2026暑假新高三数学暑假精讲精练专题13三角恒等变换（学生版）

高二数学暑假作业精讲精练（新人教A版2019）

专题13三角恒等变换

基础知识复习

1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式

cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ(C(α－β))

cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ(C(α＋β))

sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ(S(α－β))

sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ(S(α＋β))

tanα－tanβ

tan(α－β)＝(T(α－β))

1＋tanαtanβ

tanα＋tanβ

tan(α＋β)＝(T(α＋β))

1－tanαtanβ

2．二倍角公式

sin2α＝2sinαcosα；

cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；

2tanα

tan2α＝.

1－tan2α

【知识拓展】

1＋cos2α1－cos2α

1．降幂公式：cos2α＝，sin2α＝.

22

2．升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α.

ba

3．辅助角公式：asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)，其中sinφ＝，cosφ＝.

a2＋b2a2＋b2

典型习题强化

1．已知函数的最大值为2，若方程在区间内有三个实数根

13π

，且��=sin�，+则�cos��>0等于（）��=�0,6

123123123

A�．,�,��<�<B�．�+2�+�C．D．

8π10π25�

334π6

2．已知函数（），对任意的实数a，在（a，）上的值域是[，1]，则

4��4��1

整数的最小�值�是=（sin）2+cos2�>0���+32

A．1�B．2C．3D．4

3．已知a，β都是锐角，且，则（）

�1�5

cos�+3=3,sin�−3=−5cos�+�=

A．B．

25−21025+210

1515

C．D．

215−210215+210

1515

4．已知，则a，b，c的大小关系是（）

11−3tan15°

2

A．�=ln2,�=2,�=1−tan15°B．

C．�>�>�D．�>�>�

5．已�>知�，>�都是锐角，且，�>�>�，则（）

�10�5

��cos�+3=10sin�−6=5cos�−�=

A．B．C．D．

227272

−22−1010

6．已知，则（）

∘1+tan�+tan�−tan�tan�

�+�=151−tan�−tan�−tan�tan�=

A．B．C．D．

33

7．已−知3为角终边上一点3，关于的函数1有3对称轴，则（）

A．(1,2)�B．2��(�C)．=cos2�cos�−sin2�Ds．in��=�tan2�=

11

22

8．若−2角的终边经过点，且−，则实数的值为（）

A．�B�．sin70°,cos70°Cta．n�+tan2�+�tan�D⋅t．an2�=3�

33

−3−333

9．已知函数，将函数的图象先向右平移个单位长度，再向下平移1个单

22ππ

位长度得到函�数�=c的os图�象+，si则n函�数−2图象的对�称�轴方程为（）12

A．����B．

ππ

�=�π+12�∈Z�=�π−6�∈Z

C．D．

�ππ�ππ

212212

10．�下=列化−简结�果∈正Z确的个数为（）�=+�∈Z

①②

∘∘

1tan24+tan36

∘∘∘∘∘∘

cos22sin52−sin22cos52=21−tan24tan36=3

③④

∘∘2∘∘∘1

4

A．co1s1个5−sin15=2B．2个siCn1．53s个in30sin75=D．4个

11．已知，，则（）

tan��

�∈�,2�sin�=2=tan2

A．B．C．D．

11

27

12．t下an列�=等式3成立的是（co）s�=tan�=43cos�=

A．B．

2

1−tan22.5°21

2

8

C．1+tan22.5°=2D．cos20°cos40°cos60°cos80°=

13．t已an知22函°+数tan23°+tan22°tan23°，=则1下列说法正sin确40的°是ta（n10°−）3=−2

A．是的�周�期=sin�+cos�

�

2��

B．的最小值为

2

��2

C．

�

�3−�=��

D．在上有解

5�

��=2−12,0

14．若，则___________.

cos2�

cos�+sin�=cos�+�tan2�=

15．已知，为锐角，，，则______.

45

��sin�=5cos�+�=−5cos2�=

16．已知函数给出下列四个结论：

ππ

�(�)=sin(4+�)sin(4−�)

①f(x)的值域是；

②f(x)在上[单−调1,递1]减：

π

[0,2]

③f(x)是周期为的周期函数

④将f(x)的图象π向左平移个单位长度后，可得一个奇函数的图象

π

2

其中所有正确结论的序号是___________．

17．设函数.

π23

(1)求函数�(�的)周=期sin及�⋅sin图2象+的�对+称轴3c；os�−2

(2)在锐角�(�)中，若�(�)，且能盖住的最小圆的面积为，求的取值范围.

18．已知：△函𝐴数��(�)=0△．𝐴�π𝐴+��

(1)求的最小�正�周期=；2sin�cos�+3cos2�

(2)求��的单调递减区间；

(3)若函��数在上有两个不同的零点，写出实数k的取值范围．（只写结论）

π

4

19．已知向�量�=��−�，0,．

(1)若，求�=sin的�值,；3�=(1,cos�)

(2)令�⊥�si，n2把�函数的图像上每一点的横坐标都缩短为原来的一半（纵坐标不变），再把所得的图

�(�)=�⋅��(�)

像沿x轴向左平移个单位长度，得到函数的图像，求函数在上的最大值和最小值．

π