河南省南阳市2024-2025学年高一下学期期终质量评估数学试题

2025年春期高中一年级期终质量评估

数学试题

注意事项：

1．考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效．

2．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

3．选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳

素笔书写，字体工整，笔迹清楚.

4．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．

5．保持卷面清洁，不折叠、不破损．

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.）

1i

1.13i（）

12121212

A.iB.iC.iD.i

55555555

【答案】B

【解析】

【分析】利用复数的运算性质化简求解复数即可.

1i(1i)(13i)

【详解】由复数的运算性质得

13i(13i)(13i)

1i3i3i214i34i212

i，故B正确.

19i2191055

故选：B

2.若角的终边经过点(3,1)，则sin2（）

3344

A.B..C.D.

5555

【答案】A

【解析】

【分析】利用任意角三角函数的定义求出sin和cos，再结合二倍角公式求解sin2即可.

【详解】由题意得角的终边经过点(3,1)，

110

结合任意角三角函数的定义得sin，

(1)2(3)210

3310

cos，

(1)2(3)210

103103

由二倍角公式得sin22，故A正确.

10105

故选：A

3.函数fxsinxcosx1在0,2上的零点个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

πππ9π

【分析】用辅助角公式化为fx2sinx1，且x,，再令fx0,求解即得.

4444

π

【详解】fxsinxcosx12sinx1.

4

ππ9π

x0,2π，x,.

444

π2πππ3ππ9π

令fx0,得sinx，∴x或x或x.

42444444

π

所以x0或x或x2π

2

故选：C.

4.检查一张桌子的4条腿的下端是否在同一平面内，下列做法最科学合理的是（）

A.将桌子正放于地面上，趴地上观察桌腿和地面之间是否有缝隙

B.将桌子正放于地面上，取薄纸一张铺在桌面上观察纸张是否平整

C.将桌子倒放于地面上，用双手分别触摸四条腿底部凭手感判断是否水平

D.将桌子倒放于地面上，用细线分别连接两腿对角的下端观察两根细线是否相交

【答案】D

【解析】

【分析】根据给定条件，利用平面的基本事实判断即可.

【详解】对于A，当地面不平整时，每条桌腿和地面之间都无缝隙，也不能说明4条腿的下端在同一平面

内，A不是；

对于B，最多能说明桌面是否平整，不能说明4条腿的下端在同一平面内，B不是；

对于C，只能检查每条腿的下端是否平整，不能说明4条腿的下端在同一平面内，C不是；

对于D，两根细线相交，可得两根细线所在直线确定一个平面，

两个细线所在直线上的所有点都在这个平面内，能说明4条腿的下端在同一平面内，D是.

故选：D

5

3tan

5.12（）

5

1tan2

12

3333

AB.C.D.

.2626

【答案】A

【解析】

【分析】变形后逆用二倍角的正切公式求解即可.

5π5

3tan2tan

3353333

【详解】1212tantan.

55

1tan221tan22626232

1212

故选：A.

6.如图，α∥β，A，C∈α，B，D∈β，AC与BD为异面直线，AC=6，BD=8，AB=CD=10，AB与CD成60°

的角，则异面直线AC与BD夹角的大小是（）

A.60°B.90°

C.45°或60°D.60°或90°

【答案】B

【解析】

【分析】过点A作CD的平行线交平面于E点，连接DE，BE，得到平行四边形ACDE，在BDE中，

计算EDB即得到异面直线AC与BD所成的角.

【详解】

过点A作CD的平行线交平面于E点，连接DE，BE.

//,AE//CD，平面ACDEAC，平面ACDEDE，

AC//DE,四边形ACDE为平行四边形，

AECD10,DEAC6.

又AB与CD成60°的角，故∠BAE60或BAE120，

当∠BAE60时，又AB10AE,ABE为等边三角形，故BE10.

当BAE120时，BE2AEsin60103，

又BEDEBD6814，不合题意；

综上，BE10.

在BDE中，BE10,BD8,DE6，

BE2BD2DE2,BDE90.

AC//DE,

所以BDE（或其补角）为异面直线AC与BD所成的角，

故异面直线AC与BD所成的角为90.

故选：B.

r

7.已知向量a2,1，b1,2，则ab的最小值为（）

5253545

A.B.C.D.

5555

【答案】C

【解析】

2

【分析】求出ab关于的二次函数，利用二次函数的基本性质可求得ab的最小值.

【详解】由题意可得ab2,11,22,12，

2

2

22249

所以ab2125855，

55

435

故当时，ab取得最小值.

55

故选：C

8.已知锐角x满足sin3xsinx0，则x的取值范围为（）

ππππππ

A0,B.0,C.,D.,

.646343

【答案】B

【解析】

【分析】先利用和差化积公式得到sin3xsinx2cos2xsinx，再结合余弦函数性质求解不等式即可.

【详解】由和差化积公式得sin3xsinx2cos2xsinx，

欲求sin3xsinx0，则求2cos2xsinx0即可，

π

因为x是锐角，所以x0,，且sinx0，

2

ππ

故求cos2x0即可，解得2x(2kπ,2kπ),kZ，

22

ππππ

则x(kπ,kπ),kZ，当k0时，x(,)，

4444

ππ

而x0,，得到x0,，故B正确.

24

故选：B

二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．）

9.在下列正方体中，点O为底面的中心，点P为所在棱的中点，点M，N为正方体的顶点，下列满足MN⊥OP

的图形有（）

A.B.

C.D.

【答案】BC

【解析】

【分析】根据各选项的条件，结合正方体的结构特征及线面垂直的判定性质逐项分析判断.

【详解】对于A，如图，连接AN,AC，则OP//AN，而AN是RtAMN的斜边，

则MN与AN不垂直，MN与OP不垂直，A不是；

对于B，如图，连接NC,A1C,A1D，则OP//A1C，由CD平面A1MDN，MN平面A1MDN，

得CDMN，而A1DMN，A1D,CD是平面A1CD内两条相交直线，则MN平面A1CD，

又A1C平面A1CD，则MNA1C，MNOP，B是；

对于C，如图，连接BC1,BD,BD1，由选项B同理得MNOP，C是；

对于D，如图，E,E1为所在棱的中点，可得四边形OPB1E,B1EME1都是平行四边形，

，令正方体棱长为，则，

OP//B1E//ME12E1ME1N5,MN22

ME1与MN不垂直，MN与OP不垂直，D不是.

故选：BC

11

10.已知sin，sin，则下列式子正确的是（）

23

51

A.sincosB.cossin

1212

tantantantan1

C.5D.

tantan2tan5

【答案】ABC

【解析】

【分析】对于AB：根据两角和差的正弦公式计算判断；对于C：切化弦求解判断；对于D根据两角和的正

切公式化简结合选项C判断.

1

【详解】对于AB：因为sinsincoscossin，

2

1

sinsincoscossin，

3

sinsin5sinsin1

所以sincos，cossin，

212212

故AB正确；

5

tansincos

对于C：因为125，故C正确；

tansincos1

12

对于D：

tantantantantantan

tan2tantan2tan

tantan1tantantantantan

tan2tantan2tan

tan

5，故D错误；

tan

故选：

ABC.

11.若四面体的各棱长为2或4，且该四面体不是正四面体，则该四面体外接球的表面积可能为（）

192240

A.18πB.20πC.πD.π

1111

【答案】ACD

【解析】

【分析】设四面体为ABCD，四面体为ABCD的外接球的球心为O，半径为R，分三种情况讨论①若其

中一组对棱相等且长度为2，其余棱长为4，②若一条棱长AD2，其余各棱棱长均为4，③三棱锥ABCD

为正三棱锥，且侧棱长为4，△BCD是边长为2的等边三角形.根据对称性确定球心位置，由球心到各顶点

距离相等列式可求半径R，进而得到四面体外接球的表面积.

【详解】设四面体为ABCD，四面体为ABCD的外接球的球心为O，半径为R，表面积为S.

分以下几种情况讨论：

①若其中一组对棱相等，不妨设ADBC2，其余各棱棱长均为4，取BC的中点O，连接OA,OD,OE.

∵ABACDBDC4，BC2，O为AC的中点，故AOBC，ODBC,

∴AOAB2OB215OD，

∴OEAD，OEAO2AE214,

根据对称性，球心O在OE上，设OEx，则OO14x.

214

由OCOD得14x1x21，解得x，

2

9

所以R2x21,S4R218.

2

②若AD2，其余各棱棱长均为4，取BC的中点O，连接AO、OD，

因为ABACBCCDBD4，O为AC的中点，故AOBC，

ODBC,AOAB2OB223OD，

2

∴OEAD，OEAO2AE2231211,

根据对称性，球心O在OE上，设OEx，则OO11x.

27

由OCOD得11x22x21，解得x，

11

60240

所以R2x21,S4R2.

1111

③三棱锥ABCD为正三棱锥，且侧棱长为4，△BCD是边长为2的等边三角形，

设顶点A在底面BCD内的射影点为O，连接BO、CO，

22

222244

则O是底面正三角形的中心，且BO，AOABBO4.

333

44

根据对称性，球心O在OA上，设OOx，则OAx.

3

210

4422

由AOBO得xx，解得x.

3333

2

222482192

所以Rx,S4R.

31111

故选：ACD.

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）

12.如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个边长为4cm的正方形，则原平面图形的面积为

_________cm2.

【答案】322.

【解析】

【分析】根据斜二测画法的作图规则，得出原图形，进而解得原图形的面积.

【详解】根据题意，斜二测直观图是边长为1的正方形如图1所示，

其中OA4,OB42，根据斜二测画法规则，还原为如图2所示的原图，

π

原图形是平行四边形，其中OA4,OB82，AOB,

2

所以原图形的面积SOAOB482322.

故答案为：322.

13.已知圆内接四边形ABCD中，AB2,BC6,ADCD4,则四边形ABCD的面积为.

【答案】83

【解析】

【详解】连接BD,圆内接四边形对角互补，AC，利用余弦定理,

得6242246cosC2242246cos(C),

12

∴cosC,0C,C,A,

233

11

四边形面积S64sin6042sin12083.

22

故答案为：83.

π

14.设f(x)cosx(sinx2cosx)，已知f(x)f(x)，则cos(2x)______

max004

10

【答案】

10

【解析】

【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数f(x)，再利用正弦函数取最大值的条件求出辅助角的正余

弦，利用差角的余弦求得答案.

15

【详解】依题意，f(x)sinxcosx2cos2xsin2xcos2x1sin(2x)1，其中锐角由

22

2

sin

5

确定，

1

cos

5

ππ

当且仅当2x2kπ,kZ，即2x2kπ,kZ时，f(x)取得最大值，

22

π12

因此2x2kπ,kZ，sin2x0cos,cos2x0sin，

0255

π210

所以cos(2x)(cos2xsin2x).

0420010

10

故答案为：

10

四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

2

15.设复数zm1m4m5i和复平面内的点Z对应，若点Z的位置满足下列要求，分别求实数

m的取值范围.

（1）在虚轴上；

（2）在第三象限．

【答案】（1）m1

（2）1m1

【解析】

【分析】（1）根据题意结合复数的几何意义，建立方程，求解参数即可.

（2）根据题意，结合对应点所在的位置，建立不等式求解参数范围即可.

【小问1详解】

2

因为复数zm1m4m5i和复平面内的点Z对应，

且复数z在虚轴上，则满足m10，所以解得m1.

【小问2详解】

2

因为复数zm1m4m5i和复平面内的点Z对应，

m10

且复数在第三象限，则满足，所以解得

z21m1.

m4m50

2π

16.已知函数fxcosx3sinxcosxa(0)的最小正周期为π，且f1.

6

（1）求fx的单调递减区间；

π5π

（2）求fx在,上的值域.

612

π2π

【答案】（1）+kπ,kπ,kZ

63

1

（2）,1

2

【解析】

π1

【分析】（1）利用二倍角公式以及辅助角公式化简可得fxsin2xa，由周期求出，由

62

ππ

f1求得a，则有fxsin2x，利用整体代换法求其递减区间；

66

（2）利用整体代换并结合正弦函数性质求解值域即可.

【小问1详解】

1cos2x3

fxcos2x3sinxcosxasin2xa

22

π12π

sin2xa，因为fx的最小正周期为π，所以22，即1，

62π

πππ11π

又fsin2a1，所以a，所以fxsin2x，

666226

ππ3ππ2π

令2kπ2x2kπ,kZ，解得+kπxkπ,kZ，

26263

π2π

所以函数fx单调递减区间为+kπ,kπ,kZ；

63

【小问2详解】

ππ5ππ1

设t2x，因为x，，所以t,π，所以sint,1，

661262

π1

所以fxsin2x的值域为,1

62

17.如图，直线PA垂直于O所在的平面，ABC内接于O，且AB为O的直径，点M为线段PB的

中点.

（1）求证：BCPC;

（2）若ACAOOM1，求二面角MACB的平面角的正切值.

【答案】（1）证明见解析

23

（2）

3

【解析】

【分析】（1）直线与平面垂直的判定及性质可证明；

（2）取AC的中点E，连接OE,ME，确定MEO即为二面角MACB的平面角.根据题意结合

ACAOOM1可求OE，再在RtMEO中，计算tanMEO即可.

【小问1详解】

因为PA平面ABC，且BC平面ABC，

所以PABC，

又因为AB为圆O的直径，且点C在圆O上，

所以BCAC，

又PAACA

所以BC平面PAC

又PC平面PAC

所以BCPC.

【小问2详解】

因为M是PB的中点，PAAB，PCBC，

1

所以AMMCPB

2

取AC的中点E，连接OE,ME，则MEAC，OE∥BC，OM∥PA，

∵ACCB，∴OEAC

所以MEO即为二面角MACB的平面角.

∵ACAOOM1，

13

∴AB2，BC3，OEBC，

22

∵PA平面ABC，OE平面ABC，

∴PAOE，

∵OM∥PA，∴OMOE.

MO123

tanMEO

在RtMEO中，OE33.

2

23

所以二面角MACB的平面角的正切值为.

3

18.已知ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，sin(AB)tanCsinAsinB．

a2c2

（1）求；

b2

2

（2）若cosB，求sinA．

3

【答案】（1）3

30

（2）

6

【解析】

【分析】（1）将切化弦，再由差角公式得到sinAcosBsinCcosAsinBsinCsinAsinBcosC，利用

正弦、余弦定理将角化边，即可得证；

B

（2）由余弦定理及（1）的结论得到ac，即可得到三角形为等腰三角形，利用二倍角公式公式求出cos，

2

再由诱导公式计算可得.

【小问1详解】

因为sin(AB)tanCsinAsinB，

sinC

所以sin(AB)sinAsinB，所以sin(AB)sinCsinAsinBcosC，

cosC

即sinAcosBsinCcosAsinBsinCsinAsinBcosC，

由正弦定理可得accosBbccosAabcosC，

a2c2b2b2c2a2a2b2c2

由余弦定理可得acbcab，

2ac2bc2ab

所以a2c2b2b2c2a2a2b2c2，

即a2c23b2，

a2c2

所以3.

b2

【小问2详解】

a2c2b22

由题意可知cosB，又a2c23b2，可得a2c22ac0，

2ac3

所以ac，即ABC为等腰三角形，

2B2B30B30

由cosB2cos1，解得cos或cos，

232626

πBπB30

因为B0,，所以0,，所以cos，

22426

πBB30

所以sinAsincos

2226.

19.如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，M为棱AC的中点.

（1）求证：B1C//平面A1BM

（）若,,满足

2AC2AA12NBNBB1(0).

①求证：平面ANC1平面A1BM

6

②是否存在实数，使得三棱锥NA1BM的体积为？若存在求出的值，若不存在，请说明理由.

9

【答案】（1）证明见解析

2

（2）①证明见解析；②存在；

3

【解析】

【分析】（1）合理作出辅助线，利用中位线定理得到OM//B1C，再结合线面平行的判定定理求解即可.

（2）①应用线面垂直的性质、判定定理可得BM平面ACC1A1,从而得到