．（1）直接计算出相应的结果即可（2）根据（1）中计算的结果归纳总结出规律（3）将三位数表示为100a+10b+c然后通过变形结合已知条件a+b+c能被3整除来证明．【详解】解：（1）①：1+8=3×3,18=3×6;7+8=3×5，②：3+4+8=3×5，（2）若一个两位数或三位数的各位数字之和能被3整除则这个数能被3整除验证如下：如（1）中两位数181+8=9各位数字之和9能被3整除则这个数18能被3整除（3）已知这个三位数的百位十位个位上的数字分别为abc则这个三位数可以表示为100a+10b+c将100a+10b+c变形为99a+a+9b+b+c因为99a+9b=3×33a+3b所以99a+9b又因为已知a+b+c可以被3整除由于99a+9b和a+b+c都能被3整除所以它们的和99a+9b+a+b+c即100a+10b+c也能被3整除7．(1)x(2)x(3)2【分析】本题主要考查了探索规律体现了由一般到特殊的应用解题的关键是探索规律根据规律答题．（1）运用多项式乘多项式法则展开合并同类项即得（2）根据所列等式得出规律：等号右边为x的幂−1x的指数为左边第二个因式第一项指数加1据此即可得出结论（3）原式乘以(2－1)然后利用（2）中结论解答即可．【详解】（1）解：x−1x8x−1==x故答案为：x9（2）解：∵x−1x+1x−1xx−1x……x−1∴根据规律可得：x−1(故答案为：xn+1（3）解：∵x−1∴1+2+===28．（1）4415验证过程见解析（2）aaa2−1【分析】（1）利用已知观察2+23=83=2（2）由（1）根据二次根式的性质可以总结出一般规律（3）利用已知可得出三次根式的类似规律进而验证即可．【详解】解答：解：（1）4+415理由是：4+415=（2）由（1）中的规律可知3＝22−18＝32−115＝42−1∴a+验证：a+a正确（3）3a+aa验证：3【点睛】此题主要考查二次根式的性质与化简善于发现题目数字之间的规律是解题的关键．9．（1）c−mc（2）545【分析】（1）根据x−1x（2）把x+4x=545（3）把题中方程变形为x−3x【详解】（1）∵x=c时方程左边=c−mcx=−mc时方程左边=所以方程的解为：x1=c,（2）由阅读材料类推可以得到：x+4x=c+4c∴c=5∴所求方程的解为：x13∵x−3x=225=5−3∴由（1）的结论可得：x1【点睛】本题考查观察类比猜想与证明在分式方程求解中的应用通过阅读材料归纳出如题所示的特殊分式方程的解法并加以应用是解题关键．10．(1)①x1＝x2＝1②(2)x1＝1，x(3)x1【分析】（1）利用因式分解法解各方程即可（2）利用配方法解方程x2−9（3）根据前面发现的规律即可完成此问．【详解】（1）解：①x（解得x即方程x2−2x②x（解得x即方程x2−3x③x（解得x即方程x2−4故答案为：①x1＝x2＝1②（2）解：x（x∴x故答案为：x1（3）解：x（x1故答案为：x1【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成（x+m）211．(1)x=4(2)x=a(3)①见解析②x=a+2【分析】本题考查了方程的解（1）根据题干方程与方程解的规律即可得到该方程的解（2）根据题干的规律可以推导出该方程的解（3）①用代入检验法检验第二问的猜想②根据结论推导出的是x−1的值移项即可得到x的值.【小题1】解：根据题干可知：关于x的方程x3+x=4故答案为：x=4.【小题2】解：关于x的方程x3+x=a故答案为：x=a.【小题3】解：①把x=a代入等式的左边得a左边=右边∴x3+x=则第（2）问得证．②由题意知x−1=a+1∴x=a+2故答案为：x=a+2．12．(1)10+15=25=(2)nn+12(3)2025可以看作990和1035这两个相邻“三角数”之和【分析】本题考查规律题的探究找到规律是解题的关键．（1）根据等式规律即可解答（2）根据题意分别进行化简最后判定是否相等即可解答．（3）根据题意列出方程(n+1)2=2025求出n的值再代入三角形数公式【详解】（1）解：根据规律可得第④个等式为：10+15=25=（2）nn+12∵左边===

=n+12∴nn+1（3）由（2）得(n+1)解得n1=44,n∴nn+1∴2025可以看作990和1035这两个相邻“三角数”之和．13．(1)x2−4x−5=0−1(2)第n个方程为x2−nx−n+1=0方程的根为x【分析】本题为规律探究题先观察已知方程的系数常数项与方程序号的关系归纳得到规律写出对应方程和根再利用一元二次方程的求根公式验证猜想结论即可．【详解】（1）解：观察已知表格中的规律可得：第4个方程为x2−4x−5=0根为x1（2）解：猜想可得第n（n为正整数）个方程为x2−nx−n+1=0证明：x判别式Δ∴x=∴x1=14．(1)当a≠b时a+b2>ab当a=b时(2)①P(2+3,2−3)或P(2−【分析】（1）先求出a+b22−ab2结合a>0b>0（2）①设Pa,1a因为PM∥y轴交y=−x于点M所以M为(a,−a)则PM=1a−(−a)=1a+a由PM=4可得1a+a=4整理得到②根据（1）中结论得PM=1a+a≥2a×1a【详解】（1）解：当a≠b时a+b2>ab证明：a+b22a+b====∵a>0b>0∴a+b2>0当a≠b时a−b∴a+b22∴a+b2当a=b时a−b则a+b2（2）解：①设Pa,1a则∴PM=∵PM=4∴1整理得到a解得：a=∴P(2+3,2−3②根据①可得PM=由（1）的结论得PM=当1a=a则a2=1解得当且仅当a=1时取等号所以PM有最小值最小值是2．【点睛】该题考查了二次根式的性质完全平方公式解分式方程解一元二次方程一次函数几何综合等知识点解题的关键是掌握以上知识点．15．(1)画图见解析第4个正方形上有16个整点(2)第20个正方形的四条边上的整点个数为80个(3)点−4,3在第7个正方形边上−2n,2n在第4n个正方形边上【分析】（1）观察图形分别计算出各边上的整点数的和（2）根据分析可以发现第n个正方形的整点有4n个据此规律进行解答即可．（3）通过观察前3个正方形上的整点得出核心结论计算该点横纵坐标的绝对值之和即可解答．【详解】（1）解：画出由里向外的第4个正方形如图所示解：第1个正方形有4×1=4个整点第2个正方形有4×2=8个整点第3个正方形有4×3=12个整点第4个正方形上有4×4=16个整点（2）解：第1个正方形有4×1=4个整点第2个正方形有4×2=8个整点第3个正方形有4×3=12个整点…第n个正方形有4n个整点所以第20个正方形有4×20=80个整点．（3）观察第1个正方形上的点(1,0)(0,1)横纵坐标绝对值之和|1|+|0|=1|0|+|1|=1．观察第2个正方形上的点如(2,0)(1,1)横纵坐标绝对值之和|2|+|0|=2|1|+|1|=2．观察第3个正方形上的点如(3,0)(2,1)横纵坐标绝对值之和|3|+|0|=3|2|+|1|=3．结论：若点(x,y)在第k个正方形的边上则|x|+|y|=k．计算点(−4,3)：横坐标x=−4纵坐标y=3．计算绝对值之和：|−4|+|3|=4+3=7．所以点(−4,3)在第7个正方形的边上．计算点(−2n,2n)：横坐标x=−2n纵坐标y=2n（n为正整数）．计算绝对值之和：|−2n|+|2n|=2n+2n=4n．∴点−4,3在第7个正方形边上−2n,2n在第4n个正方形边上．16．(1)a2+a(2)不赞同小明的想法理由见解析更好的证明方法见解析(3)①a1+a【分析】本题考查了数字类规律探索正确归纳类推出一般规律是解题关键．（1）先求出a10=55a11=89再举一个例子为a2（2）数学猜想需要通过严密的逻辑推理来证明枚举法只能验证有限个例不能保证对所有正整数k成立则不赞同小明的想法．更好的证明方法：先求出a3=a1+a2a5=（3）①先求出a4=a2+a3a6=②参考上面的结论可求出a2+a4+【详解】（1）解：由题意得：aa所以再举一个例子为a观察可知：aaaa所以猜想a2（2）解：不赞同小明的想法（多举例子就能证实猜想成立）．理由：数学猜想需要通过严密的逻辑推理来证明枚举法只能验证有限个例不能保证对所有正整数k成立．更好的证明方法如下：∵aaa⋮a∴a∴a∴a2（3）解：①a1+∵aaa⋮a∴a∴a∵a∴a1②∵a∴aa∴a117．探究一：（3）7（4）2n−3探究二：（1）4（2）3n−8探究三：4n−15归纳结论：na−a2【分析】此题考查规律型：数字的变化类找出数字之间的运算规律利用规律解决问题是关键．探究一：（3）根据探究一的（1）和（2）可得结果（4）结合（3）即可得到结果探究二：（1）根据探究一的方法即可得结果（2）结合以上（1）总结规律即可得结果探究三：根据探究一和探究二的方法即可得结果归纳结论：根据探究一和探究二的方法即可得结果问题解决：根据以上结论即可得到答案．【详解】解：探究一：（3）所取的2个整数121314152324253435452个整数之和3456567789根据表格可得3,4,5,6,7,8,9共有7种不同的结果故答案为：7（4）由以上知取两个整数最小值为1+2=3最大值为n+n−1=2n−1在最小值和最大值之间的数值都有可能所以为2n−1−3+1=2n−3故答案为：(2n−3)探究二：（1）所出现情况的和的最小值为1+2+3=6最大值为2+3+4=9则共可以出现情况为9−6+1=4（种）故答案为：4（2）所出现情况的和的最小值为1+2+3=6最大值为n−2则共可以出现情况为3n−3−6+1=(3n−8)故答案为：(3n−8)探究三：所出现情况的和的最小值为1+2+3+4=10最大值为n−3则共可以出现情况为4n−6−10+1=(4n−15)故答案为：(4n−15)归纳总结：所出现情况的和的最小值为1+2+3+⋯+a=a1+a2则共可以出现情况为na−1+a−1故答案为：(na−a问题解决：所出现情况的和的最小值为1+2+3+4+5=15最大值为96+97+98+99+100=490则共可以出现情况为490−15+1=476（种）故答案为：476．18．（1）180°（2）详见解析（3）垂直理由详见解析【分析】（1）根据四边形内角和360度解题（2）根据角平分线性质解题（3）由（1）（2）结论结合三角形内角和180度解题即可．【详解】解：（1）①由四边形内角的性质得∠OBC+∠ODC=180°（2）∵BD平分∠OBC∴∠OBD=∠CBD∵∠∴∠ODB=∠CDB∴BD平分∠ODC（3）∵∠ODC+∠OBC=180°∠CBM+∠OBC=180°∴∠CBM=∠ODC∴12∵∠BEG=∠DEC∴180°−∠EBC−∠BEG=180°−∠EDC−∠DEC∴∠BGE=∠DCE=90°∴DE垂直BF．【点睛】本题考查四边形内角和360度三角形内角和180度角平分线的性质垂线的性质等知识是常见基础考点难度较易掌握相关知识是解题关键．19．（1）10画图见解析猜想：点P在一条直线上运动（2）证明见解析（3）△BDC周长的最小值为22+26此时【分析】本题考查了一次函数与几何的综合应用一次函数的图象与性质画一次函数的图象求一次函数的解析式线段的最值问题熟练掌握一次函数的图象与性质及线段的最值问题是关键．（1）把a=1，2代入−a+2可求出点P4，P5纵坐标（2）由x+y即可求证（3）由轴对称可得B3−m,m+2令3−m=xm+2=y则点B的坐标为x,y可得y=−x+5即得点B在直线y=−x+5上运动设直线y=−x+5与x轴相交于点E与y轴相交于点F可得E5,0F0,5得∠OFE=45°由勾股定理得CD=22过点F作FD′⊥y轴且FD′=FD可得∠DFB=∠D′FB=45°即得点D与点D′关于直线y=−x+5对称得到DB=D′B即得D′3,5