问题解决的策略：反思-北师大版数学八上同步分层训练

问题解决的策略：反思-北师大版数学八上同步分层训练一、基础训练1．如图是一个棱长为6的正方体木箱，点Q在上底面的棱上，AQ＝2，一只蚂蚁从P点出发沿木箱表面爬行到点Q，则蚂蚁爬行的最短路程是（）A．6 B．8 C．10 D．122．如图，圆柱的高为8cm，底面半径为6πcm，一只蚂蚁从点A沿圆柱外壁爬到点BA．6cm B．8cm C．10cm D．12cm3．临汾是帝尧之都，有着尧都之称．尧都华表柱身祥云腾龙，顶蹲冲天吼，底座浮雕长城和黄河壶口瀑布，是中华民族历史悠久、文化灿烂的标志．如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为AC的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（）A．20米 B．25米 C．30米 D．15米4．如图，一只电子蚂蚁从正方体的顶点A处沿着表面爬到顶点C处，电子蚂蚁的部分爬行路线在平面展开图中的表示如图的虚线，其中能说明爬行路线最短的是（）A． B．C． D．5．如图，已知一个长方体的底面边长分别为6cm和6cm，高为7cm．若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，则这只蚂蚁爬行的最短路程为cm．6．如图，无盖长方体盒子的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，若BC=5cm，一只蚂蚁沿着盒子的表面从A点爬到B点，需要爬行的最短路程为cm．7．如图是一个棱长为6cm的正方体的有盖纸盒，一只蚂蚁想从盒底的A点爬到盒顶的B点，其中BC＝2cm，那么蚂蚁爬行的最短行程是多少？8．如图，圆柱的底面周长是24cm，高是5cm，一只蚂蚁在A点想吃到B点的食物，需要爬行的最短路径是cm．二、巩固提升9．如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为40πA．25 B．24 C．26 D．8π10．如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，准备采用如下方法：先测量门的边AB和BC的长，再测量点A和点C之间的距离，由此可推断出∠BA．勾股定理 B．勾股定理的逆定理C．三角形内角和定理 D．直角三角形的两锐角互余11．如图，三级台阶的每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、2dm．点A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（）dm．A．12 B．10 C．17 D．2512．如图，一个无盖长方体形盒子的长、宽、高分别为8cm，8cm，12cm，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的外表面爬到盒顶的点B，蚂蚁爬行的最短路程是cm．13．如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为cm．14．如图所示，长方体的高为3cm，底面是正方形，边长为2cm，现使一绳子从点A出发，沿长方体表面到达C处，则绳子最短是cm．15．如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为cm．16．为了响应国家生态文明建设的号召，提升居民生活品质，营造更加宜居和谐的居住环境，幸福家园小区全面启动了绿化升级工程，以“生态、美观、实用”为原则，科学规划，精心布局，打造多功能的绿色空间.社区在住宅楼和临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）.如图，已知AB=9m，BC=12m，CD=17m，AD=8m，技术人员通过测量确定了∠ABC=90°.（1）小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？（2）这片绿地的面积是多少？三、能力应用17．【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20dm，3dm，2dm，A和B是一个三级台阶上两个相对的端点.【探究实践】老师让同学们探究：如图(1)，若A点处有一只蚂蚁要到B点去吃食物，则蚂蚁沿着台阶爬到B点的最短路程是多少?（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图(2)为三级台阶的平面展开图，可得到长为20dm，宽为15dm的长方形，连接AB，经过计算得到AB的长度为，就是最短路程.（2）【变式探究】如图(3)，已知圆柱底面的周长为6dm，圆柱高为4dm，在圆柱的侧面有一只蚂蚁，从点A爬到点C，再从点C爬回点A，恰好爬行一圈，则这只蚂蚁爬行的最短路程为.（3）【拓展应用】如图(4)，圆柱形玻璃杯的高为9cm，底面周长为16cm，在杯内壁离杯底4cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁离杯口1cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是多少?(杯壁厚度不计)答案解析部分1．【答案】C【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题【解析】【解答】解：正方体的部分展开图如图所示，连接PQ，即PQ的长度即为蚂蚁爬行的最短路程

由题意可得：PB=AB=6，AQ=2

∴BQ=6+2=8

∴PQ=P故答案为：C【分析】根据正方体展开图的特征，结合勾股定理即可求出答案.2．【答案】C【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题【解析】【解答】解：底面圆周长为2π·6展开图如图所示，连接AB，

∵BC=8cm，AC=6cm，∴AB=故选C．【分析】将圆柱侧面展开，再根据勾股定理即可求出答案.3．【答案】A【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题【解析】【解答】解：根据题意和柱体的展开性质，可得如下图：其中点E、F分别是AD和BC的中点，展开图四边形ABCD是矩形，AB=6米；

∵点E是AB的中点，

∴AE=12AD=12×16=8米，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A=90°，

∴在∆ABE中，BE=AB2+AE2=62故选：A．

【分析】根据柱体的性质将其侧面展开，可得矩形ABCD；根据线段中点的性质，可得AE的长度；根据勾股定理，可得BE的长度；根据两点之间线段最短即可直接计算.4．【答案】A【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题【解析】【解答】解：一只蚂蚁要从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点C，则沿线段AC爬行，就可以使爬行路线最短，是根据两点之间，线段最短．故答案为：A．

【分析】先将正方体展成平面图形，确定平面图形中A、C的位置，连接AC，则AC的长即为爬行路线最短.5．【答案】25【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题【解析】【解答】解：如图所示，将长方体的侧面展开在同一平面内，由题意，得PA=6+6+6+6=24cm，QA=7cm在Rt△PQA中，由勾股定理得：PQ解得：PQ=25（负值已舍去）故答案为：25【分析】根据勾股定理即可求出答案.6．【答案】25【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题【解析】【解答】解：如图，∵长方体盒子的宽为10cm，高为20cm，∴AB=20故答案为：25．

【分析】将长方体盒子沿过点A的高展开，连接AB，可得线段AB的长度就是蚂蚁爬行的最短距离，然后根据勾股定理计算即可.7．【答案】解：如图所示．∵BC＝2cm，棱长为6cm，∴AD＝6+2＝8（cm），BD＝6cm由勾股定理得，AB＝BD答：蚂蚁爬行的最短行程是10cm．【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题【解析】【分析】根据正方体侧面展开图特征，结合勾股定理即可求出答案.8．【答案】13【知识点】几何体的展开图；两点之间线段最短；勾股定理的实际应用-最短路径问题【解析】【解答】解：如图，作出圆柱的侧面展开图，连接AB、BC，其中BC⊥AC，由题意可知：AC=12×24=12cm∴需要爬行的最短路径是AB，∴由勾股定理得AB=A故答案为：13．【分析】连接AB、BC，其中BC⊥AC，再根据勾股定理即可求出答案.9．【答案】A【知识点】勾股定理逆定理的实际应用【解析】【解答】解：根据下面的展开图可得AD=12×π×40π在Rt△ADE中，AD∴20解得AE=25（负值舍去），∴他滑行的最短距离约为25m．故答案为：A【分析】根据展开图得到AD=12×π×40π10．【答案】B【知识点】勾股定理逆定理的实际应用【解析】【解答】解：先测量门的边AB和BC的长，再测量点A和点C间的距离，用勾股定理的逆定理判断：若满足AB2+BC2=AC2，则可判断△ABC是直角三角形，即∠B为直角；若AB2+BC2≠AC2，则∠B不是直角.故答案为：B.

【分析】根据勾股定理的逆定理，如果AB2+BC2=AC2，则可判断△ABC是直角三角形，由此可推断∠B是否为直角.11．【答案】C【知识点】两点之间线段最短；勾股定理的实际应用-最短路径问题【解析】【解答】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为8dm，宽为2+3则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm由勾股定理得：x2解得x=17．故选C．【分析】三级台阶平面展开图为长方形，长为8dm，宽为2+312．【答案】20【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题【解析】【解答】解：蚂蚁从A点爬到B点的最短路径，需将长方体的侧面展开为平面图形，利用勾股定理计算，分两种展开方式：①将长方体的前侧面与右侧面展开，此时形成的直角三角形两直角边分别为：高12cm，底面长与宽的和8+8=16cm，根据勾股定理，路径长AB=1②将长方体的前侧面与上侧面展开，此时形成的直角三角形两直角边分别为：宽8cm，长与高的和8+12=20cm，根据勾股定理，路径长AB=8∵20<429∴最短行程为20cm，故答案为：20【分析】本题考查立体图形表面最短路径问题，核心是将立体图形展开为平面图形，利用勾股定理求解。解题时需考虑蚂蚁爬行的不同路径对应的展开方式，长方体从A到B的最短路径主要有两种展开情况：一是展开前侧与右侧，二是展开前侧与上侧；分别计算两种展开方式下直角三角形的斜边长（即路径长），再比较两个斜边长的大小，较小的即为最短行程。13．【答案】15【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题【解析】【解答】解：沿过A的圆柱的高剪开，得出矩形EFGH，过C作CQ⊥EF于Q，作A关于EH的对称点A'，连接A'C交EH于P则AP+PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，∵AE=A'E∴AP+PC=A∵CQ=12×18cm=9cm在Rt△A'QC中，由勾股定理得：故答案为：15．【分析】沿过A的圆柱的高剪开，得出矩形EFGH，过C作CQ⊥EF于Q，作A关于EH的对称点A'，连接A'C交EH于P，连接AP14．【答案】5【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题【解析】【解答】解：如图，将长方体右边的表面翻折90°得长方形，连接AC，则AC的长即为绳子最短距离，

∴AC=32+42=5cm，即绳子最短是5cm.

15．【答案】15【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题【解析】【解答】解：沿过A的圆柱的高剪开，得出矩形EFGH，

过C作CQ⊥EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，则AP+PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，

∵AE=A′E，A′P=AP，

∴AP+PC=A′P+PC=A′C，

∵CQ=12×18=9（cm），A′Q=12-4+4=12（cm），

在Rt△A′QC中，由勾股定理得：A'C=122+16．【答案】（1）解：如图，连接AC，∵∠ABC=90°，AB=9m，BC=12m，∴AC=A∴AB+BC-AC=9+12-15=6（m），答：居民从点A到点C将少走6m路程；（2）解：∵CD=17m，AD=8m，AD2+AC2=DC2∴△ADC是直角三角形，∠DAC=90°，∴S△DAC=1S△ACB=1∴S四边形ABCD=60+54=114（m2），答：这片绿地的面积是114m2.【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题；勾股定理逆定理的实际应用【解析】【分析】（1）连接AC，由勾股定理求出AC的长，进而即可得出答案；

（2）由勾股定理的逆定理得△ADC是直角三角形，∠DAC=90°，然后由三角形的面积公式即可得出答案.17．【答案】（1）25dm（2）10dm（3）解：玻璃杯一半的侧面展开示意图如图(2)，作B关于EF的对称点B'，作B'D⊥AE，交AE延长线于点D，连接AB'，则AB'的长为最短路程.由题意得DE=FB'=BF=1cm，AE=9-4=5(cm)，所以AD=AE+DE=6