新教材同步备课2024春高中数学第6章计数原理61分类加法计数原理与分步乘法计数原理第1课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理教师用书

6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理

第1课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理

学习任1.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理.（数学抽象）

务2.会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题.（逻辑推理）

必备知识・情境导学探新知一情境趣味导学•万

情境与问题

在数学学习和口常生活中，我们经常会遇到类似“共有多少种情况”的计数问题.例如:

（1）一个由3个元素组成的集合，共有多少个不同的子集？

（2）由3个数字组成的密码锁，如图所示，如果忘记了密码，最多要试多少次才能打开密码

锁？

知识点1分类加法计数原理

完成•件事有两类不同方案，在第1类方案中有勿种不同的方法，在第2类方案中有〃种不

同的方法，那么完成这件事共有A-初+〃种不同的方法.

（提醒〉：定义中每一类方案中的每一种方法都能独立完成这件事.

（思考立】.若完成一件事，宵有〃类不同的方案，在第1类方案中有0种不同的方法，在第2

类方案中有狼种不同的方法……在第〃类方案中有明种不同的方法，那么完成这件事共有

多少种不同的方法？

［提示］共有勿i+勿----1"叫种不同的方法.

知识点2分步乘法计数原理

完成一件事需要两个步骤，做第1步有/〃种不同的方法，做第2步有〃种不同的方法，那么

完成这件事共有『V三mX〃种不同的方法.

（提醒E（1）完成这件事有多个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺一不可；

（2）每一步都有若干种方法.

（思考）2.分类加法计数原理每一类中的方法与分步乘法计数原理每一步中的方法有何区

别？

［提示］分类加法计数原理每一类中的方法可以完成这件事，而分步乘法计数原理中每一步

的方法不能独立完成这件事.

■课前自主体验O

1.思考辨析(正确的画“J”，错误的画“X”)

(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同.()

(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事.()

(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.

()

(4)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件

事.()

［答案］⑴X(2)V(3)V(4)X

［提示］(1)在分类加法i-数原理中，分类标准是统一的，两类不同方案中的方法是不能相

同的.

(2)在分类加法计数原理中，是把能完成这件事的所有方法按某一标准分类的，故每类方案

中的每种方法都能完成这件事.

(3)因为在分步乘法计数原理中的每一步都有多种方法，而每种方法各不相同.

(4)因为在分步乘法计数原理中，要完成这件事需分两步，而每步都不能完成这件事，只有

各步都完成了，这件事才算完成.

2.从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发

4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为种.

9［分三类：第一类，乘汽车，从3次中选1次有3种是法；第二类，乘火车，从4次中选

1次有4种走法；第三类，乘轮船，从2次中选1次有2种走法.所以，共有3+4+2=9(种)

不同的走法.］

3.现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，

则不同的配法种数为种.

12［先从4件上衣中任取一件共4种选法，再从3条长裤中任选一条共3种选法，由分步

乘法计数原理，上衣与长裤配成一套共4X3=12(种)不同配法.］

4.如图，从力一8-C有种不同的走法：从力一。有种不同的走法.

46［力一外。分两步:

第一步，有2种走法；

第二步，B-C,有2种走法.

所以力一8-0共有2X2=4(种)走法.

4-C分两类：

第一类，力一好。共有4种走法；

第二类，力一。(不经过而有2种走法.

所以力一C共有4+2=6(种)走法.］

关键能力.合作探究释疑难F疑睢问—学科—

□类型1分类加法计数原理

【例1】(源自湘教版教材)某市的有线电视可以接收中央台12个频道、木地台10个频道

和其他省市46个频道的节FL

(1)当这些频道播放的节目互不相同时，一台电视机共可以选看多少个不同的节目？

(2)如果有3个频道正在转播同一场球赛，其余频道正在播放互不相同的节目，一台电视机

共可以选看多少个不同的节目？

［解］(1)当所有频道播放的节目互不相同时，一台电视机选看的节目可分为3类：

第一类，选看中央台频道的节目，有12个不同的节目；

第二类，选看本地台频道的节目，有10个不同的节目；

笫三类,选看其他省市频道的节日，有46个不问的节日.

根据分类加法计数原理，一台电视机共可以选看12+10+46=68(个)不同的节目.

(2)因为有3个频道正在转播同一场球赛，即这3个频道转播的节目只有1个，而其余频道(共

有(12+10+46—3)个)正在播放互不相同的节目，所以，一台电视机共可以选看1+(12+

10+46-3)=66(个)不同的节目.

反思领悟用分类加法计数原理解决计数问题时，首先要根据问题的特点确定一个适当的

分类标准，然后根据这个分类标准进行分类.分类时还要注意两条基本原则：一是完成这件

事的任何一种方法必须分入相应的类；二是不同类的方法必须是互不相同的.只有满足这两

条基本原则才可以使计数不重不漏.

［跟进训练］

1.如图所示，在力，8间有四个焊接点1,2,3,4,若焊接点脱落导致断路，则电路不通，

那么电路不通时焊接点脱落的不同情况有()

A.9种B.11种

C.13种D.15种

C［按照可能脱落的个数分类讨论.

若脱落1个，则有(1),(4),共2种情况；

若脱落2个，则有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6种情况;

若脱落3个，则有(1,2,3),(1,2,4),(2,3,4),(1,3,4),共4种情况；

若脱落4个，则有(1,2,3,4),共1种情况；

综上，共有2+6+4+1=13（种）情况.］

2.设集合力={1,2,3,4）,偈〃£儿则方程次+”=1表示焦点位于x轴上的椭圆有（）

m71

A.6个B.8个

C.12个D.16个

A［因为椭圆的焦点位于x轴上，所以加＞〃.

当加=4时，/?=1,2,3；当勿=3时，〃=1,2；当勿=2时，/?=1,即所求的椭圆共有3+

2I1=6（个）.］

□类型2分步乘法计数原理

【例2】已知集合加={-3,-2,-1,0,1,2},P（a,b）表示平面上的点（a,助，

问：

（l）P（a,力）可表示平面上多少个不同的点？

（2）P（a,»可表示平面上多少个第二象限的点？

［解］（1）确定平面上的点6）可分两步完成：

第一步确定a的值，共有6种方法；

第二步确定0的值，也有6种方法.

根据分步乘法计数原理，得到P（a，〃）可表示平面上6义6=36（个）不同的点.

（2）确定第二象限的点，可分两步完成：

第一步确定a,因为水0,所以有3种方法；

第二步确定以因为力0,所以有2种方法.

由分步乘法计数原理，得到产（a,0）可表示平面上3X2=6（个）第二象限的点.

［母题探究］

1.（变结论）若本例条件不变，⑤可表示多少个不在直线y=x上的点？

［解］依题意

第一步确定a有6种方法，

第二步确定6有5种方法.

由分步乘法计数原理，不在直线y=x上的点P（a,份共有6X5=30（个）.

2.（变条件，变结论）从集合"中的六个数字中仟选三个不重复的数字作为二次函数

+8x+c（aW0）的系数a,b,。，则可以组成多少条不同的抛物线？

［解］解答本题需分三步完成，

第一步选系数aS不能为0），有5种选法.

第二步选系数〃，有5种选法.

第三步选系数。，有4种选法.

根据分步乘法计数原理得组成抛物线的条数为5X5X4=100.

反思领悟利用分步乘法计数原理的注意点

(D要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的.

(2)“步”与“步”之间是连续的、不间断的、缺一不可的，但也不能重复、交叉.

(3)若完成某件事情需要〃步，则必须依次完成这〃个步骤后，这件事情才算完成.

［跟进训练］

3.通信公司在某一段时间内向市场投放一批手机号码，这一批号码(共11位数字)的前七位

是统一的，后四位都是0〜9之间的一个数字，那么这一号段共有多少个不同的号码？

［解］后四位中的每一位都可以从0〜9这10个数字中任选一个，都有10种选法.根据分

步乘法计数原理，可依次确定手机号码的第八、九、十、十一位，那么这一号段共有

10X10X10X10=10000(个)不同的号码.

□类型3两个计数原理的简单应用

【例3】现有5幅不同f勺国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画.

(1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？

(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？

(3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置身间，有几种不同的选法？

［思路导引］

［解］(1)分为三类：从国画中选，有5种不同的选法；从油画中选，有2种不同的选法；

从水彩画中选，有7种不同的选法.根据分类加法计数原理知共有5+2+7=14(种)不同的

选法.

(2)分为三步：国画、油画、水彩画各有5种、2种、7种不同的选法，根据分步乘法计数原

理，共有5X2X7=70(种)不同的选法.

(3)分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油画，由分步乘法计数原理知，有5X2=

10(种)不同的选法；

第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有5X7=35(种)不同的选法：

第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有2X7=14(种)不同的选法，

所以共有10+35+14=52(种)不同的选法.

反思领悟利用两个计数原理的解题策略

用两个计数原理解决具体问题时，首先，要分清是“分类”还是“分步”，区分分类还是分

步的关键是看这种方法能否独立地完成这件事情；其次，要清楚“分类”或“分步”的具体

标准，在“分类”时要遵循“不重不漏”的原则，在“分步”时要正确设计“分步”的程序，

注意步与步之间的连续性；有些题目中“分类”与“分步”同时进行，即“先分类后分步”

或“先分步后分类”.

［跟进训练］

4.某学校共有34人自愿组成数学建模社团，其中高一年级13人，高二年级12人，高三年

级9人.

（1）若选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？

（2）若每个年级各选一人为组长，有多少种不同的选法？

（3）若选两人作为社团发言人，这两人需要来自不同的年级，有多少种不同的选法？

［解］（1）根据题意，选其中一人为负责人，可分为3类.

第1类：选出的是高一学生，有13种选法；

第2类：选出的是高二学生，有12种选法；

第3类：选出的是高三学上，有。种选法.

由分类加法计数原理可得，共有13+12+9=34（种）选法.

（2）根据题意，共分为3步.

第1步：从高一学生中选出1人，有13种选法；

第2步：从高二学生中选出1人，有12种选法；

第3步：从高三学生中选出1人，有9种选法.

由分步乘法计数原理可得，共有13X12X9=1404（种）选法.

（3）根据题意，可分为3类.

第1类:选出的是高一、高二学生,有13X12=156（种）选法：

第2类：选出的是高一、高三学生，有13X9=117（种）选法；

第3类：选出的是高二、高三学生，有12X9=108（种）选法.

由分类加法计数原理可得，共有156+117+108=381（种）选法.

学习效果.课堂评估夯基础F课堂知识检测•小结问题点评

1.家住力地的小明同学准备周末去8地旅游，从力地到8地一天中动车组有30个班次，特

快列车有20个班次，汽车有40个不同班次，则小明乘坐这些交通工具去占地的不同方法有

（）

A.240种B.180种C.120种D.90种

D［根据分类加法计数原理，共有30+20+40=90（种）不同方法.］

2.现有3名老师、8名男学生和5名女学生共16人.若需1名老师和I名学生参加评选会

议，则不同的选法种数为（）

A.39B.24

C.15D.16

A［先从3名老师中任选1名，有3种选法，再从13名学生中任选1名，有13种选法.由

分步乘法计数原理知，不同的选法种数为3X13=39.］

3.中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、

兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种.现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同

学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学每个吉祥物都

喜欢，若三位同学对选取的礼物都满意，则不同的选法有（）

A.30种B.50种

C.60种D.90种

B［①若甲同学选择牛，则乙同学有2种选择，丙同学有10种选择，不同的选法种数为2X1（）

=20；②若甲同学选择马，则乙同学有3种选择，丙同学有10种选择，不同的选法种数为

3X10=30.综上，总共有20+30=50（种）不同的选法.故选B.］

4.从2,3,5,7,11中每次选出两个不同的数作为分数的分子、分母，则可产生不同的分

数的个数是，

其中真分数的个数是________.

2010［产生分数可分两步：第一步，产生分子有5种方法；第二步，产生分母有4种方

法，共有5X4=20（个）分数.产生真分数，可分四类：第一类，当分子是2时，有4个真

分数，同理，当分子分别是3,5,7时，真分数的个数分别是3,2,1,共有4+3+2+1

=10（个）真分数.］

小

I可顾本节知识，自主完成以下问题：

1.分类加法计数原理的最主要特点是什么？

［提示］各类中的每一种方法都可以单独完成一件事.

2.应用分类加法计数原理需遵循的原则是什么？

［提示］标准明确、不重不漏.

3.区分“完成一件事”是分类还是分步的关键是什么？

［提示］关键看一步能否完成这件事，若能完成则是分类，否则，就是分步.

课时分层作业（一）分类加法计数原理与分步乘法计数原理

［A组基础合格练］

一、选择题

i.十字路口来往的车辆，如果不允许回头，则不同的行车路线有（)

A.24种B.16种C.12种D.10种

C［完成该任务可分为四类，从每一个方向的入口进入都可作为一类，

如图，从第1个入口进入时，有3种行车路线；同理，从第2个、第3_____4_____

个、第4个入口进入时，都分别有3种行车路线，由分类加法计数原理,1J

可得，共有3+3+3+3=12（种）不同的行车路线，故选C.］2

2.如果x,yEN,且x+y<7,那么满足条件的不同的有序自然数对（x,0的个数

是（）

A.15B.12

C.5D.4

A［分三类情况讨论：第一类,当x=l时，y=0,1,2,3,4,5,有6种情况；

第二类，当x=2时，y=0,1,2,3,4,有5种情况；

第三类，当x=3时.,y=0,1,2,3,有4种情况.

由分类加法计数原理可得，满足条件的有序自然数对（x,0的个数是6+5+4=15.］

3.从集合｛0,1,2,3,4,5,6｝中任取两个互不相等的数a,。组成复数a+历，其中虚

数有（）

A.30个B.42个

C.36个D.35个

C［要完成这件事可分两步，第一步确定,有6种方法，第二步确定a有6种方法，

故由分步乘法计数原理知，共有6X6=36（个）虚数.］

4.从集合｛1,2,3,4,5｝中任取2个不同的数，作为直线力的系数，则形成不同

的宜线最多有（）

A.18条B.20条

C.25条D.10条

A［第一步取力的值，有5种取法，第二步取6的值，有4种取法，其中当力=1,8=2时，

与4=2,4=4时是相同的；当力=2,/，=1时，与力=4,Q2时是相同的，故共有5X4一

2=18（条）不同的直线.］

5.（多选）如图所示，从月地到6地要经过C地和〃地，从力地到。地有3条路，从。地到

〃地有2条路，从〃地到.8地有4条路，则（）

C地

人地地

〃地

A.从1地到〃地不同走法有6种

B.从。地到H地不同走法有6种

C.从月地到8地不同走法有9种

D.从月地到占地不同走法有24种

AD［根据分步乘法计数原理得，从力地到〃地不同走法有3X2=6（种），从C地至IJ8地不

同走法有2X4=8（种），从力地到8地不同走法有3X2X4=24（种）.］

二、填空题

6.已知某种新产品的编号由1个英文字母和1个数字组成，且英文字母在前，数字在后.已

知英文字母是A,B,C,I）,E这5个字母中的1个，数字是1,2,3,4,5,6,7,8,9

这9个数字中的一个，则共有_______个不同的编号.1用数字作答）

45［对于英文字母来说，共有5种可能；对于数字来说，共有9种可能，按照分步乘法计

数原理，可知共有5X9=45（个）不同的编号.］

7.在如图1的电路中，若只合上一个开关可以接通电路，有种不同的方法；在如

图2的电路中，若合上两个开关可以接通电路，有________种不同的方法.

56［对于题图1,按要求接通电路，只要在月中的两个开关或8中的三个开关中合上一

个即可，故有2+3=5（种）不同的方法.对于题图2,按要求接通电路必须分两步进行：第

一步，合上/中的一个开关；第二步，合上8中的一个开关，故有2X3=6（种）不同的方

法.］

8.设/={1,2,3,4）,力与〃是/的子集，若力GQ{1,2},则称（4◎为一个“理想

配集”.若将（力，而与（£,⑷看成不同的“理想配集”，则符合此条件的“理想配集”有

个.

9［对子集/分类讨论；

力是二元集U，2}时,8可以为{1,2,3,4},{1,2,4},{1，2,3},{1,2},共4种情

况；

力是三元集{1,2,3}时，8可以为（1,2,4},{1,2）,共2种情况；

力是三元集{1,2,4}时,4可以为{1,2,3},{1,2）,共2种情况；

1是四元集{1，2,3,4}时，此时9为{1,2},有1种情况.

根据分类加法计数原理知，共有4+2+2+1=9（种）结果，即符合此条件的“理想配集”有

9个.］

三、解答题

9.某校在艺术节期间需要举办一场文娱演出晚会，现要从3名教师、4名男同学和5名女

同学当中选出若干人来主持这场晚会（任一人都可主持）.

（1）如果只需一人主持，夫有多少种不同的选法？

（2）如果需要教师、男同学和女同学各一人共同主持，共有多少种不同的选法？

［解］（1）从3名教师、4名男同学和5名女同学当中选出一人主持晚会，结果可分为3类：

第一类，选一名教师主持，有3种选法；

第二类，选一名男同学主持，有4种选法；

第三类，选一名女同学主持，有5种选法.

根据分类加法计数原理，共有

3+4+5=(12)种不同的选法.

(2)从3名教师、4名男同学和5名女同学当中各选出一人共同主持晚会，可分3步：

第一步，选出一名教师，有3种选法；

第二步，选出一名男同学，有4种选法：

第三步，选出一名女同学，有•5种选法.

以上3个步骤依次完成后，事情才算完成.根据分步乘法计数原理，共有3X4X5=60(种)

不同的选法.

[B组能力过关练]

10.(多选)设东、西、南、北四面通往山顶的路各有2,3,3,4条路，只从一面上山，而

从其他任意一面下山，不同的走法可能为()

A.20B.27

C.32D.30

ABC[东面上山的种数为：2X(3+3+4)=20,

西面上山的种数为:3X(2+3+4)=27,

南面上山的种数为:3X(2+3+4)=27,

北面上山的种数为：4X(2+3+3)=32,

故只从一面上山，而从其他任意一面下山的走法可能为2(),27,32.]

11.(多选)已知集合力={-1,2,3,4},如〃£月，则对于方程亡+g=1的说法正确的是

mn

()

A.可表示3个不同的圆

B.可表示6个不同的椭圆

C.可表示3个不同的双曲线

D.表示焦点在片轴上的柄圆有3个

ABD[当勿=〃>0时，方程史+亡=1表示圆，故有3个，选项A正确；当碍〃且如〃》0

mn

时，方程江+”=1表示椭圆，焦点在X,y轴上的椭圆分别有3个，故有3X2=6(个)，选

mn

项B正确，D正确；当“<0时，方程兰+g=1表示双曲线，故有3X1+1X3=6(个)，选

mn

项C错误.]

12.如图所示，小圆圈表示网络的结点，结点之间的线段表示它们有网线相连，连线标注的

数字表示该段网线单位时司内可以通过的最大信息量.现从结点力向结点〃传递信息，信息

可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为()

A.26

C.20D.19

D［囚信息可以分开沿不同的路线同时传递，

由分类加法计数原理，完成从力向6传递有四种方法：12-5f3,12-6f4,12-6-7,

12一8-6,

故单位时间内传递的最大信息量为四条不同网线上传递的最大信息量的和：3+4+64-6=

19.］

13.满足a,0,1,2),且关于x的方程—+2x+#=0有实数解的有序数对(a,

6)的个数为.

13［当a=0时，b的值可以是一1,0,1,2,故有序数对(a,6)的个数为九

当aWO时，要使方程ax2+2x+b=0有实数解，需使4=4-4ab20,即abWl,分以下情

况：

若a=-1,则。的值可以是一1,0,1,2,故有序数对(a,力)的个数为4：

若a=l,则。的值可以是一1,0,1,故有序数对(a力)的个数为3；

若a=2,则人的值可以是一1,0,故有序数对(a,