2023-2024学年山东省菏泽市高二(下)期中数学试卷(b卷)

2023-2024学年山东省菏泽市高二（下）期中数学试卷（B卷）一、单选题。本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知二项式（1﹣2x）n（其中n∈N*且n≥5）的展开式中x3与x4的系数互为相反数，则n＝（）A．5 B．6 C．7 D．82．（5分）若函数f（x）在x＝x0处可导，则limh→0A．14f′(x0) B．12f′(x0) C．f′（3．（5分）已知曲线y=x+1x−1在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1＝0垂直，则A．2 B．12 C．−14．（5分）n∈N*，则（21﹣n）（22﹣n）…（100﹣n）等于（）A．A100−n80 B．C．A100−n79 5．（5分）已知函数f（x）=13x3−12x2+cx+A．c＜14 B．c≤14 C．c≥6．（5分）(xA．3 B．4 C．5 D．67．（5分）某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有（）A．504种 B．960种 C．1008种 D．1108种8．（5分）若函数f（x）＝kx﹣6lnx﹣x2在区间[1，2]上单调递增，则实数k的取值范围为（）A．(43，+∞) B．[8，+∞） C．（8，+∞） 二、多选题。本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）若C8m−1＞3CA．6 B．7 C．8 D．9（多选）10．（6分）定义在R上的函数y＝f（x）的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A．函数y＝f（x）在（3，5）上单调递减 B．f（0）＞f（3） C．函数y＝f（x）在x＝5处取得极小值 D．函数y＝f（x）存在最小值（多选）11．（6分）已知f(x)=(2−x)A．a1+a2+…+a8＝1 B．f（﹣1）除以5所得的余数是1 C．|aD．2a2+3a3+⋯+8a8＝﹣8三、填空题。本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）函数f(x)=x+1x+2lnx的图象在点（1，f13．（5分）甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有种．14．（5分）已知关于x的不等式kx（x+1）﹣lnx＜0恰有3个不同的整数解，则k的取值范围是．四、解答题。本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知(2x（1）求展开式中的常数项；（2）求展开式中各项系数之和．16．（15分）从1到7这7个数字中取2个偶数、3个奇数，排成一个无重复数字的五位数．求：（1）共有多少个五位数？（2）其中偶数排在一起的有多少个？（3）其中偶数排在一起，奇数也排在一起的有多少个？（4）其中两个偶数不相邻的有多少个？17．（15分）已知函数f（x）＝x3+bx2+cx，g（x）＝2x﹣4，若f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y＝g（x）．（1）求函数y＝f（x）的解析式；（2）若F（x）＝f（x）﹣g（x）﹣ax2在区间[2，4]上是减函数，求实数a的取值范围．18．（17分）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买．“×”表示未购买．商品顾客人数甲乙丙丁100√××√217√√××200√√√×250√×√×100×××√133√×√×（Ⅰ）试估计顾客同时购买了甲、乙两种商品的概率；（Ⅱ）假设每位顾客是否够买这四种商品是相互独立的，在近期内再对这四种商品购买情况进行调香，随机抽取4名顾客，试估计恰有2名顾客购买了两种商品，1名顾客购买了一种商品、1名顾客购买了三种商品的概率；（Ⅲ）如果顾客购买了甲则该顾客同时购买丙、丁中哪种商品的可能性最大．（结论不要求证明）19．（17分）若∀n∈N*，都存在唯一的实数cn，使得f（cn）＝n，则称函数f（x）存在“源数列”{cn}．已知f(x)=x−lnx，x（1）证明：f（x）存在源数列；（2）（i）若f(x)−λx≤0（ii）记f（x）的源数列为{cn}，证明：{cn}前n项和Sn

2023-2024学年山东省菏泽市高二（下）期中数学试卷（B卷）参考答案与试题解析一、单选题。本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知二项式（1﹣2x）n（其中n∈N*且n≥5）的展开式中x3与x4的系数互为相反数，则n＝（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】二项式定理．【答案】A【分析】直接利用二项式的展开式以及组合数的应用求出结果．【解答】解：二项式（1﹣2x）n（其中n∈N*且n≥5）的展开式Tr+1=Cnr当r＝3时，x3的系数为Cn3⋅(−2)3，由于展开式中x3与x4的系数互为相反数，故Cn解得：n＝5．故选：A．2．（5分）若函数f（x）在x＝x0处可导，则limh→0A．14f′(x0) B．12f′(x0) C．f′（【考点】含Δx表达式的极限计算与导数的关系．【答案】B【分析】利用导数的几何意义以及极限的运算性质化简即可求解．【解答】解：由已知可得limh→0故选：B．3．（5分）已知曲线y=x+1x−1在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1＝0垂直，则A．2 B．12 C．−1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【答案】D【分析】求出函数的导数，切线的斜率，由两直线垂直的条件，即可得到a的值．【解答】解：∵y=x+1∴y′=x−1−(x+1)∴曲线y=x+1x−1在点（3，2）处的切线的斜率k∵曲线y=x+1x−1在点（3，2）处的切线与直线ax+∴直线ax+y+1＝0的斜率﹣a要满足：﹣a×(−12)=−故选：D．4．（5分）n∈N*，则（21﹣n）（22﹣n）…（100﹣n）等于（）A．A100−n80 B．C．A100−n79 【考点】排列及排列数公式．【答案】A【分析】利用排列数公式求解．【解答】解：∵n∈N*，∴（21﹣n）（22﹣n）…（100﹣n）=A故选：A．5．（5分）已知函数f（x）=13x3−12x2+cx+A．c＜14 B．c≤14 C．c≥【考点】函数在某点取得极值的条件．【答案】A【分析】由已知中函数解析式f（x）=13x3−12x2+cx+d，我们易求出导函数f′（x）的解析式，然后根据函数f（x）有极值，方程f′（x）＝x2﹣x+c＝0有两个实数解，构造关于【解答】解：∵f（x）=13x3−12x2+∴f′（x）＝x2﹣x+c，要使f（x）有极值，则方程f′（x）＝x2﹣x+c＝0有两个实数解，从而Δ＝1﹣4c＞0，∴c＜1故选：A．6．（5分）(xA．3 B．4 C．5 D．6【考点】二项式定理．【答案】B【分析】直接利用二项式的展开式以及应用求出结果．【解答】解：(x+1x−2)当r＝1，3，5，7时，展开式为无理项，一共有4项．故选：B．7．（5分）某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有（）A．504种 B．960种 C．1008种 D．1108种【考点】排列及排列数公式；排列组合的综合应用．【答案】C【分析】本题的要求比较多，有三个限制条件，甲、乙排在相邻两天可以把甲和乙看作一个元素，注意两者之间有一个排列，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则可以甲乙排1、2号或6、7号，或是甲乙排中间，丙排7号或不排7号，根据分类原理得到结果．【解答】解：分两类：第一类：甲乙相邻排1、2号或6、7号，这时先排甲和乙，有2×A22种，然后排丁，有A41种，剩下其他四个人全排列有A44第二类：甲乙相邻排中间，若丙排7号，先排甲和乙，因为相邻且在中间，则有4×A22若丙不排7号，先排甲和乙，因为相邻且在中间，则有4×A22种，然后排丙，丙不再1号和7号，有A31因此共有（4A22A44+4A22A31A故共有1008种不同的排法法二：甲乙相邻的排法有A22•A66，丙排在10月1日有A22•丙排在10月1日且丁排在10月7日有A22•故共有A22•A66−2A故选：C．8．（5分）若函数f（x）＝kx﹣6lnx﹣x2在区间[1，2]上单调递增，则实数k的取值范围为（）A．(43，+∞) B．[8，+∞） C．（8，+∞） 【考点】由函数的单调性求解函数或参数．【答案】B【分析】依题意，得f'（x）＝k−6x−2x≥0在[1，2]上恒成立，即k≥2（x+3x）在[1，2]上恒成立，令g（x）＝2（x+3x）（1≤x【解答】解：因为f（x）＝kx﹣6lnx﹣x2（x＞0），所以f'（x）＝k−6x−又f（x）在区间[1，2]上单调递增，所以f'（x）＝k−6x−即k≥6x+2x＝2（令g（x）=6x+2x＝2（x+由对勾函数的性质可得，g（x）=6x+2x在[1，3又g（1）＝8，g（2）＝7，所以当1≤x≤2时，g（x）max＝8，所以k≥8．故选：B．二、多选题。本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）若C8m−1＞3CA．6 B．7 C．8 D．9【考点】组合及组合数公式．【答案】BC【分析】根据题意，由组合数的定义可得0≤m﹣1≤8且0≤m≤8以及8!(m−1)!(9−m)!＞3×8!m!(8−m)!，变形解可得【解答】解：根据题意，对于C8m−1和3C8m，有0≤m﹣1≤8且0≤若C8m−1＞3C8m变形可得：m＞27﹣3m，解可得：m＞27综合可得：274＜m≤8，则故选：BC．（多选）10．（6分）定义在R上的函数y＝f（x）的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A．函数y＝f（x）在（3，5）上单调递减 B．f（0）＞f（3） C．函数y＝f（x）在x＝5处取得极小值 D．函数y＝f（x）存在最小值【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【答案】ACD【分析】由导函数的图象可得f（x）的单调性和极值，即可得出答案．【解答】解：由导函数的图象可得在（﹣∞，﹣1）上f′（x）＜0，f（x）单调递减，在（﹣1，3）上f′（x）＞0，f（x）单调递增，在（3，5）上f′（x）＜0，f（x）单调递减，在（5，+∞）上f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以f（x）在x＝3处取得极大值，在x＝﹣1和x＝5处取得极小值，函数f（x）存在最小值，f（x）min＝min{f（﹣1），f（5）}，故选：ACD．（多选）11．（6分）已知f(x)=(2−x)A．a1+a2+…+a8＝1 B．f（﹣1）除以5所得的余数是1 C．|aD．2a2+3a3+⋯+8a8＝﹣8【考点】二项式定理．【答案】ACD【分析】利用赋值法可判断AC，由f（﹣1）＝38＝94＝（10﹣1）4，再结合二项式定理可判断B，对于f(x)=(2−x)8=【解答】解：对于A，令x＝1得，a0+a1+a2+…+a8＝1，令x＝0得，a0＝28，所以a1+a2+…+a8＝1﹣28，故A错误；对于B，f（﹣1）＝38＝94＝（10﹣1）4＝104−C41×1故f（﹣1）除以5所得的余数是1，故B正确对于C，由题意可知，|a1|+|a2|+|a3|+…+|a8|＝﹣a1+a2﹣a3+…+a8，对于f(x)=(2−x)令x＝﹣1得，a0﹣a1+a2﹣a3+…+a8＝38，又因为a0＝28，所以|a1|+|a2|+|a3|+…+|a8|＝﹣a1+a2﹣a3+…+a8＝38﹣28，故C错误；对于D，对于f(x)=(2−x)8=a0+a1令x＝1得，﹣8＝a1+2a2+3a3+…+8a8，令x＝0得，a1＝﹣8×27，所以2a2+3a3+…+8a8＝﹣8+8×27＝8（27﹣1），故D错误．故选：ACD．三、填空题。本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）函数f(x)=x+1x+2lnx的图象在点（1，f（1））处的切线方程为x﹣【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【答案】x﹣y+1＝0．【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x＝1处的导数值，再求出f（1）的值，利用直线方程的点斜式得答案．【解答】解：由f(x)=x+1x+2lnx，得f′（x∴f′（x）＝﹣1+2＝1，又f（1）＝2，∴函数f(x)=x+1x+2lnx的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y即x﹣y+1＝0．13．（5分）甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有24种．【考点】部分元素相邻的排列问题．【答案】24．【分析】由排列组合中的捆绑法和插空法计算．【解答】解：利用捆绑法可得，丙和丁相邻的排法有A2然后将乙、戊和丙、丁4人进行排列，排法有A3因为甲不站在两端，且乙、戊和丙、丁排完会形成2个空位，利用插空法排列甲，排法有A2所以不同的排列方法有A2故答案为：24．14．（5分）已知关于x的不等式kx（x+1）﹣lnx＜0恰有3个不同的整数解，则k的取值范围是[ln530，ln210【考点】函数的零点与方程根的关系．【答案】[ln530，ln2【分析】将不等式变形为k（x+1）＜lnxx，令g（x）=lnx【解答】解：因为kx（x+1）﹣lnx＜0，x＞0，所以k（x+1）＜lnx因为直线y＝k（x+1）过定点（﹣1，0），令g（x）=lnxx，g'（x）=1−lnx所以当x∈（0，e）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增；当x∈（e，+∞）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减；又因为g（1）＝0，当0＜x＜1时，g（x）＜0；当x＞1时，g（x）＞0；所以g（x）max＝g（e）=1又因为g（2）=ln22=ln2g（3）=ln33=ln33=lng（4）=ln44如图所示：当直线过（﹣1.0）和（4，ln22）时，k=当直线过（﹣1.0）和（5，ln55）时，k=又因为k（x+1）＜lnx所以k∈[ln530，ln2故答案为：[ln530，ln2四、解答题。本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知(2x（1）求展开式中的常数项；（2）求展开式中各项系数之和．【考点】二项展开式的通项与项的系数．【答案】（1）7920；（2）531441．【分析】（1）根据二项式展开式的通项公式求解；（2）利用赋值法可得答案．【解答】解：（1）由题意，n＝12，则(2x2+1x)12展开式的通项公式为Tk+1=C12k•（2x2）12﹣k•(令24﹣3k＝0，解得k＝8，展开式中的常数项为T9=C128（2）令x＝1，可得展开式中各项系数之和为312＝531441．16．（15分）从1到7这7个数字中取2个偶数、3个奇数，排成一个无重复数字的五位数．求：（1）共有多少个五位数？（2）其中偶数排在一起的有多少个？（3）其中偶数排在一起，奇数也排在一起的有多少个？（4）其中两个偶数不相邻的有多少个？【考点】部分元素不相邻的排列问题．【答案】（1）1440；（2）576；（3）288；（4）864．【分析】（1）根据题意，先分析从1到7这7个数字中取2个偶数、3个奇数的数目，再将选出的数字全排列，由分步计数原理计算可得答案；（2）根据题意，将2个偶数看成一个整体，与3个奇数全排列即可，由分步计数原理计算可得答案；（3）根据题意，先分析从1到7这7个数字中取2个偶数、3个奇数的数目，由捆绑法分析可得答案；（4）根据题意，先排3个奇数，再将2个偶数插在3个奇数的空位中，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：（1）根据题意，从1到7这7个数字中取2个偶数、3个奇数，则取法有C3将选出的5个数字组成五位数，有A5则有12×120＝1440个符合题意的五位数；（2）根据题意，把选出的偶数捆绑在一起，和奇数进行全排列，故其中偶数排在一起的有12A（3）把选出的偶数捆绑在一起，把选出的奇数也捆绑在一起，再全排列即可，故偶数排在一起，奇数也排在一起的有12A（4）先排3个奇数，2个偶数插空，故其中两个偶数不相邻的共有12A17．（15分）已知函数f（x）＝x3+bx2+cx，g（x）＝2x﹣4，若f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y＝g（x）．（1）求函数y＝f（x）的解析式；（2）若F（x）＝f（x）﹣g（x）﹣ax2在区间[2，4]上是减函数，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数解析式的求解及常用方法．【答案】（1）f（x）＝x3+2x2﹣5x；（2）[458【分析】（1）由题意，根据导数的几何意义即可求解；（2）将问题转化为F′（x）＝3x2﹣2ax﹣3≤0对x∈[2，4]恒成立，再进行求解即可．【解答】解：（1）因为f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为g（x）＝2x﹣4，易知f′（x）＝3x2+2bx+c，所以3+2b+c＝2，即2b+c＝﹣1，①又g（1）＝2×1﹣4＝﹣2，所以切点为（1，﹣2），此时b+c＝﹣3，②联立①②，解得b＝2，c＝﹣5，所以f（x）＝x3+2x2﹣5x；（2）因为F（x）＝f（x）﹣g（x）﹣ax2＝x3﹣ax2﹣3x+2在[2，4]上是减函数，所以F′（x）＝3x2﹣2ax﹣3≤0对x∈[2，4]恒成立，即a≥32（x−1x易知函数y＝x，y=−1所以函数y=x−1则a≥32（x−1x）max=3故实数a的取值范围为[45818．（17分）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买．“×”表示未购买．商品顾客人数甲乙丙丁100√××√217√√××200√√√×250√×√×100×××√133√×√×（Ⅰ）试估计顾客同时购买了甲、乙两种商品的概率；（Ⅱ）假设每位顾客是否够买这四种商品是相互独立的，在近期内再对这四种商品购买情况进行调香，随机抽取4名顾客，试估计恰有2名顾客购买了两种商品，1名顾客购买了一种商品、1名顾客购买了三种商品的概率；（Ⅲ）如果顾客购买了甲则该顾客同时购买丙、丁中哪种商品的可能性最大．（结论不要求证明）【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．【答案】（Ⅰ）4171000（Ⅱ）1471250（Ⅲ）丙．【分析】（Ⅰ）根据表格，求出顾客同时购买了甲、乙两种商品的人数，根据古典概型概率公式求解即可；（Ⅱ）分别求出顾客只购买1种商品，2种商品，3种商品的概率，根据独立事件同时发生的概率公式即可求出结果；（Ⅲ）根据表格写出同时购买甲和丙种商品的人数，同时购买甲和丁种商品的人数，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）由表格知，顾客同时购买了甲、乙两种商品的人数有200+217＝417人，总人数有1000人，设顾客同时购买了甲、乙两种商品为事件A，则P（A）=417（Ⅱ）顾客同时只购买了两种商品的人数有100+217+250+133＝700人，其概率为7001000顾客购买了一种商品有100人，其概率为1001000顾