2023年九年级中考数学拔高训练-相似三角形

2023年中考数学拔高训练——相似三角形

一、单选题

1.下列各组线段中，是成比例线段的是（）

A.6,3,5,2B.3,2,1,5C.3,3,1,7D.2,6,4,3

2.如图，P点的坐标为（3,2）,过P点的直线AB分别交x轴和y轴的正半轴于A,B两点，作

4

轴于M点，作PNly轴于N点，彳音mAM的面积与»PBN的面积的比为-,

则直线AB的解析式为（）

k

A.y=x+6B.y=x+5C.y=-x+6D.y=-x+5

3.如图，在AABC中，DE/IBC,若AD：DB=1：3，则.ADE与的面积之比是

（）

/A

RC

11

A.-B.-C.-D.—

34916

二、填空题

4.如图，在“8c中，点£）,E分别在AB，AC上，DE〃BC,若AD=],

DE

AB=4,贝rl।l—=________.

BC

A

B乙----------

5.如图，线段OA分别交反比例函数yi=卜(x>0),y2=乂(x>0)的图象于点A,B,过

X

点B作CDJ_x轴于点D,交反比例函数yi=卜(x>0)的图象于点C,若OB=2AB,则△OBD

X

与^ABC的面积之比为.

6.如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=1.2m,高4力=0.8m,要把它加工成一个正方形

零件，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边A3、AC上.则该正方形的边长是m.

三、综合题

7.如图，。。中的弦AC、BD相交于点E.

(I)求证：AE・CE=BE・DE；

(2)若AE=4,CE=3,BD=8,求线段BE的长.

8.如图，点A、B分别在y轴却x轴上，BC1AB(点C和点O在直线AB的两侧)，点C的坐标

为［4,n)过点C的反比例函数y=—(x>0)的图象交边AC于点D(n+1,3).

x3

(I)求反比例函数的表达式;

(2)求点B的坐标.

9.已知：如图，D是AC上一点，DE〃AB,ZB=ZDAE.

(1)求证：△ABC^ADAE；

(2)若AB=8,AD=6,AE=12,求BC的长.

10.如图，在△ABC中，AB=BC,D是AC中点，BE平分NABD交AC于点E,点O是AB上一

点，。。过B、E两点，交BD于点G,交AB于点F.

(1)判断直线AC与。O的位置关系，并说明理由；

(2)当BD=6,AB=10时，求BG的长.

1L如图，在AABC中，D,E分别是AB,AC上的点，ZADE=/C,AF平分/BAC交

DE于点G,交BC于点厂.

ADAG

(1)求证:

AC-AF

(2)若点G是一比1的重心,AE=6,求AB的长.

12.如图，在RsABC中，ZC=90°,D是AC边上的一点，DE_LAB于点E.

D

(1)求证：△ABCs/\ADE；

(2)如果AC=4,BC=3,DE=2,求AD的长.

13.如图，AB〃CD,AC与BD交于点E,且AB=6,AE=4,AC=9.

(1)求CD的长；

(2)求证：△ABE^AACB.

14,已知，如图，在四边形ABCD中，ZADB=ZACB,延长AD、BC相交于点E.求证:

(1)△ACE^ABDE：

(2)BE・DC=AB・DE.

15.如图，B、。为线段AH上两点，ZkABC、△8DE和△QGH都是等边三角形，连接CE并延长交

AH的延长线于点凡点G恰好在CT上，△ABC的外接圆。O交C厂于点

(1)求证：AOUMCF.

(2)设等边△48。、△和△OG"的面积分别为S,S”S3.试判断S,Si,S3之间的数量

关系,并说明理由.

16.如图，抛物线y=^x2+bx+c与V轴交于点C(0,-4),与x轴交于点A,A,且

点B的坐标为(2,0).

(I)求该抛物线的解析式；

(2)。为。4的中点，过点D作DE//AC，交BC于点E,连接CD,求

△DCE的面枳；

17.如图，DE是。。的直径，CA为。。的切线，切点为C,交DE的延长线于点A,

点F是。。上的一点，且点C是弧EF的中点，连接DF并延长交AC的延长线于点B.

(1)求证：4480=90。；

3

(2)若BD=3，tan^DAB=-,求。。的半径.

4

18.如图所示，AB是。。的直径，弦AC、BD相交于点E,且C为BD的中点。若EC=2,

tanZCEB=2.

(1)求证：AABESADCE,并求出BE的长;

（2）求（DO的面积.

19.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2-lax-3tz（iz<0）与x轴交干A、B

两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y=lcc+b与y轴负半轴交于点C,与

抛物线的另一个交点为D,且CD=4AC.

（1）直接写出点A的坐标，并求直线1的函数表达式（其中〃、人用含。的式子表示）

（2）点E是直线1上方的抛物线上的动点，若MCE的面积的最大值为:，求〃的

4

值；

（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点。在抛物线上，当以点4、D、P、Q为顶点的

四边形为矩形时，请直接写出点P的坐标.

20.

（1）综合与实践

如图1,AD为△ABC的角平分线，NADC=60。，点E在AB上，AE=AC,求证：DE平分

ZADB.

图1

（2）（思考探究）

如图2,在（1）的条件下，F为AB上一点，连结FC交AD于点G.若FB=FC,DG=2,CD

=3,求BD的长.

图2

(3)(拓展延伸)

如图3,在四边形ABCD中，对角线AC平分/BAD,NBCA=2/DCA,点E在AC上,

ZEDC=ZABC.若BC=5,CD=2>/5，AD=2AE,求AC的长.

A

21.如图，在Rt^ABC中，ZABC=90°,P是斜边AC上一个动点，以BP为直径作。。交BC于

点D,与AC的另一个交点E,连接DE、DP.点F为线段CP上一点，连接DF,NFDP=NDEP.

(1)求证：DF是。O的切线；

(2)当时，求证AB=AP；

（3）当AB=15,BC=20时，是否存在点P,使得△BDE是以BD为腰的等腰三角形，若存

在，求出所有符合条件的CP的长；若不存在，请说明理由.

22.如图，在四边形ABCD中，AB=4,BC=1,ZB=ZC=60°,P为BC边上

一点（不与B,C重合），连接人「，过P点作PE交DC于E,使得ZAPB=ZB.

（1）MBP与APCE相似吗？为什么？

（2）若BP=5,求CE的长；

（3）当BP为多少时，CE的长最大？最大为多少？

23.如图，平面直角坐标系中，一次函数y=x+〃的图象交x轴负半轴于点4,交y轴正半轴于点

B,且„AOR的面积为32.

（1）直接写出一次函数的解析式;

（2）动点P从点A出发，以每秒V2个单位长度的速度向终点B运动，点P出发的同时，动

点Q从点。出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正半轴运动，当点P停止运动时、动点Q也随

之停止运动，连接PQ,设点。的运动时间为九△用尸。的面积为S.求S与，的函数关系式，并

直接写出自变量/的取值范围；

（3）在（2）的条件下，力为AB中点，连接OO,交直线PQ于点E若OF=3DF,求线段

QF2的长.

24.边长为4的正方形ABCD中，点E是BC边上的一个动点，连接DE,交AC于点N,过点D

作DF_LDE,交BA的延长线于点F,连接EF,交AC于点M.

(1)判定aDFE的形状，并说明理由；

(2)设CE=x,AAMF的面积为y,求y与x之间的函数关系式；并求出当x为何值时y有最大

值？最大值是多少？

(3)随着点E在BC边上运动，NA-MC的值是否会发生变化？若不变，请求出NA.MC的值；

若变化，请说明理由.

25.如图，已知直线)，=gx+l与y轴交于点A,与x轴交于点D,抛物线y=ax2-¥bx+c与

直线交于A,E两点，与x轴交于B(l,0),C(2,0)两点.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)动点P在x轴上移动，当4PAE是直角三角形时，请通过计算写出一个满足条件点P的坐

标.

答案解析部分

1.【答案】D

【解析】【解答】解：・・・5x3H6x2,・・・A组不是成比例线段：

•・・3x2,lx5,・・・B组不是成比例线段；

•・・3x3*x7,・・・C组不是成比例线段；

•••2x6=3x4,・・.D组是成比例线段。

故答案为：D.

【分析】将每组线段又小到大排列，根据中间两项的积是否等于两边两项的积，相等即成比例。

2.【答案】D

【解析】【解答】解：・・・PMJ_x轴，PNJ_y中，x轴_Ly轴，

/.ZBNP=ZPMA=90°,PN〃x轴，

AZBPN=ZPAO,

・•・△PMA^ABNP,

4

•・•△布M的面积与△P8N的面积的比为-,

.AMy(PM.4

PNBN9

VP(3,2),

:,PN=3,PM=2,

AAM=2,BN=3,

AA(5,0),B(0,5),

设直线AB的解析式为y=k.x+b,

b=5

把A、B的坐标代入得:

5Z+Q0

解得:k=-l,b=5,

即直线AB的解析式为尸x+5,

故答案为：D.

【分析】先求出△PMAs/XBNP,再求出A(5,0),B(0,5),最后利用待定系数法求函数解析式

即可。

3.【答案】D

【解析】【解答】解：•・•DB=1：3,

AAD；AB=1；4,

VDE/7BC,

.*.△ADE^AABC,

叫J,

•S.ABC14於16'

故答案为：D.

【分析】由平行线的性质可证△ADE-AABC,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求

解.

4.【答案】-

4

【解析】【解答】VDE//BC,

・•・△ADE^AABC,

.ADDE

VAD=I,BA=4,

DE1

・・——=-,

BC4

故答案为：-.

4

【分析】根据DE//BC,得至以ADEs^ABC,再利用相似三角形的性质列出比例式求解即可。

Q

5.【答案】|

【释析】【解答】解：过点A作AE_LOD于E点，

•・・CD_Lx轴于点D,

・・・BD〃AC,0B=2AB,

.DB=BO=2SM)BD=4

，S’OAE§

•・•反比例函数yi=—（x>U）,y2=4（x>0）的图分别经过点A,B,

xx

ASAOBD=-ki,SAOAE=-k,

222

ki：k?=4：9»

k3k

设点B的纵坐标为2m,则点B坐标为（六，2m）,点A坐标为（-L,3m）,

2m

,_k、_k、_9_9

・・・点c的横坐标为4，纵坐标为）'=彳=12加二"二/，

・k.}\5k,5,

:SMBC=；BCDE=—―=------m•—=—K.

2m)224m16

Ijk

S,"二2।二8

S&ABC-5

161

故答案为：X：5.

【分析】过点A作AE_LOD于E点，易得BD〃AC,由已知条件知OB=2AB,根据平行线分线段

rjnRC?S4

成比例的性质可得——根据三角形的面积公式可得资q二不，根据反比例函数k的几

AEAO3S&O八上9

jL

何意义可得SAOBD=—ki,S40AE=-k,则ki：k=4：9,没点B的纵坐标为2m,则B(',

22222m

3kC(A-,-m),表示出SAABC,据此求解.

2m),A(―-,3m),

4/H2m2

6.【答案】0.48

【解析】【解答】解：设PN与4。的交点为E,如下图:

设PN=x(m),则DE=MN=PN=x,AE=AD-DE=(0.^-x)m

由题意可得，PNHBC,

:•AAPNS^ABC,

.AEPN0.8-xx

••—,Llt[nJ-

ADBC0.81.2

解得x=0.48,即PN=0.48m

故答案为：0.48.

【分析】设PN=x(m),则。£=MV=PN=x,AE=AD-DE=(0.8-x)m,先证明

AFPN0r

△APNS^ABC,可得H=±_,即"」二二，再求出x的值即可.

ADBC0.81.2

7.【答案】(l)解：由圆周角定理得，NA=/B,ZD=ZC,

/.△ADEs△BCE,

,AE_DE

''~BE~~CE'

••・AE・CE=BE・DE；

(2)由(l)得，AE・CE=BE・DE,

A4x3=BEx(8-BE),

解得，BEi=2,BE2=6,

即线段BE的长为2或6.

【解析】【分析】(l)由圆周角定理可得：ZA=ZB,ZD=ZC,证明△ADEs/\BCE,然后根据

相似三角形的性质进行证明；

(2)根据AE・CE=BE・DE进行计算就可得到BE的长.

8.【答案】(1)解：•・•反比例函数y=-(x>0)的图象经过点C(4,n)和点D(n+3).

x3

m=4/7

/J1

m=3(〃+-)

tn-4

解得,,

n=1

4

，反比例函数的表达式为产-；

x

(2)解：如图,过C作CE_Lx轴于E,

设直线CD的解析式为y=kx+b,

4

把点C(4,1),点D(§,3)代入，可得

l=4k+b

K,=——3

.4,,，解得，4,

3=-k+b

Z?=4

3

，直线CD的解析式为y--x+4,

4

令x=0.则y=4・

AA(0,4),即AO=4,

设BO=x,则BE=4-x,

ZABC=90°=ZAOB=ZBEC,

:.ZBAO+ZABO=90°=ZCBE+ZABO,

AZBAO=ZCBE,

ABO^ABCE,

.OBAOx_4

•.—9KN-9

ECBE14-x

解得x=2,

AB（2,0）.

【解析】【分析】（1）依据反比例函数图象上点的坐标特征，即可得到n的值，进而得出反比例函数

3

的表达式；（2）利用待定系数法即可得到直线CD的解析式为y=-x+4,进而得到点A的坐标，再

4

根据△ABOsaBCE.即可得到点B的坐标.

9.【答案】（1）证明：•・,DE〃AB,

，ZEDA=ZCAB,

'：ZB=ZDAE,

，△ABC^ADAE；

(2)解•・•△ABC^ADAE,

.ABBC

••=9

DAAE

8BC

即HI1-=——，

612

ABC=16.

【解析】【分析】（1）利用平行线，证出角相等，进而证出三角形相似；（2）利用（1）的结论，结

合相似三角形的性质列出比例式求解即可。

10.【答案】（1）解：直线AC与。。相切.理由如下:

连接OE,如图所示，

VAB=AC,D为AC的中点,

.\BD±AC.

:.^ADB=90'.

〈BE平分NABD,

.・.NABE二NDBE

-OE=OB,

:.AABE=/OEB.

:"DBE=/OEB.

••・OE〃BD.

/.ZAEO=AADB=9Q.

：.OELAC.

・・・AC是。O的切线.

JAC与。O相切.

(2)解：在Rt^ABD中，AD=\/AB2-BD2=V102-62=8.

VOE//BD,

.'.AAOE^^ABD.

.AO_0E

设30的半径为x,则OE=OB=x,AO=AB-OB=10-x.

10-xx

-----=—•

106

解得，x=^-.

4

BF=2x=—.

2

连接FG,如图所示.

•・・FB是。O的直径，

AZFGB=90°.

.,./FGB=/ADB=90°.

，FG〃AD.

:.AFBG~AABD.

.BGBF

A”

，陪处竺匕

BA102

【解析】【分析】3）连接OE,由等腰三角形的三线合一可得BDJ_AC,根据角平分线定义和等边

对等角可得NDBE=NOEB,由平行线的判定可得OE〃BD,根据平行线的性质得

ZAEO=ZADB=90°,由圆的切线的判定可求解；

（2）连接FG,在直角三角形ABD中，用勾股定理可求得AD的值，根据“平行与三角形一边的直

线［或两边的延长线）和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似“可得△AOES/SABD,由相

40OE

似三角形的性质可得比例式=---，设。。的半径为x,贝ljOE=OR=x,AO=AB-OB=10-x,结合

ABBD

比例式可得关于x的方程，解方程求得x的值，则BF=2x,由圆周角定理得NFGB=9（T=/ADB,所

以FG〃AD,根据“平行与三角形一边的直线（或两边的延长线）和其他两边相交，所构成的三角形与

原三角形相似”可得△FBG-AABD,由相似三角形的性质得比例式旭可求解.

BDBA

11.【答案】（1）证明：・；AF平分NBAC,

AZDAG=ZCAF

VZADE=ZC,

/.△ADG^AACF

.ADAG

（2）解：•・•点G是△ABC的重心,

AG2

/.——=-，

AF3

VZADE=ZC,ZDAE=ZCAB,

/.△ADE^AACB,

.ADAE

,AC-AB

.ADAEAG2

■AC-AB-AF-3

VAE=6,.\AB=9.

【解析】【分析】（1）根据角平分线定义得出ZDAG=ZCAF,结合NADE=NC,证明

△ADG-AACF,根据相似三角形的性质列比例式，即可得证；

2

⑵由三角形重心的性质得出丁二；,再证明AADEs^ACB,然后根据相似三角形的性质列

AF3

比例式求解即可.

12.【答案】（1）证明：・・・DE_LAB,

AZAED=ZC=90°,

VZA-ZA,

/.△ABC^AADE；

（2）解:VAC=4,BC=3,

AAB=5,

ABC^AADE,

.ABBC

..-----=------，

ADDE

‘AD」

3

【解析】【分析】（1）根据两角对应相等的三角形相似即证；

（2）由（1）知△ABCs/XADE,可得喘=程，据此即可求解.

13.【答案】（1）解：・・・AE=4,AC=9

/.CE=AC-AE=9-4=5

VAB//CD,

.*.△CDE^AABE,

.CDCE

'~AB~~AE

.「,、ABCE6x515

..CO=-----------=-------=—

AE42

,,AE_4_2AB_6_2

(2)证明:

•'AB~6~37c-9-3

.AE_AB

*

VZA=ZA,

:,&ABE^AACB

【解析】【分析】(1)由线段的却差关系可求出CE的长，由AB〃CD可证明△CDEs^ABE,根据

相似三角形的对应边成比例建立方程即可求出CD的长；

ApAQ

(2)根据AB、AE、AC的长可得—=—,由NA为公共角，根据两组边成比例，且对应的

ABAC

夹角相等即可证明△ABE^AACB.

14.【答案】(1)解：VZADB=ZACB,AZBDE=ZACE,XVZE=ZE,?.△ACE^ABDE；

(2)解：VAACE^ABDE

BEEDBEAB

---=----，*.*z^E=z^E,/.△ECD0°^AEAB,:.-----=------,/.BE♦DC=AB♦DE.

AEECEDCD

【解析】【分析】(1)由NADB二NACB,得出NBDE二NACE,结合公共角NE二NE,即可证出

△ACE0°ABDE；

BEED

(2)|I|AACE^ABDE,得出一=——,结合公共角/E=NE,得出△ECDs/\EAB,即可得出

AEEC

BE・DC=AB・DE.

15.【答案】(1)证明：连接MB,如图,

•••四边形ABMC是圆O的内接四边形,

AZFMB=ZA

ZCMB=180w-ZA=120u.

ZCBF=60°+60o=120°.

AZCMB=ZCBF.

VZBCM=ZFCB,

.*.△CMB^ACBF,

CMCB、

••一==,即nnCB2=CMCF

CBCF

VAC=CB,

・•・AC2=CMCF

（2）解：S1,S2,S3之间的数量关系为s；二§

理由：•••△ABC、z\BDE和ADGH都是等边三角形，

Z.ZCAB=ZEBD=ZGDH=60°,ZCBA=ZEDB=ZGHD=60°

，AC〃BE〃DG,BC〃DE〃HG,

ABCEBD

^^D~~EG~~DH

.•工/竺丫区/㈣2

，

*S2~[BD)53-IDHJ

s,s,,

・・・3二不，即S-=Ss

°2°3C3

・••所以所求的数量关系是s：=S1S.

「yjfm

【解析】【分析】（1）连接MB,证明△CMBs/\CBF,可得k=k，即得

CBC卜

CB2=CMCF,由AC=CB即得结论；

（2）结论S；=S-S3.理由：先求出AC〃BE〃DG,BC〃DE〃HG,利用平行线分线段成比例可

ABCEBD.(AB)S(BDYSS)

得ZH一=—=——，由于一!■二—­=—,可得亍，即得结论.

BDEGDHS,\BD)S3\DH)S2S3

16.【答案】（1）解：把点C（0,-4）,8（2,0）分别代入y=^x2+bx+c中,

得:一一明解得竹=L

Ix22+2b+c=0.（C=-4.

1

，该抛物线的解析式为y=-?+7x-4

（2）解：令y=0,即-X2+X-4=0,

2

解得X]=-4,x2=2.

・・・A（T,O）,S^c=^-AB0C=\2.

'：D为0A中点，

AD（-2,0）,SADRC=-BDOC=S.

DE//AC,

:・ADBES^ABC.

・・・维=（空丫.

SJBC148）

・S-3

••J&DBE_3'

•**SGCE=SGBCSGBE

、168

=8-----=—

33

【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；

（2）先求出A（-4,0）,S^AHC=^ABOC=\2,再求出.DBEs公ABC,最后计算求解

即可。

17.【答案】（1）证明：如图，连接OC,

VC4为。。的切线，

/.ZOC4=90°,

又,：点C是弧EF的中点,

，弧EC=MCF,

AZ1=Z2,

又・・・NEOC=2N1,

AZ1+Z2=ZE（?C,

OC//AB,

AZABD=90°；

3

（2）解：VBD=3，tanZDAB=-,

4

•DB3_3

•・南―布'

AAB=4,

在RMABD中，AD-y/32+42-5，

设半径OD=OC=x,

***OA=5—x，

又,：OCHDB,

/.AAOCS^ADB,

OAOC5-xx

..——=——，即FIII-----=-,

ADBD53

解得：x=^-；

8

・•・半径是.

o

【解析】【分析】（1）连接。C,证明OCHAB,在根据切线的性质得到垂直即可得解;

（2）根据已知条件求出AD,利用△AOCS^AOB求解即可；

18.【答案】（1）证明：:NA和ND都对BC

AZA=ZD

又TNCED二NBEA

AAABE^ADCE

连接BC,

：AB是直径

.\ZACB=90°

*.*EC=2,tan/CEB=2

ABC=ECxtanZCEB=4

在RIABCE中，由勾股定理得

ABE=J42+22=2>/5

（2）解：Ye为BD的中点

「•BC=DC

ADC=BC=4

VAABE^ADCE

.ABBEAB26

••---=---,即-----=----

DCCE42

AAB=4逐

Soo=（4小/兀=20兀

2

【辞析】【分析】（1）利用等弧所对的圆周角相等，可证得NA=ND,利用有两组对应角分别相等的

两三角形相似，可证得△ABEs/SDCE：连接BC,利用直径所对的圆周角是直角，可证得

ZACB=90°,再利用直角三角形求出BC的长；然后利用勾收定理求出BE的长.

（2）利用等弧所对的弦相等，可求出DC的长；再利用相似三角形的对应边相等，可得比例式，代

入计算求出AB的长；然后求出圆O的面积.

19.【答案】（1）解：令y=0,则cix2-2ar-3t/=0，解得x=-l或3,

•・•点A在点B的左侧，

A（-1,。）；

如图1,作DF_Lx轴于F点，

・・・DF〃OC,

.OFCD

''~OA~~AC'

*：CD=4AC，OA=1,

・・・OF=4,即D点坐标为（4,5a）,将A点和D点坐标代入y=kx+b,得

1-2+〃=（）（k=a

\^k+b=5a\b=a

「・直线r.y=ax-^a

（2）解：如图1,作ENJ_y轴于点N,设点E（m，。（机+1）（加-3））,加=4%+[,可得

a(m+1)(m-3)=mk]+b1

0=-k]+，

:.yAE=a(m-i\x+

设AE与y轴交点为M,则M（0,。（加一3））,

MC=a,NE=m,

•e-S4\CE=S'cw+S&EW=3)—a]+(m-3)—m

VMCE的面积的最大值为-,

4

解得«=--

（3）解：由y=ar2—2ax—3a,可得对称轴为x=l,设P点坐标为（1,m）,

①若AD为矩形一条边，如图2,

0B2

则XD-XP=XA-XQ，即4-1=一1一%,可得Q点横坐标为-4,代入抛物线方程,

可得Q点坐标(-4,21a),：.yP=yD+yQ=5a^-2\a=26a,

・・・P点坐标(1,26a),

四边形ADPQ为矩形，，NADP=90。，

AAD2+PDZ=AP1，

AD2=[4-(-l)]2+(5a『=25+25/,PD2=(4-l)2+(5c-26«)2=9+44la2,

AP?=(-1-1丫+(26〃『=4+676片,

A25+25672+9+441tz2=4+676t?2=>tz=±—，

7

・・・a<0，a=

7

(26

•♦.P点坐标为1，—>

②若AD为矩形的一条对角线，如图3,则AD的中点坐标为

EB3

••・Q点坐标为（2,-3。），进而可得P点坐标为（1,8。），

四边形ADPQ为矩形，ZAPD=90°,

**-AP2+PD2=AD2，

AP2=（-1-1）2+（8Q）2=4+64诡PD2=（4-l）2+（5〃-8"=9+9/，

AD2=[4-（-l）]2+（5〃『=25+25/,

・・・4+64。2+9+9々2=25+25/=>。=±』，

2

*.*6?<0>a=—»

2

・・・P点坐标为（L-4）

综上可得，P点坐标为1,--A或（L-4）.

\7

【解析】【分析】（1）令尸0,即以2_2依-3。=0，解出X的值即可得出A点的坐标；根据

CD=4AC表示出D点的坐标（4,5a）,结合A点坐标利用待定系数法即可算出直线解析式；

（2）设点E的坐标（〃7,4。77+1）（〃2-3））,然后结合A点坐标利用待定系数法求出

）姮二。（团-3八+。（川-3），再利用割补法表示出三角形ACE的面积，根据配方法求最值即可算

出a的值；（3）分别以AD为对角线或AD为边进行分类讨论，再结合矩形的对边平行和一个内角

是90。，利用勾股定理计算出a的值，进而确定P点坐标.

20.【答案】（1）证明：:AD平分NBAC,

AZEAD=ZCAD,

VAE=AC,AD=AD,

/.△EAD^ACAD（SAS）,

AZADE=ZADC=60°,

・•・ZBDE=1800-ZADE-ZADC=180°-60o-60°=60°,

・・・NBDE=NADE,

，DE平分NADB

（2）解：如图2,VFB=FC,

AZEBD=ZGCD,

VZBDE=ZCDG=60°,

・•・△BDE^ACDG,

BDDE

..—>

CDDG

,?△EAD^ACAD,

，DE=CD=3,

VDG=2,

CD29

ABD=

~DG2

(3)解：如图3,在AB上取一点E使AF=AD,连结CF.

AZFAC=ZDAC,

VAC=AC,

.*.△AFC^AADC(SAS),

・・・CF=CD,ZFCA=ZDCA,ZAFC=ZADC,

•・•ZFCA4-ZBCF=ZBCA=2ZDCA,

AZDCA=ZBCF,即NDCE=NBCF,

VZEDC=ZABC,即NEDC=NFBC,

DCE^ABCF,

.CD_CE

ZDEC=ZBFC,

'~BC~'CF

VBC=5,CF=CD=2®

•CE=C^=(2^=4，

BC5

•・•ZAED+ZDEC=180°,ZAFC+ZBFC=180°,

・•・ZAED=ZAFC=ZADC,

VZEAD=ZDAC(公共角),

/.△EAD^ADAC,

._1

••—-,

ADAC2

，AC=2AD,

4416

AAC=4AE=-CE=-x4=—.

333

【解析】【分析】(1)证明^EAD会ZXCAD(SAS),可得NADE=/ADC=60。，利用平知的定义求

出NBDE=180。—/ADE—NADC=60。，即得/BDE=NADE,根据角平分线的定义即得结论；

(2)证明ABDEs/iCDG,可得g2=匹，由全等三角形的性质可得DE=CD=3,代入比例式

CDDG

即可求出BD；

(3)如图3,在AB上取一点F,使AF=AD,连结CF.证明△AFCgZ\ADC(SAS),可得CF=

CD,ZFCA=ZDCA,ZAFC=ZADC,再证明△DCEs/\BCF,利用相似三角形的性质求出

APAn1

CE=4,再证△EADs^DAC.可得一=—=-,即得AC=2AD,从而求出AC=4AE,继而

ADAC2

得解.

21.【答案】(1)证明：连接OD,

;DP=DP，

・・.NDBP=NDEP,

VZFDP=ZDEP,

.\ZFDP=ZDBP,

〈BP是。0的直径，

.\ZBDP=90°,

.,.ZDBP+ZOPD=90°,

VOD=OP,

/.ZOPD=ZODP,

.,.ZFDP+ZODP=90°,

A0D1DF,

・・・DF是。。的切线；

(2)证明：连接BE,如图所示:

DP=EP，

AZCBP=ZEBP,

VZABE+ZA=90°,ZC+ZA=90°,

AZC=ZABE,

VZAPB=ZCBP+ZC,ZABP=ZEBP+ZABE,

AZAPB=ZABP,

AAP=AB：

(3)解：由AB=15,BC=20.

由勾股定理得：AC=4AB2+BC2=V152+202=25,

V-AB*BC=-AC-BE,

22

即LX15X20=LX25XBE,

22

ABE=12,

VBP是直径，

AZPDB=90°,

VZABC=90°,

・・・PD〃AB,

DCPs/XBCA,

.CPCD

.,_ACCD_25CD

BC20

△BDE是等腰三角形，分两种情况:

①当BD=BE时，BD=BE=12,

ACD=BC-BD=20-12=8,

55

.,.CP=-CD=-x8=10；

44

②当BD=ED时，可知点D是RMCBE斜边的中线，

ACD=-BC=10,

2

5525

ACP=-CD=-xl()=——；

442

25

综上所述，4BDE是等腰三角形，符合条件的CP的长为万或10.

【解析】【分析】3）连接OD,由圆周角定理得出NDBP+NOPD=90。，再利用等腰三角形的性质和

切线的判定即可得出结论；

（2）连接BE,由圆周角定理和余角的性质得出结论；

（3）由勾股定理和三角形面积公式得出BE,根据圆周角定理和相似三角形的判定与性质得出CP,

再分两种情况：①当BD=BEH寸，②当BD=ED时，进行解答即可。

22.【答案】（1）解：相似，证明如下：

•・•ZAPE=NB=60,

NBPA+ZEPC-ZEPC+ZPEC-120°

/.ZBPA=ZPEC，

且ZB=ZC，

⑵解：由（1）可知，,

.ABBP

~PC~~CE'

・.,BC=7,BP=5

..PC=BC—BP=7—5=2

，解得CE=2.5

2CE

(3)解：设BP=x(0<x<7),CE=y.

由(1)可知MBPs"CE,

ABBP4x

-•-—4..•------

PCCE''7-x~y

127If7、249

y=—xH—x=—x—H---

-444(2,16

7

当x=-时，

＞有最大值,

即当BP为:

CE的长最大，最大为—

16

【解析】【分析】（1）因为ZAPB=NB,证得ABPA=Z.PEC,再有ZB=ZC=600即可证

的结论；（2）由（1）可知，@BPs.CE,列比例式代入数值即可求出CE的值；（3）由（1）可

4x

知，设BP=x,可得--=-,整理得，

,即可求出答案.

23.【答案】(1)y=x+S

（2）如图，过点Q作QC_LA8于点C,

由（1）知，OA=OB=S,

/.RSAOB是等腰直角三角形，AB=yjo^+OB2=8j2,4OAB=45°

AB

.二点P运动到点B的时间为正二8（秒），

/.0<r<8,

由题意得：AP=V2/,OQ=2/»

.•.BP=A3-AP=8近-伍AQ=OA+OQ=8+2z,

又­/ZO4B=45°,

Rt^ACQ是等腰直角三角形，CQ当AQ=46g,

则ABPQ的面积S=g5P・CQ=g（8五-"）（4夜+"）,

即S=-f2+4Z+32:

（3）如图，过点P作PGLx轴于点G,过点F作FElx轴于点E,

则RsAPG是等腰直角三角形，AG=PG=—AP=t

2

GQ=AQ-AG=8+2/-/=84-Z,

•・•点D是等腰R.AOB的斜边AB的中点，

OD=-AB=4>/2,OD1AB,

2

..RSAOD是等腰直角三角形，ZAOD=45°,

/.Rt^EOF是等腰直角三角形，OE=EF=^OF,

2

-0F=3DF,

OF=-OD=3y/2,

4

:.0E=EF=3,

:.EQ=OE+OQ=3+2t,

•：PGLx釉于，FELx轴，

..PG//FE,

：AEFQ〜*GPQ,

.EF_EQ33+2/

•记-丽，即7=I77，

解得r=2A/3或t=-243（不符题意，舍去）,

经检脸，r=2石是所列分式方程的解，

绚=3+2/=3+4行，

则在Rt^EFQ中，QF-=EF2+EQ2=32+（3+4x/3）2=66+245/3.

【解析】【解答】（1）由一次函数y=x+b的图象可知，b>0,

对于一次函数y=x+b,

当y=0时，x+b=O,解得x=-b,即A（-AO）,

则OA=b,

当x=0时，y=h,即3（0,〃），

则OB=b,

・.・AAOB的面积为32,且x轴_Ly轴，

:.-OAOB=-b2=32，

22

解得b=8或〃=—8<0（舍去），

故一次函数的解析式为y=x+8；

【分析】（1）先根据一次函数的解析式可得A（-AO）,N（O,b）,从而可得OA=OB=b，再根据

三角形的面积公式可求出b的值，由此即可得；（2）如图（见解析），先根据勾股定理可得

AB=8A/2.Z.OAB=45°,从而可得0KK8,再根据线段的和差可得

BP=86-M,AQ=8+2t,然后根据等腰直角三角形的判定与性质可得

。。=立4。=4夜+",最后根据三角形的面积公式即可得；（3）先根据等腰三角形的判定与

性质可得OE=EF=3,PG=AG=1,从而可得EQ=3-2t,GQ=S+t,再根据相似三角形的

FFFO

判定与性质可得妥二点，由此可求出t=2小，从而可得EQ=3+4yf3,然后在

r