2026高考数学复习（湘教版）第五节 椭 圆

第五节椭圆

【课程标准】1.了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问

题中的作用.2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方

程及简单几何性质.3.通过椭圆的学习，进一步体会数形结合的思想.4.了解椭

圆的简单应用.

教材梳理

1.椭圆的定义

条件结论1结论2

平面上的动点P与平面内的两个定点向，&Ei,3叫作椭圆的焦点

P点的轨

|Pa|+|PB|=2"

迹为椭圆IfiBl叫作椭圆的焦距

2a>\FiF2\

［微提醒］若2"尸|乃|,则动点的轨迹是线段FIF2；若2av|FiB|,则动点的轨

迹不存在.

2.椭圆的标准方程和几何性质

标准方程真4=1(a>b>0)^H-^=l(a>/?>0)

y

囱七(«”,一

日刀，4ag沙A产fl.mo尸；

-aS.TW亚-bWxWb

范围

性vW力-。0忘。

对称轴：坐标轴

质对称性

对称中心：愿由

A\(~a,0),A2(a,0)A\(0,­a),4(0,〃)

顶点

g|(0,~b),B2(0,b)0),&S,0)

长轴A\Ai的长为

轴

短轴8&的长为功

焦距\F\F2\=2C

离心率e=-e(0,1)

a-----

a,b，。的关系a^b^+c2

【常用结论】

⑴若点P在椭圆上，尸为椭圆的一个焦点，则

①人W|0P|W4.

②所cW|PF|W〃+C.

(2)焦点三角形

椭圆上的点P(xoyo)与两焦点构成的aPFiB叫作焦点三角形，NQ尸,APFIF2

的面积为S.

①当P为短轴端点时，。最大.

②S二3PB||PF2|•sin/7=b2taIg二c|州|,当|yo|二〃时，即点P为短轴端点时，S取最大

值，最大值为bC.

③焦点三角形的周长为2(〃+。).

(3)焦点弦(过焦点的弦)

焦点弦中通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长/加口二平.

(4)设P,A,B是椭圆上不同的三点，其中A,8关于原点对称，直线PA,PB

斜率存在且不为0,则直线PA与PB的斜率之积为定值-与.

【自主检测】

1.（多选）下列说法正确的是（）

A.平面内与两个定点R,B的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆

B.椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形

c.奈•十a=1。/〃）表示焦点在y轴上的椭圆

D.（。»>°）与《吟=1（。泌>°）的焦距相等

答案：BD

学生用书I第225页

2.如果点M（x,y）在运动过程中，总满足关系式+（y+3）2+5二+（丫-3）2二

4百，则点M的轨迹是（）

A.不存在B.椭圆

C.线段D.双曲线

答案：B

解析：J%2+（y+3）2+〃2+（y-3）2=4V5表示平面内点Mx,y）到点（0，-3）,（0,

3）的距离之和为4V3,而3-（-3）=6<4>/3,所以点M的轨迹是椭圆.故选B.

3.已知椭圆盘彦=1上一点。到椭圆的一个焦点B的距离为3,则产到另一个焦

2516

点22的距离为（）

A.2B.3

C.5D.7

答案：D

解析:由椭圆的定义可知|PR|十|P尸2|二10,所以|PF2|=10-3=7.故选D.

4.已知椭圆C：16f+4y2=l,则下列结论正确的是（）

A.长轴长为:B.焦距为f

24

C.短轴长为：D.离心率为今

42

答案：D

解析：把椭圆方程化为标准方程可得三十芋=1,所以""三"•4，

164

则长轴长2a=\,焦距2c=手，短轴长2b=3,离心率e=£=，.故选D.

22a2

5.（用结论）已知椭圆C:9491s>0）的左、右两个焦点分别为R,产2,过巳的

直线交椭圆。于A,B两点.若aaAB是等边三角形，贝二.

答案：V6

解析：因为△尸36是等边三角形，所以尸盟|二|尸山|，故A,6关于x轴对称，所

以ABA.X轴，故NQBA=90°,又因为NQ4尸2=60°,所以|”后2依6|,又

\AFi\+\AF2\=2a=(),故|AB|=^~=2,所以加二2〃=6,/?=V6.

考点探究提升能川

考点一椭圆的定义及其应用师生共研

典例T（1）如图，圆0的半径为定长r，A是圆。内一个定点，尸是圆上任意一

点，线段AP的垂直平分线I和半径OP相交于点Q,当点P在圆上运动时，点

Q的轨迹是（）

A.椭圆B.双曲线

C.抛物线D.圆

⑵(2023•全国甲卷)设R,乃为椭圆C：的两个焦点，点P在C上，若

丽•布=0,贝"尸B|・|尸B|=()

A.1B.2

C.4D.5

答案：(1)A(2)B

解析：(1)连接。4(图略).由已知得|。*二|。尸|,

所以|QO|+|QA|=|QO|+|QP|=|OP|=r.

又因为点A在圆内，所以|OA|<|OP|,根据椭圆的定义，点。的轨迹是以。，A

为焦点，厂为长轴长的椭圆.故选A.

(2)法一：因为丽丽二0,所以/尸口F2=90°,

从而S“IPF2=/tan45°=1=|X|PFI||PF2|,

所以|PBMPB|=2.故选B.

法二：因为丽两=0,所以NR尸6=90°,由椭圆方程可知，c2=5T=4nc=2,所

以|P尸1F+IP尸2|2=|FEp=42=16,又|PQ|十|P尸2|=2折2而,平方得I尸尸|『+|尸尸2尸+

2|PFi|-|PF2|=16+2|PFI|-|PF2|=20,所以|尸乃卜|尸尸2尸2.故选B.

［变式探究］

(变条件)若将本例(2)中的“耐包=0”变为“NFIPF2=60。“，求IPRHPBI及

OP的值.

解：由椭圆方程知C2=5-1=4,即c=2.

在NFE中，由余弦定理得|FIF2|2二|PFI|2+|PF2『-2|PF山PF21cos60°=(|PFi|

2

+|PF2|)-3|PFI||PF2|,即16=20-3|PFIHPF2|,

所以|PFiH尸后|二£

因为丽3（配+配）,

所以而2三（丽+讯）2

三（P&+PF2+2PF/PF2）

中（质1+质产丽•质|]

力（203）吟所以P0夸

综上可知，IPBHPBI及。。的值分别为:和手.

・规律方法・

椭圆定义的应用技巧

椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭

圆；二是当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点为，母组成的三角形通常称为“焦

点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求IPQMPBI的值，

通过整体代入可求其面积等.

22

对点练1.（1）已知Fi,Fz是椭圆5+5=1的两个焦点，点P是椭圆上一点，

2449

3|PFI|=4|PF2|,则5“6七二（）

A.24B.26

C.22V2D.2472

⑵（2025•浙江温州模拟）已知椭圆盖+21上的一点P到焦点Fi的距离为6,点

M是PFi的中点，。为坐标原点，则|OM|二（）

A.2B.4

C.7D.14

答案：(1)A(2)C

解析：(1)由椭圆方程可得焦点在y轴上，且a=7,b=2y/6,三形=5.由楠圆

定义可得|PQ|+|PB|=2〃=14.又3|PFI|=4|PF2|,所以|PFi|=8,|PF2|=6,又

|FIF2|=2C=10，所以|P川2+IPF2/二百Bl?，所以PF^PF2，所以5“"2三俨川卢&1

=,8x6=24.故选A.

(2)如图所示，设椭圆的另一焦点为尸2,因为O,M分别是和PF\的中点，

所以|0必专上”2|,由椭圆的方程得Q=I(),所以2折2(),所以|巴司二2〃-|尸人|二

20-6=14,所以|OM|=7.故选C.

考点二椭圆的标准方程多维探究

角度1定义法

典例已知椭圆的两个焦点分别为Fi(0,2),B(0,-2),P为椭圆上任意一点，

若|FiB|是|PF1|,|PB|的等差中项，则此椭圆的标准方程为()

y22

A.B.—।—x=1

5460

22

—X+^V-=1

1612

答案：D

解析：由题意|PFi|+|P尸2|二2内尸2|=8二2〃，故a=4,又c=2,则b=2y/3,焦点在y

22

轴上，故椭圆的标准方程为9+3=1.故选D.

1612

学生用书1第226页

角度2待定系数法

典例T已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点Pi(V6,1),

P2(-V3,-V2),则该椭圆的方程为

答案：冷

解析：设椭圆的方程为〃/+町2=1(心0,/?>0,且〃的).将Pi,P?代入方程，得

6m4-n=1,

3m4-2n=1,

m=-22

解得9'所以椭圆的方程为3+一二1.

193

f，

・规律方法•

求椭圆标准方程的方法

1.定义法：根据椭圆的定义，确定/，〃的值，结合焦点位置写出椭圆方程.

2.待定系数法:

根据条件判断椭圆的焦点是在4轴上，还是在

作个断下y轴上，还是在两个坐标轴上都有可能.

------:根据上述判断设方程：马+若=1(Q>6>0)或四

设方程TMab/

22

——r--：+^=1(a>6>0)^imx+ny=1(m>0,«>0,Sim#n).

找关系卜根据巳知条件，建立关于o»6,c或啊n的方程组.

得方程」解方程组，将加代入所设方程，即於所求.

22

注意：当椭圆焦点位置不明确时，可设为J匕=1(〃>0,n>0,〃子〃),也可设为

mn

标+8)2=1(40,B>0,且A邦).

对点练2.(1)已知两圆G:Cr-4)2+y2=169,Q:(x+4)2+y2=9,动圆在圆C\内部且

和圆G相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()

X2V2

A.———=1

6448B・旧

2222

C.土X-匕y=1D.tx+匕y=1

48646448

（2）（2025•江西上饶模拟）已知椭圆C：[+[=1（06＞（））的右焦点为（企,0）,右顶

a，b乙

点为A,O为坐标原点，过04的中点且与坐标轴垂直的直线交椭圆C于M,N

两点，若四边形OM4V是正方形，则椭圆C的方程为（）

A.。），2二1B.匕江1

3J53

C.匕江1D.直+以1

7597

答案：（1）D（2）A

解析：（1）设圆M的半径为r,则|MG|+|MC2|=（13-r）+（3+r）=16＞8=|GQ|，所以M

的轨迹是以G,G为焦点的椭圆，且2〃=162c=8所以〃=8r=4/?=Va2_c*2=4V3,

故所求动圆圆心M的轨迹方程为2g=1.故选D.

6448

⑵由椭圆方程可知A3,0）,由四边形OMAN是正方形可知，0,又点、M

在椭圆。上，则有鬟耳=1,解得q二3，又椭圆。的右焦点为（口,0），则c=V2,

结合4〃=，,解得金3则椭圆C的方程为1十.声1.故选A.

•J

考点三椭圆的几何性质多维探究

角度1离心率

典例W（2022•全国甲卷）椭圆C：*合1（4泌＞0）的左顶点为A,点P,。均在。

上，且关于y轴对称.若直线AP,AQ的斜率之积为（，则C的离心率为（）

A.CBY

22

答案：A

解析：设P(m,〃)(〃/)),贝ijQ(~m,n),易知4(-〃，0),所以

人北声」—=昌三.(*)因为点P在椭圆C上,所以与+之1,得

,m+a-m+aa2-mz4azbz

222

/:=^7(a-m)，代入(*)式，得4,,所以e=2二康g故选A.

Q，Q，4ayj2

・规律方法•

求椭圆离心率的三种方法

1.直接求出。，c,利用离心率公式e二求解.

a

2.由。与力的关系求离心率，利用变形公式-求解.

3.构造a,c的方程，可以不求出a,c的具体值，而是得出。与c的关系，从而

求得，

角度2与椭圆有关的范围(最值)问题

典例可(1)(2021•全国乙卷)设8是椭圆C：9+)，2=1的上顶点，点P在。上，则|P8|

的最大值为()

A.-R."

2

C.V5D.2

学生用书1第227页

(2)(2025•四川德阳模拟)已知椭圆C：真喏=l("b>0)的左、右焦点分别是Fi,

FiA,B是椭圆。上的任意两点，四边形是平行四边形，且|AB|W2|AF2|,

则椭圆C的离心率的取值范围是.

答案：(1)A(2)(0,军

解析：(1)设点P(x,y),则根据点P在椭圆争)2二］上可得『二5-5)，.易知点B(0,

1),所以根据两点间的距离公式得|P阴2=«+(厂1AUS-S.V+GL1>=一分*2—2)叶6=§-

2

（2y+?）.当2y+1=0，即）（满足|y|W1）时，|PB『取得最大值与，所以|尸身皿二?

故选A.

（2）因为四边形48尸1尸2是平行四边形,则AB//FIF2,且|A8|=Fi尸2|=2c,结合椭

圆的对称性可知，四边形为矩形，所以,贝.因为同

ABF1F2FIF2±AF2IJ|AF2|=9|A

,即2cW*,所以ac^b1=a1-c1,即（7+ac-cr^O，同除以序可得e2+e-1

WO,解得萼.因为0<e<l,所以0<eW等.

・规律方法•

与椭圆有关的最值或范围问题的求解策略

|:策,略1:H利用椭圆的几何意义，尤其是椭圆的性质.）

:［策略I2:卜仔南函数，尤其是二次函数.一］

［:策略,3:1（利用不等式，尤其是基本不等式.一］

（策略4Hl而一元二次方程的判别式.］

对点练3.（1）（2024•广东韶关模拟）如图，椭圆的左、右焦点分别为

Fi,B,过椭圆上的点P作），轴的垂线，垂足为Q,若四边形FgPQ为菱形，

则该椭圆的离心率为（）

A.旦8.史

22

C.V2-1D.V3-1

22

⑵若点。和点F分别为椭圆-4=1的中心和左焦点，若P为椭圆上的任意一

43

点，则而•丽的最大值为（）

A.2B.3

C.6D.8

答案：(1)B(2)C

解析：(1)由题意,Fi(-c,0)，&(c,0)，因为四边形QBPQ为菱形，所以P(2c,

V5c),将点P坐标代入白掺1可得与+与=1：整理得4?-8^+«4=0，所以

4e4-8e2+1=0,因为0<e<l,所以e二号」.故选B.

⑵由题意知，0(0,0),5(T,0),设P(x,)，)，则而二［，y),FP=(x+1,y),

所以赤，而二企+1)+)2=^2+,2+人.又因为亍+彳=1,所以>^=3-x2,所以

而而+2尸+2.因为-2WxW2,所以当x=2时，声•所有最大值6.

44

故选C.

考教衔接精研教材

1.［真题再现］(2024•新课标II卷)已知曲线C：『+)，2=16()〉0)，从C上任意一点P

向x轴作垂线段尸P"P，为垂足，则线段PP，的中点M的轨迹方程为()

My2

A•3=1。〉°)B.?

y242

c・汇(3。)D.^=l(j>0)

答案：A

解析：设点M(x,y)，则P(x,加)，P。，0),因为“为PP的中点，所以yo=2y,

即P(x,2y)，又P在圆f+)，2=16()>0)上，所以f+4)2=16()>())，即,

即点M的轨迹方程为白。=1()，>()).故选A.

164

［教材呈现］(湘教版选择性必修一P150例1)如图，在圆f+)Z=9上任取一点P,

过点尸向x轴作垂线段夕。，。为垂足.求线段2。的中点M的轨迹方程.

点评：高考题中圆的方程与教材例题中圆的方程仅有半径不同，其他完全一致，

都是考查相关点法求方程.

2.［真题再现］（2019•全国II卷节选）已知点A（-2,0）,BQ,0）,动点,y）满

足直线AM与8M的斜率之积为《.记M的轨迹为曲线C.求C的方程，并说明

C是什么曲线.

解：由题设得义，化简得1+1=1（闭死），所以。为中心在坐标原点，焦

点在X轴上的椭圆，不含左、右顶点.

［教材呈现］（湘教版选择性必修一Pl73Tl8）已知两个定点4（-2,0）,42（2,0）,

动点M满足直线MA\与MAi的斜率之积为定值巴（〃?邦）.

4

⑴求动点M的轨迹方程，并指出随，〃变化时方程所表示的曲线C的形状.

点评：该高考题利用斜率公式表示斜率，然后化简成椭圆的标准方程，与教材习

题命题角度类似，属于改编题.

课时测评66椭圆坐对应学在生

用书P441

（时间：60分钟满分：100分）

（本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订!）

©基础排查练（1-8,每小题5分，共40分）

1.已知椭圆c：《+?=im＞（））的一个焦点为点（1,0）,则椭圆c的离心率为（）

D

c.W233

答案：B

22

解析：由椭圆C：㈢+匕=1的一个焦点的坐标为（I,0）,得/-3=1,解得4=2（负

a，3

值舍去），所以椭圆C的离心率为右£=：.故选B.

a2

2.（2023•新课标I卷）设椭圆G:*y=l（4>l）,Cl:Y+V2=1的离心率分别为约，

C2,若62=V5ei,贝a=（）

A..—2>/3B.V2D后

C.V3D.y/6

答案：A

解析：由已知得ei=—,ez坐挚,因为eWk\,所以枭Kx正，解得

a222a

。=竽.故选A.

3.（2024•山西太原三模）已知点F],后分别是椭圆C的左、右焦点，尸（4,3）是C

上一点，△尸尸”2的内切圆的圆心为/（〃？,1）,则椭圆C的标准方程是（)

一x2V2

A・翡B•

22

C.31D.二X+v匕=1

52136412

答案：B

解析:依题意，设椭圆C的方程为马g，由P（43）在。上得争白二1，

显然NFE的内切圆与直线Fi3相切，则该圆半径为1,而

J222

^^PF1F2=1（2t?+2c）-1=at-c,又SAPFIF2=32C，3=3C,于是a=2c,/?=6/-^=^,因止匕

警A|=l,解得。2=28,庐=21,所以椭圆C的标准方程是白（=1.故选B.

Q，Q，2821

4.(2025•苏州四市统考汜知椭圆C：立+*1(0<从2)的左焦点为“，M是。上的

4

动点，点MO,V3),若|MN|十|M尸|的最人值为6,贝ijC的离心率为()

B-7

ClD-；

答案：B

解析：设椭圆C的右焦点为F',由椭圆的定义，得用=2〃=4,所以

\MF\=4-\MF'\,所以|加川+附用=附M-|加尸1+4引而1+4,当且仅当M,N、F三

点共线时等号成立，则由题意，知此时|NF|+4=6,gP|^Fl=J(0-c)2+(V3-0)2=2,

解得c=l,所以e二=:故选B.

a2

5.(多选)(2024•河南开封第三次质量检测)椭圆C：£■+、=1(m>0)的焦点为R,

F1,上顶点为A,直线AFi与C的另一个交点为B,若NQ4巳三，贝U()

A.C的焦距为2

B.C的短轴长为2次

C.C的离心率为日

D.的周长为8

答案：ABD

解析：由于，所以,故cosNaAOcos?二器;二

366|AF/

2

r2h2~~~^7，因此4=俘）-^TT，故川二3,所以椭圆C：9+《=1，。=2,b=V3,

Vc2+b2a2a2\2Jm2+l43

c=l.对于A,焦距为2c=2，故A正确；对于B,短轴长为2b=2g，故B正确；

对于C,离心率为e中］故C错误；对于D,LABF2的周长为4。=8，故D正

确.故选ABD.

6.（多选）（2024•广东佛山模拟）已知椭圆C：捺+，=1（＞0）的左、右焦点分别为

Fi,F2,上顶点为B,且tanZBF|F2=V15，点P在C上，线段PF\与BF2交于

点Q,点二2话,则（）

A.椭圆C的离心率为工

4

B.椭圆C上存在点K,使得KR_LKF2

C,直线PQ的斜率为孚

D.PFi平分NBFiB

答案：ACD

解析令椭圆的半焦距为c则Fi（-c,0）尸2（cP），由tanZBF|F2=715得6VUc,

a=4c，椭圆C：总+三=1，8（0,mc）.而丽=2函，则点。管，等）.对于

A，椭圆C的离心率，故A正确；对于B，设K（x0，泗），则羽=15/-JI诏，

砧•布二（一c-xo,-yo）（C-Xo，一尢）=就+yQc'卷以+14廿＞0，即NQKF2为锐角，

国c.—

故B不正确；对于C,直线PF、的斜率％二，故C正确；对于D,直线

『（-c）5

BF\的方程为6百.0，+'75瓦'=0点。到直线BFi的距离d=L1-----3、I_\^£,

J（g）2+（-l）2

即点Q到直线FiB与FTFZ的距离相等，所以PF,平分N3RF2,故D正确.故选

ACD.

7.已知B,6分别为椭圆C:的左、右焦点，直线厂3)，+1=()与椭圆交于

P,。两点，则△PQB的周长为.

答案：8

解析：由题意得，B(T,0)，尸2(1,()),直线尸3yM=0过左焦点为(-1,0),所

以|PFI|+|PF2|二|QFI|+|QF2|=2〃=4,\PQ\=\PF^\QF]\,所以金PQ&=|PQI+IQB|+

|PF2|=|PFi|+|eFi|+|eF2|+|PF2|=4«=8.

8.(2021•全国乙卷改编)设8是椭圆C：9+)2=l的上顶点，点尸在C上，则|PB|的

最大值为.

答案：|

解析：设点P(Xo,yo),因为B(0,1),?+%二1,所以|PB|2鬲+仇-1)2二

5(1-谕+仇-1)2=-4兔-21yo+6=-4(yo+?+与，而TWyoWl,所以当刃=-3寸，

|PB|的最大值为看

9.(10分)已知椭圆的两焦点为Fi(-1,0),F2(l,0),P为椭圆上一点，且

2|FIF2|=|PFI|+|PF2|.

(1)求此椭圆的方程；(4分)

(2)若点尸在第二象限,ZF2FIP=120°,求APFIB的面积.(6分)

解⑺由题意得c=l,因为2百尸2|=|PE|+|P尸2|所以4c=2。所以。=2及=&一3=3,

故所求椭圆的方程为9+?=1.

(2)设点P坐标为(x,)，)，x<0,y>0,因为ZF2FIP=120°,所以PR所在直线的方

-2,

y=-V3(x+1),X=

程为产-J5(x+1).联立MJ,可行3%所以5"尸］松二3|尸122|

〃=七,

.43

363百

X——=——

5S

10.(12分)已知n是椭圆c：今吟=1(。汕)o)的两个焦点，尸为。上的点，o

为坐标原点.

⑴若MOB为等边三角形，求。的离心率；(5分)

(2)如果存在点P，使得，且△QPB的面积等于16，求〃的值和。的取

值范围.(7分)

解:⑴连接PFi(图略).由△%>出为等边三角形可知在△HPF2中，ZFIPF2=9O°,

\PF2\=C,|PFi|=V3c,于是2a=|PB|+|PB|=(毛+l)c,

故C的离心率为e=-=V3-1.

(2)设P(x,y)，由题意得

||y|-2c=16,c\y\=16,①

上•上=-1,即＜/+y2=,②

x+cX-C

J+^=l,9+5=1.③

由②③及a2=b2+c2得)?§

又由①知尸二笠，故尻4.

由②③及c'P+d得f=+(c2-b2),

c

所以c22b2,从而cP^+c22/?2=32,故当Z?=4,a24加时，存在满足

条件的点P.

所以6=4,4的取值范围为［4或，+8).

薮综合运用练

（每小题6分，共24分）

11.（多选）如图所示，用一个与圆柱底面成。（0<6〈以角的平面截圆柱，截面

是一个椭圆.若圆柱的底面圆半径为2,叙g,则下列结论正确的是（）

A.椭圆的长轴长等于4

B.椭圆的离心率为日

C.椭圆的标准方程可以是之

164

D.椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为4-2V3

答案：CD

解析：设椭圆的长半轴长为。，短半轴长为b,半焦距为c,椭圆长轴在圆柱底

面上的投影为圆柱底面圆直径则由截面与圆柱底面成锐二面角得24=占=8,

3cost/

解得a=4，故A不正确：显然b=2,则c-Va2-b2=2V3,离心率e=-=^，故B不

a2

正确；当以椭圆长轴所在直线为y轴，短轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系

时，椭圆的标准方程为艺+日二1,故C正确；椭圆上的点到焦点的距离的最小值

164

为4-C=4-275,故D正确.故选CD.

12.（2025•山东日照模拟）已知椭圆盘唔=13泌>0）的右焦点为F,P,。是椭圆上

关于原点对称的两点"N分别是巴7，。尸的中点.若以MN为直径的圆过原点，

则椭圆的离心率e的取值范围是.

答案：偿，1）

解析：设点P（X0，为），则QGo,-yo），又点F（C,0），所以M（告,第，N（苧，

音），又以MN为直径的圆过原点，则有0M10N,所以丽,丽=0,即

罟言上噂孩=0,所以c2_x2_y2=0,又亲居=1,所以摄诏+〃_/=（）,得

就二瞋2：。2）,所以（）w吧岭之</,整理得2d*2,解得*，又e<l,所

CC4

以在Wc<l.

2

13.（多选）（2025•河南九师联盟联考）如图，已知椭圆=+）2=1的左、右顶点分别是

4,上顶点为S,在椭圆上任取一点C（非长轴端点），连接AC交直线产企

于点P,连接AiC交0P于点M（0是坐标原点），贝ij（）

A-kcajAc'z为定值

B-kA1p=—kop

c.OP±A2C

D.[MB/的最大值为百

答案：AC

解析：由题意知49危，0）,A2（V2,0）,因为点C在椭圆上，所以设点C的

坐标为（夜cos。，sin。）,夕£[o,2rr）,分0且伪玩.对于A,

%%=谭袅浸力，故A正确；对