江西省赣州市于都县2025-2026学年八年级下学期4月期中检测数学试卷（含答案）

江西赣州市于都县2025-2026学年度第二学期八年级数学期中测试卷

一、单选题

1.若二次根式G在实数范围内有意义，则X的取值范围是（）

A.x>\B.x>1C.x<\D.1

2.下列运算正确的是（）

A.6+&=也B.3石-石=2C.V3xx/5=715D.旧+石=4

3.以下列长度的三条线段组成的三角形中，不是直角三角形的是（）

A.3,4,5B.4,5,6C.1,>/2,>/3D.—,2,一

22

4.若一个六i力形的每个内角都是x。，则戈的伯为（）

A.60B.90C.120D.150

5.如图，点。是出力8。边力。的中点，连接30并延长至点使0。=40,添加下列选项中的一个条件,

不能判定四边形48CQ为矩形的是（）

B.48c=90。C.ZABD=ZACDD.OB=OC

6.如图，在长为5dm、宽为3dm、岛为4dm的长方体上，有一只蚂蚁准备顺着长方体的表面从顶点力处爬

到相对的顶点8处.则蚂蚊爬行的最短路程为（）

A.V50dmB.V74diTC.V80dmD.\/90dm

二、填空题

7.化简Jii的结果为

8.如图，在平面直角坐标系中，点力、8的坐标分别为（3,0）和（0,2）,则力、8两点间的距离是

01234x

9.如图，在U月5CZ）中，对角线BD交于点、O,ACLAB,点E、尸分别为6C、。。的中点，连接

AE、OF,若OF=4,则/E=.

10.如图，所有阴影四边形都是正方形，两个空白三角形均为直角三角形，且4、。、。三个正方形的面

积分别为6、2、12,则正方形4的面积为.

11.对于任意正实数。，力，定义一种新的运算：“※人及+打，例：3X4=百+石々=6+2百=3百,

按照这种运算方法，则7X9=.

12.在正方形力BCQ中，点£在对角线比＞上，点尸在正方形的边上，若/JE8=105。，AE=EP,则在

中，N/E尸的度数为.

三、解答题

13.计算及求x

（1）计算：（40一3卡卜26；

（2）求出图形中x的值.

14.已知：x=G+后,y=x/J-五，求下列各式的值.

⑴/-2号+/；

(2)x2-/：

15.如图，在梯形48CQ中，AD//BC,ZC=90°,AD=3,AB=4,BC=5,点E是边BC上一点，且

/DEC=ZB.

（1）求证：四边形44七。是平行四边形.

（2）求力28C之间的距离.

16.《九章算术》中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各

几何.大意是：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈（1丈=10尺）的正方形.在水池正中央。处有

一根芦苇。4,它高出水面的部分以为1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边

的水面，SPOB=OA.求水池的深度OC及芦苇的长度Ol；

17.如图，NC为菱形48CZ）的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）

(1)如图1,过点4作AC的垂线；

(2)如图2,点E为线段的中点，过点4作/C的平行线.

18.某公园是人们健身散步的好去处.小明跑步的路线如图，从4点到。点有两条路线，分别是和

A-C-D.已知力8=90m,?!C=150m,点8在点C的正西方120m处，点。在点。的正北方60米处(即

BC=120m,C£)=60m,BC1CD).

⑴求证：ZJBC=90°；

(2)请通过计算比较这两条路线中，哪一条更长？

19.如图，木工从一个大正方形木板上裁去面积分别为48cm2和50cn?的两个小正方形木料.

(1)求剩余木料(阴影部分)的面积；

(2)如果木工想从剩余的木料中裁出长为7cm,宽为1.5cm的长方形木条，最多可以裁出块这样的木条

(参考数据：6纪1.732).

20.如图，四边形48。是平行四边形，BM〃DN,且分别交对角线4c于点〃,N,连接MR历V.

⑴求证：BM=DN；

(2)若/切C=ND4C.试判断四边形的形状，并证明.

21.观察下列各式：

(2)猜想(/；＞2,〃为自然数)等于什么，并验证你的猜想.

22.完成下列题目

(1)【问题背景】

图I是著名的赵爽弦图(其中四个直角三角形较大的直角边长都为。，较小的直角边长都为人，斜边长都为

图中大正方形的面积有两种求法，一种是等于C?，另一种是等于四个直角三角形与一个个正方形的面

积之和，即(用含明b的式子表示)，从而得到等式：，化简便推导出重要的勾股定理.：

.像这样用两种不同方式来表示同一个图形的面积，从而得到等式或方程的方法，我们不妨称

之为“等面积法”：

(2)【问题探究】

将两个全等的直角三角形(较大的直角边长都为叫较小的直角边长都为b,斜边长都为C)按如图2方式

放置，4瓦8在同一直线上，显然N4=NA=NDEC=90。，连接CQ.请你借助此图同样用“等面积法”证

明勾股定理；

(3)【问题拓展】

如图3,网格中小正方形的边长均为1,连接具中二个格点得色"C,请用“等面积法”求该二角形片8边上

的高.

23.定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”,

如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”.某兴趣小组闱绕该定义进

行探究活动，请解决下列问题：

BFC

图1

CBC

图2图3

⑴如图1,点反£G,〃分别为任意四边形/18CO的边力的中点.该小组发现任意四边形的中点

四边形都是平行四边形，证明思路如卜.：

请指出上述解题思路中的“依据I”、“依据2”分别是什么？

依据1：;依据2:;

(2)该小组从特殊四边形出发，判断以下图形中，一定属于“中方四边形”的是(填序号).

①平行四边形：②矩形；③菱形；④正方形

(3)如图2,该小组深入探究发现，要使得四边形为“中方四边形”，则其对角线4c与友)应满足特殊

的数量关系和位置关系.请写出乂。与8。应满足的条件，并证明你的结论.

(4)如图3,以锐角出力8c的两边为边长，分别向外侧作正方形相。£和正方形月C尸G,连接

BE,GC,EG,求证：四边形5cM是“中方四边形”.

参考答案

解：•・•GT在实数范围内有意义,

/.X>1,

故选：A.

2.C

解：A、行与几不足同类二次根式，不能直接合并，故A错误;

B、3石-石=(3-1)6=26。2,故B错误：

C、百乂石=反？=而，故C正确；

D、V24+y/6=J24+6=5/4=2w4,故D错误.

3.B

解：选项A最长边为5,•.•32+4:=9+16=25=5?,

•••该三角形是直角三角形；

选项B最长边为6,

•.•42+52=16+25=41,62=36,41工36,

该三角形不是直角三角形；

选项C最长边为石，

•.•1、(可=1+2=3=(可，

二该三角形是直角三角形；

选项D最长边为g,

35

2

,该二角形是直角二角形.

4.C

解：•・•一•个六边形的每个内角都是x。，

・•・每个内角的度数为：犬=（6-2卜180。+6=120。，

故选：C.

5.A

解：•••点O是CM5C边力。的中点，

:0A=OC,

又OD=BO,

•••四边形月BCD是平行四边形，

A.若4B=BC,则四边形力8c刀是菱形，无法得出四边形/18CQ为矩形，故该选项符合题意；

B.若N4BC=90°,则四边形力5。。为矩形，故该选项不符合题意；

C.•四边形ABCD是平行四边形，AB=CD,又ZABD="D,乙4OB=ZDOC，二AAS）,

:.OB=OC=OA=OD,

••.力。=8。，.••则四边形48CO为矩形，故该选项不符合题意;

D.若OB=OC»OB=0C=0.4-0D,

.•.4C=8O,•••则四边形48。。为矩形，故该选项不符合题意;

故选：A.

6.B

解：①如图所示，

A53

根据勾股定理得AB=J（5+31+干=廊揄］；

②如图所示，

根据勾股定理得AB-^(4+3)2+52-V74dm;

③如图所示，

R

tt

\5

—VI-

\4

34

根据勾股定理得AB=7（4+5）2+32=质dm;

♦：耳＜底＜回

.,•最短路程为J万dm,

故选:B.

7.3五

解：718=79^2=35/2,

故答案为：3加.

8.x/13

解.：・・•点/、3的坐标分别为(3,0)和(0,2),

OA=3,OB=2,

AB=＞IOA2+OB2=\l32+22=而•

9.4

解：•・•四边形/4CQ是平行四边形，

：,OB=OD,即点O为的中点，

•・•点R为C。的中点，

・・・。/为△BCO的中位线，

・•.BC=2OF=8,

9：ACLAB,即血C=90。,且点E为8C的中点,

AAE=-BC=4.

2

10.4

解：•••两个空白三角形均为直角三角形，且〃、C、。三个正方形的面积分别为6、2、12,

结合勾股定理可知，中间空白正方形的面积为：12-2=10,

则正方形4的面积为10-6=4；

故答案为：4.

11.4>/7

解：由定义，”※力

所以7X9=近+至？=，+31=41.

故答案为：4\/7.

12.60。或90。或150°

解：如图所示，在正方形月3CQ中，点“在对角线8。上，NAEB=105。,

XL、、、、

Z✓、、

/'4_________________\。仍3)

/x77r、

•・•点。在正方形的边上，且zl£=EP,

・・・可以以E为圆心，胡为半径作圆，与正方形的交点即为满足条件的P点,

当点尸在力。上时，如图，AE=AP]f

•••四边形月8CO为正方形，〃。为对角线，

/.ZEBA=45°,ZBAD=90°,

•••Z.EAB+/.EBA+/.AEB=180",

£EAB=180°-/ABE-ZAEB=30°,

LEAD=/BAD-/BAE=90°-30°=60°,

,/AE=APX,

.•.1Eg为等边三角形，

/.—60°,

当点尸在co上时，如图，AE=AP2,AE=AP.,

•.•四边形力4c。为正方形，8。为对角线，

ZABE=^PyBE,AB=BP\,

在"BE和6品中,

AB=BP3

«/ABE=半BE,

BE=BE

阻SAS),

/.ZAEB=ZP.EB=\050tNBAE=NBP?E=30。,

•.•ZAEB+ZP.EB+N4ER=360°,

NAER=360°-/AEB-=360°-105o-105°=150°,

•.•ZDP©+NBP、E=/BCD=90°,

/。噌=90。-/8々七=60。，

•・•明=,

二•△笆4为等边三角形，

“例=60。，

•••ZBEP、+ZP.EP2+ZP2ED=\80°,NAEB+N/iER+ZP、ED=180°,

.•."£10=15。，ZP2ED=\50,

/.^AEP2=N/1ER+/RED+ZP2ED=90°,

综上所述：乙4E尸的度数为60。或90。或150。，

故答案为：60。或9()。或150。.

13.(1)2--

2

(2)x=95

(1)解：(4a-3闷+2后

=4层2层4+2行

93百

=2--------;

2

（2）解：如图所不，

由题意得，ZABC+75°+120°+80°=360°,

:.N"C=85。，

•・•Z45C+ZCBD=180°,

・"CBD=95。,

/.x=95.

14.(1)8

(2)4X/6

(1)•：x=6+=6-五

.\x-jV=x/3+>/2-(x/3-x/2)=2v，2

，x2-2xy+y2

=(i)2

=Q可

=8；

(2)*：x=g0y=6-五

:・x+y=0五+退-五=2拒

=(x+y)(x-^)

一k2V2

=4底♦

15.⑴见解析

⑵2月

【详解】(1)证明：・・・NDEC=/B,

AAB//DE,

VAD//BC,即月O〃8£,

:.四边形ABED是平行四边形：

(2)解：•・•四边膨力8月。是平行四边形，AD=3,AB=4,

:,BE=AD=3,DE=AB=4»

8c=5,

:・CE=BC-BE=2,

•・•ZC=90°,

CD=ylDE2-CE2=V42-22=273，

即，4。,5C之间的距离为2百.

16.水池的深度OC为12尺，芦苇的长度04为13尺.

解：设OC=x尺，则。8=0/=卜+1)尺，

由题意得，i?C=lxl()xl=5R,NOCB=90°,

2

在太△08C中，由勾股定理得0相=0。2+8。2,

A(X+1)2=X2+52,

解得x=12,

；・x+l=13,

答：水池的深度OC为12尺，芦韦的长度。力为13尺.

17.(1)作图见解析；

(2)作图见解析.

(1)解：如图，80即为Z1C所求；

(2)解：如图，4.”即为所求.

18.⑴见解析

(2)4-。-。路线更短

(1)证明：在dMAC中，44=9。米，/C=150米，8C=120米,

vAB2+BC2=902+1202=22500:JC2=1502=22500

AB2+BC2=AC2,

：.ZABC=90°,

(2)解：在RiZ^C。中，8C=120米，。。=60米，

由勾股定理得：BD=71202+602=60>/5(米)，

48+80=90+60石(米),£+8=150+60=210(米),

•••90+60石>210，

路线更短.

19.(l)40\/6cm2;

(2)8

(1)解：设面积分别为48cm2和50cm2的两个小正方形木料的边长分别为x,y,

根据题意，得/=48,/=50,

:.x2y2=(xy)2=48x50=2400=400x6,x=4G(cm),y=5vE(cm),负的都舍去,

/.xy=j400x6=20屈

故阴影部分的面积为2xy=40x/6(cm2).

(2)解：根据题意，得x=4x/544xl.732=6.928(cm),)，=5亚=而>如=7,

故一个长方形木料最多可以裁出4块这样的木条,

故•共最多可以裁出8块这样的木条.

20.⑴见解析

(2)四边形用WON是菱形，证明见解析

(1)证明：连接8。，交力C于点O,

•・•四边形ABCD是平行四边形，

,OB=OD,

,:BM||DN,

・•・/MBO=/NDO,

乂/BOM=/DON,

：,ABOMADON（ASA）,

:.BM=DN；

（2）解：四边形8A/DM是菱形，证明如下:

连接8£）,交力。于点O,

由（1）得：BM=DN,

•；BM//DN,

・•・四边形BMDN是平行四边形，

•・•四边形/8CQ是平行四边形，

AAB//CD,OA=OC,

・•・NBAC=/ACD,

:ABAC=ADAC.

：.工ACD=NDAC,

工AD=CD,

AC1BD,

・•・四边形8MDN是菱形.

⑵〃—F—=r,见解析

v/r+1+1

【分析】本题考查的是与二次根式相关的运算规律的探究；

（1）用二次根式的相关运算法则计算即可得到本题两空的答案；

（2）观察、分析前面四个式子的计算结果可知：当〃为不小于2的自然数时，总有：，=二=〃，＜_,

由二次根式的运算法则把左边的式子化简变形可得右边的式子.

（2）解：观察、分析前面四个式子可知:

当外为不小于2的自然数时：理由如下:

V+1Vn2+1

故当〃为不小于2的自然数时:

22.⑴3"x4+(6-af；=~abx4+(b-a)'

（2）见解析

⑶州

（1）解：图中大正方形的面枳有两种求法，一种是等于《2,另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形

的面积之和，即+（用含明力的式子表示）,从而得到等式：力x4+S-"）2,化简便

推导出重要的勾股定理：

(2)证明：S“CE=；C\S栉开c=；e+4)S+/?),SACQE=；。瓦S/sc=；ab,

S梯收=S,ABC+S&CDE+^t.ACE»

••[(力+州"+小

:.a2+b2=c2：

(3)解：设//边上的高为人

1.*S.业.=4x4—；x2x4-；x2x4x2x2=6,AB=42?+4,=2后，

•q=—ABh=—x2>/5/?=6,

,•3ABe22

,6石

:.h=----,

5

即,4A边上的高是述.

5

23.(1)三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边长的一半；一组对边平行且相等的四边形是平行四边

形

(2)④

(3)4C_LAO,AC=BD,证明见解析

(4)见解析