2026-2027学年数学浙教版八年级上册同步练习 2.6　直角三角形

2026-2027学年数学浙教版八年级上册同步练习第2章特殊三角形2.6直角三角形第1课时直角三角形的性质选择题每小题3分1.设直角三角形中一个锐角为x°(0＜x＜90)，另一个锐角为y°，则y与x的数量关系为()A.y=180＋x B.y=180－xC.y=90＋x D.y=90－x2.一技术人员用刻度尺(单位：cm)测量某三角形部件的尺寸。如图，已知∠ACB=90°，点A，D，B对应的刻度分别为1，4，7，则CD的长为()A.3cm B.3.5cm C.4.5cm D.6cm3.如图，一根木棍(AB)斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上，当木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行时，AB的中点P到点O的距离()A.变大 B.变小C.先变小后变大 D.不变4.如图，在Rt△ABC中，D是AC的中点，∠BDC=60°，AC=6，则BC的长是()A.3 B.6 C.8 D.95.(3分)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D为AC的中点。若∠C=55°，则∠ABD的度数为°。

6.(3分)若直角三角形斜边上的高线长与中线长分别为5和6，则它的面积为。

7.(3分)某房梁如图所示，D，E，F分别是BC，AB，AC的中点。若AB=AC=8m，则DE的长为m。

8.(3分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，DE⊥AC于点E。若∠A=30°，DE=4cm，则AB=cm，CD=cm。

9.(8分)求证：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。已知：如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°。求证：BC=12AB(1)(5分)请用两种方法完成证明。(2)(3分)这个命题的逆命题是命题(填“真”或“假”)。

10.如图，在△ABC中，若AB=AC=4，∠BAC=150°，则S△ABC的值为()A.2 B.3 C.4 D.611.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F。若BF=5，则FC的长为()A.5 B.7 C.10 D.1212.(3分)如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，BC=6，线段DE的两个端点D，E分别在边AC，BC上滑动，且DE=4。若M，N分别是DE，AB的中点，则MN的最小值为。

13.(8分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，DE⊥AB于点D，交AC于点E。求证：∠AED=∠DCB。14.(8分)如图，Rt△ABD和Rt△BCD分别位于BD异侧，∠DAB=∠BCD=90°，O是BD的中点，连结AC，AO，OC。(1)(4分)若∠ADB=30°，∠BDC=40°，求∠AOC的度数。(2)(4分)若锐角∠ADC=α，求∠AOC的度数(用α的代数式表示)。15.(10分)[推理能力]如图，在△ABC中，D是边BC的中点，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别是E，F，连结DE，DF。(1)(5分)求证：DE=DF。(2)(5分)若∠A=75°，BC=8，连结EF，求△DEF的面积。第15题图 第2课时直角三角形的判定分值：71分选择题每小题3分1.在具备下列条件的△ABC中，不属于直角三角形的是()A.∠A＋∠B=∠CB.∠A－∠B=∠CC.∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3D.∠A=∠B=2∠C2.下列说法错误的是()A.三角形的三条高线都在三角形内部B.三角形的三条角平分线都在三角形内部C.三角形的重心是三角形三条中线的交点D.有两个角互余的三角形是直角三角形3.如图，在四边形ABCD中，AB∥DC。若∠BAD的平分线与∠CDA的平分线相交于点E，则△AED的形状一定为()A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.等腰三角形4.如图，在△ABC中，AB=AC=6，AD是角平分线，BE是中线，则DE的长为()A.3 B.4 C.5 D.65.(3分)如图，在△ABC中，CD是AB边上的高线。若∠DCB=∠A，则∠BCA=°。

6.(3分)在△ABC中，若∠A=∠B=12∠C，则此三角形是7.(8分)如图，CE⊥AD，垂足为E，∠A=∠C。求证：△ABD是直角三角形。8.(8分)如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AD⊥BC于点D，E是AD上的一点，且DE=DC。(1)(4分)求证：BE=AC。(2)(4分)判断BE与AC的位置关系，并说明理由。9.(8分)我们知道定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。请思考：上述定理的逆命题成立吗？若成立，写出其逆命题，画出图形，并证明；若不成立，试说明理由。(1)(3分)逆命题是：。

(2)(5分)已知：。

求证：。

证明：10.(3分)如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，AD=AB，E，F分别是BD，AC的中点。若AC=8，则EF的长为。

11.(8分)已知：如图，BD⊥AC，垂足为E，△ABE的中线EF的反向延长线交CD于点G，∠B=∠C。(1)(4分)求证：EG是△CDE的高线。(2)(4分)若EG是△CDE的中线，判断△ABE的形状，并说明理由。12.(8分)如图，△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°。求证：(1)(4分)AE=BD。(2)(4分)AE⊥BD。13.(10分)[模型观念]如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4cm。动点P，Q分别从A，B两点同时出发，各在AB，BC边上匀速移动，它们的速度分别为vP=2cm/s，vQ=1cm/s。当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设点P运动的时间为t(s)。(1)(5分)当t为何值时，△PBQ是等边三角形？(2)(5分)当t为何值时，△PBQ是直角三角形？答案解析选择题每小题3分1.设直角三角形中一个锐角为x°(0＜x＜90)，另一个锐角为y°，则y与x的数量关系为(D)A.y=180＋x B.y=180－xC.y=90＋x D.y=90－x2.一技术人员用刻度尺(单位：cm)测量某三角形部件的尺寸。如图，已知∠ACB=90°，点A，D，B对应的刻度分别为1，4，7，则CD的长为(A)A.3cm B.3.5cm C.4.5cm D.6cm3.如图，一根木棍(AB)斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上，当木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行时，AB的中点P到点O的距离(D)A.变大 B.变小C.先变小后变大 D.不变4.如图，在Rt△ABC中，D是AC的中点，∠BDC=60°，AC=6，则BC的长是(A)A.3 B.6 C.8 D.9【解析】∵D是Rt△ABC斜边AC的中点，AC=6，∴BD=CD=AD=12AC=3又∵∠BDC=60°，∴△BCD为等边三角形，∴BC=BD=3。5.(3分)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D为AC的中点。若∠C=55°，则∠ABD的度数为35°。

【解析】∵∠ABC=90°，D为AC的中点，C=55°，∴BD=12AC=AD，∠A=90°－∠C=35°∴∠ABD=∠A=35°。6.(3分)若直角三角形斜边上的高线长与中线长分别为5和6，则它的面积为30。

7.(3分)某房梁如图所示，D，E，F分别是BC，AB，AC的中点。若AB=AC=8m，则DE的长为4m。

8.(3分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，DE⊥AC于点E。若∠A=30°，DE=4cm，则AB=16cm，CD=8cm。

【解析】∵DE⊥AC，∠A=30°，DE=4cm，∴AD=2DE=8cm。又∵D为AB的中点，∴AB=2AD=16cm。又∵∠ACB=90°，∴CD=12AB=8cm9.(8分)求证：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。已知：如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°。求证：BC=12AB(1)(5分)请用两种方法完成证明。(2)(3分)这个命题的逆命题是真命题(填“真”或“假”)。

证明：(1)方法一：如答图1，延长BC至点D，使CD=BC，连结AD，则易知∠BCA=∠ACD=90°。又∵BC=CD，∴AB=AD，∴∠DAC=∠BAC=30°，∴∠BAD=60°，∴△ABD为等边三角形，∴AB=BD，∴BC=CD=12BD=12图1图2第9题答图方法二：如答图2，取AB的中点D，连结DC，则CD=12AB=AD=DB∴∠DCA=∠A=30°，∴∠BDC=∠DCA＋∠A=60°，∴△DBC为等边三角形，∴BC=DB=12AB10.如图，在△ABC中，若AB=AC=4，∠BAC=150°，则S△ABC的值为(C)A.2 B.3 C.4 D.6【解析】如答图，过点C作CD⊥BA，交BA的延长线于点D。第10题答图∵在Rt△ACD中，∠CAD=180°－∠BAC=30°，AB=AC=4，∴CD=12AC=2∴S△ABC=12AB·CD=1211.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F。若BF=5，则FC的长为(C)A.5 B.7 C.10 D.12【解析】如答图，连结AF。第11题答图∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°。∵EF为AB的垂直平分线，∴AF=BF=5，∴∠BAF=∠B=30°，∴∠CAF=∠BAC－∠BAF=90°。又∵∠C=30°，∴FC=2AF=10。12.(3分)如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，BC=6，线段DE的两个端点D，E分别在边AC，BC上滑动，且DE=4。若M，N分别是DE，AB的中点，则MN的最小值为3。

【解析】如答图，连结CM，CN。第12题答图在△ABC中，∠ACB=90°，M，N分别是DE，AB的中点，∴CN=12AB=5，CM=12DE当点C，M，N在同一条直线上时，MN取最小值，∴MN的最小值为5－2=3。13.(8分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，DE⊥AB于点D，交AC于点E。求证：∠AED=∠DCB。证明：∵∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，∴CD=AD=DB，∠A＋∠B=90°，∴∠B=∠DCB。∵DE⊥AB，∴∠A＋∠AED=90°，∴∠B=∠AED，∴∠AED=∠DCB。14.(8分)如图，Rt△ABD和Rt△BCD分别位于BD异侧，∠DAB=∠BCD=90°，O是BD的中点，连结AC，AO，OC。(1)(4分)若∠ADB=30°，∠BDC=40°，求∠AOC的度数。(2)(4分)若锐角∠ADC=α，求∠AOC的度数(用α的代数式表示)。解：(1)∵∠DAB=∠BCD=90°，O是BD的中点，∴OA=OD=12BD，OC=OD=12∴∠ADB=∠OAD=30°，∠BDC=∠OCD=40°，∴∠AOB=∠ADB＋∠DAO=60°，∠BOC=∠CDB＋∠OCD=80°，∴∠AOC=∠AOB＋∠BOC=140°。(2)同(1)可知，∠ADB=∠OAD，∠BDC=∠OCD，而∠AOB=∠ADB＋∠DAO=2∠ADB，∠BOC=∠CDB＋∠OCD=2∠CDB，∴∠AOC=∠AOB＋∠BOC=2∠ADB＋2∠CDB=2∠ADC=2α。15.(10分)[推理能力]如图，在△ABC中，D是边BC的中点，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别是E，F，连结DE，DF。(1)(5分)求证：DE=DF。(2)(5分)若∠A=75°，BC=8，连结EF，求△DEF的面积。第15题图 第15题答图解：(1)∵BE⊥AC，CF⊥AB，D是BC的中点，∴DE=12BC，DF=12∴DE=DF。(2)如答图，过点E作EG⊥DF于点G。∵∠A=75°，∴∠ABC＋∠ACB=105°。易知BD=DF=12BC∴∠DBF=∠BFD，∴∠BDF=180°－2∠DBF。同理∠EDC=180°－2∠BCA，∴∠FDB＋∠EDC=180°－2∠ABC＋180°－2∠BCA=360°－2×105°=150°，∴∠EDF=180°－150°=30°。∵BC=8，∴DE=4=DF。又∵∠EGD=90°，∴EG=12DE=2∴S△DEF=12DF·EG=12

第2课时直角三角形的判定分值：71分选择题每小题3分1.在具备下列条件的△ABC中，不属于直角三角形的是(D)A.∠A＋∠B=∠CB.∠A－∠B=∠CC.∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3D.∠A=∠B=2∠C2.下列说法错误的是(A)A.三角形的三条高线都在三角形内部B.三角形的三条角平分线都在三角形内部C.三角形的重心是三角形三条中线的交点D.有两个角互余的三角形是直角三角形3.如图，在四边形ABCD中，AB∥DC。若∠BAD的平分线与∠CDA的平分线相交于点E，则△AED的形状一定为(B)A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.等腰三角形4.如图，在△ABC中，AB=AC=6，AD是角平分线，BE是中线，则DE的长为(A)A.3 B.4 C.5 D.65.(3分)如图，在△ABC中，CD是AB边上的高线。若∠DCB=∠A，则∠BCA=90°。

6.(3分)在△ABC中，若∠A=∠B=12∠C，则此三角形是等腰直角【解析】∵∠A=∠B=12∠C，∠A＋∠B＋∠C=180°∴12∠C＋12∠C＋∠C∴∠C=90°，∴∠A=∠B=12×90°=45°∴△ABC是等腰直角三角形。7.(8分)如图，CE⊥AD，垂足为E，∠A=∠C。求证：△ABD是直角三角形。证明：∵CE⊥AD，∴∠C＋∠D=90°。又∵∠A=∠C，∴∠A＋∠D=90°，∴△ABD是直角三角形。8.(8分)如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AD⊥BC于点D，E是AD上的一点，且DE=DC。(1)(4分)求证：BE=AC。(2)(4分)判断BE与AC的位置关系，并说明理由。解：(1)∵AD⊥BC，∴∠ADC=∠BDE=90°。又∵∠ABC=45°，∴△ABD为等腰直角三角形，∴AD=BD。又∵DE=DC，∴.△ADC≌△BDE(SAS)，∴BE=AC。(2)BE⊥AC。理由如下：如答图，延长BE，交AC于点F。第8题答图由(1)得，△ADC≌△BDE，∴∠DBE=∠DAC。又∵∠DAC＋∠C=90°，∴∠DBE＋∠C=90°，∴∠BFC=180°－(∠DBE＋∠C)=90°，∴BE⊥AC。9.(8分)我们知道定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。请思考：上述定理的逆命题成立吗？若成立，写出其逆命题，画出图形，并证明；若不成立，试说明理由。(1)(3分)逆命题是：如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

(2)(5分)已知：)在△ABC中，CD是AB边的中线，且CD=12AB求证：△ABC是直角三角形。

证明：证明：(2)如答图。第9题答图∵CD是AB边的中线，∴BD=AD=12AB又∵CD=12AB∴BD=AD=CD，∴∠DCB=∠B，∠DCA=∠A。∵∠A＋∠B＋∠ACB=180°，∴∠A＋∠B＋∠DCB＋∠DCA=180°，∴2(∠DCB＋∠DCA)=180°，∴∠DCB＋∠DCA=90°，∴∠ACB=90°，∴△ABC是直角三角形。

10.(3分)如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，AD=AB，E，F分别是BD，AC的中点。若AC=8，则EF的长为4。

【解析】如答图，连结AE。第10题答图∵AB=AD，E是BD的中点，∴AE⊥BD，∴△AEC是直角三角形。又∵F是AC的中点，AC=8，∴EF=12AC=411.(8分)已知：如图，BD⊥AC，垂足为E，△ABE的中线EF的反向延长线交CD于点G，∠B=∠C。(1)(4分)求证：EG是△CDE的高线。(2)(4分)若EG是△CDE的中线，判断△ABE的形状，并说明理由。解：(1)∵BD⊥AC，EF是△ABE的中线，∴EF=BF=12AB∴∠B=∠BEF。又∵∠B=∠C，∴∠C=∠BEF。又∵∠AEF=∠CEG，∠BEF＋∠AEF=90°，∴∠C＋∠CEG=90°，∴∠EGC=90°，∴EG是△CDE的高线。(2)△ABE是等腰直角三角形。理由如下：∵EG是△CDE的中线，EG⊥CD，∴EG是CD的垂直平分线，∴DE=CE，∴△DEC是等腰直角三角形，∴∠