江苏省苏州市2024-2025学年高一下学期7月期末考试 数学

2025年高一学年度质量监测

数学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位

置，在其他位置作答一律无效．

3．本卷满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的．

2

zz

1.已知1i，则（）

2

A.B.1C.2D.2

2

【答案】C

22(1i)2(1i)2(1i)

【详解】由题意得z1i，

1i(1i)(1i)1i22

由复数的模长公式得z112，故C正确.

故选：C

2.南通轨道交通1号线从南通西站到孩儿巷共10个车站，某时刻各站上车的人数统计如下：

10,20,30,40,40,50,50,60,60,70，则这组数据的第75百分位数为（）

A.25B.30C.55D.60

【答案】D

【详解】因为10，

所以这组数据的第75百分位数为第8个数，即为60，故D正确.

故选：D

1

3.已知向量a，b满足ab1，ab，则a在b上的投影向量为（）

2

1111

A.aB.aC.bD.b

2222

【答案】D

1

【详解】由向量的夹角公式得ab21，

cosa,b

ab112

a·bb1

由投影向量公式得a在b上的投影向量为·b，故D正确.

bb2

故选：D

cosAcosB

4.在ABC中，若，则ABC的形状是（）

BCAC

A.等腰三角形B.等边三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

【答案】A

cosAcosB

【详解】在ABC中，因为，

BCAC

cosAcosB

所以结合正弦定理可得，

sinAsinB

则sinAcosBcosAsinB，可得sinAcosBcosAsinB0，

由两角差的正弦公式得sin(AB)0，

因为A(0,π)，B(0,π)，所以B(π,0)，

可得AB0，解得AB，

即ABC的形状是等腰三角形，故A正确.

故选：A

5.已知，，是三个不同的平面，l是一条直线，则下列说法正确的是（）

A.若，，则//B.若l//，l//，则//

C.若l，l，则//D.若l//，//，则l//

【答案】C

【详解】对于A，若，，则,可能会相交也可能平行，故A错误，

对于B，若l//，l//，则,可能会相交或平行，故B错误，

对于C，由线面垂直的性质得若l，l，则//，故C正确，

对于D，若l//，//，则l//或l，故D错误.

故选：C

π1π

6.已知sin，则sin2（）

636

774242

A.B.C.D.

9999

【答案】B

ππππ

【详解】由题意结合诱导公式得sin2sin2()cos(2)，

6623

π2π17

由二倍角的余弦公式得cos(2)12sin12，故B正确.

3699

故选：B

7.已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，它的侧面展开图是圆心角为π的扇环，则该圆台的体积为（）

73831656

A.πB.πC.πD.π

3333

【答案】A

【详解】由题意得圆台的上、下底面半径分别为1和2，

因为圆台的侧面展开图是圆心角为π的扇环，

2π

所以圆台的母线长度为2，

π

设圆台的高为h，由勾股定理得h22(21)23，

173

由圆台的体积公式得体积为π322π，故A正确.

33

故选：A

8.如图，用X,Y,Z三种不同元件连接成系统N，每个元件是否正常工作不受其它元件的影响．当元件X,Y

都正常工作或Z正常工作时，系统N正常工作．已知元件X,Y,Z正常工作的概率分别为0.7,0.8,0.9，则

系统N正常工作的概率为（）

A.0.504B.0.846C.0.902D.0.956

【答案】D

【详解】由题意得P(X)，P(Y)，P(Z)，

且系统N正常工作的对立事件为系统X,Y不都正常工作且Z也不正常工作，

而每个元件是否正常工作不受其它元件的影响，则X,Y,Z相互独立，

可得X,Y不都正常工作的概率为，

故系统N不正常工作的概率为，

由对立事件的概率公式得系统N正常工作的概率为0.956，故D正确.

故选：D

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9.下列等式中，正确的是（）

3221

A.sin21cos39cos21sin39B.cos15sin15

22

1tan75

C.tan101tan3512D.3

1tan75

【答案】AC

【详解】对于A，由两角和的正弦公式得sin21cos39cos21sin39

3

sin(2139)sin60，故A正确，

2

3

对于B，由二倍角的余弦公式得cos215sin215cos30，故B错误，

2

对于C，由题意得tan101tan351tan10tan35tan10tan351，

tan10tan35

由两角和的正切公式得tan45tan(1035)1，

1tan10tan35

则tan10tan351tan10tan35，代入可得tan10tan35tan10tan351

tan10tan351tan10tan3512，故C正确，

1tan75tan45tan75

对于D，由题意结合两角差的正切公式得

1tan751tan45tan75

3

tan(4575)tan(30)tan30，故D错误.

3

故选：AC

10.依次抛掷两枚质地均匀的骰子，记“第一次向上的点数是1”为事件A，“第二次向上的点数是偶数”为事

件B，“两次向上的点数之和是8”为事件C，则（）

A.A与B相互独立B.A与C互斥

71

C.PABD.PBC

126

【答案】ABC

【详解】由题意得共有6236个基本事件，

第一次向上的点数是1有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)，共6种情况，

61

由古典概型概率公式得P(A)，

366

第二次向上的点数是偶数有(1,2),(1,4),(1,6),(2,2),(2,4),(2,6)

(3,2),(3,4),(3,6),(4,2),(4,4),(4,6),(5,2),

(5,4),(5,6),(6,2),(6,4),(6,6)，共18种情况，

181

由古典概型概率公式得P(B)，

362

两次向上的点数之和是8有(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)，共5种情况，

5

由古典概型概率公式得P(C)，

36

而事件AB表示第一次向上的点数是1且第二次向上的点数是偶数，

31

符合条件的有(1,2),(1,4),(1,6)，共3种，则P(AB)，

3612

下面，我们开始分析各个选项，

1111

对于A，由已知得P(AB)，P(A)P(B)，

126212

满足P(AB)P(A)P(B)，则A与B相互独立，故A正确，

对于B，事件AC表示第一次向上的点数是1和两次向上的点数之和是8至少有1个发生，

符合条件的有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)，

11

(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)，共11个，故P(AC)，

36

满足P(AC)P(AP(C，可得A与C互斥，故B正确，

对于C，由概率加法公式得PABP(A)P(B)P(AB)

1117

，即C正确，

621212

对于D，题意得共有6236个基本事件，

则BC表示第二次向上的点数是偶数且两次且向上点数之和是8，

31

符合条件的有(2,6),(6,4),(2,2)，共3种，则P(BC)，故D错误.

3612

故选：ABC

11.在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB2，AA14，M为BC的中点，点N在棱CC1上，且C1N3NC，

则（）

A.AMBNB.A1B//平面AMC1

π

C.直线MN与平面ACCA所成角为D.三棱锥CAMN的外接球表面积为5π

116

【答案】ABD

【详解】对于A：因为正三棱柱ABCA1B1C1，所以CC1平面ABC,AM平面ABC，

故AMCC1,又因为三角形ABC为正三角形，M为BC的中点，故AMBC,

因为BCCC1C,且BC,CC1平面BCC1B1，故AM平面BCC1B1，

又因为BN平面BCC1B1，所以AMBN，故选项A正确；

对于B：如图，连接AC1,A1C两线相交于点O，

再连接OM，因为是正三棱柱ABCA1B1C1，所以四边形ACC1A1为长方形，

故点O为直线A1C的中点，又因为M为BC的中点，所以OM为三角形A1BC的中位线，

故A1B//OM,因为A1B平面AMC1，OM平面AMC1，所以A1B//平面AMC1，故选项B正确；

对于C：

如图，找直线CC1的中点H，直线AC的中点G，连接BH,BG,HG,因为C1N3NC，

所以点N是CC1的四等分点，故点N为CH的中点，又因为M为BC的中点，

故MN//BH,所以直线MN与平面ACC1A1所成角即为直线BH与平面ACC1A1所成角，

因为正三棱柱ABCA1B1C1，所以CC1平面ABC，BG平面ABC，故BGCC1,

又因为三角形ABC为正三角形，G为AC的中点，故BGAC,因为ACCC1C,

且AC,CC1平面ACC1A1，故BG平面ACC1A1，故BHG即为所求线面角，

22

设线面角为，因为HG12225,BG22123,BH5322,

BG361

所以sin,故选项C错误；

BH2242

11

对于D：因为正三棱柱，所以CN平面AMC,所以球心到平面AMC的距离为CN,

22

1AC2

又因为三角形的外接圆圆心为，所以外接球半径215,故

AMCr1R1

2sin9022

S4πR25π，故选项D正确；

故选：ABD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12.已知一组数据2，4，a，6，8的平均数为5，该数据的方差为_______．

【答案】4

24a68

【详解】由题：一组数据2,4,a,6,8的平均数为5，即5，解得a5，

5

22222

254555658520

所以该组数据的方差为4.

55

故答案为：4

13.在ABC中，AB3，AC23，CD2DB，且ADBC1，则BAC______．

2π

【答案】##120

3

【详解】由于CD2DB，故CB3DB,故

1121

ADABBDABBCABACABABAC,

3333

又BCACAB,

1122

故ADBC2ABACACABABAC2ABAC1,

33

22

故ABAC2ABAC323cosBAC23123,

1

故cosBAC，

2

2π

由于BAC0,π，故BAC，

3

2π

故答案为：

3

14.在ABC中，cos2Acos2Bcos2C1，ACB的角平分线交AB于D，CD22，则ABC

面积的最小值为______．

【答案】8

【详解】

设在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.

因为cos2Acos2Bcos2C1，所以12sin2A12sin2B12sin2C1，

所以sin2Asin2Bsin2C，

π

由正弦定理可得c2a2b2，故ACB，

2

π

因为CD为ACB的角平分线，所以ACDBCD.

4

1π1π1

由SSS得b22sina22sinab，

ACDBCDACB24242

1111

整理得abab，即.

2ab2

1111

因为2，所以ab16，当且仅当ab4时取等号，

ab2ab

1

所以Sab8，故ABC面积的最小值为8.

ACB2

故答案为：8.

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

13π

15.已知向量a，b满足a2，b,，a与b的夹角为．

223

（1）求ab；

（2）若kaba2b，求k的值．

【答案】（1）3

1

（2）k

2

【小问1详解】

22

1313

由b,可得，

b1

2222

1

故ab211，

2

22

故abab2ab4123

【小问2详解】

由于kaba2b，故kaba2b0，

22

即ka2k1ab2b0，

1

故4k2k120，解得k，

2

16.为调查学生体能状况，现从某校高一年级参加体能测试的学生中随机抽取100名学生的体能测试成绩，

这组数据均在区间40,100，其频率分布直方图如图所示．

（1）求m的值；

（2）用组中值估计该校高一学生的平均体能测试成绩；

（3）现用分层抽样的方法从区间40,50，80,90，90,100抽取5人，再从抽取的5人中随机抽取2

人，求这2人体能测试成绩在80,90的概率．

【答案】（1）m0.012

（2）67.8

3

（3）

10

【小问1详解】

由题意可得100.00420.202m0.401，解得m0.012，

【小问2详解】

平均数为

450.00410550.02010650.04010750.02010850.01210950.0041067.8

【小问3详解】

40,50，80,90，90,100的频率分别为0.04,0.12,0.04，故之比为1:3:1，因此从40,50，80,90，

90,100抽取5个人，则需要从40,50，80,90，90,100分别抽取的人数为1，3，1，

设40,50的1个人为A，80,90的3个人为a,b,c，90,100的1一个人为B,

故样本空间为Aa,Ab,Ac,AB,ab,ac,aB,bc,bB,cB,共有10个，

则2人体能测试成绩在80,90的样本点有ab,ac,bc共有3个，

3

故概率为，

10

π

17.已知,0,，sin5sin．

2

tan

（1）求；

tan

1

（2）若tan，求sin2的值．

3

3

【答案】（1）

2

910

（2）

50

【小问1详解】

因为sin5sin，

所以sincoscossin5sincos5cossin，

化简得3cossin2sincos，

π

因为,0,，所以cos0,sin0，

2

3sin2sintan3

所以，即3tan2tan，故.

coscostan2

【小问2详解】

1πsin122

由tan，0,得sin0,cos0，且,sincos1，

32cos3

13

所以sin,cos.

1010

tan31

因为，所以tan，

tan22

πsin12212

由0,,,sincos1得sin,cos，

2cos255

1243

所以sin22sincos2,cos212sin2，

5555

4331910

所以sin2sin2coscos2sin.

51051050

18.一副三角板按如图所示的方式拼接，将△BCD折起，使得ABCD．

（1）证明：平面ABC平面BCD；

（2）求二面角ABDC的余弦值；

（3）设BD，CD的中点分别为M，N，平面AMN与平面ABC的交线为l，求直线l与BD所成角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析

5

（2）

5

3

（3）

2

【小问1详解】

CDBC，又ABCD，ABBCB,AB,BC平面ABC，

故CD平面ABC，

又CD平面BCD，故平面ABC平面BCD；

【小问2详解】

取BC中点为O，过O作OEBD于E，连接AE,OA，

由（1）知平面ABC平面BCD，且两平面的交线为BC,

由于ABAC,O是BC的中点，

故AOBC,AO平面ABC，故AO平面BCD，

BD平面BCD，则AOBD，

结合OEBD，OEOAO,OA,OE平面OAE，

故BD平面OAE，AE平面OAE，故AEBD，

因此AEO为二面角ABDC的平面角，

1

111EO25

设,则,故cosAEO

BC2AOBC1,OEOBAE25

22221

1

2

【小问3详解】

由于M，N分别为BD，CD的中点，故NM//BC,

NM平面AMN，BC平面AMN，

故BC//平面AMN

BC平面ABC,且平面AMN与平面ABC的交线为l，故BC//l，

故BC与BD所成的角即为直线l与BD所成角的角，

由于BC与BD所成的角为CBD30

3

故直线l与BD所成角的余弦值为cosCBD．

2

π

19.在平面四边形ABCD中，AB2BC，BAC，AD1，CD2．

6

（1）若A，B，C，D四点共圆，求AC；

（2）若ADC为锐角，且四边形ABCD的面积为3，求CBCD；

（3）求BD的取值范围．

【答案】（1）7

（2）1

3953

（3）,

33

【小问1详解】

ABsinACB

在ABC中，由正弦定理可得,

BCsinBAC

π

结合AB2BC，BAC，故sinACB1，

6

π

由于ACB为ABC的内角，所以ACB，

2

π

因此ABC，

3

2π

由于A，B，C，D四点共圆，故ADC,

3

222π1

因此在ACD中，ACADCD2ADCDcos142127

32

【小问2详解】

πππ

由（1）知，ACB，ABC，BAC，

2