2026年高考数学二轮复习检测卷02（全国二卷）解析版

2026年高考数学二轮复习检测卷02（全国二卷通用）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共58分）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共4（）分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要

求的。

1.（5分）（2026•河南南阳•模拟预测）一组样本数据：1,2,6,11,5,12,4,15,9的上四分位数为

（）

A.6B,8.5C.IID.11.5

【答案】C

【解题思路】根据给定条件，利用上四分位数的定义求解即可.

【解答过程】样本数据由小到大排列为：1,2,4,5,6,9,11,12,15,

由g*7S%=6.7S,得这组数据的上四分位数为11.

故选:C.

2.（5分）（2026•辽宁大连•模拟预测）若复数z满足（2—2i）z=5+i,贝屹在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【解题思路】根据给定条件，利用复数除法运算求出z,再求出其共枕复数对应点的位置.

【解答过程】依题意，2=甥=*般瑞=罕=1+手，

所以2=1一|i在复平面内对应的点（1,一,）位于第四象限.

故选:D.

3.（5分）（2026•河南南阳•模拟预测）若集合A={x|x2—4x—12<0},B={x\y=lg（l—x）},则4C\B=

)

A.{x|—6<x<1}B.{x|-2<%<1]

C.{x|l<x<2}D.{x|l<%<6}

【答案】B

【解题思路】先求得集合力={刈-2Vx<6},^={x|x<l）,再求交集运算即可.

【解答过程】解不等式/-4x-12V0得一2Vx<6,即4=[X\-2<x<6},

求函数y=lg（l一无）的定义域得％<1,即8={x\x<1},

所以An8={%|-2<x<1}.

故选:B.

4.（5分）（2026•湖北十堰•一模）已知正数x,y满足％+y=.ry,则％+4y的最小值为（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】D

【解题思路】整理可得：+3=1，利用乘“I”法结合基本不等式运算求解.

【脩答过程】因为正数羽y满足x+y=xy,则：+：=1，

可得％+4y=G+次>+4y）=5+?^5+2=9,

当且仅当?=即x=2y=3时,等号成立，

所以％+4y的最小值为9.

故选：D.

5.（5分）（2026・湖北十堰•一模）在△A8C中，内角4B,C的对边分别为a,btc.若a=4,4=热

sinB+sinC=—,则be=（）

4

on20

A.—B.20C.16D.—

【答案】D

【解题思路】根据正弦定理、余弦定理求解即可.

TTa448

【解答过程】因为Q=4,所以力=萩=孚=而

由正弦定理可知，熹二高=就=专所以sinB=学?，sinC=港，

乂sinB+sinC=所以学b+4c=所以b+c=6.

4o□4

由余弦定理知，a2=b2+c2-2bccosA,所以16=5+c2—2bcx:，QP16=h2+c2—be.

又丛4-c2=（b+c）2-2bc=62—2bc=36—2bc,

on

所以16=36—2bc—be,所以bc=^.

故选：D.

6.（5分）（2026•山东•一模）已知抛物线产=8%的焦点为凡点4（5,3）,若M是抛物线上的动点，则

|MF|十|M川的最小值是（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】B

【解题思路】过点M作抛物线C的准线，的垂线段，垂足点为E,由抛物线的定义可得|M4|+\MF\=\MA\+

|ME|,分析可知,当且仅当4、M、E三点共线时，|M4|+|MF|取最小值,即可得解.

【解答过程】过点M作抛物线C的准线，的垂线段，垂足点为E,如下图所示：

易知，抛物线C的焦点为尸（2,0）,准线为—=一2,

由抛物线的定义可得|M"|=|ME|,所以，\MA\+\MF\=\MA\^-\ME\,

当且仅当/、M、E三点共线时，

即当4EJJ时，|M川+|MF|取最不值,且最小值为5+2=7.

故选：B.

7.（5分）（2025•浙江台州•一模）已知等比数列｛。篦）满足：+。3=1。，。2+。4=20.设bn=an+log2

斯+1，记数列的前九项和为Sn，则$6=（）

A.149B.153C.155D.157

【答案】B

【解题思路】根据等比数列的通项公式求解ai，q，从而可得出〃｝的通项公式，根据分组求和可得S6的值.

【解答过程】设等比数列｛斯｝的公比为q,则噂=q=*=2,

则=Q1+4。1=10,可得a1=2,所以Qn=2",

nn+1n

则％=an+log2an+i=2+log22=2+n+1,

所以S6=(21+22+…+26)+(2+3+…+7)=魅+Q+；)X6=is?

故选:B.

8.(5分)(2026•河南鹤壁•一模)已知且sin/?cos(a—0)—cos/?sin(/?—a)=/则巧筹=

()

4334

A.--B.--C.-D.-

【答案】B

【解题思路】先逆用两角和的正弦公式可得sina的值，再根据同角三角函数的基本关系可得cosa的值，最后

利用倍角公式即可得解.

【解答过程】因为sin"cos(a-/?)-cosBsin(6-a)=sin/?cos(a-/?)+cos/?sin(a-p)

=sin[/7+(a—/?)]=sina=

又awgm)，

所以cosa=——sin2a=—

而[J+cos2a_2cos2a_cosa__曰

sin2a2sinacosasina4"

故选：B.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的

要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.(6分)(2025•陕西汉中一模)记数列｛斯｝的前几项和为Sn，若TIQ“+I=Sn+n2+m且S1=2,则

()

A.a2=4B.｛斯｝是等差数列

2

C.Sn=n+2n-lD./+上+…+£=后

【答案】ABD

【解题思路】利用又与斯的关系式，运用迭代相减法，得到即+i—即=2,即可判断其为等差数列，写出

数列的通项与前n项和，即可依次判断A,B,C项；再利用裂项相消法求和即可判断D项.

【解答过程】对于A,在?1册+1=S；,+*+九中，取n=l时，a?=51+1+1=4,故A正确；

对于B,当"工2时，由"册+1=Sn+小+〃①，得(九—1)即=S-i+(〃-1尸+九一1②，

则①一②得几斯+1—(九一1)斯=即+2九，即n(即+i—即-2)=0,所以即+1—即=2(n>2).

又a2-Qi=2,所以｛斯｝是以2为首项，2为公差的等差数列，故B正确；

对于C,由B项，可得Sn=2n+的尸乂2=九2+"，故C错误；

对于D,因(==:一白

故…+5=；一；+；一打,一+：一左=1一左二岛，故D正确.

故选：ABD.

10.(6分)(2026•云南昭通・模拟预测)设定义在R上的函数f(x)和g(x)的导数分别为r(x)和8(%),若

/Q+2)-g(l-%)=2,rO)=g'(x+l),且g(x+l)为奇函数，则()

A.9(1)=0B.g，(x)的图象关于直线％=2对称

2O25

g(k)=0D.r(i)=o

Zk=I

【答案】ACD

【解题思路】根据函数的奇偶性结合平移得出A,应用复合函数求导再应用赋值法计算判断B,D,根据对

称性得出周期再计算函数值判断C；

【解答过程】由g(x+l)为奇函数，则g(x+l)过(0,0),图象向右平移一个单位得9。)过(1,0),A选项正确;

又/'(%)=9'(%+1)，则/(X)+a=g(.x+1)+b.

因为/(%+2)—。(1一%)=2,则f(x)=g(3—x)+2,所以g(x+1)+b=g(3—x)+Q+2，

令x=l,得g(2)+b=g(2)+Q+2,则8=。+2,所以g(x+1)=g(3—x),即g(x+2)=g(2—x),则

gQ)关于直线x=2对称，

两边求导得g'(x+1)=-g，(3—％),函数g，(x)的图象关尸点(2,0)对称,B选项错误；

因为9(%)关于点(1,0)对称，关于直线％=2对称，即g(x+2)=g(2—x),—g(%)=g(2一%),

所以g(X+2)=-g(x),则g(x+4)=-g(x+2)=g(x),所以g(x)的周期T=4；

所以,g(l)=,g(3)=0,g(2)=-g(0)=一『(4)，所以,g⑴+,g⑵+,g⑶+g(4)=g(k)+g(k+1)+g(k+2)

+g(k+3)=0,

2025

g(k)=g(l)+g(2)+…+g(2025)=9(2025)=g(l)=o,C选项正确;

Zk=l

又函数g(x)关于直线x=2对称，所以函数g(x)在x=2左右两侧单调性相反，

且/(%)=-g'(4f),令1=2,得4(2)=一，(4-2)，所以0(2)=0,4(1)=，(1+1)=0,D选项正

确，

故选:ACD.

11.（6分）（2025•湖南•三模）已知椭圆C：捻+玲=1Ca>b>0）的左、右焦点分别为吊（一c,0）,F2

（GO），1尸］初=2,离心率为右直线/过点七与椭圆C交于两点，若x轴上存在一定点P,使得arMN

的内切圆圆心在x轴上.则下列结论正确的有（）

A.椭圆C的方程为?+?=1

B.△MN%的周长为4

C.定点P的坐标为P（4,0）

D.当MN1X轴时，的内切圆圆心坐标为（封等,0）

【答案】ACD

【解题思路】对于A选项，先由焦距|匕「2|=2。=2求出和再根据离心率e=:求出a,最后住力2=小一。2

算出炉，从而得到椭圆方程.对于B选项，依据椭圆定义，△“八力周长等于（|用户］|+|河/2|）+（|%户］|+川

F2|）,都为2〃，算出周长判断对借.对于C选项，设直线方程与椭圆联立，用韦达定理得到力+丫2和月及，

由内心在x轴推出Kp+kNP=。，进而求出h对于D选项，当MNlx轴，求出y值，设内切圆圆心，根据点

到直线距离公式列方程求解圆心横坐标，舍去不合理的值.

【解答过程】对于A选项，已知F1F2I=2c=2,可得c=1.又离心率e=（=g,则Q=2.由Z?2=—c2,

得匕2=4—1=3,所以椭圆方程为9+!=1,故A正确.

对于B选项,△于4尸1周长为（也尸1］+|“尸2|）+（|〉尸1］+|可尸2|）,根据椭圆定义，IMF4+|MFz|=2a,

\NFx\+\NF2\=2a,a=2,所以周长是4a=8,故B错误

对于C选项,尸2于,0），设于C），时（%必）,/V（x2,y2）.

根据题意，设/方程工=my+1,与椭圆方程联立得（4+3m2）y2+6my-9=0,由韦达定理力+力=一悬，

力龙=-冷康•

因为△PMN内心在不轴上，所以/MPF2=ZNP&,即统/>+际户=0，

即含+含=0,即yi（my2+1-£）+及（小月+l-t）=0,

经化简得2町力y2+（1-0（71+先）=0,代入韦达定理则27九（-高7）+（1-0（-卷7）=0,得4T=0,

解得£=4.

故C正确.

对于D选项，MN_L为轴时，直线MN方程％=1,代入椭圆方程得y=±*

设内切圆圆心5,0),不妨设直线MP:x+2y—4=0,根据点到直线距离公式詈=八一1,解得九=止警,

n=上等VI舍去，故D正确.

4

第二部分(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.(5分)(2025•四川泸州•一模)已知平面向量力与良匀为单位向量，|方一山=唐，则五与石的夹角为.

【答案】与

【解题思路】根据题设，结合平面向量数量积的定义及运算律求解即可.

【解答过程】由题意，向=|同=1,|苍一耳二遍，

则》—2限加+=3,即向2一加|•I讣cos{d,b)+\b\2=3,

则1—2cos(a,b)+1=3,所以cos(五,石)=—

乂伍€[0m],则位=今

故答案为：g.

13.(5分)(2026•云南大理•二模)已知函数/(%)=眇一云%—(。-1)巳一已。,若f(%)N0恒成立,则实

数”的取值范围为.

【答案】(0对

【解题思路】将问题转化为e"+lnex>ax+ln(ax)恒成立，根据g(x)=x+Inx的单调性得出e">ax,再利

用导函数求出t(x)=m的最小值瓦可.

[解答过程]f(x)=ex-Inx—(a—l)x—Ina=(ex+x)—[ax4-In(ax)],

因为/(%)二°，所以(e*+x)—[axIIn(ax)]>0,所以c"Im>axIIn(ax),

即^+Ine*>ax+ln(ox)恒成立,

令g(x)=x+lnx,因为g(x)在(0,+co)上单调递增，所以g(e")Ng(ax),故e"Nax,

即qNa在3>0时恒成立即可,

设£(x)=71*>0，则r(x)=,x>0,

由r(x)>o得％>1：r(x)<o得o<%v1；

则t(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，则t(x)之£(1)=e,所以aWe,

又a>0,所以。的取值范围为(o,e].

故答案为:(0间.

14.(5分)(2026•新疆•一模)若正方体内部有两个球，其中球01与正方体的三个面相切，球必与正方体

的六个面均相切，球01与球。2也相切，设球。I、球。2的表面积分别为Si，S2,则兴=

02

【答案】7-473

【解题思路】利用正方体的性质，作出辅助线，可利用三角形相似来求球。[的半径，从而可求面积比.

【脩答过程】

设正方体的边长为2,由球。2与正方体的六个面均相切，可知球。2的半径为1，

由球01与正方体的三个面相切且与球。2也相切，设球。1的半径为r,

如图可知，A02=V3,。1。2=厂+1,所以4。1=遍一l-r,

根据△/OiN…△/OzM,则有,=生下，解得；r=^4=2-V3,

1V3V3+1

所以:£1_4n(2-何=7-4V3,

s24nxi2

故答案为：7-4V3.

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

15.(13分)(2025•广东佛山一“模)已知函数/(%)=cos3%+8)(3>0,0vs<IT)的最小正周期为m

日“。)=祭

(1)求/■(>)的解析式;

(2)设函数gQ)=/(x)+/(%+3,求g(x)的值域和单调区间.

【答案】(1)/Q)=COS(2X+3

(2)值域为［—,递增区间为［—1+kir,—弓+,递减区间为1—5+kir*+/cnj,kGl.

【解题思路】⑴先由周期求3,再由f(0)=亨求出3即可求解；

(2)由诱导公式得/'(%+力=-5访2”,利用三角恒等变换得ga)=gcos(2x+m，利用三角函数的性质

求出值域和单调区间即可.

【解答过程】(1)由7=穿二五，得①=2.由f(0)=COS0=4，且。<*<11,所以e=也

所以/(%)=C0S(2x+，；

(2)由/(x+力=cos(2%+/)=—sin2x,

所以9(%)=f(x)+/(%+，=cos2xcos^—sin2xsin^—sin2x

=ycos2x—|sin2x=V3［cos2xcos—sin2xsinJ=75cos(2%+三)，

所以g(x)的值域为［一V3,V3］,

因为y=cosx在［一五+2后,25］上单调递增，在［2/CTMT+2kn］(kEZ)上单调递减,

由一TT+2ZOT<2x+7<2/nr得一§+krr<x<—7+kn,

J3o

由2/nr<2x4-<2/cn+n得一+/cn<x<+kn,kWZ,

所以g(x)的递增区间为［-g+E,-5+kn］,递减区间为［一5+knW+kn］,keZ.

16.(15分)(2025・陕西西安•模拟预测)已知双曲线嗒一:=1(。>06>0)的离心率为3尸1/2分别是

双曲线C的左、右焦点，过尸2的直线2与双曲线C交于4B两点，当直线1垂直于工轴时，|^|=16.

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)若△43%的面积为竽，求直线，的方程.

【答案】⑴/一卷=1

(2)x—y—3=0或％+y—3=0

【解题思路】(1)根据双曲线的离心率公式、通径公式以及双曲线中。、b、c的关系列出方程组，求解山

a、b的值，进而得到双曲线的标准方程.

（2）先设出直线方程，然后联立直线与双曲线方程，利用韦达定理得到yi+及和力丫2,再根据三角形面枳

公式列出关于m的方程，求解出演的值，从而得到直线方程.

【解答过程】(1)由题意可得，多二16,

vc2=a2+b2,

解得a=l,b=

故双曲线。的标准方程为/一4二1.

O

(2)由题意可知直线I的斜率不为0,则设直线上%=my+3/(孙月),8(%2必)・

，2_y2一1

联立~~8=7整理得(8*一I)y248my+64=0,

x=my+3,+

则8m2-1丰0,A=(48m)2-4(8m2-l)x64>0,

-48m64

为+以=砺』沙，2=前』

因为△力BFi的面积为竽，

2

所%|F/2l-M-y2l=TX6xJ(^-)-4X5^-7=竽唬羽=率

整理得497n2+49=2(8m2-l)2,即1287n4-81m2-47=0,即(128评+47)(m2-1)=0,

解得机2=i,所以m=±l,

故直线，的方程为x—y—3=0或了+y—3=0

17.（15分）（2026•安徽马鞍山一模）如图，四棱锥。一力BCD中，40〃BC/B=BC=CO=PO=T

AD=1,PA=V5,COSZ.PAB=今

（1）求证：平面PADJL平面/BCD；

⑵求平面P/B与平面PC。夹角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；

【解题思路】（1）利用等腰梯形的性质及余弦定理分别求出80,PB,再利用勾股定理的逆定理及线面垂直

的判定、面面垂直的判定推理得证.

（2）建立空间直角坐标系，求出平面产力8与平面PCD的法向量，再利用面面角的向量法求解.

【解答过程】（1）因为在四棱锥P—力BCD中，AD//BC.AB=BC=CD=^AD=1,

所以四边形48CD为等腰梯形，COS^ADC=^AD~RQ贝i"4DC=60°,

CDN

所以/BCD=120°,则由余弦定理得BD=7BC?+CD?-20c•CDcos乙BCD=W，

在CP/IB中，PB=VP/12+AB2-2PA-ABcos/.PAB=2,^^PD2+BD2=4=PB2,

因此PD1BD,又W+m=5=P42,即PDJ.A。,

而C\BD=D,AD,BDu平面力BCD,

则PO1平面力BCD,又POu平面P/W,所以平面PAD1平面4BCD.

（2）在平面48。。内过。作OyJ.40,由（1）得直线04Dy,0P两两垂直，

以。为原点，直线OADyQP分别为轴建立空间直角坐标系，

则。(0,0,0)/(2,0,0),8(|,冬0),。(袋,0)/(0,0,1),

而=(-2,0,1),荏=(_；,苧,0),反=&孚,0)而=(0,0,1),

设平面R4B与平面PCD的法向量分别为沆=(a,4c),元=(x,y,z),

则/荏=_；Q+当b=0,令b=l'得m=(倔1,28),

「“呈"+当二°，令y=l,得元=(—倔1,0),

所以平面MB与平面PC。火角的余弦值为|cos(而砌=需=工=t

18.(17分)(2026・湖南长沙•三模)已知函数/(x)=|1nxi+*QH0).

(I)若a=l,求/'(%)的最小值；

(2)讨论f(x)的单调性;

(3)若/'(%)有且仅有三个不同零点为％1，X2fX3,证明：+%2十%3>2。21：+1.

【答案】(1)1

⑵答案见解析

(3)证明见解析

【解题思路】(1)利用导数求出函数的单调性，利用单调性求函数最小值；

(2)对参数a分类讨论，利用导数求函数的单调性；

(3)转化为证明(言一葭)，再转化为证明不等式：必>千，利用函数单调性得证.

【解答过程】(1)函数/(%)的定义域为(0,+8).

当VI时，尸(乃=_[_[=_矍；

当XN1时，=：一1=妥.

若a=l，当％e(0,l)时，/,(%)=-lnx+p可得f(%)单调递减；

当XG(1,+8)时，f(x)=^->0,可得f(x)单调递增，

故/(%)的最小值为f(l)=1.

(2)当工€(0,1)时，/(x)=-lnx+p若QW-l,f(x)>0,则/(%)单调递增，

若一1VQV0,当X6(0,—。)时，x+a<0,即>0,则/(%)单调递增；

当《W(—a,l)时，x+a>0,即/r(x)V0,则/'(%)单调递减.

若a>0,f1(x)<0,则/(%)单调递减.

当%€口,+8)时，若QVO,r(%)：>o,则/■(工)单调递增：

若ovawi,，(N)>(),则/■(工)单调递增；

若a>l,当％e(La)时，f(x)<0,则/(%)单调递减;

当彳£(。,+8)时，ra)>o,则/(%)单调递增.

综上所述，当。工一1时，/(X)在(0,+8)上递增；

当一lVaVO时，f(x)在(0,—a)上递增，在(一a,1)上递减，在(1,+8)上递增；

当OVa时，/'(%)在(0,1)上递减，在(1,+8)上递增；

当a>1时，/'(")在(0,a)上递减，在(a,+8)上递增.

(3)若/(%)有且仅有三个不同零点为力/2，、3，由(2)可知，必有一l<a<0,

假设<X2<x3,且0<Xi<—Q<必<1<工3，

当%->0时，/(x)=―力；+。——00;当+8时、/(x)=Inx+?-+8,

由/(%)极小值=/(I)=«<0/(%)极大值=/(-«)=-ln(-a)-1>0,解得一千VQV0.

先证不等式：xi+x2>-2a

由题意，工”2满足-lnx+£=0,故一ln%i+[=0且-lnx2+^=0，

人人1人2

两式相减整理可得Q=T^-ln

人2A1人2

则只需证：空>-著:唱即证：底>第告).

令£二蓝，则OV£V1,不等式转化为证明1玳>；6-9.

令93=ln£-*£一以0<t<1),则g&)=}-»*<0,

可得g(t)在(0,1)上单调递减，有g(t)>g(l)=0,即ln£>成立.

再证明不等式：X3>署.

由于%3>慧=1一士>1，且/(%)在(1,+8)上单调递增，

则只需证：f(暮)V0.

令少(%)=lnx-x+1(%>1),则少(%)=£­1=?■<0,@(盼是单调递减函数，

而/1一2*.l-2a,(l-a)al-2a(l-a)aa3

而AR-,n—+T^T<—(l-«)(l-2a)V0，

则不节

l-2a2a2—4a+l

综上，可得X]+X2+%3>—2a4

l-a1-a

19.(17分)(2025•广东佛山•三模)如图，力乃,。刀四人围成一圈玩成语接龙游戏，游戏开始时随机抽取

一个成语，第1次由A接龙，下一次接龙的人由掷硬币决定，规则如下：随机掷3枚硬币，如果3枚硬币都

是反面朝上，则第2次由4接龙；如果3枚硬币中仅有1枚正面朝上，则笫2次由B接龙；如果3枚硬币中

仅有2枚正面朝上，则第2次由C接龙；如果3枚硬币都是正面朝上，则第2次由。接龙.记第2次接龙的

人x(%为A或B或C或D),再次掷3枚硬币决定下一次的接龙人，若掷出的硬币中有i枚硬币正面朝上，则

按顺时针方向数，下一次由％后面的第i个人接龙(若i=0,则下一次由汇接龙).此后每次接龙以此类推.

(1)分别求出第2次由48,接龙的概率;

(2)记前3次中由4接龙的次数为X,求X的分布列及期望;

(3)记第九次由力接龙的概率为P%,证明P4,1=*n>l,n€N*).

【答案】(1焉I

(2)分布列见解析，y

(3)证明见解析

【解题思路】(1)根据二项分布可求第2次由接龙的概率;

(2)X的取值可能为1,2,3,根据独立事件的乘法公式可求X取相应值时对应的概率，故可求其分布列和

数学期望;

(3)记第n次由A接龙的概率为P4,第九次由B接龙的概率为P区,第九次由C接龙的概率为Pg,第次由D接

龙的