2025-2026学年湖北罗田县第一中学高二下册期中考试数学试题 含解析

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.曲线在点处的切线方程为（）A. B.C. D.2.设数列的前n项和为，并且，则等于（）A.32 B.16 C.992 D.3.若等差数列满足且，则数列的前12项和为（）A.48 B.64C.80 D.1124.已知函数的定义域为，且的图象是一条连续不断的曲线，的导函数为，若函数的图象如图所示，则（）A.的单调递减区间是B.的单调递增区间是C.当时，有极值D.当时，5.设函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.6.已知为双曲线的右焦点，圆上的动点到双曲线渐近线的距离最小值为，则该双曲线的离心率为（）A. B. C.2 D.7.前项和为的数列满足，若，则的最小值为（）A.15 B.16 C.17 D.188.已知抛物线的焦点为，准线为，过上的一点作的垂线，垂足为，点，与相交于点．若，且的面积为，则的方程为（）A. B.C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列有关排列数、组合数的等式中，，正确的是（）A.B.C.D.10.已知等差数列的前项和为，公差为，且，则下列说法正确的是（）A. B.C.当时，取得最小值 D.使成立的的最大值为6211.已知椭圆为的右焦点，点在上，且关于轴对称，分别为线段的中点，为坐标原点，则（）A.B.的最小值为C.D.存在点，使得三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知数列的首项，满足，则________.13.由1，2，3，4，5构成的无重复数字的五位“波浪数”（即偶数位数字比各自相邻的奇数位数字大），且满足中间第3位为波谷（小于左右两侧数字）的“波浪数”有_______个.14.已知、为实数，，若对恒成立，则的最小值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.现有甲、乙、丙、丁名公费师范生和三所重点中学（1）甲、乙、丙、丁名公费师范生分配至三所重点中学任教，有多少种不同分法.（2）从甲、乙、丙、丁名公费师范生中选出人分配至三所重点中学任教，每所学校分配一人，甲必须当选，有多少种不同分法?（3）将所学校的位校长排入已经站好的名学生队伍中拍照留念，这名学生已经排好，不改变学生原有顺序将三位校长再排入(可以不相邻)，有多少种不同的排法?(结果用数字作答)16.为数列的前项和.已知，.（1）证明是等比数列，并求数列的通项公式；（2）数列满足，求数列的前项和.17.已知函数．（1）若在时取极值，求的值和的极小值；（2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围．18.已知椭圆经过点，且椭圆的两个焦点坐标分别为、．（1）求出椭圆的标准方程；（2）若、是椭圆上异于的点，直线、以及轴围成一个以为顶点的等腰三角形．①求证：直线的斜率为定值；②求弦长的取值范围．19.丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.若，，，为上任意个实数，满足，当且仅当时等号成立，则称函数在上为“凸函数”.也可设可导函数在上的导函数为，在上的导函数为，当时，函数在上为“凸函数”.若，，，为上任意个实数，满足，则称函数在上为“凹函数”当且仅当时等号成立.也可设可导函数在上的导函数为，在上的导函数为，当时，函数在上为“凹函数”.这里关于凹凸函数的不等式即为著名的琴生不等式.（1）讨论函数，的凹凸性；（2）在中，求证：；（3）若个正实数满足，求证.

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.曲线在点处的切线方程为（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：利用导数的几何意义求出切线的斜率，结合点斜式可得出所求切线的方程.解答过程：因为，所以，，所求切线的斜率，因此，所求切线的方程为，整理得．故选：A．2.设数列的前n项和为，并且，则等于（）A.32 B.16 C.992 D.答案：A解析：思路：利用即可求解.解答过程：当时，.所以.故选：A.3.若等差数列满足且，则数列的前12项和为（）A.48 B.64C.80 D.112答案：C解析：解答过程：设数列的公差为，则，得，则，当时；当时，因为等差数列的前项和为，前项和为，则数列的前12项和为.4.已知函数的定义域为，且的图象是一条连续不断的曲线，的导函数为，若函数的图象如图所示，则（）A.的单调递减区间是B.的单调递增区间是C.当时，有极值D.当时，答案：A解析：思路：利用函数图象解不等式可得的单调性，即可判断A正确，B错误，再根据极值定义可得C错误，根据不等式结果可得D错误.解答过程：根据图象可知当时，，可得；当时，，可得；结合的图象是一条连续不断的曲线，可知时，单调递减；当时，，仅当时取等号，可得，对于AB，时，单调递减，当时，，此时单调递增，因此的单调递减区间是的单调递增区间是，即A正确，B错误；对于C，易知当时，，当时，，即在处左右函数的单调性不改变，因此C错误；对于D，因为时，，由，可得，因此，即D错误.故选：A.5.设函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据函数零点的定义转化为有三个根，利用数形结合进行求解即可.解答过程：由题意得函数有三个零点，则函数，即有三个根，当时，，则，由得，即，此时在上单调递减，由得，即，此时在上单调递增，当时，，当时，取得极小值，下面我们作出的图象如图：要使有三个根，则，故D正确.故选：D6.已知为双曲线的右焦点，圆上的动点到双曲线渐近线的距离最小值为，则该双曲线的离心率为（）A. B. C.2 D.答案：A解析：思路：先求出双曲线的渐近线方程，再根据圆的性质得到动点到渐近线距离的表达式，结合已知条件建立关于、、的等式，最后根据双曲线的离心率公式，求出离心率．解答过程：对于双曲线，其渐近线方程为，即．

已知圆，其圆心坐标为，半径．则圆心到渐近线的距离．因为在双曲线中有，所以．

因为动点在圆上，所以动点到双曲线渐近线的距离最小值为圆心到渐近线的距离减去圆的半径，即．已知动点到双曲线渐近线的距离最小值为，所以，移项可得．

且，把代入可得：，两边同时开方得．所以离心率．

该双曲线的离心率为．故选：A．7.前项和为的数列满足，若，则的最小值为（）A.15 B.16 C.17 D.18答案：B解析：思路：先判断是等比数列，求得，进而求得，利用分组求和法求得，由此化简不等式来求得的范围，进而求得的最小值.解答过程：因为，所以，且，所以是以1为首项，2为公比的等比数列，所以，所以，所以，所以，令，解得，所以，所以的最小值为.故选：B8.已知抛物线的焦点为，准线为，过上的一点作的垂线，垂足为，点，与相交于点．若，且的面积为，则的方程为（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：设点，根据给定条件，结合抛物线定义用p表示点A的坐标，再利用三角形面积求出p值作答.解答过程：设点，抛物线的焦点，准线，由得：，解得，不妨令点A在第一象限，则，，如图，因为，则，即有点D到x轴距离，，解得，所以的方程为.故选：C二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列有关排列数、组合数的等式中，，正确的是（）A.B.C.D.答案：ACD解析：思路：利用组合数性质判断A；利用排列数阶乘公式判断B；利用组合数性质计算判断C；利用组合数性质及二项式定理计算判断D.解答过程：对于A，由组合数性质知，，A正确；对于B，当时，，B错误；对于C，，C正确.对于D，因为，所以，D正确.10.已知等差数列的前项和为，公差为，且，则下列说法正确的是（）A. B.C.当时，取得最小值 D.使成立的的最大值为62答案：AC解析：思路：由题意可知，，，结合等差数列求和公式可判断A，B，D；由可判断C.解答过程：由题意可知，故A正确；又，所以，故B不正确；即，所以当时，取得最小值，故正确；因为，所以，所以使成立的的最大值为61，故D不正确．故选：AC．11.已知椭圆为的右焦点，点在上，且关于轴对称，分别为线段的中点，为坐标原点，则（）A.B.的最小值为C.D.存在点，使得答案：BCD解析：思路：设的左焦点为，利用对称性，如，，取具体的点验证是否有判断A，利用椭圆上点到焦点距离的最值判断B，结合椭圆定义判断C，设，由求出判断D.解答过程：对于选项A，由题意得，如图，设的左焦点为，连接，由的对称性知且，则，由，取点，得，故A错误；对于选项B，因为为线段的中点，所以，因为的最小值为，所以的最小值为，即，故B正确；对于选项C，因为分别为线段的中点，所以，由椭圆的定义知，故C正确；对于选项D，设，则，且，由，得，所以.，若，则，此时，故存在点，使得，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知数列的首项，满足，则________.答案：解析：解答过程：由且，可得，a3=2a13.由1，2，3，4，5构成的无重复数字的五位“波浪数”（即偶数位数字比各自相邻的奇数位数字大），且满足中间第3位为波谷（小于左右两侧数字）的“波浪数”有_______个.答案：解析：思路：根据给定条件，确定十位、千位数字，再分类求解作答.解答过程：依题意，由1，2，3，4，5构成的无重复数字的五位“波浪数”的偶数位分别为十位、千位数字，要使偶数位数字比各自相邻的奇数位数字大，则十位、千位数字分别为5与4或5与3，当十位、千位数字为5与4时，排十位、千位数字有2种，排另三个数位有种，共有种，当十位、千位数字为5与3时，5和3有2种情况，此时4与5必相邻，且4只能为最高位或个位，1，2只能在3的两边，有2种情况，因此不同排法有种，所以构成的无重复数字的五位“波浪数”的个数个.14.已知、为实数，，若对恒成立，则的最小值为______.答案：解析：思路：求出函数的导函数，判断可得，即可求得函数的单调区间，从而求出函数的最小值，依题意可得，即可得到，从而得到，再令，，利用导数说明函数的单调性，从而求出函数的最小值，即可求出的取值范围.解答过程：解：因为，所以，若，则恒成立，所以在上单调递增，且当时，不符合题意，所以，令，解得，当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，则，则，令，，则，所以当时，当时，即在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，即的最小值为.故【方法方法提示：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.现有甲、乙、丙、丁名公费师范生和三所重点中学（1）甲、乙、丙、丁名公费师范生分配至三所重点中学任教，有多少种不同分法.（2）从甲、乙、丙、丁名公费师范生中选出人分配至三所重点中学任教，每所学校分配一人，甲必须当选，有多少种不同分法?（3）将所学校的位校长排入已经站好的名学生队伍中拍照留念，这名学生已经排好，不改变学生原有顺序将三位校长再排入(可以不相邻)，有多少种不同的排法?(结果用数字作答)答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）直接对4名师范生进行分配即可；（2）先从乙、丙、丁中选2人，然后全排列；（3）由名学生形成的空位依次排入校长，即可得到答案.（1）由于每名公费师范生都有所学校可选，因此有种分法.（2）由于甲必须当选，所以需要从乙、丙、丁中选2人，有种分法，再将选中的人全排列分配到所学校，有种分法，故共有种分法.（3）名学生排好形成个空位（含两端），因此第一位校长有种选择；第一位校长选择后，此时已经有个人，形成了个空位（含两端），因此，第二位校长有种选择；同理，第三位校长有种选择；综上所述，总的排法有种.16.为数列的前项和.已知，.（1）证明是等比数列，并求数列的通项公式；（2）数列满足，求数列的前项和.答案：（1）证明见解析；（2）.解析：思路：（1）利用题中的递推公式构造出，从而可证求解.（2）利用错位相减法，即可求解.（1）证明：依题意，由两边同时加上，可得，因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，，则当时，，当时，也满足上式，所以数列的通项公式为.（2）由（1）可得，则，，两式相减，可得所以.17.已知函数．（1）若在时取极值，求的值和的极小值；（2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围．答案：（1），（2）解析：思路：（1）根据极值点可得，则，从而，利用导数求极小值；（2）解法1：根据题意，可得，则，令，利用单调性求最值；解法2：参变分离得，设，利用导数求其最小值，可得解；解法3：利用导数研究函数的单调性，从而得解；解法4：不等式转化为，设，利用导数求的最大值，从而得解.（1）由题意可知：，，因为，解得，则，，令，则，令，解得；令，解得；可知在上单调递减，在上单调递增，则的最小值为，且，当趋近于或时，趋近于，可知在定义域内有2个零点和1，当时，，当时，，可知在，内单调递增，在内单调递减，所以在处取极小值，极小值为．（2）解法1：由于不等式对任意恒成立，则，解得，下证：当时，，若，则，令，由（1）可知，在上单调递增，则，则，所以的取值范围为；解法2：令，则，设，，则，设，，则,可知在上单调递增，则，即，可知在上单调递增，则，可得，所以的取值范围为；解法3：因为，，则，设，，则，可知在上单调递增，即在上单调递增，则，且当趋近于时，趋近于，当，即时，则在内存在零点，若，则，可知在内单调递减，可得，不合题意；当，即时，则，可知在上单调递增，则，符合题意；综上所述：的取值范围为；解法4：因为，则，设，则，当，即时，则，可知在单调递减，则，解得；当，即时，令，解得；令，解得；可知在上单调递增，在上单调递减，则，令，下证：，设,，则，可知在上单调递增，则，即，可得，可知不等式恒成立；综上所述：的取值范围为.18.已知椭圆经过点，且椭圆的两个焦点坐标分别为、．（1）求出椭圆的标准方程；（2）若、是椭圆上异于的点，直线、以及轴围成一个以为顶点的等腰三角形．①求证：直线的斜率为定值；②求弦长的取值范围．答案：（1）（2）①证明见解析；②解析：思路：（1）由椭圆的定义可求得的值，结合的值可得出的值，即可得出椭圆的标准方程；（2）①由题可得，设点、，设直线的方程为，将该直线方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，根据结合韦达定理化简可得出的值；②求出的取值范围，结合弦长公式可求得