课件：第25章 一元二次方程 章末小结

第二十五章一元二次方程章末小结九年级(上册)人教版2026新版教材实际问题设未知数，列方程实际问题的答案一元二次方程ax2+bx+c=0

检验解方程降次配方法公式法因式分解法知识点1一元二次方程的有关概念一元二次方程定义：

如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程.一般形式：ax2+bx+c=0

(a≠0)，二次项：ax2，二次项系数：a.一次项：bx，一次项系数：b.常数项：c.知识点1一元二次方程的有关概念一元二次方程的解（根）：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值.若方程(m-1)x2-3x-2=0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（）A．m＞1 B．m≠1 C．m＞0 D．m≠0例1知识点1一元二次方程的有关概念B已知m为方程

x2+3x-2023=0

的根，那么m3+2m2-2

026m+2

023的值为（）A.-2

026 B.2

026

C.0 D.4

044例2解析：∵m为方程x2+3x-2023=0的根，∴m2+3m=2023,∴原式=m3+3m2-m2-3m-2023m+2023=m(m2+3m)-(m2+3m)-2023m+2023=2023m-2023-2023m+2023=0.C知识点1一元二次方程的有关概念知识点2解一元二次方程

配方法：把方程ax2+bx+c=0(a≠0)的左边配成一个含有未知数的完全平方式、右边是一个常数的形式，进而用直接开平方法求解，这种通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫作配方法.用配方法解一元二次方程的一般步骤一移（移项）：将常数项移到等号右边，含未知数的项移到等号左边；二化（二次项系数化为1）：左、右两边同时除以二次项系数；三配（配方）：左、右两边同时加上一次项系数一半的平方；四开（开平方）：利用平方根的意义直接开平方；五解（解两个一元一次方程）：移项、合并同类项.知识点2解一元二次方程

知识点2解一元二次方程1.一元二次方程的根的判别式内容定义式子b2−4ac可以判别一元二次方程的根的情况，因此把它叫作一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式.表示用“Δ”表示，即Δ=b2−4ac.与根的关系当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根.一元二次方程的根的判别式：知识点2解一元二次方程

知识点2解一元二次方程因式分解法：

先对方程ax2+bx+c=0

(a≠0)的左边分解因式，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫作

因式分解法.知识点2解一元二次方程用因式分解法解一元二次方程的步骤：(1)移项：将方程的右边化为0；(2)分解：将方程的左边分解为两个一次式的乘积；(3)转化：令每个一次式分别等于0，得到两个一元一次方程；(4)求解：解这两个一元一次方程，它们的解都是一元二次方程的解.知识点2解一元二次方程

知识点2解一元二次方程例3

知识点2解一元二次方程例3

知识点2解一元二次方程例3

知识点2解一元二次方程解一元二次方程的方法的选择技巧若一元二次方程可化为x²=p(p≥0)或(mx+n)²=p(p≥0)的形式，则宜选用直接开平方法；若一元二次方程的二次项系数为1，一次项系数为偶数且常数项较大时，则宜选用配方法；若一元二次方程整理后右边为0，且左边能进行因式分解，则宜选用因式分解法；若以上三种方法均不简便，则宜选用公式法.知识点2解一元二次方程例4已知关于x的方程x2+ax+a-2=0．

（1）若该方程有一个根为-2，求a的值；

（2）求证：方程总有两个不相等的实数根．解：（1）将x=-2代入方程x2+ax+a-2=0，得（-2）2+（-2）a+a-2=0，解得a=2.（2）证明：∵关于x的方程x2+ax+a-2=0，∴Δ=a2-4（a-2）=a2-4a+8=（a-2）2+4＞0，∴方程总有两个不相等的实数根．知识点2解一元二次方程例5

知识点2解一元二次方程知识点3实际问题与一元二次方程列方程解实际问题，指的是先把实际问题抽象为数学问题（即建立方程模型），然后通过解决数学问题来解决实际问题.一般步骤如下：步骤内容摘要①审审清题意，明确已知和未知，找到它们之间的等量关系.②设设未知数，方法有直接设元法、间接设元法和辅助设元法（引入辅助未知数，并在解题过程中消去）.③列用含有未知数的代数式表示有关的量，根据等量关系列出方程.④解根据方程的特点，选择适当解法求出未知数的值.⑤检检验未知数的值是否满足所列方程，检验该值在实际问题中是否有意义.⑥答写出实际问题的答案.例6张大叔准备靠着自家旧墙建一个矩形的养鸡场．如图，旧墙长为10米，靠墙的一面不用篱笆．张大叔使用的篱笆总长为25米，平行于墙的一面留有一扇1米宽的位置用来装门．已知矩形养鸡场的面积为80平方米，求矩形养鸡场的两邻边长．解：设AB（与墙垂直的边）长为x米，则AD长为（25-2x+1）米，由题意得，x（25-2x+1）=80.整理得，x2-13x+40=0，解得x1=5，x2=8.当x=5时，与墙平行的边长为25-2×5+1=16＞10，不符合题意，舍；当x=8时，与墙平行的边长为25-2×8+1=10，符合题意.答：矩形养鸡场与墙垂直的边长为8米，与墙平行的边长为10米．知识点3实际问题与一元二次方程例7根据以下素材，探索完成任务．背景徽州木雕是我国一种独特的民间艺术，经过选材、放样、打坯、精雕、打磨、上漆、抛光等多道工序制成，作品精巧典雅，气韵生动，表现出浓郁的徽州特色.素材某种木雕的制作成本为20元/件，某商店销售一段时间后发现，当该木雕售价为30元/件时，月销售量为500件.若在此基础上每件木雕的售价每上涨1元，则该木雕月销售量将减少10件，设该木雕的售价每件上涨x元.问题解决任务1（1）该木雕月销售量为_____________件；（用含x的代数式表示）任务2（2）该商店为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该木雕每件的售价需上涨多少元？知识点3实际问题与一元二次方程素材某种木雕的制作成本为20元/件，某商店销售一段时间后发现，当该木雕售价为30元/件时，月销售量为500件.若在此基础上每件木雕的售价每上涨1元，则该木雕月销售量将减少10件，设该木雕每件的售价上涨x元.问题解决任务1（1）该木雕月销售量为_____________件；（用含x的代数式表示）任务2（2）该商店为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该木雕每件的售价需上涨多少元？（500-10x）知识点3实际问题与一元二次方程解：(2)根据题意，得（30+x-20）（500-10x）=8000.整理得x2-40x+300=0，解得x1=10，x2=30.∵要尽可能让顾客得到实惠，∴x=10．答：该木雕每件的售价上涨10元．例8如图，在矩形ABCD中，AB=16cm，AD=6cm，动点P,Q分别从A,C两点同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动.（1）P，Q两点从出发开始，在几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm²？（2）P，Q两点从出发开始，在几秒时，点P和点Q之间的距离为10cm？高：BC=6cm上、下底：PB=(16-3t)cm,CQ=2tcm梯形PBCQ

面积为33cm2知识点3实际问题与一元二次方程例8如图，在矩形ABCD中，AB=16cm，AD=6cm，动点P,Q分别从A,C两点同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动.（1）P，Q两点从出发开始，在几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm²？

知识点3实际问题与一元二次方程例8如图，在矩形ABCD中，AB=16cm，AD=6cm，动点P,Q分别从A,C两点同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动.（2）P，Q两点从出发开始，在几秒时，点P和点Q之间的距离为10cm？用含t的式子表示QE的长在Rt△PEQ中利用勾股定理列方程过点P作PE⊥CD解方程讨论解的合理性分类讨论思想知识点3实际问题与一元二次方程E例8如图，在矩形ABCD中，AB=16cm，AD=6cm，动点P,Q分别从A,C两点同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动.（2）P，Q两点从出发开始，在几秒时，点P和点Q之间的距离为10cm？(2)设经过t

s时，点P和点Q之间的距离是10cm.依题意，得AP=3t

cm,CQ=2t

cm,DQ=(16-2t)cm.如图，过点P作PE⊥CD,垂足为E.当点P在点Q上方时，QE=DQ-AP=(16-5t)cm；当点P在点Q下方时，QE=AP-DQ=(5t-16)cm.