湖南省长沙市长沙县长沙麓山国际实验学校2025-2026学年高一下学期4月学情检测数学试卷（含解析）

湖南长沙麓山国际实验学校2025-2026学年高一下学期4月学情检测数学试卷一、单选题1．已知集合集合则（

）A． B．C． D．2．已知a、b都是非零实数，那么“”是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件 D．充要条件3．如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则四边形ABCD的面积是（

）

A． B． C．8 D．164．如图，为了测量某塔楼的高度，将一无人机（视为质点）飞升至离地面高为h米的点A处时，测得塔尖C的俯角为α，无人机沿水平方向飞行b米后至点B处时，测得塔尖C的俯角为β，则塔尖C距离地面（

）A．米B．米C．米D．米5．已知向量，，若向量在向量上的投影向量为，则（

）A． B． C．2 D．16．如图，圆台的上底面直径为1，下底面直径为2，高为1，以圆台下底面为底面，上底面中心为顶点，挖去一个圆锥，则剩下几何体的体积为（

）A． B． C． D．7．已知函数在内有且仅有3个零点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．8．已知三角形中，，角的平分线交于点，若，则三角形面积的最大值为（

）A． B． C． D．二、多选题9．（多选题）一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面可能的图形是（

）A． B． C． D．10．已知，则下列命题正确的是（

）A．，B．，C．，D．，11．（多选）已知函数对任意的都有，函数的图象关于直线对称，且对任意的，，都有．则下列结论正确的是（

）A．是偶函数 B．C． D．的图象关于点对称三、填空题12．函数的定义域为_________．13．已知对任意平面向量把绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转θ角得到点P，已知平面内点，点，把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P，则点P坐标为______．14．已知向量与的夹角为，，若，则______.四、解答题15．（1）计算：；（2）已知，求的模．16．如图，设是平面内相交成(角的两条数轴，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，若向量则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记为(1)若在该坐标系下，计算的大小；(2)若在该坐标系下，已知且满足求的最大值．17．现有一几何体由上，下两部分组成，上部是正四棱锥下部是正四棱柱(如图所示)，且正四棱柱的高是正四棱锥的高的3倍．(1)若求该几何体的体积与表面积．(2)若正四棱锥的侧棱长为6，且Q，N分别是线段上的动点，求的最小值．18．已知函数(1)求函数f(x)的最小正周期与单调递增区间；(2)若方程在上的解为x₁，x₂，求19．已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(1)求角C的取值范围；(2)证明：(3)求的取值范围．(提示：其中S为三角形面积)参考答案1．D解析：因为，指数函数是减函数，因此不等式等价于，即.由得得，因此.所以.2．C解析：由，如果满足，此时，不能推出，如果满足，此时，也不能推出，所以是的既不充分也不必要条件.3．A解析：在直观图中作，垂足分别为E，F，则，所以，

由斜二测画法可知原平面图形如下：

将原平面图形上底，下底，高代入公式，可得四边形ABCD的面积．4．B解析：作于，如图：则，而，即，解得，所以塔尖C距离地面.故选：B5．D解析：根据题意，可得，可得，因为，，所以，解得，可得．故选：D．6．B解析：由题可知：上底面和下底面的半径分别为，所以，所以剩下几何体的体积为.故选：B7．A解析：,当，时，，在，有且仅有3个零点，，综上：,故选：8．B解析：因为，则，所以，又，所以，以所在直线为轴，中点为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，因为，则，设，所以，整理得到，所以点在以为圆心，为半径的圆上，故到距离的最大值为，则三角形面积的最大值为.9．ABC解析：当截面平行于正方体的一个侧面时得C，当截面过正方体的体对角线时得B，当截面不平行于任何侧面也不过对角线时得A，但无论如何都不能截出D．10．BC解析：对于A：已知，则，根据和角公式：，故A错误；对于B：利用和差化积公式：，因为且，所以，则对任意的成立，故B正确；对于C：已知，，不妨设，则，因为，，且，所以，又因为余弦函数在上单调递减，所以，两边同乘正数得：，即，故C正确；对于D：因为，所以原不等式等价于，两边同时除以2，得：当时：，两边除以正数，得，因为，所以，，此时不等式成立；当时：，两边除以负数，不等号方向改变，得，但的最大值为1，不可能大于1，此时不等式不成立，故D错误.11．ABD解析：选项A，因为函数对任意的都有，所以，所以是周期为4的周期函数．因为函数的图象关于直线对称，所以的图象关于直线对称，所以是偶函数，所以A正确．选项B，由且是以4为周期的偶函数，以替换，得，则，所以，所以，所以B正确．选项C，因为对任意的，都有，所以在区间上单调递增，又因为，且，所以，即，所以C错误．选项D，由选项B知，所以的图象关于点对称，所以D正确．故选：ABD．12．解析：因为，所以解得或，所以函数的定义域为．13．解析：由题意可得，，点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P，即点B绕点A沿逆时针方向旋转后得到点P，则，所以则点P坐标为.14．4解析：因为，所以，展开得：①，又因为，代入①式得，令，则，原题等价于恒成立，因此，化简得，解得：，所以.15．（1）；（2）解析：（1）原式．（2），的模为．16．(1)(2)解析：（1）由题可知，则，则，，所以.（2）由题意得，，因此，令，由，得，因此，又，代入得这是开口向上的二次函数，对称轴为，在区间上单调递增，因此当时取最大值.17．(1)该几何体的体积为，表面积为.(2)解析：（1）由题可知，正四棱锥中，过点作，垂足为，则.正四棱锥的体积为，侧面积为.因为，所以正四棱柱的体积为，去掉上底面的表面积为.所以该几何体的体积为，表面积为.（2）如图，将侧面和侧面展开，易知的最小值为展开图中三点共线时的最小值，即展开图中点到线段上点的最小值.由题可知，.过点作，垂足为，则，因为正方形中，，所以.所以，所以，所以.因为，.因为，所以为锐角；，所以为锐角，所以的最小值为点到的距离.所以.即的最小值为．18．(1)最小正周期为，单调递增区间为.(2)解析：（1）函数.所以函数的最小正周期为.令，.因为是增函数，且当时，单调递增，单调递增.所以当，即时，函数单调递增，所以函数的单调递增区间为.（2）令，则，即.令，则由，得.由在的图象知，有两解，且这两解与关于对称，所以，即，即.所以，所以.19．(1)(2)证明见解析(3)解析：（1）因为三角形是锐角三角形，故，解得，解得且，，由于对勾函数在单