2026年山西省晋中市部分学校中考二模九年级数学试卷（试卷+解析）

数学

注意事项：

I.本试卷分第I卷和第n卷两部分.全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟.

2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置.

3.答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效.

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第I卷选择题（共30分）

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，

只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）

1.一2的相反数是（）

11

A.2B.—2C.~D.—

22

2.以文物为媒，以历史为脉，山西博物院中的一件件珍品，尽显三晋文化的璀璨与厚重，让千年文明变得

可触可感以下为四件文物的简笔画，其文字上方的图案为轴对称图形的是（）

A.商代龙形觥（gong）B.西周晋侯鸟尊

C.商代鹦卤（xiaoyou）D.汉雁鱼铜灯

3.下列运算止确的是（

A./=0B._2m6

C.（-机叫3=〃73〃6D.(4+1)2=/+1

4.国务院新闻办公室于2026年1月21日举行新闻发布会，会议提到据有关机构测算，2025年我国人工

智能企业数量超过6000家，核心产业规模预计突破12000亿元，数据“12000亿”用科学记数法表示为

()

A.0.12x10*B.1.2x10'C.12x10"D.12000xl0x

5.印章，古称“玺”“印信”，是中国独有的传统器物与文化符号.如图是一款未雕刻的四棱台形印章的

示意图，它的俯视图是（）

[3x+2>5

6,不等式组的解集是（）

[2-x<44

A.x>-2B.-2<x<1

【易错点拨】在解不等式时，不等号两边同时乘或除以一个负数时，不等号的方向要改变,

7.如图,48为的直径，点C。分别为上的点，且。为;^方的中点，连接/C・CD,

D.50。

8.2026年央视春晚舞台上共有4个融入机器人表演的节目，分别是武术《武807》、小品《奶奶的最爱》、

歌曲《智造未来》和贺岁微电影《我最难忘的今宵》.为让学生感受科技与文艺的融合之美，某校将开展

科技普及讲座，并计划从春晚这4个节目中随机选取2个节目片段用于校内宣传，则抽取的两个节目恰好

是《武807》和《智造未来》的概率为（）

9.如图所示，把两张矩形纸条交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形48。。.固定一张纸条，另一

张纸条在转动过程中，下列结论一定成立的是（）

A.四边形48。。的周长不变B.四边形46。。的面积不变

C.AD=ABD.AB=CD

10.如图，已知正八边形月3C0E/G，的边长为4,连接ON,。尸交于点。以点。为圆心，。歹的长为

半径画弧，得行，则然的长为（）

DE

A.（2五+4）乃B.（2拒+2）乃C.（近+2）乃D.（五+1）〃

第II卷非选择题（共90分）

二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）

11.因式分解：ab2-a=___.

12.为了解不同栖息地对麻雀体重的影响，生物学家对干旱草原和温带森林中的麻雀进行了研究，分别从

两地随机捕捉数量相同的麻雀，测量并统计其体重的平均数与方差，数据如下表，则麻雀更适宜在

（填“干旱草原”或“温带森林”）栖息地生存.

平均数方差

干旱草原的麻雀2087.5

温带森林的麻雀205.8

13.如图是一组有规律的图案，它们由若干条长度相等的线段组成.第1个图案中有8条线段，第2个图

案中有15条线段，第3个图案中有22条线段，第4个图案中有29条线段，…，按此规律，第〃个图案

中有条线段（用含〃的代数式表示）.

III7/I7/II7/I7/I、/II7/I7/I7/7I/I

第1个第2个第3个第4个

14.某工厂有•款自动蓄水池，其内部结构呈圆柱体形状，某次匀速注水时蓄水池内水位高度（米）与注

水时间（小时）之间的关系如图所示，若该蓄水池匀速注水时，每小时的注水最为54立方米，则该蓄水

池内部结构的底面圆半径为米（注：乃取3）.

15.如图，在正方形48CQ中，点七为正方形内一点，NCEB=90。且CE>BE,AE=-BE,若

三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.计算与解方程组

(1)计算：4X2-'-(-3)2-(-7+5)

3%+尸5①

（2）解方程组:

3工一2歹=8②

17.如图，反比例函数y=）（4>0/>0）的图象经过点力（2,3）,以〃7,1）,直线49与y轴交于点C.

（1）求反比例函数的表达式，并直接写出，〃的值；

（2）。为x轴正半轴上一点，连接8。，若四边形OO8C的面积为14,请直接写出点。的坐标.

解题技巧

平面直角坐标系中图形面积计算

（1）直接公式法（三角形一边在坐标轴上或平行于坐标轴）

,（凡力）S“小=£（力-J。T%）

（2）转化法（三角形三边均不与坐标轴平行）

①分割法

②补形法

18.近年来，城市马拉松成为一道痉丽的风景线，越来越多的人走出家门，参与运动，用脚步丈量城市，

以汗水诠释热爱，在沿途风景中感受城市的发展与活力.某市2025年城市马拉松报名期间，平均每天的

报名人数是2024年平均每天报名人数的1.6倍，报名人数达到10万人所用的时间比2024年少6天，求

2025年该市马拉松报名期间平均每天的报名人数.

19.中共中央办公厅、国务院办公厅印发的《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担

的意见》中，对学生每天的作业时间提出明确要求：“初中书面作业平均完成时间不超过90分钟”，某校

为了解九年级学生的作业完成情况，随机抽取了200名九年级学生开展问卷调查，并形成了如下调查报告

（不完整）.

口中学九年级学生每天完成书面作业的情况调查报告

调查主题XX中学九年级学生每天完成书面作业的情况

调查方式抽样调查

调查对象XX中学九年级学生

本周平均每天完成书面作业所用时长频数分布直方图

人数（人）

120-

1八八96

1VV-[〃▼]

问题一：本周你

80-

平均每天完成书60-

数据的收44

面作业所用时长an-芯

集、整理20-816

大约为

°A‘?415---6

与描述075901C5120时转（分钟）

_______________分

图1①

钟.

注：平均每天所用时长”（分钟）分为5组：①

45<x<6C）；②60<x<75：®75<x<90：④

90<x<105；⑤105<x<120.

若你平均每天完

数据的收

成书面作业所用

集、整理完成书面作业所用时间过长的原因扇形统计图

时长超过90分

与描述

钟，请回答问题

1，*

问题二：你完成

书面作业所用时1

间过长的原因是\20%\/

（）（单选）

A.作业量太大图②

B.遇到疑难时未

及时向他人请教

C.用电子设备查

阅资料导致分心

D.其他

调查结论•••

请认真阅读上述信息，回答下列问题：

（1）本次调查中，平均每天完成书面作业所用时长的中位数落在第（填序号）组，因“遇

到疑难时未及时向他人请教”导致所用时长超过90分钟的学生有人，扇形统计图中

“A.作业量太大”所在扇形的圆心角度数为。；

（2）若该中学九年级共有1200人，估计本周平均每天完成书面作业所用时长超过90分钟的人数；

（3）请根据以上调查报告，对该中学学生完成课后作业用时情况作出评价，并提出两条合理化建议.

20.百团大战纪念馆位于山西阳泉狮脑山，是山西人民进行爱国主义传统教育和缅怀先烈的重要场所.某

班组织学生参观并利用所学知识测量百团大战纪念碑主碑的高度.

数据收集：如图1，宜宜站在点C处，用测角仪测得纪念碑顶点力的仰角=53.7。，向纪念碑的方

向前进6m到达点尸处，测得纪念碑顶点A的仰角乙4GH=60°,已知测角仪CO=/G=1.5m.

图1图2

数据应用:

（1）已知图2中各点均在同一竖直平面内，CD,"G均垂直子地面4C,请根据上述数据，计算纪念碑

的高度48（结果精确到1m.参考数据:sin53.7°®0.81,cos53.70r0.59,tan53.7°«1.36,

75=1.73）;

（2）宣宣回家后想按（1）中纪念碑的高度利用3。打印制作一个百团大战纪念碑主碑的模型，若他将纪

念碑按1:400等比例缩小，则他打印出的模型高度为cm.

21.阅读与思考

下面是善思小组的研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务.

互补三角形

【概念理解】

如果两个三角形中，有两边分别相等，且两边的夹角互补，则称这两个三角形是互补三角形；反之，若

法个三角形是互补三角形，那么这两个三角形有两边分别相等，且两边的夹角互补.

例如：如图①，在Y4BC与QEF中,若4C=DE,BC=EF,ZC+ZE=180°,则V48C与

尸是互补三角形.

图①

【问题解决】

叵题：如图②，在矩形NBCO中，AB<AD,对角线4C与80相交于点O,则△力4。与△400是

不是互补三角形（填“是”或"否”）.

图②

【性质探索】互补三角形的性质：互补三角形的面积相等.

已知：如图③，已知V44c与4）即是互补三角形，AC=DE,ZACB+ZE=\S00.

求证：V48c与4）£尸的面积相等.

证明：如图③，分别过点/,。作4G_LBC,DH±EF,分别交8c的延长线，EF于点G,H,

则N4GC=NQ〃E=90。，

•••△43C与△7)上尸是互补三角形，AC=DE,N4CB+NE=180。，

，BC=EF,

⑴问题中的140与△400是不是互补三角形（填“是”或“否”）；

（2）请将【性质探索】中的证明过程补充完整；

（3）如图④，已知线段45,8c交于点4,请在图④中作△45。与△4QC，使得△4BD与A4DC

是互补三角形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）.

22.综合与实践

问题情境：科研人员为了研究某弹射器的性能，进行了如下的实验：在水平地面上放置一个弹射器（高度

不计），通过弹射器竖直向上弹射一颗小球（忽略空气阻力），利用无人机测量小球竖直向上运动的相关数

据.

数据整理：经过实验，科研人员得到小球距离水平地面的高度/?（m）与运动时间f（s）的几组数据，如下

表，并发现〃（m）是，s）的二次函数:

6

“S)01245

建立模型：

（1）根据表中的数据在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点，用平滑的曲线连接，并求出/?关于/

的函数关系式；

（2）问题解决：小球在运动过程中，从一开始经过多长时间可以达到最大高度，最大高度是多少米？

（3）问题解决：若该弹射器先发射出一颗小球，1S后立即发射出第二颗小球，经过一段时间后，两颗小

球可在空中完成碰撞，请直接写出此时第二颗小球的运动时间.

23.综合与探究

问题情境：如图，在口力8CO纸片中，AB>BC,点、E在边4B上,沿DE折叠Y/1DE,得到

L.A'DE.

图①图②（备用图）

（1）猜想证明：如图①，当。石149时，A'D交BC于点、F,连接HC,BD.判断HC与80的数

量关系，并说明理由；

（2）拓展延伸：如图②，连接4C交。E于点G.

①连接4G,当H£〃4c时，判断四边形的形状，并说明理由：

②连接〃若BD上AD,AD=\5,CD=25,当与口的一边垂直时，请直接写出

S△ADG

的值.

S4CDG

数学

注意事项：

I.本试卷分第I卷和第n卷两部分.全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟.

2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置.

3.答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效.

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第I卷选择题（共30分）

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，

只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）

1.一2的相反数是（）

11

A.2B.—2C.~D.—

22

【答案】A

【解析】

【详解】解：-2的相反数是2.

2.以文物为媒，以历史为脉，山西博物院中的一件件珍品，尽显三晋文化的璀璨与厚重，让千年文明变得

可触可感以下为四件文物的简笔画，其文字上方的图案为轴对称图形的是（）

A.商代龙形觥（g而g）B.西周晋侯鸟尊

C.商代鹦卤（*万”加）D.汉雁鱼铜灯

【答案】C

【解析】

【分析】怙对称图形的定义是：把一个图形沿某条直线折叠，宜线两旁的部分可以完全重合，这个图形就

是轴对称图形.根据轴对称图形的定义进行判断即可.

【详解】A选项：商代龙形觥既不是轴对称图形，也不是中心本称图形，故A选项不符合题意；

B选项：西周晋候鸟尊既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故B选项不符合题意；

C选项：商代鹦卤是轴对称图形，故C选项符合题意；

D选项：汉雁鱼铜灯既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D选项不符合题意.

3.下列运算正确的是（）

A.a3-a4=a'B.+_2m(>

2

C.（-nmJ=〃尸〃6D.（Q+1）：=/+1

【答案】A

【解析】

【分析】根据同底数靠的乘法、合并同类项、积的乘方、完全平方公式分别计算各选项，判断运算是否正

确.

【详解】解：A、/.Q4=Q3+4=Q7,本选项运算正确：

B、m3+m3=2m3*2m6，本选项运算错误;

C、（一〃〃/J=（一1）3（〃2J=一〃?3〃6工机3〃6,本选项运算错误；

D、（a+l/=/+2〃+1工/+],本选项运算错误.

4.国务院新闻办公室于2026年I月21日举行新闻发布会，会议提到据有关机构测算，2025年我国人工

智能企业数量超过6000家，核心产业规模预计突破12000亿元，数据“12000亿”用科学记数法表示为

()

A.0.12xl013B.1.2xl0'2C.12x10"D.12000x108

【答案】B

【解析】

【详解】解：12000亿=12000x108=1.2x1012.

5.印章，古称“玺”“印信”，是中国独有的传统器物与文化符号.如图是一款未雕刻的四棱台形印章的

示意图，它的俯视图是（）

正面

A.B.C.

【答案】D

【解析】

【详解】解：这个印章的俯视图是：

□

[3x+2>5

6.不等式组I.的解集是（）

2-x<44

A.x>-2B.-2<x<lC.x>lD.无解

【答案】C

【解析】

【分析】分别求出每个不等式的解集，再根据口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找

不了（无解）”确定不等式组的解集即可.

【详解】解：｛3打安没

解不等式①得，X>1,

解不等式②得，x>-2,

・•・原不等式组的解集为x21.

【易错点拨】在解不等式时，不等号两边同时乘或除以一个负数时，不等号的方向要改变，

7.如图，4?为O。的直径，点C,。分别为。。上的点，且C为痴的中点，连接ZC,CD,

AD,若NC4Z）=50。，则NC48的度数为（）

【答案】B

【解析】

【分析】连接8C.由圆周角定理得//C8=90。，由C为痂的中点，得余=①,进而得到

ZABC=ACAD=50°,即可求出ZCAB=90°-4ABe=40°.

【详解】如图，连接3C.

•./I6为OO的直径，

ZJCZ?=90°,HPZCAB+ZABC=90°.

•••c为48。的中点，

AC=CD

Z.ABC=ZCAD=50°,

NCAB=90°一/ABC=40°.

8.2026年央视春晚舞台上共有4个融入机器人表演的节目，分别是武术《武407》、小品《奶奶的最爱》、

歌曲《智造未来》和贺岁微电影《我最难忘的今宵》.为让学生感受科技与文艺的融合之美，某校将开展

科技普及讲座，并计划从春晚这4个节目中随机选取2个节目片段用于校内宣传，则抽取的两个节目恰好

是《我BOT》和《智造未来》的概率为（）

a1

8-

【答案】C

【解析】

【分析】先列表，然后根据概率的计算公式进行计算即可.

【详解】解：将《武8。7》、《奶奶的最爱》、《智造未来》、《我最难忘的今宵》分别用力，&C,。表

示，列表如下：

X个

ABcD

第白弋

A-(民⑷(")(ZM)

B（48）-(C,8)3)

C（4。）(民c)-(“)

n（4。）（B,D）（C,z））-

由列表可知，共有12种等可能的结果，其中抽取的两个节目恰好是《武BOT》和《智造未来》的结果有

2和，

9I

...P（抽取的两个节目恰好是《武3。7》和《智造未来》）=三=二.

9.如图所示，把两张矩形纸条交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形48CQ.固定一张纸条，另一

张纸条在转动过程中，下列结论一定成立的是（）

A.四边形力8。。的周长不变B.四边形48CQ的面积不变

C.AD=ABD.AB=CD

【答案】D

【解析】

【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的性质与判定，由矩形的性质可得48〃C。，

AD〃BC,则可满足四边形力8。。是平行四边形，得到力8=CD,随着一张纸条在转动过程中，AD

不一定等于力8,四边形/8CO周长、面积都会改变，据此可得答案.

【详解】解：由矩形的性质可得AD//BC,

・•・四边形ABCD是平行四边形，

AAB=CD,故D符合题意，

随着•一张纸条在转动过程中，4。不一定等于14,四边形/8C。周长、面积都会改变，故A、B、C不

符合题意，

故选:D.

10.如图，已知正八边形488以'G”的边长为4,连接04,交于点O,以点。为圆心，0F的长为

半径画弧，得万，则前的长为（）

DE

A.（2JI+4）乃B.（2拒+2）不C.（向2）乃D.（72+1>

【答案】C

【解析】

【分析】过点后作EMJ.CF,垂足为M,求出。/，再利用弧长公式即可求出答案.

【详解】解：如图，过点E作EM_LC/，垂足为

=135°,ZDCO=4CD0=4EFM=4FEM=45°

由题意可得四边形。OWE是矩形，△CO。与均为等腰直角三角形,

CO=FM=2>/2，OM=DE=4,N4O尸=90°，

OF=MF+OM=2&+4，

即所求弧的半径为2近+4，

.•.刀的长为9℃（2力+4）二（行+2）万.

180

第II卷非选择题（共90分）

二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）

11.因式分解：ab2-a=__.

【答案】a（b+l）（b-l）.

【解析】

【详解】要将一个多项式分解因式的-一般步嫁是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出米,

之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式.因此,

先提取公因式a后继续应用平方差公式分解即可：ab2-a=a(b2-l)=a(b+l)(b-l).

12.为了解不同栖息地对麻雀体重的影响，生物学家对干旱草原和温带森林中的麻雀进行了研究，分别从

两地随机捕捉数量相同的麻雀，测量并统计其体重的平均数与方差，数据如下表，则麻雀更适宜在

(填“干旱草原”或“温带森林”)栖息地生存.

平均数方差

干旱草原的麻雀2087.5

温带森林的麻雀205.8

【答案】温带森林

【解析】

【详解】解：由表格可得，干旱草原和温带森林的麻雀体重平均数相同，说明平均体重没有差异；

而温带森林的麻雀体重的方差小于干旱草原的麻雀的体重的方差，说明温带森林的麻雀体重波动小，体重

差异小，代表麻雀在该栖息地的生存状态更稳定，

因此麻雀更适宜在温带森林栖息地生存.

13.如图是一组有规律的图案，它们由若干条长度相等的线段组成.第1个图案中有8条线段，第2个图

案中有15条线段，第3个图案中有22条线段，第4个图案中有29条线段，…，按此规律，第〃个图案

中有条线段(用含〃的代数式表示).

IIIIIIIIIIIIII-

第1个第2个第3个第4个

【答案】(7〃+1)##(1+7〃)

【解析】

【详解】解：第1个图案中有lx7+l=8条线段,

第2个图案中有2x7+1=15条线段，

第3个图案中有3x7+1=22条线段，

第4个图案中有4x7+1=29条线段,

・••第〃个图案中有（7〃+1）条线段.

14.某工厂有一款自动蓄水池，其内部结构呈圆柱体形状，某次匀速注水时蓄水池内水位高度（米）与注

水时间（小时）之间的关系如图所示，若该蓄水池匀速注水时，每小时的注水量为54立方米，则该蓄水

池内部结构的底面圆半径为米（注：4取3）.

【分析】先根据函数图像求得一小时注水高度为2米，再根据每小时的注水量为54立方米列关于〃的方程

求解即可.

【详解】解：由题图可知，蓄水池内水位高度分（米）与注水时间/（小时）之间满足一次函数关系，且初

始时，蓄水池内水位高度为1米，注水2小时时，蓄水池内水位高度为5米，（5-1）+2=2（米/小时），

即一小时注水高度为2米，

•・•该蓄水池匀速注水时，每小时的注水量为54立方米，

...54=7户><2,解得尸=3（负值已舍去）,

・•・该蓄水池内部结构的底面圆半径为3米.

15.如图，在正方形力中，点£为正方形内一点，NCEB=9U^CE>BE,AE=-BE,若

4

8C=13,则4E的长为.

【答案】V65

【解^5]

【分析】过点/作8E的垂线，交8E的延长线于点E证明0△8C&AAS）,设5E=4x,可

得,4"一4工，先在中，利用勾股定理求由£尸，再在Rs%""中，利用勾股定理求加%即可.

【详解】解：如图，过点4作8K的垂线，交8£的延长线于点凡

•・•四边形/BCQ为正方形，

:.AB=BC,ZABC=90°t

•;NCEB=90°,

乙4BF+NCBE=4BCE+NCBE=90°,

.../ABF=ZBCE,

NAFB=/BEC

在和△BCE中，、NABF=NBCE,

AB=BC

二.△力8/0△8C£(AAS),

:.AF=BE,

设BE=4x,则力F=4x,

AAE=-BE=5x,

4

在Rs/EF中，EF=1AE'-AF'=3x，

BF=lx,

在RtA/lBT7中，由勾股定理，得AF?+BF?=AB2,

(4x)2+(7x)2=132,

解得工=叵(负值已舍去)，

5

AE=>/65.

三、解答题(本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

16.计算与解方程组

(1)计算：4x2-'-(-3)2-(-7+5)

3x+y=5®

（2）解方程组:

3x-2y=S®

【答案】（1）-5

x=2

（2）,

L=T

【解析】

【分析】（1）先计算负整数次幕，乘方，再计算乘法，最后计算加减;

（2）利用加减消元法求解.

【小问1详解】

解：原式=4x』—9+2

2

=2-9+2

【小问2详解】

解：由①一②，得3），=—3,

解得歹二一1,

将了二-1代入①，得3x—l=5,

解得x=2,

x=2

・•・原方程组的解为〈一

b=-1

17.如图，反比例函数y=：（k>（U>0）的图象经过点4（2,3）,直线43与y轴交于点C.

（1）求反比例函数的表达式，并直接写出机的值；

（2）。为x轴正半轴上一点，连接60,若四边形。。8C的面积为14,请直接写出点。的坐标.

【答案】（1）歹=9；阳的值为6

X

(2)点。的坐标为(4,0)

【解析】

k6

【分析】(1)把42,3)代入歹=一可求出％=6,把6(6,1)代入y=一可求心的值;

xx

(2)运用待定系数法求出直线48的解析式，求出点C的坐标，连接。8,设点。的坐标为

(〃,0)(〃>0),根据S四边形。/次=S2OBC+SAW=14列式求出〃的值即可.

【小问1详解】

解：•・•点力(2,3)在反比例函数y二人的图象上，

x

.,.^=2x3=6,

・••反比例函数的表达式为>

x

将代入>=£,得〃2=6.

X

【小问2详解】

解：由(1)可知点8的坐标为(6,1),

设直线AB的函数表达式为y=ax+b(a+0),

/、/、[3=2a+Z)

代入4(2,3),8(6,1),得]=6"厂

解得r已

6=4

二直线44的函数表达式为y=-；x+4,

令x=0,得y=4,

・••点。的坐标为(0,4),

/.OC=4,

如图，连接。8,

1411

=12+-«=14,

一乙乙

解得〃=4,

・••点。的坐标为(4,0).

解题技巧

平面直角坐标系中图形面枳计算

(1)直接公式法(三角形一边在坐标轴上或平行于坐标轴)

(2)转化法(三角形三边均不与坐标轴平行)

①分割法

②补形法

18.近年来，城市马拉松成为一道痉丽的风景线，越来越多的人走出家门，参与运动，用脚步丈量城市，

以汗水诠释热爱，在沿途风景中感受城市的发展与活力.某市2025年城市马拉松报名期间，平均每天的

报名人数是2024年平均每天报名人数的1.6倍，报名人数达到10万人所用的时间比2024年少6天，求

2025年该市马拉松报名期间平均每天的报名人数.

【答案】2025年该市马拉松报名期间平均每天的报名人数为I万人

【解析】

【分析】设2024年该市马拉松报名期间平均每天的报名人数为x万人，2025年为1.6x万人，根据所给数

量关系列分式方程，解方程即司;

【详解】解：设2024年该市马拉松报名期间平均每天的报名人数为x万人，则2025年该市马拉松报名期

间平均每天的报名人数为1.6x万人，

由题意得此一」?二6.

x1.6x

解得x

8

经检验，X是原方程的解，且符合实际，

O

,5,

1.z6x—=1,

8

答：2025年该市马拉松报名期间平均每天的报名人数为1万人.

19.中共中央办公厅、国务院办公厅印发的《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担

的意见》中，对学生每天的作业时间提出明确要求：“初中书面作业平均完成时间不超过9()分钟”，某校

为了解九年级学生的作业完成情况，随机抽取了200名九年级学生开展问卷调查，并形成了如下调查报告

(不完整).

口中学九年级学生每天完成书面作业的情况调查报告

D.其他

调查结论•••

请认真阅读上述信息，回答下列问题：

（1）本次调查中，平均每天完成书面作业所用时长的中位数落在第（填序号）组，因“遇

到疑难时未及时向他人请教”导致所用时长超过90分钟的学生有人，扇形统计图中

“A.作业量太大”所在扇形的II心角度数为°;

（2）若该中学九年级共有1200人，估计本周平均每天完成书面作业所用时长超过90分钟的人数；

（3）请根据以上调查报告，对该中学学生完成课后作业用时情况作出评价，并提出两条合理化建议.

【答案】⑴③，24,108

（2）估计本周平均每天完成书面作业所用时长超过90分钟的学生有360人

（3）评价：该校仍有部分九年级学生完成书面作业时间超过9（）分钟，未达到文件要求；①建议学校适当

减少作业量；②建议学生做作业遇到疑难时，及时向他人请教，高效解决问题

【解析】

【分析】（1）根据中位数的定义求第一个空，根据条形统计图数据求第二个空，用360度乘以“A.作业量

太大”所占百分数，可得第三个空；

（2）利用样本估计总体思想求解；

（3）合理即可，答案不唯一.

【小问1详解】

解：•・•本次共抽取了200名九年级学生，

・•・将这些学生所用时长按从小到大的顺序排列，其中第100和第101个数据的平均数即为中位数，

・・•第100和第101个数据均在第③组，

・•・中位数落在第③组；

由频数分布直方图可知，所用时长超过90分钟的学生有44+16=60（人），

・••因”遇到疑难时未及时向他人请教''导致所用时长超过90分钟的学生有60x40%=24（人）：

扇形统计图中“A.作业量太大”所在扇形的圆心角度数为360°x30%=108。.

【小问2详解】

44+16

解：1200x------=360（人），

200

答：估计本周平均每天完成书面作业所用时长超过90分钟的学生有360人；

【小问3详解】

解：评价：该校仍有部分九年级学生.完成书面作业时间超过90分钟，未达到文件要求;

建议：①建议学校适当减少作业量；②建议学生做作业遇到疑诲时，及时向他人请教，高效解决问

题.（答案不唯一，合理即可）

20.百团大战纪念馆位于山西阳泉狮脑山，是山西人民进行爱国主义传统教育和缅怀先烈的重要场所.某

班组织学生参观并利用所学知识测量百团大战纪念碑主碑的高度.

数据收集：如图1,宣宣站在点C处，用测角仪测得纪念碑顶点力的仰角//=53.7。，向纪念碑的方

向前进6m到达点尸处，测得纪念碑顶点力的仰角乙4G"=60。，已知测角仪CO=EG=1.5m.

A

HD

BFC

图1图2

数据应用：

（1）已知图2中各点均在同一竖直平面内，CD,Q均垂直7地面4C,请根据上述数据，计算纪念碑

的高度为3（结果精确到1m.参考数据:sin53.7°«0.81,cos53.7°«0.59,tan53.7。*1.36,

6Pl.73）;

（2）宣宣回家后想按（1）中纪念碑的高度利用3。打印制作一个百团大战纪念碑主碑的模型，若他将纪

念碑按1:400等比例缩小，则他打印出的模型高度为cm.

【答案】（1）纪念碑的高度月5约为40米

（2）10

【解析】

【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质，三角函数，线段的比例.利用数形结合思想，根据三角函数

定义设未知数列方程是解题关键.

（1）延长DE交,4"于点由四边形和四边形GRTD是矩形得到4M=1.5m,OG=6m,

设MG=xm,则力用=MG-tan600=MD=（x+6）m,利用tan53.7。41.36列方程求解x,

得到AM,最后将AM和BM加起来即可.

（2）由纪念碑按1:400等比例缩小,利用40xl00x」一求解即可.

400

【小问1详解】

解：如解图，延长。后交力8于点M,易得四边形A/8co和四边形GFCD均为矩形,

BM=CD=FG=1.5m，DG=CF=6m，

设MG=xm,

则AM=MG-tan60°=瓜(m)，MD=(x+6)m,

在Rt44WZ)中，—=tan53.7°,

MD

8.16

—«1,36.解得XB

x+6V3-1.36

/.AB=AM+BM=>/3x+1.5®40(m).

答：纪念碑的高度约为40米；

【小问2详解】

解：由(1)得纪念碑的高度约为40米，

•・•纪念碑按1：400等比例缩小，

・•・他打印出的模型高度为40x100X上=10(cm).

21.阅读与思考

下面是善思小组的研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务.

互补三角形

【概念理解】

如果两个三角形中，有两边分别相等，且两边的夹角互补，则称这两个三角形是互补三角形；反之，若

两个三角形是互补三角形，那么这两个三角形有两边分别相等，且两边的夹角互补.

例如：如图①，在Y/1BC与QEF中,若<C=DE,BC=EF,NC+NE=180。，则V48。与

尸是互补三角形.

图①

【问题解决】

向题：如图②，在矩形NBCO中，AB<AD,对角线4。与3。相交于点O,则△48。与△400是

不是互补三角形（填“是”或“否”）.

图②

【性质探索】互补三角形的性质：互补三角形的面积相等.

己知：如图③，己知V43c与/>£尸是互补三角形，AC=DE,ZACB+ZE=\S00.

求证：V48C与4）£尸的面积相等.

证明：如图③，分别过点儿。作/G_L8C,DH1EF,分别交6c的延长线，EF于点G,H,

则N/1GC=NOHE=90。，

•「△45C与△/无尸是互补三角形，AC=DE,ZACB+ZE=\^0°,

BC=EF,

图③

任务：

⑴问题中的480与△力。0是不是互补三角形（填“是”或“否”）；

（2）请将【性质探索】中的证明过程补充完整；

（3）如图④，已知线段力4，BC交于点、B,请在图④中作△N5O与△4OC,使得△48。与△4OC

是互补三角形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）.

A

（3）见解析

【解析】

【分析】（1）根据“互补三角形”的定义进行判断即可；

（2）根据AAS证明得4G=DH,根据三角形面积公式可得结论；

（3）分别以点反。为圆心，大于18c长为半径作弧，两弧交于点M,N,连接MN交3C于点。，连

接.4。，AC.

【小问1详解】

解：△48。与△力。。是互补三角形：

•・•四边形48。。是矩形，

/.OB=OA=OD,且/BO/+NQO4=180。，

・•・AABO与4ADO是互补三角形；；

【小问2详解】

解：证明：如图③，分别过点力，。作NG_L8C,DHA.EFt分别交8c的延长线，EF于点、G,H,

则ZJGC=ZDHE=90°,

•••△/石。与S所是互补三角形，AC=DE,N/C2+NE=180。，

?.BC=EF,

•・•NNC8+/4CG=180。，

/.AACG=ZE,

在.AGC与ADHE中,

ZAGC=NDHE,

<ZACG=ZE,

AC—DE,

:2GC/△DHEgS),

AG=DH»

:.-BCAG=-EFDH,即&^^二邑小产

,)A/iovAur*r

jN

；d4BC与GEF的面积相等；

【小问3详解】

如图，△48。与△力。。即为所求.

22.综合与实践

问题情境：科研人员为了研究某弹射器的性能，进行了如卜的实验：在水平地面上放置一个弹射器(高度

不计)，通过弹射器竖直向上弹射一颗小球(忽略空气阻力)，利用无人机测量小球竖直向上运动的相关数

据.

数据整理：经过实验，科研人员得到小球距离水平地面的高度，(m)与运动时间，(s)的几组数据，如下

表，并发现"m)是f(s)的二次函数:

6

“S)01245

〃(m)02540402s0

八〃(m)

60

50

40

30

20

10

O1234567Z（s）

建立模型；

（1）根据表中的数据在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点，用平滑的曲线连接，并求出力关于，

的函数关系式；

（2）问题解决：小球在运动过程中，从一开始经过多长时间可以达到最大高度，最大高度是多少米？

（3）问题