安徽省滁州市重点高中2024-2025学年高二下学期期末教学质量监测 数学

2025年滁州市高二教学质量监测

数学

注意事项：

1．答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改

动，务必擦净后再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷

上无效．

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的．

1.集合A{x|2x4}，B{x|2x783x}，则AB（）

A.,3B.2,3C.,4D.2,4

【答案】C

【详解】因为B{x|2x783x}B{x|x3}，A{x|2x4},

所以AB,4.

故选：C.

3

2.复数z2i在复平面内对应的点位于（）

1i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

331i33i37

【详解】z2i2i2ii

1i1i1i222

37

z在复平面内对应的点为,，在第二象限.

22

故选：B.

3.圆(x1)2(y1)21上的点到直线xy20距离的最小值是（）

A.21B.1C.2D.21

【答案】A

【详解】已知圆的标准方程为：(x1)2(y1)21，则其圆心O(1,1),半径r1.

直线方程为xy20，根据点到直线的距离公式计算圆心到直线的距离为：

11112

d2.

2

121

因为d21r，那么圆与直线相离.

因此，圆上点到直线的最小距离为圆心到直线的距离减去半径，即：dr21

故选:A

π

4.已知函数fxsinx，将fx的图象向右平移m(m0)个单位长度后关于y轴对称，则m的

4

最小值为（）

πππ3π

A.B.C.D.

4324

【答案】A

π

【详解】由题意得将fxsinx向右平移m个单位后

4

ππ

得fxsinxmsinxm，且关于y轴对称，

44

ππ3π

所以mkπ，kZ，得mk，kZ，

424

π

又因为m0，所以当k1时，m有最小值.

4

故选：A.

5.设直线l的方程为xycos20，则直线l的倾斜角的取值范围是（）

πππ3ππππ3π

A.0,πB.,C.,D.,,

42444224

【答案】C

π

【详解】当cos0时，直线l的方程为x2，此时直线l的倾斜角；

2

1

当cos0时，直线l的斜率为tan=，

cos

因为cos1,00,1，

1

所以,11,，即tan,11,，

cos

又因为0,π，

πππ3π

所以结合正切函数的图象可得：,,.

4224

π3π

综上可得：直线l的倾斜角的取值范围是,.

44

故选：C.

x2y2

6.设F,F为椭圆C:1的两个焦点，点P在C上，若PFPF0，则PFPF（）

12841212

A.2B.4C.6D.8

【答案】D

【详解】，

PF1PF20

PF1PF2，

x2y2

又椭圆C:1，

84

PF1PF22a42

则，

2222

PF1PF2F1F24c16

1222

PF1PF2PF1PF2PF1PF28.

2

故选：D.

7.已知空间三点A0,2,3,B2,1,6,C1,1,5，则ABC的面积为（）

737

A.73B.C.7D.

22

【答案】B

【详解】由空间三点A0,2,3,B2,1,6,C1,1,5可得：

222

AB20126314；

222

AC10125314；

222，

BC21116514

所以ABC是等边三角形，

173

所以ABC的面积为1414sin60.

22

故选：B.

3

21b

8.a,b为正实数，且a2b2，当取最小值时，ax的展开式中各项系数的和为（）

a1bx

272711

A.B.C.D.

886464

【答案】C

【详解】由a2b2可得：a12b3.

因为a,b为正实数，

所以由基本不等式可得：

21a12b14ba114ba18

442，

a1b33a1b3a1b3

1

4ba1a

2

当且仅当a1b，即时等号成立.

3

a12b3b

4

33

21bx3

所以当取最小值时，ax.

a1bx24x

33

x3131

令x1，得，

24x2464

3

21b1

所以当取最小值时，ax的展开式中各项系数的和为.

a1bx64

故选：C.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9.若某中学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系．根据一组样本数据

xi,yii1,2,,n，用最小二乘法建立的回归方程为y0.75x75.71，则下列结论中正确的是（）

A.y与x具有负线性相关关系

B.回归直线过样本点的中心x,y

C.若该中学某女生身高增加1cm，则其体重可能增加0.75kg

D.若该中学某女生身高为160cm，则可断定其体重必为44.29kg

【答案】BC

【详解】因为回归直线方程为y0.75x75.71，所以y与x具有正线性相关关系，故A错误；

又回归直线必过样本点的中心x,y，故B正确；

因为回归直线方程y0.75x75.71中aˆ0.75，所以若该中学某女生身高增加1cm，则其体重可能增加

0.75kg，故C正确；

当x160时，y0.7516075.7144.29，所以若该中学某女生身高为160cm，则其体重约为44.29kg，

故D错误.

故选：BC.

n1*

10.数列an满足anan1(1)nN，且a13，数列an的前n项和为Sn，从an的前2n

项中任取两项，它们的和为奇数的概率为P2n，则（）

1

A.a6B.aa2aC.S6D.P

4111513122n2

【答案】ABD

aaaa

n1nn1n1n

【详解】aa(1)，n1n11，n1n1，

nn11111

aa

又1，所以数列n是首项为3，公差为1的等差数列.，

3n

11

a

nn

即nn2，a(1)n2，

1n

对于选项A：4，故A正确；

a41426

111513

对于选项B：a11a15(1)112(1)15230;a13(1)13215,所以

a11a152a13，故B正确；

对于选项C：S12a1a2a3a4a11a121111116，故C正确；

对于选项D：显然n为奇数时，an为奇数，n为偶数时，an为偶数，

因此要满足两项之和为奇数，则取奇偶各一个，

C1C1n1111

所以nn，故D正确.

P2n2

C2n2n1222n12

故选：ABD.

2π

11.如图，三棱锥PABC,PA平面ABC，ABAC2,BAC，D为PC的中点，点O为三

3

棱锥PABC外接球球心，则（）

A.当PA22时，BDPC

π

B.当PA3时，二面角PBCA大小为

6

π

C.当异面直线BD与AC所成角为时，PA6

3

D.当点O到平面PBC的距离为2时，PA22

【答案】ACD

【详解】

对于A，连接AD，PA平面ABC，AB平面ABC，

PAAB，即PBPA2AB223，

2π

又ABAC2,BAC，所以BCAB2AC22ABACcosBAC23，

3

则BCBP，D为PC的中点，所以BDPC，故A正确；

对于B，设BC中点为E，连接AE,PE，

PA平面ABC，AB,AC,AE平面ABC，

PAAB,PAAC，PAAE，又PA3，ABAC2，PBPC7，

又E为BC中点，所以PEBC，

2π

又ABAC2,BAC，所以AEBC，AEAB2BE21，

3

平面PBC平面ABCBC，PEA就是二面角PBCA的平面角，

PAππ

tanPEA3，PEA，即二面角PBCA的为，故B错误；

AE33

对于C，设PA中点为F，连接DF,BF，DF1，

设PA2x时，BFAB2AF24x2，

4x21124x213x21

△PBC中，PBPC2x21，cosPCB，

22x21232x21

BDCB2CD22CBCDcosPCB7x2，

22

BD2DF2BF27x14x1

cosBDF，

2BDDF27x22

解得x3，即PA6，故C正确；

对于D，设ABC的外心为O1，过O1作平面ABC的垂线，球心O在垂线上，

又PA平面ABC，所以OO1//PA，

又，所以在的垂直平分线上，则，故D正确；

OPOAOPAPA2OO122

故选：ACD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

2

12.lg42lg5(22)3______．

【答案】4

【详解】由指数幂与对数的运算法则，可得

232

.

lg42lg5(22)3(lg4lg25)(22)3lg1002224

故答案为：4.

13.某校的5名团员利用周日到市养老院参加义务劳动．已知5名团员中有3位女生，2位男生，活动结束

后5名团员站成一排拍照留念，若两名男生之间有女生，则排法总数有______种．（用数字作答）

【答案】72

【详解】根据题意，先将三名女生全排列，有3种不同的排法，

A36

从三名女生的4个空隙中，选择2个插入男生，有2种不同的排法，

A412

由分步计数原理得，共有61272种不同的排法.

故答案为：72.

14.不等式exaxex110对任意x0,1恒成立，则实数a的最小值为______．

【答案】1##0.5

2

x

xxe1

【详解】由eaxe110，得ax,

ex1

ex1

由题意知，不等式ax对任意x0,1恒成立.

ex1

x

x2e

e1fx0

令fx，则2，所以fx是单调增函数.

ex1ex1

ex1

设l是过点0,0与fx相切的直线，设切点为t,ft，

ex1

t

2e

则切线斜率klft2，

et1

2et

由题意，得a2，t0,1恒成立.

et1

2et2et221

gt22tt

因为tt1，

e1e2e1t12

et22e2

eet

11

当且仅当et，即t0时等号成立，所以gt.

etmax2

1

所以a.即实数a的最小值为1.

22

故答案为：1

2

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15.已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，且acosC3asinCbc0．

（1）求A；

（2）若a2，则ABC的面积为3，求ABC的周长．

π

【答案】（1）

3

（2）6

【小问1详解】

由正弦定理得sinAcosC3sinAsinCsinBsinC0，

其中sinBsinACsinAcosCcosAsinC，

故3sinAsinCcosAsinCsinC0，

因为C0,π，所以sinC0，故3sinAcosA1，

ππ1

即2sinA1，所以sinA，

662

ππ5π

因为A0,π，所以A,，

666

πππ

故A，解得A；

663

【小问2详解】

11π3

由三角形面积公式得bcsinAbcsinbc3，

2234

故bc4，

b2c2a2b2c241

由余弦定理得cosA，

2bc82

解得b2c28，

2

故bcb2c22bc8816，解得bc4，

故abc6，周长为6.

1

16.已知函数fxaxa1lnxaR．

x

（1）讨论fx的单调性；

（2）若函数fx的最小值为2，求实数a的值．

【答案】（1）答案见解析

（2）1或e

【小问1详解】

1a1ax2a1x1ax1x1

由题意得fx的定义为0,，且fxa，

x2xx2x2

x1

当a0时，fx0恒成立，此时fx在0,上单调递减；

x2

ax1x11

当a0时，令fx0，则x1或x，

x2a

1

当a0时，则0，当x0,时，fx0，此时fx在0,上单调递减；

a

11

当a0时，当0x时，fx0，当x时，fx0，

aa

11

此时fx在,上单调递增，在0,上单调递减；

aa

综上所述：当a0时，fx在0,上单调递减；

11

当a0时，fx在,上单调递增，在0,上单调递减；

aa

【小问2详解】

由（1）可得当a0时，fx为减函数则无最小值，所以a0，

1111

当a0时，即x时，fx取得极小值也是最小值faaa1ln2，

aaaa

所以a11lna0，解得a1或ae，

故函数fx的最小值为2，实数a的值为1或e.

21

17.某同学在做投篮训练，已知该生每次投中的概率为，投不中的概率为．为提高该生训练的积极性，

33

规定：投中一次得2分，投不中得1分．某同学投篮若干次，每次投中与否互不影响，各次得分之和作为

最终得分．

（1）若投篮2次，最终得分为X，求随机变量X的分布列和期望；

（2）设最终得分为n的概率为Pn，证明：数列Pn1Pn为等比数列，并求数列Pn的通项公式．

10

【答案】（1）分布列见详解；EX

3

n1

142

（2）证明见详解；Pn1

3153

【小问1详解】

由题意可知：最终得分为X的可能取值为2，3，4，

21242

则11，1，24，

PX2PX3C2PX4

3933939

可得随机变量X的分布列为

X234

144

P

999

14410

期望为EX234.

9993

【小问2详解】

1211712

由题意可知：P，P，且PPP，

1323339n23n13n

12

4Pn1PnPn1

因为P2P10，且Pn2Pn1332，

9

Pn1PnPn1Pn3

42

可知数列PP是以首项为，公比为的等比数列，

n1n93

n1n1

所以422，

Pn1Pn

933

23n

当时，则2，2，，2，

n2P2P1P3P2PnPn1

333

n1

42

1

23n93n1

相加可得22242，

PnP11

3332153

1

3

n1

142

则Pn1，

3153

n1

1142

且时，符合上式，所以.

n1P1Pn1

33153

18.如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD,ACDBAD90，ABC60，

PAABBC23,E是线段PC上的动点．

（1）证明：CDAE；

（2）若E是线段PC的中点，求平面ABE与平面PBC夹角的余弦值；

（3）设直线PD与平面ABE所成角为，求sin的取值范围．

【答案】（1）证明见解析

1

（2）

7

21

（3）sin,1

7

【小问1详解】

因为PA底面ABCD,CD平面ABCD，所以PACD

又ACCD,ACPAA,AC,PA平面PAC,

所以CD平面PAC.

又因为AE平面PAC，所以CDAE.

【小问2详解】

因为PA底面ABCD,AB平面ABCD，所以PAAB，

如图，以A为原点，AB,AD,AP为x,y,z轴正方向，建立空间直角坐标系，

∵ABC60，PAABBC23,BAD90,ACD90

∴AC23，CAD30，DC2，AD4.

所以A0,0,0，P0,0,23，B23,0,0，D0,4,0，C3,3,0，

33

∵E是线段PC的中点，∴E,,3，

22

33333

所以AE,,3，BE,,3，BC3,3,0，PB23,0,23，

2222

AEm0

设平面的法向量为，则，

ABEmx1,y1,z1

BEm0

33

xy3z0

111

即22，取，则，，

y12x10z13

333

xy3z0

21211

所以m0,2,3为平面ABE的一个法向量.

设平面PBC的法向量为nx2,y2,z2,

PBn023x223z20

，即，取，则y1，，

x232z23

BCn03x23y20

所以n3,1,3为平面PBC的一个法向量.

032133

所以mn1.

cosm,n

mn0433137

1

所以平面ABE与平面PBC夹角的余弦值为.

7

【小问3详解】

由（2）知P0,0,23，C3,3,0,D0,4,0，

所以PC3,3,23,PD0,4,23，AP0,0,23，AB23,0,0，

若点E与P重合，则平面ABE即为平面ABP，则AD0,4,0为平面ABP的一个法向量.

004423027

则sincosPD,AD，

28167

若点E与C重合，则平面ABE即为平面ABCD,则AP0,0,23为平面ABE的一个法向量.

0040232321

则sincosPD,AP

27237

若点E与点P、C均不重合，

由PE与PC共线，设PEPC3,3,23，且01.

则AEAPPE0,0,233,3,233,3,2323.

AEt0

设平面的法向量为，则，

ABEtx3,y3,z3

ABt0

3x33y32323z30

即，

23x30

21

取z3，则x30，y,

33

21

所以t0,,3，（01）是平面ABE的一个法向量.

因为PD0,4,23

21

004233

PDt

sincosPD,t

所以2

PDt22

221

042303

8144

611

2.2

21

11743

2743743

411

令k1，则k3,，0,.

k3

k11

sin

276212，

3k17114

73221

22kk2k77

2

1142421

因为21,，所以sin,1.

k77737

21

综上，sin,1.

7

19.在圆x2y24上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，垂足为D．点Q在线段PD上，且满足

3

DQDP．当点P在圆上运动时，记点Q的轨迹为曲线C．

2

（1）求曲线C的标准方程．

（2）过点F1,0的直线l交曲线C于A,B两点，过点F与l垂直的直线交曲线C于D，E两点，其中A,D

在x轴上方，M，N分别为AB，DE的中点．

（ⅰ）证明：直线MN过定点；

（ⅱ）求FMN面积的最大值．

x2y2

【答案】（1）1

43

9

（2）（i）证明见解析；（ii）

49

【小问1详解】

解：设点Q(x,y)是所求曲线C上的一点，且P(x1,y1)，

x1x

3

由PDx轴于D，则D(x,0)，因为，可得2，

1DQDP

2y1y

3

22

22222xy

因为点P是圆xy4上任意一点，则x(y)4，即1，

343

x2y2

即曲线C的标准方程为1.

43

【小问2详解】

,,(,)

解：（i）当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l方程为yk(x1)，且A(x1y1)Bx2y2，

ykx1

2222

联立方程组x2y2，整理得(34k)x8kx4k120，

1

43

8k28k26k

可得xx，则yyk(xx2)k(2)，

1234k2121234k234k2

4k23k

所以点M的坐标为M(,)，

34k234k2

1

因为直线DE与直线l垂直，所以直线DE的方程为y(x1)，

k

设D(x3,y3),E(x4,y4)，

1

yx1

k

联立方程组，整理得(3k24)x28x412k20，

x2y2

1

43