2025-2026学年辽宁省沈阳市第四十中学高一（下）期末数学试卷(含简略答案)

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年辽宁省沈阳市第四十中学高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数z=2+4i1−i(i为虚数单位)的共轭复数等于A.1+3i B.1−3i C.−1+3i D.−1−3i2.已知cos(3π2+x)⋅sinA.−52 B.52 3.已知a=sin13，b=cos13，c=A.a<c<d<b B.b<a<c<d C.c<d<b<a D.d<a<b<c4.上海某会议中心是一个外形为圆锥体的建筑，其造型被赋予了“精益求精、追求卓越”的象征意义.已知一个该建筑物模型的底面半径为3cm，侧面积为15πcm2，则该圆锥形模型的内切球的半径为(

)A.32cm B.39113cm5.数学中处处存在着美，莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法如下：先画等边三角形ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形(如图所示).若莱洛三角形的周长为π2，则其面积是(

)A.π−24

B.π+386.在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，则AE⋅EC=A.1225

B.2425

C.125

7.如图，四棱锥P−ABCD的底面为矩形，PD⊥底面ABCD，AD=1，PD=AB=2，点E是PB的中点，过A，D，E三点的平面α与平面PBC的交线为l，则下列结论中正确的有(

)

(1)l//平面PAD；

(2)AE//平面PCD；

(3)直线PA与l所成角的余弦值为55；

(4)平面α截四棱锥P−ABCD所得的上、下两部分几何体的体积之比为35．A.1个

B.2个

C.3个

D.4个8.△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，bcosC+ccosB=2，A=π3，则下列说法中错误的是(

)A.a=2 B.△ABC的外接圆半径为433

C.△ABC面积的最大值为3 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.若平面向量a，b满足|a|=|b|=|A.|a+b|=23

B.向量b与a−b的夹角为π3

C.向量a+b在b上的投影向量为10.设函数g(x)=sinωx(ω>0)向左平移π5ω个单位长度得到函数f(x)，已知f(x)在[0,2π]上有且只有5个零点，则下列结论正确的是(

)A.f(x)的图象关于直线x=π2对称

B.在(0,2π)上，方程f(x)=1的根有3个，方程f(x)=−1的根有2个

C.f(x)在(0,π10)上单调递增11.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点A.三棱锥A−D1PC的体积不变

B.直线CP与直线AD1的所成角的取值范围为[π4,π2]

C.直线三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知复数z满足z2=(z−)2，且|z|≤3，则|z−4−2i|13.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若满足(1−tanA)(1−tanB)=2和c=42的三角形有且仅有两个，则边b的取值范围是

．14.已知△ABC中，AB=3AC，AD是∠BAC的角平分线，则BDCD=______，若AD=mAB，则m的取值范围是______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足cosAsinB=a3b．

(1)求角A的大小；

(2)若△ABC16.(本小题15分)

在如图所示的圆柱O1O2中，AB为圆O1的直径，C，D是AB的两个三等分点，EA，FC，GB都是圆柱O1O2的母线．

(1)求证：FO1//平面ADE；

(2)设BC=1，已知直线17.(本小题15分)

设向量a=(sinx,cos(x+π4)),b=(cosx,−cos(x+π4))，x∈R．

(1)若a18.(本小题17分)

已知四面体A−BCD中，△ABC和△ABD都是边长为4的正三角形，CD=23，点O为AB中点，连接CO、DO．

(1)求证：平面COD⊥平面ABD；

(2)求直线AC与平面BCD所成角的正弦值；

(3)过点C作平面α平行于直线AB，平面α与四面体A−BCD的棱AD、BD分别交于点M、N，求四面体C−MON19.(本小题17分)

十字测天仪广泛应用于欧洲中世纪晚期的航海领域，主要用于测量太阳等星体的方位，便于船员确定位置.如图1所示，十字测天仪由杆AB和横档CD构成，并且E是CD的中点，横档与杆垂直并且可在杆上滑动.十字测天仪的使用方法如下：如图2，手持十字测天仪，使得眼睛可以从A点观察.滑动横档CD使得A，C在同一水平面上，并且眼睛恰好能观察到太阳，此时视线恰好经过点D，DE的影子恰好是AE.然后，通过测量AE的长度，可计算出视线和水平面的夹角∠CAD(称为太阳高度角)，最后通过查阅地图来确定船员所在的位置．

(1)在某次测量中，AE=40，横档的长度为20，求太阳高度角的正弦值．

(2)在杆AB上有两点A1，A2满足AA1=12AA2.当横档CD的中点E位于Ai时，记太阳高度角为αi1.【答案】D

2.【答案】B

3.【答案】A

4.【答案】A

5.【答案】C

6.【答案】D

7.【答案】C

8.【答案】B

9.【答案】AD

10.【答案】CD

11.【答案】ABD

12.【答案】513.【答案】(414.【答案】3

(0,115.【答案】π3

(−1,1)16.【答案】(1)证明：连接O1C，O1D，

因为C，D是半圆弧AB的两个三等分点，所以∠AO1D=∠DO1C=∠CO1B=60°，

又O1A=O1B=O1C=O1D，所以△AO1D，△CO1D，△BO1C均为等边三角形，

所以O1A=AD=DC=CO1，所以四边形ADCO1是平行四边形．

所以CO1//AD．

因为EA，FC都是圆柱O1O2的母线，所以EA/​/FC．

又因为CO1、FC⊂平面FCO1，CO1∩FC=C，AD、EA⊂平面ADE，AD∩EA=A，

所以平面FCO1//平面ADE，

又FO1⊂平面FCO1，所以FO1//平面ADE．

(2)解：连接AC，

因为FC是圆柱O1O2的母线，所以FC⊥平面ACB，所以∠FAC为直线AF与平面ACB所成的角，即∠FAC=30°．

因为AB为圆O1的直径，所以∠ACB=90°，

在Rt△ABC中，∠ABC=60°，BC=1，所以AC=BC⋅tan60°=3，

所以在Rt△FAC中，FC=AC⋅tan30°=1．

因为AC⊥BC，AC⊥FC，BC∩FC=C，BC、FC⊂平面FBC，所以AC⊥17.【答案】74

单调递增区间：{x|−3π18.【答案】因为△ABC和△ABD都是边长为4的正三角形，且点O为AB中点，

所以AB⊥OD，AB⊥OC，且OD=OC=23，

又OC∩OD=O，OC，OD⊂平面COD，

所以AB⊥平面COD，

而AB⊂平面ABD，

所以平面COD⊥平面ABD

319.【答案】解：(1)方法一：

由题意，CD=20.由于E是CD的中点，且AE⊥CD，所以CE=10，

且AD=AC=AE2+CE2=1017．

由余弦定理，可得cos∠CAD=AD2+AC2−CD22