二次函数应用题经典训练题

二次函数应用题经典训练题二次函数作为初中数学的重要内容，不仅在代数领域占据核心地位，其在解决实际问题中的应用更是体现了数学的实用价值。通过应用题的训练，能够有效提升学生分析问题、建立数学模型以及运用函数思想解决问题的能力。以下精选几道经典二次函数应用题，并附详细解答与点评，旨在帮助学习者掌握解题要领，领会其中蕴含的数学思想。一、利润最大化问题题目：某商场经营一种小商品，已知购进时单价是20元。根据市场调查，在一段时间内，销售单价是30元时，销售量是400件，而销售单价每上涨1元，就会少售出20件。设销售单价为x元（x≥30），销售量为y件，销售利润为w元。（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）写出w与x之间的函数关系式；（3）若商场想获得最大利润，销售单价应定为多少元？最大利润是多少？解答与点评：（1）分析销售量与单价的关系：销售单价为30元时，销售量是400件。单价每上涨1元，销售量减少20件。设销售单价为x元（x≥30），则单价上涨了(x-30)元。因此，销售量y=400-20(x-30)。化简得：y=400-20x+600=-20x+1000。所以，y与x之间的函数关系式为y=-20x+1000（x≥30）。（2）构建利润函数：销售利润w=（销售单价-购进单价）×销售量。已知购进单价为20元，所以w=(x-20)y。将y=-20x+1000代入，得：w=(x-20)(-20x+1000)展开并整理：w=-20x²+1000x+400x-____=-20x²+1400x-____。所以，w与x之间的函数关系式为w=-20x²+1400x-____（x≥30）。（3）求最大利润及对应单价：对于二次函数w=-20x²+1400x-____，其中a=-20<0，抛物线开口向下，函数有最大值。方法一（配方法）：w=-20(x²-70x)-____=-20(x²-70x+35²-35²)-____=-20[(x-35)²-1225]-____=-20(x-35)²+____-____=-20(x-35)²+4500。所以，当x=35时，w有最大值，最大值为4500。方法二（顶点公式法）：对称轴为x=-b/(2a)=-1400/(2×(-20))=35。将x=35代入w的表达式，得w=-20×35²+1400×35-____=4500。由于x=35满足x≥30的条件，因此销售单价应定为35元，此时最大利润为4500元。点评：本题是典型的二次函数最值应用问题。解决此类问题的关键在于：准确理解题意，找出变量之间的关系，建立正确的二次函数模型；然后通过配方法或顶点公式求出函数的最值。特别需要注意的是，自变量的取值范围往往会对最值的取得产生影响，因此在求出顶点横坐标后，需检验其是否在自变量的取值范围内。二、几何图形面积最值问题题目：如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18米。设矩形菜园与墙垂直的一边长为x米，菜园的面积为S平方米。（1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x为何值时，菜园的面积最大？最大面积是多少？（*注：此处原题应有图，描述为：一个矩形，其中一条长边靠墙，另外三条边由篱笆围成，与墙垂直的两边长度均为x米。*）解答与点评：（1）建立面积函数：已知篱笆总长为30米，与墙垂直的一边长为x米，则与墙平行的一边长为(30-2x)米。矩形面积S=长×宽=x(30-2x)。化简得：S=-2x²+30x。自变量x的取值范围：与墙平行的边长(30-2x)必须大于0，且不能超过墙长18米。所以有：0<30-2x≤18。解不等式30-2x>0，得x<15。解不等式30-2x≤18，得-2x≤-12，即x≥6。综上，自变量x的取值范围是6≤x<15。（2）求面积最大值：对于二次函数S=-2x²+30x，a=-2<0，抛物线开口向下，函数在对称轴处取得最大值。对称轴为x=-b/(2a)=-30/(2×(-2))=7.5。因为7.5在x的取值范围6≤x<15内，所以当x=7.5时，S取得最大值。S最大值=-2×(7.5)²+30×7.5=-2×56.25+225=-112.5+225=112.5（平方米）。因此，当x为7.5米时，菜园的面积最大，最大面积是112.5平方米。点评：几何图形的面积最值问题是二次函数应用的另一个重要方面。解题时，通常需要根据图形的周长、边长等已知条件，用含一个变量的代数式表示出图形的面积，从而建立二次函数模型。本题的易错点在于确定自变量x的取值范围，必须结合实际情况（如墙长限制）进行分析。当顶点横坐标在自变量取值范围内时，顶点的纵坐标即为最值；若不在，则需根据函数的增减性在端点处寻找最值。三、运动轨迹与二次函数题目：一个小球从地面被斜向上抛出，经过一段时间后落到地面。小球距离地面的高度h（单位：米）与运动时间t（单位：秒）之间的关系可以近似地用二次函数h=-5t²+20t来表示。（1）小球抛出后，经过多少秒达到最大高度？最大高度是多少？（2）小球抛出后，经过多少秒落到地面？解答与点评：（1）求最大高度及对应时间：对于二次函数h=-5t²+20t，a=-5<0，抛物线开口向下，函数有最大值。对称轴为t=-b/(2a)=-20/(2×(-5))=2。所以，小球抛出后经过2秒达到最大高度。将t=2代入h的表达式，得h最大值=-5×(2)²+20×2=-5×4+40=-20+40=20（米）。（2）求小球落地时间：小球落到地面时，高度h=0。令h=0，即-5t²+20t=0。提取公因式，得t(-5t+20)=0。解得t₁=0（小球抛出时的时刻），t₂=4。所以，小球抛出后经过4秒落到地面。点评：本题模拟了抛物运动的轨迹，其高度与时间的关系符合二次函数模型。在物理学中，忽略空气阻力的抛体运动，其竖直方向的位移就是时间的二次函数。解决此类问题，理解函数表达式中各项系数的物理意义（如本题中-5与重力加速度有关，20与初速度有关）有助于更好地理解题意，但即使不深究物理意义，仅从数学角度出发，通过求解二次函数的顶点和零点也能顺利解决问题。第（2）问中，解方程得到的两个根，需要结合实际意义进行取舍，t=0是初始时刻，t=4才是落地时刻。总结二次函数应用题的求解，核心在于“建模”与“求最值”（或特定函数值）。首先，要仔细审题，理清题目中的数量关系，将实际问题转化为数学问题，设出合适的自变量，建立二次函数关系式；其次，要明确自变量的取值范围，这是确保解答符合实际意义的关键；最后，运用二次函数的