2022-2023学年安徽省马鞍山市高三上学期第一次教学质量监测数学试题

第PAGE"pagenumber"pagenumber页，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages页安徽省马鞍山市2022-2023学年高三上学期第一次教学质量监测数学试题一、单选题1．设集合，，则（

）A． B． C． D．2．若复数z满足zz−iz=3A．−1 B．2 C．1或2 D．−13．现有一组数据：，则这组数据的第85百分位数是（

）A．652 B．668 C．671 D．6744．5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数里面的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升至12000，则大约增加了（参考数据：，，）（

）A．25% B．30% C．36% D．45%5．已知平面向量，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．6．已知抛物线的焦点为，过且斜率大于零的直线与相交于，两点，若直线与抛物线相切，则（

）A．4 B．6 C．8 D．107．已知函数（，）的图象经过点，若函数在区间内恰有两个零点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．8．已知六棱锥的所有顶点都在半径为2的球的球面上，当六棱锥的体积最大时，其侧棱长为（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知圆台的轴截面如图所示，其上、下底面半径分别为r上=1，r下=2，母线AB长为2，点E为ABA．圆台的体积为73B．圆台的侧面积为12πC．圆台母线AB与底面所成角为60∘D．在圆台的侧面上，从点C到点E的最短路径长为410．已知是的边上的一点（不包含顶点），且，则（

）A． B．C． D．11．已知直线与圆，则（

）A．直线必过定点 B．当时，被圆截得的弦长为C．直线与圆可能相切 D．直线与圆不可能相离12．已知函数，若恒成立，则实数的可能的值为（

）A． B． C． D．三、填空题13．已知随机变量服从正态分布，若，则______.14．若数列是公差为2的等差数列，，写出满足题意的一个通项公式______.15．已知函数与的定义域均为，为偶函数，的图象关于点中心对称，若，则的值为______.16．已知椭圆的焦距为2，过椭圆的右焦点且不与两坐标轴平行的直线交椭圆于，两点，若轴上的点满足且恒成立，则椭圆离心率的取值范围为______.四、解答题17．已知数列，，，数列为等比数列，满足，且，，成等差数列.(1)求数列和的通项公式；(2)记数列满足：，求数列的前项和.18．已知条件：①；②；③.在这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.问题：在中，角，，所对的边分别是，，，满足：______.注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.(1)求角的大小；(2)若为锐角三角形，，求的取值范围.19．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，在线段上，且.(1)求证：平面平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.20．为了了解养殖场的甲、乙两个品种成年水牛的养殖情况，现分别随机调查5头水牛的体高（单位：cm）如下表，请进行数据分析.甲品种137128130133122乙品种111110109106114(1)已知甲品种中体高大于等于130cm的成年水牛以及乙品种中体高大于等于111cm的成年水牛视为“培育优良”，现从甲品种的5头水牛与乙品种的5头水牛中各随机抽取2头.设随机变量为抽得水牛中“培育优良”的总数，求随机变量的分布列与期望.(2)当需要比较两组数据离散程度大小的时候，如果两组数据的测量尺度相差大，或者数据的量纲不同，直接使用标准差来进行比较是不合适的，此时就应当消除测量尺度和量纲的影响.而变异系数（C．V）可以做到这一点，它是原始数据标准差与原始数据平均数的比，即变异系数的计算公式为：变异系数.变异系数没有量纲，这样就可以进行客观比较了.从表格中的数据明显可以看出甲品种的体高水平高于乙品种，试比较甲、乙两个品种的成年水牛的变异系数的大小.（参考数据：，）21．平面直角坐标系中，是双曲线（，）上一点，，分别是双曲线的左，右顶点，直线，的斜率之积为3.(1)求双曲线的渐近线方程；(2)设点关于轴的对称点为，直线与直线交于点，过点作轴的垂线，垂足为，求证：直线与双曲线只有一个公共点.22．设函数.(1)若对恒成立，求实数的取值范围；(2)已知方程有两个不同的根、，求证：，其中为自然对数的底数.

参考答案1．【答案】B【分析】首先求集合，再求.【详解】，所以，，所以.故选B.2．【答案】D【解析】设复数z=a+bi(a,b∈R)，因为zz−iz=3−i，即a3．【答案】C【分析】根据百分位数的定义，求得，即可确定第85百分位数为第11个数，可得答案.【详解】由题意这组数共12个，则，将这组数据从小到大排列为，故这组数据的第85百分位数为第11个数，即671，故选：C4．【答案】C【分析】根据题意将信噪比分别为1000，12000代入香农公式，列出等式，利用换底公式即可求出，即可求解.【详解】因为当信噪比比较大时，公式中真数里面的1可以忽略不计，所以当时，当时，所以，所以，所以大约增加了36%，故选：C.5．【答案】B【分析】结合向量的数量积的坐标运算，根据向量的投影向量的定义，即可求得答案.【详解】由题意知平面向量，故在上的投影向量为，故选：B6．【答案】C【分析】由已知设直线的方程为，，由直线与抛物线相切，列方程求，联立直线与抛物线的方程，利用设而不求法结合弦长公式求.【详解】抛物线的焦点的坐标为，由已知可设直线的方程为，，因为直线与抛物线相切，所以只有一组解，所以方程有且只有一个根，故，又，所以，联立，消，得，方程的判别式，设，则，所以，故选：C.7．【答案】D【分析】首先求，再根据,求的范围，结合正切函数的图象，列不等式，即可求的取值范围.【详解】由条件可知，，所以，，当时，，若函数在区间上恰有2个零点，则，解得.故选：D8．【答案】A【分析】结合球和正六棱锥的性质求出体积的表达式，令，求导，利用函数的单调性求得取最值时的条件，进而求解即可.【详解】由题意可知：六棱锥的底面六边形的顶点在同一个截面圆上.易知当六边形为正六边形时，其面积最大.要使六棱锥的体积最大，则该六棱锥为正六棱锥.不妨设正六边形的边长为，六棱锥的高为，则正六边形的外接圆的半径为.由球的性质可知：，则，所以正六棱锥的体积，设，则，当时，；当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，当时，函数取最大值，即时，取最大值，此时，所以正六棱锥的侧棱长，故选：.9．【答案】AC【分析】求出圆台的高，根据圆台体积公式可判断A；根据圆台侧面积公式可判断B；作出圆台母线AB与底面所成角，解直角三角形可判断C；将圆台展开，将圆台的侧面上，从点C到点E的最短路径转化为展开图中的线段长，可判断D.【详解】对于A：圆台的高为22则圆台的体积V=13π×(2对于B：根据圆台的侧面积公式，可得侧面积为S=π(1+2)×2=6π．对于C：过A作AF//O1O2交底面于F，而O1O2⊥所以∠ABF即为母线AB与底面所成角．在等腰梯形ABCD中，AB=2,BF=2−1=1，所以cos∠ABF=BF因为∠ABF为锐角，所以∠ABF=60．故C正确；对于D：设圆台侧面展开图上底面圆周对应的扇形半径为r，下底面圆周对应的扇形半径为R，设扇形圆心角为α，则2π×1=αr,2π×2=αR，则R=2r，由于R−r=2,所以R=4,r=2，则即圆台的侧面展开图为半圆环，如图示，在圆台的侧面上，从C到E的最短路径的长度为CE，由题意可得：O'B=O'C=R=4,AB=2．由E为AB中点所以CE=O'C2+故选AC.10．【答案】AD【分析】利用平面向量的线性运算，结合基本不等式，验证各选项的结果.【详解】是的边上的一点（不包含顶点），则有，得，即，又，∴，可得，，，，，所以A选项正确，B选项错误；，当且仅当时等号成立，所以，C选项错误；，D选项正确.故选：AD11．【答案】ABD【分析】将直线变形为，即可求定点坐标，即可判断A；根据弦长公式求弦长，判断B；根据直线所过定点与圆的关系，再结合直线方程的形式，即可判断CD.【详解】A.，联立，得，所以直线过点，故A正确；B.当时，，圆心到直线的距离，弦长，故B正确；C.直线所过定点在圆上，过点与圆相切的直线是，但直线，表示斜率存在的直线，表示不了直线，故不存在直线与圆相切，故C错误；D.直线所过定点在圆上，所以直线与圆总有公共点，不可能相离，故D正确.故选：ABD12．【答案】AD【分析】根据转化成恒成立，构造函数利用导数求解的单调性，问题进一步转化成恒成立，构造，求解最值即可.【详解】，故恒成立，转化成恒成立，记，则在单调递增，故由得，故恒成立，记，故当时，单调递减，当时，单调递增，故当时，取最大值，故由恒成立，即,故，故选：AD【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.13．【答案】3【分析】根据正态分布曲线的对称性即可求解.【详解】由于，可知正态分布曲线关于对称，故故答案为：314．【答案】（答案不唯一）【分析】设等差数列的首项为，利用已知条件求出的范围，写出等差数列的通项公式即可.【详解】设等差数列的首项为，且公差，则，即，所以，令，所以，所以可取故答案为：（答案不唯一）15．【答案】【分析】通过赋值得，结合函数对称性，奇偶性得到，则，解出即可.【详解】因为，令得，又因为是偶函数，所以图像关于直线对称，即①又因为的图像关于中心对称，所以函数是奇函数，即，，令代换，得②则将①②代入得令得结合，解得，，所以，故答案为：2.16．【答案】【分析】根据给定条件，设出直线AB的方程，与椭圆方程联立，求出线段AB中点横坐标，即可列式求解作答.【详解】依题意，点，设直线，，由消去x得：，则，线段AB的中点，因为，则有，直线，令得点，而，有，又，即，因此，即，依题意，恒成立，而恒有，因此，离心率，所以椭圆离心率的取值范围为.故答案为：【点睛】方法点睛：求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．17．【答案】(1)，(2)【分析】（1）首先判断数列为等比数列，数列是等差数列，求数列的通项公式，再根据条件求数列的首项，即可求得数列的通项公式；（2）根据（1）的结果，利用分组转化法，利用等差，等比求和公式求和.【详解】（1）由题意，，，，令得，又数列为等比数列，所以，即数列为公比为等比数列.所以由可得即，数列是首项为，公差为的等差数列，数列的通项公式：.由，，成等差数列，得：，，，有.（2）由（1）知，数列的奇数项是首项为3，公差为4的等差数列，偶数项是以首项为4，公比为4的等比数列..18．【答案】(1)(2)【分析】(1)选择条件①时利用三角恒等变换公式化简即可求解，选择条件②时利用三角恒等变换公式化简即可求解，选择条件③时利用正弦定理和三角恒等变换公式化简即可求解；(2)根据正弦定理可得，，从而，再根据，即可得到，利用三角函数的性质即可求取值范围.【详解】（1）选择条件①：，所以，于是，又，所以.选择条件②：因为，解得，又，所以.选择条件③：则，由正弦定理得：，即，整理得：，由得：，又，所以.（2）由（1）知，，为锐角三角形，所以，由正弦定理，得，，于是，化简得，，因为,所以，所以，，故的取值范围为.19．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）证法1：几何法，要证明面面垂直，转化为证明线面垂直，利用垂直关系转化为证明平面，即可证明；证法2：向量法，以点为原点建立空间直角坐标系，分别求平面和平面的法向量，证明法向量垂直，即可证明面面垂直；（2）证法1，几何法，利用平行关系，以及等体积转化求点到平面的距离，即可求得线面角；证法2：向量法，利用线面角的向量法，即可求解.【详解】（1）证法1：因为底面，底面，所以，又为正方形，所以，且，平面，平面，所以平面，又平面，所以，因为，为线段的中点，所以，且，平面，平面，所以平面，而平面，所以平面平面.证法2：以点为坐标原点，以，，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图，由已知可得，，，，，，则，，，.设平面的法向量为，由，得，，所以令，得，，所以.设平面的法向量为，由，得，，所以，令，得，，所以，因为，所以，所以平面平面.（2）方法1：因为底面为正方形，所以，所以直线与平面所成角等于直线与平面所成角，设所求角为，因为平面，平面，所以，故，，，,所以，所以，又，点到平面的距离为2，设点到平面的距离为，由，得，得，又，所以.方法2：因为，平面的法向量为，设直线与平面所成的角为，则.20．【答案】(1)分布列见解析，(2)甲品种的成年水牛的变异系数大【分析】（1）根据古典概型概率公式，结合组合数公式，根据的取值，分别求概率，即可求分布列和数学期望；（2）根据数据，分别求两组数据的平均数，标准差，即可求两个品种的变异系数，比较大小.【详