人教版八年级数学下册《数据的离散程度（一）》教案

第二十四章数据的分析

24.2数据的离散程度

第1课时离差平方和与方差

教学设计

课题第1课时离差平方和与方差授课人

1.通过实例理解离差平方和与方差的统计意义，能解释离差平方和与方差与

数据波动性的关系；

教学目标2.掌握离差平方和与方差的计算公式，能正确计算数据集的离差平方和与方

差，并比较不同数据集的稳定性；

3.综合运用离差平方和与方差分析实际问题，形成数据驱动的决策能力

教学重点掌握离差平方和与方差的计算方法

教学难点根据问题情景正确使用离差平方和与方差

授课类型新授课课时1

教学步骤师生活动设计意图

复习导入在统计学中，除了平均数、中位数、众数这类刻画数据集中通过回顾

趋势的量以外，数据的波动情况也是人们经常关注的特征，统计旧知为学

中把它称为数据的离散程度.习新知做

好准备.

本节我们将学习刻画一组数据离散程度的两个常见统计量一

一离差平方和、方差.

探究新知问题某农业科学院专家为某地选择合适的甜玉米种子.选择种通过问题

子时，甜玉米的产量和产量的稳定性是专家所关心的问题.为了解探究和讨

甲、乙两种甜玉米种子的相关情况，专家各用10块自然条件相同论，帮助

的试验田进行试验，得到各试验田每公顷的产量（单位：t）如下学生理解

表所示.离差平方

和与方

甲7.657.507.627.597.657.647.507.407.417.41

差.通过

乙7.557.567.537.447.497.527.587.467.537.49

观察和讨

根据这些数据估计，专家应该选择哪种甜玉米种子呢？论，帮助

学生发现

上面两组数据的平均数分别是孙尸7.537,元乙二7.515.

离差平方

说明在试验田中，甲、乙两种甜玉米的平均产量相差不大.由此可和与方

以估计出这个地区种植这两种甜玉米，它们的平均产量相差不大.差，并掌

握其应

由样本平均数估计总体平均数

用.

怎样直观地看出甲、乙两种甜玉米产量的情况呢？

可以画出统计图如图所示：

甲种甜玉米的产量乙种甜玉米的产量

比较上面的两幅图可以看出，甲种甜玉米在各试验田的产量波动

较大，多个产量离平均产量较远；而乙种甜玉米在各试验田的产

量波动较小，较集中地分布在平均产量附近.因此，从直观上判断

乙种甜玉米的产量稳定性更好.

如何用一个值刻画一组数据的波动程度或离散程度呢？

正如上图所呈现的，当数据分布比较分散时，数据与平均数的差

异相对较大；当数据分布比较集中时，数据与平均数的差异相对

较小，反过来也成立.这样，为了全面反映一组数据的离散程度，

可以通过数据与平均数的差异来刻画.

小结

一般地，有n个数据X],X2,…，Xn,用土表示它们的平均

数，我们把xrx(i=l,2,…，n)叫作治关于平均数元的离差

或偏差.

思考

可以用平均离差刻画一组数据的离散程度吗？

用离差可以刻画每个数据与平均数的差异，但由

+*+

(X1一X)+(x2-%)+,,•+(xw-x)=x1+x2**^rwx=0

可知，一组数据的离差和总是0,因此平均离差无法刻画一组数据

与平均数的差异.

为了避免离差求和时正负抵消的问题，统计中通常先对离差进行

平方，然后求和.我们把

222

(X1-X)+(x2-x)+—+(xz-x)

叫作这n个数据关于平均数的离差平方和，记作“d2”.

(勺一元)2+(——无)2+r・+(阳厂无)2

把离差的平方的平均数九

叫作这组数据的方差，记作飞2”.

小结

方差的意义

方差反映了每个数据与平均数的平均差异程度，能较好的反

映出数据的离散程度，是刻画数据离散程度最常用的统计量.

方差越大，数据的离散程度越大；

方差越小，数据的离散程度越小.

你能利用方差公式分析甲、乙两种甜玉米产量的波动程度吗？

2(7.65-7.54)2+(7.o-7.54y+…+(7.41-7.54)2八人，

5,；,=---------------5---------------------«0.0L

10

(7.55-7.52>+(7.,.2)2+…+(7.49-7.52)2八八八。

SZ=---------------5-6-7--5-----------------«0.002.

乙10

显然$,地，可得乙种甜玉米产量的离散程度较小，即乙种甜玉

米产量波动较小，稳定性较好.

据样本估计总体的统计思想，种乙种甜玉米产量较稳定.

思考

用离差平方和是否可以刻画数据的离散程度？和方差比较，有什

么不足？

离差平方和可以刻画一组数据的离散程度.在比较两组数据的离散

程度时，离差平方和只适用于数据个数相同的情况，而方差则不

受这个限制.

(链接例1)

如何使用计算器求方差？

使用计算器的统计功能可以求方差.操作时需要参阅计算器的使用

说明书，通常需要先按动有关键，使计算器进入统计状态，然后

依次输入数据，最后按动求方差的功能键，计算器便会求出方差

的值.

(链接例2)

典例精析【例1】甲、乙两名气手枪运动员进行射击训练，10次射击成绩通过例题

(单位：环)如下表所示.和练习帮

助学生掌

甲97910108910510

握所学知

乙910781099879

识，培养

哪名射击运动员的发挥更稳定？学生的应

用能力.

【解】两名运动员射击成绩的平均数分别为

_9+7+-+100„

孙广10一8.7,

-9+10+―+90°

X/=----------=8.6.

乙10

两名运动员射击成绩的方差分别为

,(9-8.7)2+(7-8.7”+…+(10-8.7)2

/旷10-2.41,

-(9-8.6)2+(10-8.6)2+…+(9-8.6)2,_.

炉乙=----------------------=1.04.

乙10

由S2中乙可知，乙射击运动员的发挥更稳定.

【例2］人数相同的八年级甲、乙两班学生在同一次数学单元测试

中，班级平均分和方差如下：元甲二元乙二80,$2甲二240,s2乙二18(),

则成绩较为稳定的班级是(B)

A.甲班B.乙班C.两班成绩一样稳定D.无法确定

【解析】稳定性，也就是指成绩的波动.成绩波动越小，成绩越

稳定.根据“方差越大，数据的波动越大：方差越小，数据的波

动越小，我们很容易发现乙班的方差比甲班的小，所以乙班的成

绩较稳定.

【方法总结】在利用方差比较两组数据的波动情况时，一定要先

计算两组数据的平均数.一般说来，平均数可能反映数据的优劣

程度，如果在平均数上已经能够区分几组数据的优劣，那么就不

用再考虑方差的天小了.但在实际的习题中，往往都是平均值相

同，那么此时就要考虑数据的方差情况了.由此可得到：在解决

问题时，要先算平均数，当平均值不同时，择优选取；当平均数

相同时，比较方差，选择波动较小的一组数据.

随堂检测1.对于一组统计数据3,3,6,5,3.下列说法错误的是(D)通过设置

A.众数是3B.平均数是4随堂检

测，及时

C.方差是1.6D.中位数是6

获知学生

2.设数据X”X2,…,Xn的平均数为X,方差为s2,若$2=0,则（D）

对所学知

A.x=0B.XI+X2H----Fxn=O识的掌握

情况，明

C.xl=x2=---=xI,=0D.Xi=x2=---=xn

确哪些学

3.甲、乙两名射击手的100次测试的平均成绩都是9环，方差分

生需要在

别是0.8和0.35,则成绩比较稳定的是（填“甲”或“乙”）.

课后加强

4.一组数据1,2,a,4,5的平均数是3,则这组数据的方差是2.辅导，达

到全面提

5.甲、乙两班举行计算机打字比赛，参赛学生每分钟打字的个数

局的目

统计结果如下表：

的.

班级参加人教〔中位数方差平均数

甲55149191135

乙55151110135

某同学分析上表后得出如下结论：①甲、乙两班学生成绩平均水

平相同；②乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数（每分钟打字个数

2150为优秀）；③甲班成绩的波动比乙班大.上述结论正确的有

①②③