新教材高中数学概率与统计313

课时分层作业（二十一）相关系数与非线性回归

（建议用时：40分钟）

[4组基础巩固练]

一、选择题

i.如果两个变量之间的线性相关程度很高，则其相关系数，•的绝对值应接近于（）

A.0.5B.2C.0D.1

D[相关系数|r|越接近于1,相关程度越高.故选D.]

2.两个变量的散点图如图，可考虑用如下函数进行拟合比较合理的是（）

o

A.B.y=«+Z?lnx

b

C.y=a'CbxD.y=aex

B[由散点图可知，此曲线类似对数函数型曲线，因此可用函数），=〃+〃nx模型进行拟

合.]

3.若回归直线的斜率3w（（）,+8）,则相关系数,•的取值范围为（）

A.（0,1]B.[-1,0）

C.0D.无法确定

A[由相关系数与回归直线的斜率之间的关系可知相关系数的取值范围是OvrWl,故选

A.]

4.在一组样本数据（即，yi）,（必）唠，…，（％，泗）（〃22,即，必…，x〃不全相等）的散

点图中，若所有样本点®,y）（i=l,2,…，〃）都在直线y=gx+l上，则这组样本数据的样本

相关系数为（）

A.-1B.0

C.cqD.1

D[因为所有的点都在直线上，所以它就是确定的函数关系，所以相关系数为1.]

5.已知变量y关于x的回归方程为Q=e辰一os,其一组数据如下表所示:

X1234

yee3e4e6

若x=5,则预测y的值可能为（）

ii

A.e5B.e'

15

"2"

C.e7D.e"

D［将式子两边取对数,得到In0.5,令z=lnyf得到z=/?x—0.5,列出x,z

的取值对应的表格,

X1234

Z1346

1+2+3+4-1+3+44-6

则

x=4=2.5,z==3.5,

V（x,z）满足z=法一0.5,・・・3.5=〃X2.5—0.5,

15

A、2

解得Z?=1.6,/.z=1.6^—0.5,.•.y=ei6L8,当工=5时，y=e,,6X5-0,5=e",故选D.］

二、填空题

6.若对甲、乙、丙3组不同的数据作线性相关性检验，得到这3组数据的线性相关系数

依次为0.83,0.72,-0.90,则线性相关程度最强的一组是.（填甲、乙、丙中的一

个）

丙［两个变量y与x的回归模型中，它们的相关系数加越接近于1,这个模型的两个变

量线性相关程度就越强，在甲、乙、丙中，所给的数值中一0.90的绝对值最接近1,所以丙

的线性相关程度最强.］

7.已知数据点（为，y）（i=1,2,3,…，〃）在一条直线上，则相关系数r=.

±1［由题易知，相关系数一=±1」

8.已知具有相关关系的两个随机变量的一组观测数据的散点图分布在函数y=3e+i的

图像附近，令〃=lny,则可通过转换得到的线性回归方程为.

〃=l+ln3+2x［由y=3e2rH,Iny=ln（3elv+,）,

即lny=ln3+2v+l.

令w=lnyf则线性回归方程为u=1+ln3+2］

三、解答题

9.某公司为了预测下月产品销售情况，找出了近7个月的产品销售量），（单位：万件）的

统计表:

02/8

月份代码，1234567

销售量y(万件)yiy3)'6)'7

7

但其中数据污损不清，经查证Ey=9.32,

1=1

£砂尸4().17,、之?»—煨=().55.

z=lXJ1=1

(1)请用相关系数说明销售量)，与月份代码，有很强均线性相关关系；

(2)求)，关于t的回归方程(系数精确到().01);

(3)公司经营期间的广告宣传费为=也(单位：万元)(，=1,2,…，7),每件产品的销售价为

10元，预测第8个月的毛利润能否突破15万元，请说明理由.(毛利润等于销售金额减去广

告宣传费)

参考公式及数据：币42646,相关系数

E?乙一t??)Ly?

―/1_：__，当|r|〉0.75时，认为两个变量有很强的线性相关关系，回

寸十「7?2占?》一歹?2

归方程£=&+£中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为

L?/,—??%—y?

Aj=]t/-A—A—

b=„~,ci=y——bt.

£?r,-7?2

；=i

[Ml(1)由题中的数据和附注中的参考数据得

7=4,E(力一7产=28,？y一歹?2=0.55,

7__7_7

?(Lt)(yi-y)=£例ltEy；

/=11=11=1

=40.17—4X9.32=2.89,

2.89

^0.99>0.75,

277X0.55

所以销售量)，与月份代码，有很强的线性相关关系.

_Q32

⑵由)，=力一N1.331及⑴得

7__

备？方_f??yLy?289

£?力-7?2=/5).103,

i=\

a=~y~b7-1.331-().103X4=0.92,

所以)，关于，的回归方程为y=0.10f+0.92,

(3)当，=8时，代入回归方程得

f=0.1()X8+().92=1.72(万件)，

故第8个月的毛利润为

z=10X1.72-^8=I7.2-2X1.414=14.372,

因为14.372<15,

预测第8个月的毛利润不能突破15万元.

10.如图是某企业2014年至2020年的污水净化量(单位：吨)的折线图.

注：年份代码1〜7分别对应年份2014〜2020.

(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合)，和/的关系，请用相关系数加以说明;

(2)建立y关于，的回归方程，预测2021年该企业的污水净化量.

参考数据：y=54,E(6—7)(y-7)=21,

j=iz

Vl4~3.74,LO',—y/)2=1,

z=Ir*

E?/；—t??)Ly?

参考公式：相关系数，=一^」:一^=

A/S?0—7?2占

AAE?6—t??»—y?

线性回归方程£=2+6，--二-----

L?/；-/?2

i-l

A——A―

a-y—bt.

［解］(1)由折线图中的数据得，

_77_

7=4,£U-Z)2=28,E8—7)2=18,

1=11=I

21

所以r—.94.

428X18

04/8

因为)，与，的相关系数近似为0.94,说明y与/的线性相关程度相当大，所以于以用线性

回归模型拟合)，与，的关系.

_A耳？'_7??，一了？213

(2)因为y=54,b=7Z=森=.

E?6-t?2"

J=1

A—A_3

所以。=y—bt=54-1X4=51,

所以)，关于/的线性回归方程为f=&+l$+51,将2021年对应的/=8代入上式，得

A3

),=^X8+51=57,

所以预测2021年该企业污水净化量约为57吨.

[6组素养提升练]

11.若一函数模型为)，=&+法+《4*0),将y转化为l的线性回归方程，需做变换，=

)

A.X2B.(.E+〃)2

2

C.eqD.以上都不对

,,,(।人¥4ac—lr

C[y=a「9+法+c(〃W0)=心+五J+—④一，

根据线性回归方程是一次函数可知，令，=(x+射，

44c—tr

则y=〃+4〃为1的线性回归方程，所以C正确.]

12.(多选题)某同学将收集到的六组数据制作成散点图如图所示，并得到其回归直线的

方程为Zy=0.68.E+Z,计算其相关系数为门.经过分析确定点厂为“离群点”，把它去掉后,

再利用剩下的5组数据计算得到回归直线的方程为by=*+0.68,相关系数为a以下结

论中，正确的是()

y

讪⑴

82Q•浦瑞28)

•*8(2.13)

~0嚏

A.ri>(),r2>0B.n>f2

C.eq=0.12D.0</?<0.68

ACD［由图可知两变量呈现正相关，故

ri>0,r2>0,且门<72,故A正确，B错误；又回归直线/工y=0.68x+。必经过样本中心

点(3.5,2.5),所以1=2.5—0.68X3.5=0.12,C正确；回归直线田丁=短+0.68必经过样本中

心点(3,2),所以2=：X3+().68,

所以务=0.44,也可直接根据图像判断0<晨0.68(比较两直线的倾斜程度)，故ACD正确.］

13.以模型y=ce丘去拟合一组数据时•，为了求出叵归方程，设z=lny,其变换后得到线

性回归方程z=0.3x+4,则c=.

e4「.j，=ce&,・•・两边取对数，

可得Iny=ln(ce")=lnc+lne"=lnc+依，

令z=lny,可得z=lnc+h,

Vz=0.3x+4,/.Inc=4,.,.c=e4.故答案为e±］

14.已知第一组样本点为(-5,—8.9),(-4,-7.2),(-3,—4.8),(-2,-3.3),(-1,

-0.9),其变量间的相关系数为门;第二组样本点为(1,8.9),(2,7.2),(3,4.8),(4,3.3),(5,0.9)

其变量间的相关系数为12.则门，-2的大小关系为.

ri>r2［由第1组数据可知，两变量间成正相关，故门>0,由第2组数据可知，两变量

间成负相关，故9V0,故，

［C组思维提升练］

15.某公司为了了解年研发资金投入量x(单位：亿元)对年销售额M单位：亿元)的影响，

对公司近12年的年研发资金投入量为和年销售额y的数据，进行了对比分析，建立了两个函

2

数模型：&y=a+fixf②y=e六］其中处从九，均为常数，e为自然对数的底数，并得到

一些统计量的值.令〃尸x?,u,=lnXZ=l,2,12),经计算得如下数据：

12_

L(Xi-7)2i—)2

XuV

y/=1

20667724604.20

12

1212_E

£(ME(w/—u)(»/-i

12

f-ll-l2

£(v：­v)(为一

/=1

—G)2~~y)

X)(3

06/8

-V)

31250215W14-

⑴请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？

(2)(i)根据⑴的选择及表中数据，建立y关于x的回归方程；

(ii)若下一年销售额y需达到90亿元，预测下一年的研发资金投入量x是多少亿元?

£?x,-7??y,-y?

附：①相关系数厂=厂_“_,

、工i?为一工?2鼻？)L7?2

5=1*=1

AAi?x/-x??y/-y?A

八八AAy_।•，八_A__

回归直线y=a+5x中公式分别为：b=----------------，a=y—bx；

E?x,-x?2

;=i

②参考数据：30