北师大版高中数学选择性必修第二册 平均变化率~12 瞬时变化率【作业原卷+答案】

02

§1平均变化率与瞬时变化率

1.1平均变化率〜1.2瞬时变化率

A级必备知识基础练

1.［探究点一（角度2）］函数启）=在区间［1,8］上的平均变化率为（）

A.-；

2」探究点三］如图，从上端口往一高为〃的水缸匀速注入水，水注满所用时间为£当水深为〃时，水注

入所用时间为f,则函数%=人。的图象大致是（）

3.［探究点三］某公司的盈利y（单位:元）与时间x（单位:天）的函数关系是产/"）,假设

空空®>0（为>脸0）恒成立，且吟普二10,华普=1,则说明后10天与前10天相比（）

A.公司亏损且亏损幅度变大

B.公司的盈利增加，增加的幅度变大

C公司亏损且亏损幅度变小

D.公司的盈利增加，增加的幅度变小

4.［探究点一（角度I）、探究点二（角度I）］一质点做直线运动淇位移s与时间/的关系为产人2/,设其

在［2,3］内的平均速度为vi,&t=3时的瞬时速度为也，则以二（）

也

768

/C

一

A.6-8-7一7

5.［探究点二（角度2）］已知），力（；0=-『+10,则），=/1）在处的瞬时变化率是（）

A.3B.-3C.2D.-2

6.［探究点一（角度2）］设函数AO=xlgx.x,当x由1变到10时八丫）的平均变化率为.

7.［探究点二（旃度1）］一物体的运动方程为M/APB+Z厕其在1=时的瞬时速度为1.

8」探究点习泰山十八盘是泰山登山路中最险要的一段，在当地有“紧十八,慢十八，不紧不慢又十八”

之说，・段登山路线如图所示洞样是登山，从4处到8处会感觉比较轻松，而从。处到。处会感觉比

较吃力.试用数学语言给出解释.

9.［探究点二（角度）枪弹在枪筒中的运动可以近似看作是匀加速直线运动,其路程（单位:m）与时间

（单位:s）的关系式为s⑺=泮，如果枪弹的加速度«=5x］05m&,且当r=1.6xl0-3s时，枪弹从枪口射出,

求枪弹射出枪口时的瞬时速度.

B级关键能力提升练

10.物体的运动函数是5=-4尸+16，，在某一时刻的速度为零，则相应时刻为（）

AJ=1B.r=2C.z=3D./=4

IL已知甲、乙两个小区在［0j］这段时间内的家庭厨余垃圾的分出量Q与时间/的关系如图所示.

给出下列四个结论：

①在Z同这段时间内，甲小区的平均分出量比乙小区的平均分出量大；

②在1/2⑷这段时间内，乙小区的平均分出量比甲小区的平均分出量大；

③在，2时亥IJ,甲小区的分出量比乙小区的分出量增长得慢；

④甲小区在［0/］,［力,切,应用］这三段时间中，在比，耳的平均分出量最大.

其中所有正确结论的序号是（）

A.①②B.②③C.①@D.③④

12.如图所示，单位圆中弧AB的长为占/U）表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积（阴影部分）的2倍，则

函数），力U）的图象是（）

A

x

13.函数），力在区间Mxo+M上的平均变化率为后，在区间的-&"ol上的平均变化率为h则k\

与攵2的大小关系为（）

A.%i>&2B.k\<k2

C.k\=k2D.不确定

14.（多选题）已知某物体的运动函数为s⑺=7尸+8（00名5）,则（）

A.当/=1到/=3时该物体的平均速度是28

B.该物体在r=4时的瞬时速度是56

C.该物体位移的最大值为43

D.该物体在t=5时的瞬时速度是70

15.将半径为R的球加热，若半径从R=1到R=m时球的体积的平均变化率为詈，则〃?的值

为.（注：/-力3=（。d）（.2+（山+^2））

16.一个小球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的路程力（单位:m）与时间《单位:s）之间的函数关系为

h=2r+3/,则当/=3s时球的瞬时速度为m/s.

17.一质点做直线运动，其位移s与时间t的关系为5"）=入1,该质点在2到2+加（。>0）之间的平均速

度不大于5.求△，的取值范围.

C级学科素养创新练

18.服药后，人吸收药物的情况可以用血液中药物的浓度c（单位:mg/mL）来表示，它是时间f（单位:min）

的函数，表示为下表给出了的一些函数值.

f/min102030405060708090

c（04mg/mL）0.890.940.981.001.000.970.900.790.63

服药后30min~70min这段时间内，药物浓度的平均变化率为mg/(mLmin).

19.若一物体运动函数如下:(位移单位:m,时间单位:s)

_〃,\J3£2+2,£N3,

S~~(29+3(t-3)\0<t<3.'

⑴物体在/£[3,5]内的平均速度；

⑵物体的初速度vo；

(3)物体在t=\时的瞬时速度.

参考答案

第二章导数及其应用

§1平均变化率与瞬时变化率

1.1平均变化率〜L2瞬时变化率

1.B曙2故选B.

2.D将容器看作一个球体，在刚开始注水时，由于球体的截面积较小，对于相同的加时间，高度

的变化较大，即第狡大，即函数〃）的导数值较大，到水注入球体的一半时,由于球体的极面积较

大次/）的变化率较小，到接近于球体的顶端时拱。的变化率又较大.故选D.

3D由出生112>03>\.口）恒成立，可知产小）单调递增和盈利增加，

xrxo

又因为平均变化率吗”叽［0>华普=1说明盈利增加的幅度变小，故选D.

4.B根据平均速度定义可知，在/引2,3］内的平均速度为也二32+2x：：2-2x2=7；在/=3时的瞬时速

度啮=s(3+的人⑶(3+△枝+2x(3+At)-32-2x3

=8+Ar,

AtAt

当△/趋于。时二■趋于8,所以在t=5时，瞬时速度为次即吸=8.

所以W•故选B.

5.B•・•?=馋了(为二..3,当AA-趋于0时,?趋于-3.

AxAxAx

6.i*0）力1）=10也10-10・（恒1・1）=10・10+1=1,・・・当尤由1变到10时次x）的平均变化率为

/（io）-r（i）1

10-1-9,

7.2设物体在片防时的瞬时速度为1,

因唠=s(to+At)-s(S)

At

二(£o+At)23(m+4t)+2-(.-3to+2)

△t

=2r0-3+Ar,

当加趋于0时,2/0-3+△/趋于2/0-3,

；・2fo-3=l,解得玷=2.

8.解山路从A处到8处高度的平均变化率为翳=祟=也山路从C处到。处高度的平均变化

率为强缪;=1，由,知山路从C处到。处比从4处到8处陡峭，故从4处到8处会感

Ax2100-70225

觉比较轻松，而从C处到。处会感觉比较吃力.

1.As]a(t+4t)24at2i

9.解'：s(t)=-ar,：.—=Z---2-=at+-a^t.

当△/趋于0时,“/+/△/趋于at,

由题意知,a=5x1O'm/s?j=1.6x1O-3s,

，〃=8x102=8OO(m/s),

即枪弹射出枪口时的瞬时速度为8(X)m/s.

10.B设在/时刻的速度为0,

...竺=3尤±竺至蛆±1^=.8什16-4加

AtAt

当&趋于0时,-8r+16-4Ai趋于-8r+16,

由-8什16=0,解得f=2.

11.B①在上”2]这段时间内，甲的平均分出量小于乙,此说法错误.

②在后闻这段时间内，乙的平均分出量大于甲，此说法正确.

③在历时亥I],乙的图象比甲的图象陡,瞬时增长率大,此说法正确.

④甲的图象大致为一条直线，所以三个时间段的平均分出量相等，此说法错误.故选B.

12.D不妨设点A固定，点B从点A出发绕圆周旋转一周，则开始时x很小，即弧A8长度很小，这

时给x一个改变量At,那么弧A8与弦A3所围成的弓形面积的改变量非常小，即弓形面积的变

化较慢；

当弦AB接近于圆的直径时,同样给x一个改变量Ax,那么弧AB与弦AB所围成的弓形面积的改

变量较大，即弓形面积的变化较快；

从直径的位置开始,随着点8的继续旋转,弓形面积的变化越来越慢.

由上可知函数y=/U)的图象历该是首先比较平缓，然后变得比较陡峭，最后又变得比较平缓，对比

各选项知D正确.

13.A旦曲±誓3=也竽出=%+.,

AxAx

22

h=f(x0)-f(x0^x)=XO-(XO-AX)=2xo,Ax

AxAx

由题意知Ax>o,，h乂2.

14.ABD该物体在t=\到/=3时的平均速度是丝平=竽=28,故A正确；

3-12

物体在片4时的瞬时速度是当A/趋于0时，出蒜也上=56+7△/趋于56,故B正确；

物体的最大位移是7x52+8=183,故C错误；

物体在/=5时的瞬时速度是当Z趋于0时，逆卷3=70+7加趋于70,故D正确.

47131、

15.2设球的体积为RAV=¥〃?3_?xl3=?(31),...黑=31-=等,.・.〃72+〃?+I=7,

335NR771-13

ni=2或/〃=-3(舍去).

16.15竽=2(心八*+3,)却+3+2加.

AtAt

当U3,且加趋于0时喘趋于15.所以当f=3s时球的瞬时速度为15m/s.

17.解质点在2到2+4(△/>0)之间的平均速度为

-=s(2+At)-s⑵=(2+At)2+l-(22+l)

-At-At-'

又因为4+△二5,所以△