考研数学三线性代数(线性方程组)模拟试卷1(题后含答案及解析)

考研数学三线性代数(线性方程组)模拟试卷1(题后含答案及解析)

题型有：1.选择题2.填空题3.解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1.某五元齐次线性方程组的系数矩阵经初等变换，化为，则自由变量可取

z0

(X4

x个x5⑵x3,x5(3)x1,x5(4)x2,x3那么正确的共有()

A1

•个

B2

•个

c3

•个

D4

•

正确答案：B

解析：因为系数矩阵的秩r(A)=3,有n-r(A)=5-3=2,故应当有2个自由变量.由

于去掉x4,x5两列之后，所剩三阶矩阵为，因为其秩与「(A)不相等，故x4,x5

不是自由变量.同理，x4,x5不能是自由变量.而xl,x5与x2,x3均可

以是自由变量，因为行列式都不为0.所以应选

B.知识模块：线性方程组

2.已知al,a2,a3是非齐次线性方程纽Ax二b的三个不同的解，那么

下列向量Q1-Q2,a1+a2-2a3,(a2-a1),Q1-3Q2+2a3中能导出方程组

Ax=0解的向量共有()

A.4个.

B.3个.

C.2个.

D.1个.

正确答案：A

解析：由Aai=b(i=l,2,3)有A(a1-a2)=Aa1-Aa2=b-b=0,A(a

1+a2-2a3)=Aa1+Aa2-2Aa3=b+b-2b=0,A(a1-3a2+2a3)=Aal-3Aa

2+2Aa3=b-3b+2b=0,那么，a1-a2,a1+a2-2a3,(a2-al),a1-3a2+2

a3均是齐次方程组Ax=0的解.所以应选A.知识模块：线性方程组

3.已知Q1=(1,I,-1)T,a2=(1,2,0)T是齐次方程组Ax=0的基础解系,

那么下列向量中Ax=()的解向量是()

A.(1,-1,3)T

B.(2,1,-3)T

C.(2,2,-5)T

D.(2,-2,6)T

正确答案：B

解析：如果A选项是Ax=0的解，则D选项必是Ax=()的解.因此选项A、

D均不是Ax=O的解.由于al,a2是Ax=O的基础解系，那么a1,a2

可表示Ax=O的任何一个解q,亦即方程组x,al+x2a2=n必有解，因为可

见第二个方程组无解，即(2,2,-5)T不能由al,Q2线性表示.所以应选

B.知识模块：线性方程组

4.设n元齐次线性方程组Ax=O的系数矩阵A的秩为r,则Ax=O有非零

解的充分必要条件是()

A.r=n

B.r,n.

C.r<n.

D.r>n.

正确答案：C

解析：将矩阵A按列分块，A=(a1,a2,…，an),则Ax=O的向量形式

为xlal+x2a2+---+xnan=0,而Ax=O有非零解甘Q1,a2,•••,Qn线性

相关r(al,。2,…，an)<nr(A)<n.所以应选

C.知识模块：线性方程组

5.已知4阶方阳A=(Q1,a2,a3,Q4),a1,a2,Q3,Q4均为四

维列向量，其中al,a2线性无关，若a|+2a2-a3=B,a1+a2+Q3+a4;

B,2a1+3a2+a3+2a4=3,kl,k2为任意常数，那么Ax=B的通解为()

A.

B.

C.

D.

正确答案：B

解析：由a1+2a2・a3=B知即丫1=(1,2,-1,())T是Ax=B的解.同理y

2=(1,1,1,1)T,Y3=(2,3,1,2)T也均是Ax=B的解，那么n1=Y1・Y2=(0,

1,-2,-1)T,n2=Y3-y2=(L2,0,1)T是导出组Ax=0的解,并且它们线性

无关.于是Ax=0至少有两个线性无关的解向量，有n.r(A)22,即r(A)W2,又

因为al,Q2线性无关，有r(A)=r(al,a2,Q3,Q4)22.所以必有.r(A尸2,

从而n-r(A)=2,因此nl,n2就是Ax=0的基础解系，根据解的结构，所以应选

B.知识模块：线性方程组

6.已知Bl,B2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，a1,a2

是对应的齐次线性方程Ax=()的基础解系，kl,k2为任意常数，则方程组Ax=b

的通解是()

A.

B.

c.

D.

正确答案：B

解析：对于A、C选项，因为所以选项A、C中不含有非齐次线性方程组

庆**的特解，故均不正确.对于选项D,虽然(B1-82)是齐次线性方程组

Ax=O的解，但它与。1不一定线性无关，故D也不正确，所以应选

B.事实上，对于选项B,由于Q1,(Q1-Q2)与Q1,Q2等价(显然它

们能够互相线性表示)，故a1,(a1・a2)也是齐次线性方程组的一组基础解系，

而由可知，是齐次线性方程组Ax=b的一个特解，由非齐次线性方程组的通解结

构定理知，B选项正确.知识模块：线性方程组

7.三元一次方程组，所代表的三个平面的位置关系为()

A.

B.

C.

D.

正确答案：C

解析：设方程组的系数矩阵为A,对增广矩阵A作初等行变换，有因为

r(A尸2,而r(A)=3,方程组无解，即三个平面没有公共交点.又因平面的法向量

n1=(1,2,1),n2=(2,3,1),n3=(l,-1,-2)互不平行.所以三个平面两两相交，

围成一个三棱柱.所以应选

C.知识模块：线性方程组

8.设A是mXn矩阵，Ax=()是非齐次线性方程组Ax=b所对应的齐次线

性方程组，则下列结论正确的是()

A.若Ax=O仅有零解，则Ax=b有唯一解.

B.若Ax=O有非零解，则Ax=b有无穷多个解.

C.若Ax=b有无穷多个解，则Ax=O仅有零解.

D.若Ax=b有尢穷多个解，则Ax=O有非零解.

正确答案：D

解析：因为不论齐次线性方程组Ax=O的解的情况如何，即r(A)=n或r(A)

Vn,以此均不能推得r(A)=r(A：b),所以选项A、B均不正确.而由

Ax二b有无穷多个解可知，r(A)=r(A：b)<b.根据齐次线性方程组有非零解

的充分必要条件可知，此时Ax=O必有非零解.所以应选

D.知识模块：线性方程组

填空题

9.设A为3X3矩阵，且方程组Ax=O的基础解系含有两个解向量，则

r(A)=

正确答案：1

解析：由线性方程组的基础解系所含解向量的个数与系数矩阵的秩的和等于

未知数的个数，且本题系数矩阵为3义3阶，因此r(A)=n-r=3-2=l.知识模块：

线性方程组

10.设A是一个五阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，若ni,n2是齐次线性

方程组Ax=0的两个线性无关的解，则r(A*尸

正确答案：0

解析：n1,n2是齐次线性方程组Ax=o的两个线性无关的解.因此由方程

组的基础解系所含解向量的个数与系数矩阵秩的关系，因此有n-r(A)22,即r(A)

W3,又因为A是五阶矩阵，而r(A)W3,因此IAI4阶子式一定全部为()，因

此代数余子式Aij恒为零，即A*=O,所以r(A/=0.知识模块：线性方程组

11.设A是n阶矩阵，对于齐次线性方程组Ax=0,如果矩阵A中的每行

元素的和均为0,且r(A尸n-1,则方程组的通解是

正确答案：k(l,1,1)T,k是任意常数.

解析：由题干可知r(A)=n-l,则线性方程组Ax=0的基础解系由1个解向量

组成，即任意的一个非零解都可以成为基础解系.又已知矩阵每行的元素之

和都为0,因此有Ail+Ai2+-+Ain=lXAil+1XAi2+-+lXAin=0,故(1,

1,…，1)T满足每一个方程，是Ax=0的解，所以通解为k(l,1,…，1)T,k

是任意常数.知识模块：线性方程组

12.方程组有非零解，则k=

正确答案：,1

解析：一个齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是方程组的系数矩阵对

应的行列式等于零，B|1=12(K+l)=0,因此得k=-l.知识模块：线性方程组

13.设A=,A*是A的伴随矩阵，则A*x=0的通解是

正确答案：kl(l,2,-l)T+k2(l,0,1)T

解析：A是一个3阶矩阵，由已知得IAI=0,且r(A)=2,因此r(A*)=l,

那么可知n-r(A*)=3-l=2,因此A*x=0有两个基础解系，其通解形式为klnl+k2

n2.又因为A*A=IAIE=0,因此矩阵A的列向量是A*x=0的解，故通解

是kl(l,2,-l)T+k2(l,0,1)T知识模块：线性方程组

14.已知方程组总有解，则人应满足的条件是__

正确答案：

解析：对于任意的bl,b2,b3,方程组有解的充分必要条件是系数矩阵A

的秩为3,即IAIWO,由可知入W1且入W知识模块：线性方程组

解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

设人=曰&&『其中E是n阶单位矩阵，&是n维非零列向量，1T是之的

转置.证明：

15.A2=A的充分条件是€T€=-1；

正确答案：A2=(E-C€T)(E-CCT尸E-2€€T+C(CTC)CT=E-(2-CT€)

€&T,因此A2=AE-(2-€T€)€€T=E-，€T(€T€-1)€€T=O.因为2W

0,所以&gTWO,因此A2二A的充分条件为&Tg=l.涉及知识点：线

性方程组

16.当；T1=1E寸，A是不可逆矩阵.

正确答案：方法一：当&T&二1时，由A=E-ggT可得=7€T

€=€-€=0,因为&W(),因此Ax=O有非零解，即IAI=0,所以A不可

逆.方法二：当&Tg=l时，由于A2二AA(E.A)=O,所以E-A的每一列均为

Ax=()的解，因为E-A=€，TWO,即Ax=()有非零解，因此矩阵A的秩小于n,

即A不可逆.涉及知识点：线性方程组

17.设A二已知方程组Ax=b有无穷多解，求a的值并求其通解.

正确答案：由题干可知，线性方程组Ax=b有无穷多解.对线性方程组

Ax二b的增广矩阵作初等行变换，故方程组Ax二b的通解为(3,-1,0)T+k(-7,

3,1)T涉及知识点：线性方程组

18.设al,Q2,…，as为线性方程组Ax=O的一个基础解系，Pl=tla

1+t2a2,B2=tla2+t2a3,…，Bs=tlas+t2al其中tl,t2为实常数.试问tl,

t2满足什么条件时，Bl,B2,…，Bs也为Ax=O的一个基础解系.

正确答案：因为2,…，s)是Q1,。2,…，as的线性组合，且a

1,Q2,…，as是Ax=O的解,所以根据齐次线性方程组解的性质知Bi(i=l,2.…，

S)均为Ax=O的解.由al,a2,…，cs是Ax=O的基础解系，知

s=n-r(A).以下分析Bl,B2,…，Bs线性无关的条件：设klBl+k2

B2+…+ksBs=0,即(tlkl+t2ks)al+(t2kl+tlk2)a2+(t2k2+tlk3)a3+…

+(t2ks-l+tlks)as=0,由于Ql,a2,…，Qs线性无关，因此有又因系数行

列式当时，方程组(*)只有零解kl=k2=…=ks=O.因此当s为偶数，tl^±t2,

或当s为奇数，tlW-t2时，Bl,82,…，Bs线性无关.涉及知识点:

线性方程组

19.已知四阶方阵A=(al,a2,a3,a4),a1,a2,a3,&4均为四

维列向量，其中。2,a3,。4线性无关，a2=2a2-a3,若B=。1+。2+。3+

a4,求线性方程组Ax二B的通解.

正确答案：因为a2,a3,a4线性无关和。1=2a2-a3,可知，向量组的

秩r(Ql,a2,Q3,a4)=3,即矩阵A的秩为3.因此Ax=O的基础解系中只有

一个向量.则由知，Ax=O的基础解系是(1,-2,1,0)T又因B=。1+a2+。3+

a4=(a1,a2,Q3,Q4),则(1,1,1,1)T是Ax=B的一个特解.因此Ax二

B的通解是k,其中k为任意常数.涉及知识点：线性方程组

20.己知平面上三条不同直线的方程分别为11：ax+2by+3c=0,12：

bx+2cy+3a=0,13：cx+2ay+3b=0,试证这三条直线交于一点的充分必要条件

为a+b+c=0.

正确答案：方法一：必要性：设三条直线11,12,13交于一点，则其线

性方程组为：=3(a+b+c)f(a-b)2+(bc)2+(ca)2],但根据题设可知

(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2^0»故a+b+c=0.充分性：由a+b+c=0,则从必要性的

证明中可知，IAI=0,故r(A)V3.由于因此方程组(1)有唯一解，即三直线11,

12,13交于一点.方法二：必要性：设三直线交于一点(x0,y0),则为Ax=0

的非零解，其中=-3(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2],但根据题设可知

(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2W0,故a+b+C=O.充分性：考虑线性方程组将

方程组⑵的三个方程相加，并由a+b+c=()可知，方程组(2)等价于方程组故方程

组(3)有唯一解，即方程组(2)有唯一解，亦即三直线11,12,13交于一点.涉

及知识点：线性方程组

21.求下列齐次线性方程组的基础解系:

正确答案：(1)方程组的系数矩阵A=所以r(A)=2,因此基础解系所含向量的

个数为4-2=2,又原方程组等价于取x3=l,x4=5,得xl=-4,x2=2；取x3=(),x4=4,

得xl=0,x2=l.因此基础解系为g1=(2)方程组系数矩阵得r(A)=2,基础解系所

含向量的个数为4-2=2.又原方程组等价于取x3=l,x4=2得x2=0,x2=0；取x3=0,

x4=19»得xl=l,x2=7.因此基础解系为&1=(3)记A=(n,n-L1),可

见r(A)=l,从而有n-1个线性无关的解构成此方程的基础解系，原方程组为

xn=-nxl-(n-l)x2-e,,-2xn-l.取xl=l,x2=x3=***=xn-l=0,得xn=-n；取

x2=l,xl=x3=x4=***=xn-l=0,得xn=-(n-l)-n+l；...取xn-l=l,xl=x2=***=xn-2=0,

得xn=-2所以基础解系为”1,12,…，^n-l)=涉及知识点：线性

方程组

22.求一个齐次线性方程组，使它的基础解系为€1=(0,1,2,3)T,

€2=(3,2,1,0)T

正确答案：设所求齐次方程为Ax=0,C1,M2是4维列向量，基础解系含

有2个向量，因此r(A)=4-2=2,即方程的个数大于等于2.记B-«l,€2),

即有AB=O,且r(A)=2即BTATR且r(AT)=2.所以AT的列向量就是BTx=O

的一个基础解系.得基础解系H匚对应其次线性方程组为涉及知识点：

线性方程组

设四元齐次线性方程组求:

23.方程组I与II的基础解系；

正确答案：求方程组I的基础解系：系数矩阵为涉及知识点：

线性方程组

24.I与H的公共解.

正确答案：设X=(K1,x2,x3,x4)T为I与H的公共解，用两种方法求x的

一般表达式：方法一：x是I与H的公共解，因此x是方程组HI的解，方程

组HI为I与II联立的方程组，即其系数矩阵取其基础解系为(・1,1,2,1)T,于

是I与II的公共解为方法二：以I的通解x=(cl,-cl,c2,-cl)T代人II得

c2=-2cl这表明1的解中所有形如(cl,-cl,-2cl,-cl)T的解也是H的解，从而

是I与II的公共解.因此I与II的公共解为涉及知识点：线性方程组

25.设A-1)求满足A€2=CbA2C3=C1的所有向量C2,C3；(2)对(1)

中任意向量32和13,证明11,€2,&3线性无关.

正确答案：对增广矩阵(A：&1)作初等行变换，则得Ax=O的基础解系(1,

-1,2)T和Ax=§l,的特解(0,0,1)T故「2=(0,