广东省深圳市2024-2025学年高二下学期期末考试 数学

广东省深圳市2024-2025学年高二下学期期末考试数学试卷

一、单选题

1．已知,是两个不同的平面，m,n是两条不同的直线，下列命题中正确的是（）

A．若m,n//，则mnB．若,m,n，则mn

C．若m//n,n，则m//D．若m,n,m//,n//，则//

2．2025年蛇年春晚的武汉分会场地点设在黄鹤楼，楼的外观有五层而实际上内部有九层．为营造春节的喜

庆气氛，主办方决定在黄鹤楼的外部用灯笼进行装饰．这五层楼预计共挂186盏灯笼，且相邻两层中的下

一层灯笼数是上一层灯笼数的2倍，则最中间一层需要挂灯笼的数量为（）

A．12盏B．24盏C．36盏D．48盏

Ybxae

ˆ

3．根据变量Y和x的成对样本数据，由一元线性回归模型2得到经验回归模型yˆbxaˆ，

Ee0,De

求得残差图.对于以下四幅残差图，满足一元线性回归模型中对随机误差假设的是（）

A．B．

C．D．

1

4．函数fxlnxx2的单调递增区间是（）

2

A．1,1B．0,1

C．,1(1,)D．1,

5．某单位选出3名党员和5名民主党派人士，并从中随机选取4人组成代表队参赛．在代表队中既有党员

又有民主党派人士的条件下，党员甲被选中的概率为（）

11172

A．B．C．D．

215137

6．将4个编号为1，2，3，4的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中，下列说法错误的是（）

A．恰有一个空盒，有324种放法

B．把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有12种放法

C．有256种放法

D．每盒至多两球，有204种放法

7．若半径为23的球与正六棱柱的各个面均相切，则该正六棱柱外接球的表面积为（）

A．48πB．56πC．96πD．112π

x

8．若点P是曲线yexa上任意一点，且点P到直线y2x的距离的最小值5，则a的值为（）

A．0B．4C．-6D．4或-6

二、多选题

9．甲公司从某年起连续7年的利润情况如下表所示．

第x年1234567

利润y（亿元）2.93.33.64.4m5.25.9

根据表中的数据可得回归直线方程为yˆ0.5x2.3，则以下正确的是（）

A．m4.8B．相关系数r0

C．第8年的利润预计大约为8.3亿元D．第6个样本点的实际值比预测值小0.1

10．下列说法正确的有（）

A．若随机变量~N2,2，且P40.8，则P040.6

18

B．若随机变量X～B6,，Y2X3，则EY7，DY

33

C．已知事件A，B，若AB，且PA0.4，PB0.7，则PB|A0.5

D．有2个白球和4个黑球，从中一次摸三个球，记摸得白球数为X，则EX1

11．如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点P为侧面ADD1A1内的一个动点（含边界），点E,F,G

分别是线段BC、CC1、BB1的中点，则下列结论正确的是（）

11

A．直线AG//平面AEFB．平面AEF截正方体所得的截面面积为

12

uuuruuur11

C．PBPF的最小值为D．若PFBD1，则点P的运动轨迹长度为22

14

三、填空题

226

12．在x2x1的展开式中，x2项的系数为．

x

13．南宋数学家杨辉为我国古代数学研究做出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作

《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列，以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，

其特点是从数列的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列．若某个二阶等差数列的前4项为1，3，

7，13，则该数列的第10项为．

ex2ex1

14．x1,x21,e，且x1x2，不等式m恒成立，则m的取值范围为．

x2x1

四、解答题

1

15．已知函数fxxsinx1．

2

(1)求曲线yfx在0,f0处的切线方程；

(2)当x0,π时，求函数fx的极值．

n1*

16．已知数列an中，a14,anan123n2,nN．

n

(1)证明数列an2是等差数列，并求an的通项公式；

an

(2)设b1，求b的前n项和Tn．

n2nn

17．深圳一高中为了解学生周末使用手机的情况，统计了全校所有学生在一年内周末使用手机的时长，现

随机抽取了60名同学在某个周末使用手机的时长，结果如下表：

周末使用手机时长（h）01234567合计

男生人数1245654330

女生人数4556432130

合计579111086460

(1)若将周末使用为3小时及3小时以上的，称为“经常使用”，其余的称为“不经常使用”．

请完成以下22列联表，并依据小概率值0.1的独立性检验，能否认为性别因素与使用的经常性有关系；

使用手机

性别合计

不经常经常

男生

女生

合计

(2)对于周末使用手机6小时及以上的同学，学校想要为进一步了解他们的手机使用情况：

（ⅰ）在样本的10名周末使用手机6小时及以上的同学中，随机抽取3人进行访谈，求恰好抽中1名男生的概

率；

（ⅱ）在和小明的访谈中得知，他有5款喜爱的手机游戏，并且在周五周六周日三天中，每天随机选择一款

玩一个小时，每天的选择互相独立.记至少选中过一次游戏的数目为Y，求Y的分布列和数学期望．

2

nadbc

附：2，nabcd．

abcdacbd

0.10.050.01

x2.7063.8416.635

18．如图，四边形ABCD是正方形，平面PABE平面ABCD，PAAB，EB//PA，ABPA4，EB2．

(1)求证：BD//平面PEC；

(2)求二面角DPCE的大小．

(3)点Q在直线BD上，直线PQ与直线CE的夹角为，二面角DPCE为，是否存在点Q，使得

π．如果存在，请求出BQ；如果不存在，请说明理由．

19．已知函数fxaxex，gxx2xlnx．

(1)讨论fx的单调性；

5

(2)证明：gx；

16

(3)若gxfx，求a的取值范围．

题号12345678910

答案ABDBCADBABDACD

题号11

答案AC

1．A

可根据空间中直线与平面、平面与平面的位置关系的判定定理逐一分析选项.

【详解】对于选项A，若m，n//，根据线面垂直的性质可知mn，该选项A正确；

对于选项B，若，m，n，则m与n可能平行、相交或异面，选项B错误；

对于选项C，若m//n，n，则m//或m，该选项C错误；

对于选项D，若m，n，m//，n//，当m//n时，与可能相交，

根据面面平行的判定定理，需m与n相交时才有//，该选项D错误.

故选：A

2．B

各层楼的灯笼数从上至下依次成等比数列，依据公比和前5项和可求得首项，即可求最中间一层的灯笼数

量．

【详解】五层楼预计共挂186盏灯笼，且相邻两层中的下一层灯笼数是上一层灯笼数的2倍，

由题意知，各层楼的灯笼数从上至下依次成等比数列，记为数列an，

=

第5层楼所挂灯笼数为a12，公比q2．

5

a11q

由S186，解得a16.

51q

2

则最中间一层的灯笼数为a36224．

故选：B．

3．D

根据一元线性回归模型中对随机误差的假定进行判断.

【详解】根据一元线性回归模型中对随机误差e的假定，残差应是均值为0、方差为2的随机变量的观测值.

对于A选项，残差与x有线性关系，故A错误；

对于B选项，残差的方差不是一个常数，随着观测时间变大而变小，故B错；

对于C选项，残差与x有非线性关系，故C错；

对于D选项，残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，故D正确.

故选：D.

4．B

求出导函数fx，在定义域内解不等式fx0可得单调递增区间.

2

1211x

【详解】因为fxlnxx，x0，所以对函数求导得：fxx，

2xx

1x2

令fx0，即0，1x20，x21，

x

解得0x1，

因此函数的单调递增区间为0,1．

故选：B.

5．C

根据条件概率公式计算即可．

132231

【详解】既有党员又有民主党派人士有C3C5C3C5C3C565种，

31221

其中党员甲被选中有C5C2C5C2C535种，

357

所以在代表队中既有党员又有民主党派人士的条件下，党员甲被选中的概率为．

6513

故选：C．

6．A

对选项进行逐一分析，选项A先从4个盒子中选出一个空盒，再从4个球中选2个放入剩下3个盒子中的

1个，再将剩余2球各1个放入剩余2盒中，据此得出放法总数；选项B先从四个盒子中选出三个盒子，

再从三个盒子中选出一个盒子放入两个球，余下两个盒子各放一个．已知四个小球相同即没有顺序，属于

组合问题；选项C根据分步乘法原理分析求解；选项D在选项C的基础上减去每盒至少3个球的情况可得.

【详解】选项A：先从4个盒子中选出一个空盒，再从4个球中选2个放入剩下3个盒子中的1个，再将

1212

剩余2球各1个放入剩余2盒中，故有C4C4C3A24632144种放法，故A错误；

选项B：先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放入两个球，余下两个盒子各放一

31

个．已知四个小球相同即没有顺序，属于组合问题，故共有C4C312种放法，故B正确；

选项C：每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个，将小球一个一个放入盒子，共有44256种放法，故

C正确；

对于D：由C分析，不考虑盒中球个数，共有256种放法，

213

若一个盒中放3个球，另外1盒放1球，则有C4C2C462448种放法，

若1个盒中放4球，有4种放法，故每盒至少3个球的情况有48452种，

所以每盒至多两球，有25652204种放法，故D正确.

故选：A.

7．D

根据半径为23的球与正六棱柱的各个面均相切，可得正六棱柱的高和底面正六边形的内切圆半径，可求

出底面正六边形的外接圆半径，即可求出外接球的半径和表面积.

【详解】因为半径为23的球与正六棱柱的各个面均相切，

所以正六棱柱的高h22343，底面正六边形的内切圆半径为23，

如图所示，正六边形外心和内心是同一点，根据内切圆半径和外切圆半径的关系，

23

可得底面正六边形的外接圆半径r4，

sin60

2

2

2h2

所以该正六棱柱外接球半径为Rr42327，

2

所以外接球的表面积为S4πR2112π.

故选：D.

8．B

利用导数求曲线上一点到直线的最小距离，先在曲线上求与直线平行的直线，得到切点，再求切点到直线

的距离即可.

【详解】由yexxa，求导得yex1，其中直线y2x的斜率为2，

令yex12，解得：x0

当x0时，则ya1，故P0,a1到直线y2x的距离最小，

a1

由点到直线的距离公式得最小值为d5，解得a4或a6，

221

且a6时，曲线与直线有交点，距离最小值为0，舍去．

故选：B.

9．ABD

根据线性回归方程，逐项分析即可.

25.3m

【详解】由表可知，x4，y，

7

25.3m

根据回归直线的性质，样本中心点必须在直线上，0.542.3，

7

解得m=4.8，故A正确；

由表可知，y是随着x的增加而增加的，即是正相关，故B正确；

将x8带入回归方程，得y0.582.36.3，故C错误；

将x6带入回归方程，得y0.562.35.3，由表可知，实际值为5.2，

故D正确；

故选：ABD.

10．ACD

选项A:已知随机变量的正态分布关于x2对称，得出P0P4，结合题给条件求解；选项B：

根据题给条件求出随机变量X的期望和方差，结合Y2X3，根据期望和方差的性质进行判断；选项C:

根据事件的包含关系和互斥性进行计算，求出条件概率值；选项D：根据超几何分布的期望公式进行计算.

【详解】选项A：∵P40.8，∴P410.80.2，

因为对称轴为x2，∴P0P40.2，

∴P041P4P010.20.20.6，故A正确；

11124

选项B：由X～B6,可得，EXnp62，DXnp1p6，

33333

对于Y2X3，根据期望和方差的性质：

168

∴EY2EX37正确，DY22DX错误，故B错.

33

选项C：∵AB，∴PBAPA，∴PBAPBPA0.70.40.3

PBA0.3

PB|A0.5，故C正确；

PA10.4

选项D：X服从超几何分布，总数N6,白球数K2,抽取数n3,根据超几何分布期望公式计算可得，

K2

EXn31,选项D对.

N6

故选：ACD．

11．AC

对于A,利用线面平行的判定定理，证明A1G平行于平面AEF内的一条线即可；对于B，判断截面为等腰梯

uuuruuur

形，然后利用梯形的面积公式求解即可；对于C，建立空间直角坐标系，设P点坐标，将PB1PF表示出来，

利用二次函数求最值即可；对于，利用确定点的轨迹方程，然后利用两点距离公式求长度

DPFBD10P

即可.

【详解】对于A，连接A1D1,D1F,GF,

因为点E,F分别是线段BC、CC1的中点，

所以EF//BC1//AD1，所以D1F平面AEF，

点F,G分别是线段CC1、BB1的中点，故GF//A1D1,GFA1D1,

故四边形为平行四边形，所以且平面，

A1GFD1A1G//D1F,D1FAEF

故直线A1G//平面AEF，故A正确；

对于，由选项可知，平面截正方体所得的截面为梯形

BAAEFA1D1FE,

1

且由正方体可知，AD=2AD22,EFAD2,AEAB2BE25,

11211

2

132

故梯形ADFE的高2

11hAEAD1EF,

22

故梯形的面积1329故错误；

A1D1FES222,B

222

对于C，以D为原点，分别以DA,DC,DD1为x轴，y轴，z轴建空间直角坐标系，

则D0,0,0,A2,0,0,B2,2,0,B12,2,2,F0,2,1,D10,0,2,

点P为侧面ADD1A1内的一个动点（含边界），故设Px,0,z,x0,2,z0,2,

所以PB12x,2,2z,PFx,2,1z，

2

所以231111，

PB1PFx2x42z1zx1z

244

33

当x1,z时，即P1,0,时，等号成立，故C正确；

22

对于D，BD12,2,2，若PFBD1，

则PFBD12x422z0，即xz10，

因为x0,2,z0,2,故当x2时，z1,此时P(2,0,1)，

当z0时，x1,此时P(1,0,0)，

2

故点P的运动轨迹为从点(2,0,1)到点(1,0,0)的一条线段，轨迹长度为210122，故D错误.

故选：AC

12．319

写出所求式子的展开式的通项，令通项x的次数为2即可求解.

6rr6r6rrrr

【详解】2x1的展开式通项Tr1C62x112C6x，

226

则x2x1的展开式的通项为：

x

6r26r6r

T12rCrxr(x2)12rCrxr212r1Crxr1，

r16x66

260006-3313

所以所求x项的系数为12C6+12C61320319．

故答案为：319

13．91

由已知结合等差数列的通项公式及累加法即可求解．

【详解】设该二阶等差数列为{an}，则a11，a23，a37，a413，

由二阶等差数列的定义可知，a2a12，a3a24，a4a36，，

所以数列{an1an}是以a2a12为首项，公差d2的等差数列，

即an1an2n，

所以a2a12，a3a24，a4a36，，an1an2n，

n(22n)

将所有上式累加可得aan2n1，

n112

2

所以a1099191．

故答案为：91．

14．,e

x2x1xx

不妨设1x1x2e，通过分析即emx2emx1，令fxemx，则fx2fx1，即fxemx

在1,e上单调递增，求导分析即可.

x2x1

eex2x1

【详解】不妨设1x1x2e，则x2x10，由m可得eemx2x1，

x2x1

x2x1x

所以emx2emx1，令fxemx，则fx2fx1

x

因为1x1x2e，所以fxemx在1,e上单调递增，

x

所以fxem≥0对于x1,e恒成立，可得mex对于x1,e恒成立，所以me．

故答案为：,e

1

15．(1)yx1

2

π3

(2)极小值1，无极大值．

62

（1）对fx求导，利用导数的几何意义，求出切线的斜率，并求出切点坐标，利用点斜式，即可求解；

（2）求出单调区间，即可判断极值点，求出极值.

11

【详解】（1）因为fxxsinx1，所以f00sin010011，切点为0,1，

22

1111

因为fxcosx，所以kf0cos01，

2222

11

切线方程为y1x，即yx1．

22

1

（2）由（1）可知，有fxcosx，

2

1π

当x0,π时，令fxcosx0，得x，

23

当x变化时，fx和fx的变化情况如下表：

πππ

x0,,π

333

fx0

fx单调递减极小值单调递增

π1πππ3

所以当x0,π时，fx有极小值fsin11，无极大值．

323362

n

16．(1)证明见解析，an23n1

3n5

(2)T5

n2n

n

（1）利用等差数列的定义判断an2是等差数列，结合等差数列的通项公式求an的通项公式.

（2）利用错位相减求和法求数列bn的前n项和.

n1nn1

【详解】（1）当n2时，anan123an1223，

nn1

所以，an2an123，又a14，所以a122，

n

故an2是以2为首项，3为公差的等差数列.

nn

故an22n133n1，所以，an23n1．

a2n3n13n1

（2）bn11，

n2n2n2n

253n1

令T，①

n2222n

1253n43n1

则T，②

2n22232n2n1

13333n1

①-②得：T1，

2n22232n2n1

n1

11

1

423n153n5

13，

1n1n1

1222

2

3n5

故T5.

n2n

17．(1)表格见解析，性别因素与学生使用的经常性有关系

761

(2)（ⅰ）；（ⅱ）分布列见解析，EY

4025

【详解】（1）根据统计表格数据可得列联表如下：

使用手机

性别合计

不经常经常

男生72330

女生141630

合计213960

零假设为H0:性别与使用手机情况独立，即性别因素与学生使用手机的经常性无关；

2

607161423140

根据列联表的数据计算可得23.5902.706x，

21393030390.1

根据小概率值0.1的独立性检验，推断不成立，

即性别因素与学生使用的经常性有关系，此推断犯错误的概率不超过0.1．

（2）（ⅰ）设抽取的三人中男生的人数为X，易知10名周末使用手机6小时及以上的同学中有7名男生，3名

女生，

所以X的所有可能取值为0、1、2、3，

12

C7C3217

且X服从超几何分布：PX13，

C1012040

7

则恰好抽中1名男生的概率为；

40

（ⅱ）由题意得，Y的所有可能取值为1、2、3，

C11C2C1C212A312

则PY15，PY2523，PY35，

532553255325

则Y的分布列如下

Y123

11212

P

252525

1121261

所以EY123．

25142525

18．(1)证明见解析

5π

(2)

6

4622330

(3)存在BQ

7

【详解】（1）如图，以A为原点，AD、AB、AP为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，

依题意，得A0,0,0，B0,4,0，C4,4,0，D4,0,0，P0,0,4，E0,4,2，

取PC的中点M，连接EM，则M2,2,2，EM2,2,0，BD4,4,0，

所以BD2EM，则BD//EM，又EM平面PEC，BD平面PEC，

所以BD//平面PEC.

（2）取PD中点F，则F2,0,2，又ADABPA，则AFPD，

由ABPA,ABAD且PAADA都在面PAD内，则AB面PAD，

由CD//AB，则CD面PAD，AF面PAD，故CDAF，

由PDCDD，PD、CD平面PCD，所以AF平面PCD，

故AF2,0,2为平面PCD的一个法向量.

设平面PCE的法向量nx,y,z，且PC4,4,4，PE0,4,2，

nPC04x4y4z0

所以，即，令y1，得n1,1,2.

nPE04y2z0

2043

所以cosAF,n，

2262

5π

由图，二面角DPCE为钝二面角，所以二面角DPCE的大小为.

6

5π

（3）设BQBD，由（2）可知二面角DPCE的大小为，π．

6

π

所以直线PQ与直线CE的夹角为，

6

B0,4,0，D4,0,0，则Q4,44,0，PQ4,44,4，CE4,0,2.

PQCE1683

cos，

222

PQCE4444202

化简可得7223130，

23165