河南省郑州市十校2025-2026学年高二数学上学期11月期中联考试题含解析

河南省郑州市十校2025-2026学年高二上学期11月期中联考

数学试题

一、单选题

1．已知向量a1,2,1，b3,x,y，且a//b，那么实数xy等于（）

A．3B．-3C．9D．-9

2．如图，在四面体OABC中，点M在棱OA上，且满足OM2MA，点N，G分别是线段BC，MN的中

点，则用向量OA，OB，OC表示向量OG应为（）

111111

A．OGOAOBOCB．OGOAOBOC

344344

111111

C．OGOAOBOCD．OGOAOBOC

344344

3．下列说法中，正确的有（）

A．过点P1,2且在x、y轴截距相等的直线方程为xy30

B．直线x3y10的倾斜角为60

C．直线y3x2在y轴上的截距为2

D．过点5,4并且倾斜角为90的直线方程为y40

4．若点P1,1为圆x2y26x0的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为（）

A．2xy30B．x2y10C．x2y30D．2xy10

x2y2

5．已知方程1表示双曲线，则m的取值范围是（）

2mm1

A．,2B．,21,

C．1,D．2,1

6．已知直线yk(x1)与曲线y4(x2)2有两个交点，则k的取值范围为

252555

A．0,B．0,C．0,D．0,

5555

7．一动圆与圆x2y26x50外切，同时与圆x2y26x910内切，则动圆圆心的轨迹方程是

（）

x2y2x2y2x2y2x2y2

A．1B．1C．1D．1

36273627167167

x2y2

8．已知椭圆C:1(ab0),F,F为椭圆的左右焦点，A为椭圆上一点，连接AF并延长交椭圆于另一

a2b2121

点B，若AF2AF1,BF23BF1，则椭圆C的离心率为（）

A．3B．21C．2D．7

3737

二、多选题

9．关于空间向量，以下说法正确的是（）

A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面

B．若ab0，则a,b是锐角

C．已知向量{a,b,c}组是空间的一个基底，则2a,b,ca也是空间的一个基底

112

D．若对空间中任意一点O，有OPOAOBOC，则P,A,B,C四点共面

1243

10．下列选项正确的是（）

25

A．若直线l1:x2y10与l2:2xay20平行，则l1与l2的距离为

5

B．过点1,1且和直线2xy70平行的直线方程是2xy60

C．“a1”是“直线a2xy10与直线xay20互相垂直”的必要不充分条件

π3π

D．直线xsiny20的倾斜角的取值范围是0,,π

44

11．平面内到两个定点A，B的距离比值为一定值(1)的点P的轨迹是一个圆，此圆被称为阿波罗尼斯

|PA|1

圆，俗称“阿氏圆”．已知平面内点A(2,0)，B(6,0)，动点P满足，记点P的轨迹为，则下列命

|PB|3

题正确的是（）

A．点P的轨迹的方程是x2y23x0

B．过点N(1,1)的直线被点P的轨迹所截得的弦的长度的最小值是1

C．直线2xy20与点P的轨迹相离

3

D．已知点E,0，点M是直线l:2x23y70上的动点，过点M作点P的轨迹的两条切线，切

2

点为C，D，则四边形ECMD面积的最小值是3

三、填空题

12．已知空间向量a1,0,1,b2,1,2，则向量a在向量b上的投影向量的坐标

2222

13．圆C1:xy4与圆C2:xy2x2y0的公共弦长为.

14．在平面直角坐标系xOy中，已知点Ax1,y1,Bx2,y2，定义d(A,B)x1x2y1y2为“曼哈顿距离”.

x2

若d(O,P)2，则点P的轨迹所围成图形的面积为，若椭圆C:+y2=1(a>0)上有且仅有8个点P满

a2

足d(O,P)2，则椭圆C的离心率的取值范围是

四、解答题

15．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0（k∈R）．

（1）证明：直线l过定点；

（2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；

（3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最

小值及此时直线l的方程．

16．在如图所示的平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AB1，AD2，AA122，A1ABA1AD45，

BAD60，设ABa，ADb，AA1c.

(1)用，，表示，，；

abcAC1BD1AC

(2)求AC1的长；

(3)求异面直线BD1与AC所成角的余弦值.

22

17．已知圆C:x1y28，过点A3,2作直线l交C于M，N两点．

(1)若MN4，求直线l的方程；

(2)若点P是C上的一动点，点Q是线段AP的中点，求动点Q的轨迹方程．

18．如图（1），在四棱锥PABCD中，平面PAB平面ABCD，PAAB，PAAD4，BC//AD，ABAD，

ABBC2，PEPC01.

1

(1)若，求直线DE与平面ABE所成角的正弦值；

2

234

(2)设二面角BAEC的大小为，若cos，求的值；

17

(3)阅读下列“链接”材料，试判断异面直线BE和AD间的距离是否为定值，若是，求出该定值；若不是，

说明理由.

链接：运用空间向量求异面直线间的距离如图（2），设A、P分别为异面直线a、b上的点，n是与直线a、

APn

b都垂直的向量，从而异面直线a、b间的距离为d，即为向量AP在向量n上的投影向量的模.

n

19．在平面直角坐标系中，过点Ax0,y0作斜率分别为k1,k2的直线l1,l2，若k1k2(0)，则称直线l1,l2是

K()

KA()定积直线或x0,y0定积直线.

(1)已知直线l1,l2是K(0,0)(3)定积直线，且直线l1:y2x，求直线l2的方程;

(2)如图所示，已知点A(0,1)，点B(1,0)和点C(1,0)分别是三条倾斜角为锐角的直线PQ,QR,RP上的点

(A,B,C与P,Q,R均不重合)，且直线PR,PQ是KP(1)定积直线，直线QP,QR是KQ(4)定积直线，直线RP,RQ

是KR(9)定积直线，求点P的坐标;

1

(3)已知点M(2,0),N(2,0)，直线TM,TN是KT定积直线，若MTN120，求三角形MTN的面积.

4

题号12345678910

答案DACDBBAAACDAD

题号11

答案ACD

1．D

运用空间向量共线列式计算即可.

【详解】∵a1,2,1，b3,x,y，且a∥b，

3xy

∴，

121

解得x6，y=3，

∴xy639．

故选：D．

2．A

利用空间向量加法法则直接求解.

2

【详解】因为OM2MA，所以OMOA．

3

因为点N，G分别是线段BC，MN的中点，

111211111

所以OGOMONOAOBOCOAOBOC，

222322344

111

所以OGOAOBOC．

344

故选：A.

3．C

对直线是否过原点进行分类讨论，利用斜截式方程与截距式方程可判断A选项；

求出直线的斜率，进而可得出所求直线的倾斜角，可判断B选项；

利用直线截距的定义可判断C选项；求出所求直线的方程，可判断D选项.

【详解】对于A选项，若直线过原点，设该直线的方程为ykx，则k2，

此时，所求直线的方程为2xy0，

xy12

若直线不过原点，设所求直线方程为1a0，则1，可得a3，

aaaa

此时，所求直线方程为xy30.

综上所述，过点P1,2且在x、y轴截距相等的直线方程为2xy0或xy30，A错；

13

对于B选项，直线x3y10的斜率为，该直线的倾斜角为30，B错；

33

对于C选项，直线y3x2在y轴上的截距为2，C对；

对于D选项，过点5,4并且倾斜角为90的直线方程为x50，D错.

故选：C.

4．D

圆的方程化为标准方程，得到圆心A坐标，由APMN，可求得弦MN所在直线的斜率，点斜式求方程.

2

【详解】圆的标准方程为x3y29，圆心A3,0．因为点P1,1为弦MN的中点，所以APMN，

101

又AP的斜率k，所以直线MN的斜率为2，弦MN所在直线的方程为y12x1，即2xy10.

132

故选：D

5．B

根据二次曲线表示双曲线的基本要求可构造不等式求得结果.

x2y2

【详解】方程1表示双曲线，2mm10，解得：m2或m1，

2mm1

即m的取值范围为,21,.

故选：B.

6．B

2

化简得到x2y24y0，直线yk(x1)过定点1,0，画出图像，根据图像得到答案.

2

【详解】y4(x2)2，即x2y24y0，直线yk(x1)过定点1,0，

画出图像，如图所示：

当直线与半圆相切时，AB3，AC2，BCAB2AC25.

2525

此时斜率为，根据图像知k0,.

55

故选：B.

7．A

由圆与圆的位置关系及椭圆的定义和标准方程可得结果.

【详解】设动圆圆心为Mx,y，半径为R，设已知圆的圆心分别为O1、O2，

2222

将圆xy6x50的方程配方得：x3y4，圆心O13,0，半径为2，

2222

圆xy6x910同理化为x3y100，圆心O23,0，半径为10，

当动圆与圆O1相外切时，有O1MR2①

当动圆与圆O2相内切时，有O2M10R②

将①②两式相加，得O1MO2M12O1O2

动圆圆心Mx,y到点O13,0和O23,0的距离和是常数12，

所以点M的轨迹是焦点为点O13,0、O23,0，长轴长等于12的椭圆，

x2y2

故a6，c3，b227，1.

3627

故选：A.

8．A

△

根据题意和椭圆的定义可得△AF1F2和ABF2的各边边长，再结合余弦定理列方程，求解即可.

【详解】如图所示：

由题意得AF2AF1，又AF1AF22a，则AF2AF1a，

313

因为BF3BF，BF1BF22a，则BFa，BFa，故ABa，

2122122

a2a24c2

在△AF1F2中，由余弦定理得cosFAF，

122a2

22

3a23a

a

△22

在ABF2中，由余弦定理得cosBAF，

23

2aa

2

22

3a23a

222a222

aa4c22a2c1c1c3

所以，化简得，即12，解得.

23a23a3a3

2a2aa

2

故选：A.

9．ACD

根据空间向量共面定理即可判断A；根据ab0，得到a,b0,，即可判断B；根据题意得到2a,b,ca

2

112

不共面，即可判断C；根据1即可判断D.

1243

【详解】对A，根据空间向量共面定理知：空间中三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，

故A正确；

对B，若ab0，则a,b0,，故B错误.

2

对C，假设2a,b,ca共面，则b2aca2ac，

因为向量{a,b,c}组是空间的一个基底，

所以不存在实数,，使得b2ac成立，故2a,b,ca不共面，

即2a,b,ca也是空间的一个基底，故C正确.

112112

对D，因为OPOAOBOC，且1，

12431243

所以P,B,A,C四点共面，故D正确.

故选：ACD.

10．AD

利用平行线间距离公式判断A，举反例判断B，C，利用斜率的几何意义判断D即可.

【详解】对于A，因为直线l1:x2y10与l2:2xay20平行，

2a2

所以，解得a4，此时直线l为2x4y20，即x2y10，

1212

1125

由平行线间距离公式得l1与l2的距离为，故A正确，

145

对于B，将点1,1代入2xy60中，

发现2160，故该点不在直线上，

即过点1,1且和直线2xy70平行的直线方程

不可能是2xy60，故B错误，

对于C，当a0时，直线a2xy10可化为y10，

直线xay20为x20，此时两直线也互相垂直，

所以“a1”不是“直线a2xy10与直线xay20互相垂直”

的必要不充分条件，故C错误，

对于D，直线xsiny20的斜率为ksin，则1k1，

3ππ

当1k0时，的取值范围是,π，当0k1时，的取值范围为0,，

44

π3π

故直线xsiny20的倾斜角的取值范围是0,,π，故D正确.

44

故选：AD

11．ACD

根据已知条件求出点P的轨迹方程，然后逐个分析每个命题中涉及到的直线与圆的位置关系、弦长公式计

算以及四边形面积即可.

|PA|1

【详解】对于A,设P(x,y)，已知A(2,0)，B(6,0)，且.

|PB|3

根据两点间距离公式|PA|(x2)2y2，|PB|(x6)2y2.

(x2)2y21(x2)2y21

则.两边平方可得.

22

(x6)2y23(x6)y9

39

展开整理得x2y23x0，配方可得(x)2y2，所以A选项正确.

24

3315

对于B,点N(1,1)到圆心E(,0)的距离为d(1)2121.

2242

35

圆的半径r.根据弦长公式L2r2d2，当d最大弦长最小，d最大为圆心到点N的距离.所以弦

22

3595

长最小值为2()2()222，所以B选项错误.

2244

3

|202|

3|32|

对于C,圆心E(,0)到直线2xy20的距离d25.

222

2(1)5

3

因为5（圆的半径），所以直线与圆相离，C选项正确.

2

13

对于D,四边形ECMD的面积S2|EC||MC|，因为|EC|r.

22

3

要使面积最小，则|MC|最小，即圆心E到直线l:2x23y70的距离d与半径的关系.圆心E(,0)到直

2

3

|22307|

|37|5

线l的距离d2.

22(23)24122

53

|MC|d2r2()2()22.

min22

13

所以四边形ECMD面积最小值S223，D选项正确.

22

故选：ACD.

848

12．,,

999

结合数量积的坐标运算，根据投影向量的概念求解.

【详解】空间向量a1,0,1,b2,1,2，

2

则ab1201124，b221223，

abb4848

则向量a在向量b上的投影向量的坐标为b,,.

9999

bb

848

故答案为：,,.

999

13．22

【解析】将两圆方程作差可得出公共弦所在直线的方程，再求该直线截圆C1所得弦长即可.

【详解】将圆C1和圆C2的方程作差并化简得xy20，即两圆公共弦所在直线的方程为xy20.

2

d2

圆C1的圆心为坐标原点，半径长为2，圆C1的圆心到直线xy20的距离为2，

121

因此，两圆的公共弦长为24d222.

故答案为：22.

63

14．8,

32

【详解】设Px,y，则d(O,P)xy2，

若x0,y0，则xy2；若x0,y0，则xy2；

若x0,y0，则xy2；若x0,y0，则xy2，

由此画出点P的轨迹如下图所示（正方形），

1

由图可知点P的轨迹所围成图形的面积为2248.

2

x2

椭圆C:+y2=1(a>0)，对应b1，a1，

a2

x2

要使椭圆C:+y2=1(a>0)上有且仅有8个点P满足d(O,P)xy2，

a2

yx2

根据对称性，由方程组2有两个解，且0a2,a1，

x2

y1

a2

2

x22222

所以x21，整理得a1x4a3a0，

a2

Δ16a412a2a214a2a230，

11b21

解得3a2,3a24,，

4a2a23

2

cc2a2b2b63

所以e1,.

22

aaaa32

63

故答案为：,

32

15．（1）证明见解析；（2）[0,)；（3）S的最小值为4，直线l的方程为x－2y＋4＝0．

【详解】（1）证明：

直线l的方程可化为y＝k（x＋2）＋1，故无论k取何值，直线l总过定点（－2，1）．

（2）直线l的方程为y＝kx＋2k＋1，则直线l在y轴上的截距为2k＋1，要使直线l不经过第四象限，则

k0

解得k≥0，故k的取值范围是[0,)．

12k0

12k

（3）依题意，直线l在x轴上的截距为，在y轴上的截距为1＋2k，

k

12k

∴A,0，B（0，1＋2k）．

k

12k

又0且1＋2k＞0，

k

∴k＞0．

1112k1111

故S＝|OA||OB|＝××（1＋2k）＝4k+4≥×（4＋24k）＝4，

22k2k2k

1

当且仅当4k＝，即k＝1时，取等号．

k2

故S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0．

16．(1)AC1abc，BD1abc，ACab

(2)33

(3)3105

35

（1）利用空间向量基本定理即可；

（2）利用模长公式求解即可；

（3）利用向量夹角公式求解即可

【详解】（1）AC1ABBCCC1ABADAA1abc，

BD1BAADDD1ABADAA1abc，

ACABBCABADab，

（2）a1，b2，c22，

ab1，bc4，ca2，

22

因为

AC1abc

222

abc2abbcca

148214227，

所以AC133，即AC1的长为33；

（3）因为BD1bca，ACab，

同理可求得BD115，AC7，

又因为BD1ACbcaab

22

bacabc9，

BD1AC93105

所以cosBD1,AC，

BD1AC15735

3105

所以异面直线AC与BD1所成角的余弦值为.

35

17．(1)3x3y3230或3x3y3230

22

(2)x1y+22

（1）先求出圆心到直线的距离，再解得直线与圆的位置关系，分斜率存在和斜率不存在两种情况讨论求解；

（2）设Qx,y，利用中点关系结合P在圆上即可求解动点Q的轨迹方程．

22

【详解】（1）圆C:x1y28，圆C的半径r22，圆心C1,2，

2

MN2

直线l与圆心C的距离dr222222，

2

=22

若斜率不存在，即l:x3，圆心到直线距离d3122422，

与圆C无交点，不符合题意；

若斜率存在，设直线l:y2kx3，即kxy3k20，

4k3

由d2，解得k，

1k23

3

直线l的方程为y2x3，

3

即3x3y3230或3x3y3230．

（2）设Qx,y，Px0,y0，点Q是线段AP的中点，

x03

x

2x02x3

，即①，

y2y2y2

y00

2

22

又点P在圆C上，x01y028，

2222

将①代入得2x22y48，整理得x1y22，

22

点Q的轨迹方程为：x1y22．

18．(1)470

35

1

(2)

3

(3)是，45

5

（1）推导出PA平面ABCD，以点A为坐标原点，AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建立空间

直角坐标系，利用空间向量法可求得直线DE与平面ABE所成角的正弦值；

（2）求出点E的坐标，根据空间向量法可得出关于的方程，结合0,1可得出的值；

（3）求出异面直线BE、AD的公垂线的一个方向向量，结合题中材料可求出异面直线BE、AD间的距离.

【详解】（1）在四棱锥PABCD中，平面PAB平面ABCD，平面PAB平面ABCDAB，

PAAB，PA平面PAB，所以PA平面ABCD，

又因为ABAD，以点A为坐标原点，AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间

直角坐标系，

因为PAAD4，ABBC2，

所以A0,0,0、B2,0,0、C2,2,0、D0,4,0、P0,0,4.

1

若，即E为PC中点，则E1,1,2，

2

所以DE1,3,2，AB2,0,0，AE1,1,2.

设平面ABE的一个法向量为mx1,y1,z1，

mAB2x0

则1，令z1，得y2，

11

mAEx1y12z10

所以平面ABE的一个法向量为m0,2,1.

设直线DE与平面ABE所成角为，

DEm62470

则sincosDE,m.

DEm14535

（2）因为PEPC2,2,42,2,401，则E2,2,44，

设平面ABE的一个法向量为nx2,y2,z2，

nAB2x20

则，令y2，得z，

221

nAE2x22y244z20

所以平面ABE的一个法向量为n0,2,.

1

lAC2x32y30

设平面AEC的一个法向量为lx3,y3,z3，则，

lAP4z30

令x31，得y31，所以平面AEC的一个法向量为l1,1,0.

234

因为二面角BAEC的大小为，且cos，

17

nl2234

得cosn,l，

nl217

42