18.5 分式方程知识点梳理讲义（暑假预习）-2026-2027学年人教版八年级数学上册

18.5分式方程知识点梳理讲义（暑假预习）2026-2027学年人教版数学八年级上册

暑期自主预习专用·适用对象：八年级学生·预计学习时间：60分钟一、本节预习导航【与已学知识的联系】七年级我们学过一元一次方程，掌握了“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”这一整套解法；本章前几节又学习了分式的概念、基本性质、约分通分以及分式的乘除与加减。现在把这两条线索合到一起：当方程的分母里出现了未知数，它就不再是整式方程，而是全新的“分式方程”。解它的核心办法，仍然是回到我们熟悉的整式方程上去——这就是初中数学最重要的转化思想。可以说，本节是“分式运算”与“一元一次方程”两大板块的交汇点，也是九年级学习分式方程与一元二次方程综合应用的直接基础。【本节核心内容】①分式方程的概念（分母中含有未知数的方程），会把它与整式方程区分开；②解分式方程的基本思路与五个步骤，特别是最简公分母的确定与去分母的规范书写；③增根的概念、产生原因与检验方法，理解“为什么解分式方程必须验根”；④分式方程无解的两种不同情形；⑤列分式方程解决工程、行程、销售、效率等实际问题，掌握“审、设、列、解、验、答”六步法与“双检验”要求；⑥含参数的分式方程（已知有增根求参数、已知无解求参数、已知解的符号求参数范围），这是本节最能拉开差距的拓展内容。【所需图形类型】解分式方程的五步流程图1幅（把“去分母、求解、检验”三个关键动作串成一条链）；一道产生增根的例题的完整求解与检验示意图1幅（直观看到增根是怎样冒出来又怎样被舍去的）；分式方程结构标注图1幅（用箭头指出“分母含未知数”和“最简公分母”）；本节知识结构树1幅。【术语衔接提示】“方程”指含未知数的等式；“整式方程”指方程两边都是整式（分母中不含未知数）的方程，如(x−1)/2−(x+1)/3=1虽然带分数线，但分母是数字2和3，仍然是整式方程；“分式方程”的判别标准只有一条——分母中是否含有未知数。另外要分清“最简公分母”与“公分母”：最简公分母是各分母因式分解后，把所有出现过的因式取最高次幂再相乘所得的式子，它是去分母时两边要乘的那个式子，也是验根时代入的对象。“增根”是一个专有名词，它不是算错的结果，而是变形过程中必然可能出现的“多余的根”。【数学思想渗透】转化思想（把不会解的分式方程转化成会解的整式方程，这是本节的灵魂）；方程思想（把实际问题中的等量关系翻译成方程）；分类讨论思想（分式方程无解要分“整式方程无解”和“解是增根”两类，含参问题更要分类）；检验意识与严谨精神（变形不等价就必须回头检验，这是数学区别于“凭感觉”的关键品质）。理解了“同乘一个可能为零的式子会扩大解的范围”，你就真正理解了整章的逻辑。二、各小节知识清单（一）分式方程的概念与识别🎯第一步：预习目标✔能准确说出分式方程的定义：分母中含有未知数的方程。✔会从一组方程中快速挑出分式方程，不被“带分数线但分母是数”的整式方程迷惑。✔明白分式方程中未知数的取值必须使各个分母都不为零。✔理解“分式方程的解”与“整式方程的解”在要求上的差别。✔能举出生活中会列出分式方程的实例（如工程、行程、单价问题）。📌第二步：知识清单📌知识点1：分式方程的定义。分母中含有未知数的方程叫做分式方程。判别时抓住两个要点：第一，它必须是方程（含未知数的等式），不是式子；第二，未知数必须出现在分母的位置上。例如2/(x−3)=3/x、1/x+2=0、(x+1)/(x−1)=5都是分式方程；而(x−1)/2=3、x/π+1=0都不是——前者分母是数字2，后者分母π是一个确定的常数，它们分母中都没有未知数，本质上仍是一元一次方程。📌知识点2：分式方程与整式方程的区别与联系。整式方程的两边都是整式，分母中不含未知数；分式方程至少有一个分母含未知数。二者的联系在于：分式方程通过去分母可以化为整式方程，因此整式方程是解分式方程的“中转站”。但要特别注意，这个转化不一定是等价变形，因为两边同乘的最简公分母有可能取到零值，这正是后面要讲的增根的来源。判别时不要看有没有分数线，也不要看分子里有没有未知数，只看分母。📌知识点3：分式方程有意义的条件。分式方程中的未知数取值必须使每一个分母都不为零，否则方程本身失去意义。因此在解题之前就可以先写出隐含条件，例如解2/(x−3)=3/x时，隐含条件是x≠3且x≠0。养成“先写隐含条件”的习惯，最后验根时就有了明确的比对标准，不容易漏检。📌知识点4：分式方程的解（根）。使分式方程左右两边的值相等，并且使各个分母都不为零的未知数的值，叫做这个分式方程的解。后半句是分式方程特有的要求：一个数即使代进去“看起来两边相等”，只要它让某个分母为零，方程在这个点上根本没有定义，也就谈不上是解。📌知识点5：分式方程从哪里来。现实中凡是涉及“单位量”的问题都容易产生分式方程：工作效率等于工作总量除以时间，速度等于路程除以时间，单价等于总价除以数量，浓度等于溶质除以溶液。当这些“单位量”里的时间、数量、速度是未知数时，未知数就跑到了分母上，于是列出的就是分式方程。这说明分式方程不是人为编出来的，而是刻画现实世界中比率关系的自然工具。💡方法点拨识别分式方程的“一看二问”：一看有没有等号（是方程不是式子），二问分母里有没有字母未知数。遇到π、a、m这类字母时要读清题目——如果题目说“a是非零常数”，那它就不是未知数，方程仍是整式方程；如果题目说“关于a的方程”，那a才是未知数。把隐含条件写在草稿纸最上方，能省掉后面一半的粗心失分。图1分式方程结构标注：方程2/(x−3)=3/x的两个分母都含未知数x，最简公分母是x(x−3)，验根时就把解代入它。⚠第三步：特别提醒⚠判别分式方程只看分母，不看分子。像(x2+1)/3=x这种分子很复杂但分母是数字的方程，仍然是整式方程。⚠分式与分式方程不是一回事：分式是式子（没有等号），分式方程是方程（有等号）。“化简分式”和“解分式方程”的处理办法完全不同，前者不能去分母，后者必须去分母。⚠常数字母（如π、e，或题目声明的非零常数a）出现在分母中不算“含未知数”，不要误判成分式方程。🔍第四步：易错点剖析❌错例：认为(x−1)/2−(x+1)/3=1是分式方程。错因：看到分数线就下结论。这里的分母是2和3，都是数字，不含未知数，所以它是一元一次方程，直接去分母求解即可，不需要验根。✅规避：把每个分母单独圈出来看一眼，只要分母里出现了未知数字母，才是分式方程。❌错例：把分式的加减运算当成方程去分母，例如把1/x+1/(x+1)直接“两边同乘x(x+1)”。错因：这是一个式子而不是方程，没有“两边”可言。式子只能通分化简，不能去分母，否则结果会变成原式的x(x+1)倍。✅规避：先找等号，有等号才是方程，才可以去分母。✏️第五步：典型例题【例题1】（基础·★☆☆）下列方程中，是分式方程的有哪些？①1/x=2；②(x+1)/3=5；③2/(x−1)+3=x；④x/π−1=0；⑤3/(x+y)=1；⑥(x2−1)/5=x。【解】逐个看分母：①分母x含未知数，是；②分母3是数字，不是；③分母x−1含未知数，是；④分母π是常数，不是；⑤分母x+y含未知数，是；⑥分母5是数字，不是。【答案】①③⑤。旁批：④最容易看错，π只是一个约等于3.14的确定的数。【例题2】（基础·★☆☆）若分式方程5/(x−2)+3/(x+1)=1有意义，求x应满足的条件；并判断x=2能否成为它的解。【解】要使各分母都不为零，需x−2≠0且x+1≠0，即x≠2且x≠−1。当x=2时分母x−2=0，原方程失去意义，所以x=2无论如何都不能成为这个方程的解。【答案】x≠2且x≠−1；x=2不能成为解。旁批：这两个数就是本题的“禁区”，也是将来验根时要盯住的目标。📝第六步：随堂小测1.分母中含有________的方程叫做分式方程。2.下列方程中是分式方程的是（）。A.x/2−1=0B.2/x−1=0C.(x+1)/3=xD.(2x−1)/5=13.要使分式方程3/(x−2)=1有意义，x应满足________。4.关于x的方程x/a=2（a为非零常数）________（填“是”或“不是”）分式方程。5.分式方程5/(x+3)=2的解必须满足x+3________0。（二）解分式方程的一般步骤🎯第一步：预习目标✔说出解分式方程的基本思路：去分母，把分式方程转化为整式方程。✔会准确确定最简公分母（先因式分解，再取所有因式的最高次幂之积）。✔规范完成去分母的书写：不漏乘、分子是多项式要加括号。✔能独立解出常见的分式方程，并写出完整的检验过程与结论。✔会处理形如x−2与2−x这样互为相反数的分母。📌第二步：知识清单📌知识点6：解分式方程的基本思路。分式方程我们不会直接解，但一元一次方程我们很熟悉，于是想办法把前者变成后者——在方程两边同乘各分式的最简公分母，约去分母，方程就变成了整式方程。这一步叫“去分母”，是整节课的核心动作。用一句话概括：分式方程的解法=去分母+解整式方程+验根。📌知识点7：最简公分母的确定方法。第一步，把每个分母都分解因式；第二步，把所有出现过的不同因式都取出来；第三步，每个因式取它在各分母中出现的最高次幂；第四步，把这些因式（连同各分母系数的最小公倍数）相乘。例如分母为x−1与x2−1时，因为x2−1=(x+1)(x−1)，所以最简公分母是(x+1)(x−1)；分母为2x与3x2时，最简公分母是6x2。找准最简公分母能让计算量降到最低，也让验根变得简单。📌知识点8：去分母的规范书写。方程两边的每一项都要乘最简公分母，特别是那些不含分母的整数项、整式项，最容易被漏乘；分子如果是多项式，约分后必须整体加上括号，因为原来的分数线本身就起着括号的作用，去掉分数线后如果不补括号，后面的减号就会只作用于第一项，导致符号出错。📌知识点9：互为相反数的分母的处理。x−2与2−x互为相反数，即2−x=−(x−2)；同理a−b与b−a互为相反数。遇到这类分母，先利用分式的符号法则把它们统一成同一个形式，再确定最简公分母，可以避免多算一个因式。例如3/(x−2)+1=(x−1)/(2−x)，先把右边写成−(x−1)/(x−2)，最简公分母就只是x−2。📌知识点10：解整式方程与结论书写。去分母后得到的通常是一元一次方程，按“去括号、移项、合并同类项、系数化为1”的老办法解即可。求出解以后，必须写出检验过程，然后才能下结论。规范的结论写法是“经检验，x=…是原方程的解”或“经检验，x=…是增根，原方程无解”。缺少检验的解题过程即使答案对了也要扣分。💡方法点拨记住口诀：“一分解、二找母、三同乘、四求解、五验根、六作答”。去分母时可以在草稿上把最简公分母写在方程上方，然后逐项对照着乘一遍，乘完打一个勾，这样绝不会漏项。分子是多项式时，先写括号再填内容，把括号当成“出厂标配”，符号错误就会大幅减少。图2解分式方程的五步流程：找最简公分母→去分母化为整式方程→求解→检验（代入最简公分母，为零则舍去增根）→下结论。⚠第三步：特别提醒⚠去分母时不含分母的项千万不能漏乘最简公分母，这是本节最高频的失分点。⚠分子是多项式时，约分后一定要加括号，例如(x−1)/(x−2)乘(x−2)得到的是(x−1)，而不是x−1后面直接接减号。⚠分母能因式分解的一定要先分解，否则找出的公分母往往不是最简的，会白白增加运算量，还容易在验根时算错。⚠解完整式方程只是走完一半路程，没有检验的答案是不完整的答案。🔍第四步：易错点剖析❌错例：解2/(x−3)=3/x时写成2x=3x−3。错因：右边3/x乘以最简公分母x(x−3)应得3(x−3)=3x−9，写成3x−3是漏乘括号里的第二项。✅规避：约分后先写括号，把整个因式装进括号再展开。❌错例：解1/x+2=3/(x+1)时，把常数项2忘了乘最简公分母x(x+1)。错因：只盯着有分母的项去约分，忽略了“两边每一项都要乘”这条规则。正确结果应是(x+1)+2x(x+1)=3x。✅规避：逐项打勾法，乘一项勾一项，全部打勾才继续往下写。✏️第五步：典型例题【例题3】（基础·★☆☆）解方程：2/(x−3)=3/x。【解】最简公分母是x(x−3)。方程两边同乘x(x−3)，得2x=3(x−3)。去括号得2x=3x−9，移项得2x−3x=−9，即−x=−9，所以x=9。检验：当x=9时，x(x−3)=9×6=54≠0。【答案】经检验，x=9是原方程的解。旁批：验根只需代最简公分母，不必代回原方程逐项计算。【例题4】（中档·★★☆）解方程：(x+1)/(x−1)+4/(x2−1)=1。【解】先因式分解：x2−1=(x+1)(x−1)，故最简公分母为(x+1)(x−1)。两边同乘(x+1)(x−1)，得(x+1)2+4=(x+1)(x−1)。展开得x2+2x+1+4=x2−1，移项合并得2x+5=−1，所以2x=−6，x=−3。检验：当x=−3时，(x+1)(x−1)=(−2)×(−4)=8≠0。【答案】经检验，x=−3是原方程的解。旁批：右边的1也要乘最简公分母，得到(x+1)(x−1)，不要漏。【例题5】（中档·★★☆）解方程：3/(x−2)+1=(x−1)/(2−x)。【解】因为2−x=−(x−2)，所以右边可化为−(x−1)/(x−2)，最简公分母是x−2。两边同乘x−2，得3+(x−2)=−(x−1)。去括号得3+x−2=−x+1，即x+1=−x+1，移项得2x=0，所以x=0。检验：当x=0时，x−2=−2≠0。【答案】经检验，x=0是原方程的解。旁批：先统一相反数分母，公分母就从(x−2)(2−x)简化成了x−2。📝第六步：随堂小测1.解分式方程的基本思路是________，即把分式方程转化为________方程。2.方程1/x+1/(x−1)=0的最简公分母是________。3.解方程：2/x=3/(x+1)。4.解方程：3/(x−1)=5/(x+1)。5.去分母时，不含分母的项________（填“要”或“不要”）乘最简公分母。（三）增根与验根：为什么必须检验🎯第一步：预习目标✔说出增根的定义：使原分式方程的最简公分母为零的整式方程的根。✔解释增根产生的原因：两边同乘的最简公分母可能为零，变形不等价。✔掌握两种验根方法，并优先选择“代入最简公分母”这种简便方法。✔区分“分式方程无解”的两种情形，能各举一例。✔明确增根不是计算错误，而是变形过程带来的必然现象。📌第二步：知识清单📌知识点11：增根的定义。在去分母之后得到的整式方程的根中，如果某个根使原分式方程的最简公分母的值为零，那么这个根就叫做原分式方程的增根，它不是原方程的解，必须舍去。“增”字的含义是“增加出来的、多余的”，它是在变形过程中被人为“制造”出来的。📌知识点12：增根产生的原因。等式性质告诉我们，等式两边同乘同一个不为零的数（式），所得结果仍是等式。可是去分母时，我们乘的最简公分母中含有未知数，它的值随未知数变化，完全可能等于零。当它为零时，这一步就不是同解变形了：原方程无意义的那些数，反而可能满足去分母后的整式方程。于是整式方程的解集就比原方程的解集“大”了一圈，多出来的部分就是增根。理解了这一点，你就明白检验不是老师额外加的要求，而是数学逻辑上必需的一步。📌知识点13：验根的两种方法。方法一（推荐）：把整式方程的解代入最简公分母，若结果不为零，则它是原方程的解；若结果为零，则它是增根，舍去。方法二：把解代入原方程的每一个分母（或直接代回原方程），逐一检查是否为零、两边是否相等。方法一运算量小、不易出错，是考试中的标准写法；方法二更本质，适合在检查时使用。📌知识点14：分式方程无解的两种情形。第一种：去分母后得到的整式方程本身无解，例如化简后出现0·x=5这样的矛盾式；第二种：整式方程有解，但求出的解全都是增根，被舍去后一个也不剩。做含参数的题目时，这两种情形都要考虑，漏掉任何一种都会丢分。反过来说，“分式方程无解”并不等于“整式方程无解”，两者是包含关系。📌知识点15：增根的“预判”技巧。在动笔解方程之前，就可以先把最简公分母写出来，令它等于零，解出“可能的增根”。例如最简公分母是(x−1)(x+2)时，可能的增根只有x=1和x=−2两个。这样一来，等整式方程解出来以后，只要看它是不是落在这两个数上就行，几乎不用计算。这个技巧在处理含参数的题目时尤其好用。💡方法点拨把验根想象成“安检”：整式方程放行的旅客里，可能混进了原方程不允许的人。安检的标准只有一条——会不会让最简公分母变成零。会，就请出去（舍去增根）；不会，就是合法的解。养成写“检验：当x=…时，最简公分母=…≠0”这一行的习惯，一行字就能拿到完整的过程分。图3一道产生增根的分式方程的完整求解与检验示意：整式方程解出x=1，但它使最简公分母为零，是增根，原方程无解。⚠第三步：特别提醒⚠增根不是算错的结果。它是去分母这一变形本身带来的，即使每一步计算都正确，也可能出现增根。⚠增根必须是整式方程的根，同时又使最简公分母为零，两个条件缺一不可。仅仅使分母为零但不是整式方程的根的数，不叫增根。⚠“原方程无解”和“x=增根”是两种不同的答案写法，结论栏要写“原方程无解”，不能写“x=1”。🔍第四步：易错点剖析❌错例：解出x=5后发现它使分母为零，于是回头把计算重做一遍，认定自己算错了。错因：不理解增根的来源，误以为“出现增根=算错了”。事实上出现增根恰恰说明变形正确而原方程无解。✅规避：先复核一遍去分母是否漏乘，若无误则大胆写“是增根，原方程无解”。❌错例：求出解后直接写答案，完全不写检验。错因：把分式方程当成一元一次方程处理。分式方程的解题过程中，检验是不可省略的必要环节，缺失就要扣过程分。✅规避：把“检验”写进解题模板，做到解一题写一行检验。✏️第五步：典型例题【例题6】（中档·★★☆）解方程：x/(x−1)−1=3/。【解】最简公分母为(x−1)(x+2)，可能的增根是x=1或x=−2。两边同乘(x−1)(x+2)，得x(x+2)−(x−1)(x+2)=3。展开得x2+2x−(x2+x−2)=3，即x2+2x−x2−x+2=3，化简得x+2=3，所以x=1。检验：当x=1时，(x−1)(x+2)=0×3=0，故x=1是增根，必须舍去。【答案】原方程无解。旁批：整式方程有解，但唯一的解被判为增根，所以原方程一个解也没有。【例题7】（中档·★★☆）解方程：1/(x−5)=10/(x2−25)。【解】因为x2−25=(x+5)(x−5)，最简公分母为(x+5)(x−5)，可能的增根为x=5或x=−5。两边同乘(x+5)(x−5)，得x+5=10，所以x=5。检验：当x=5时，(x+5)(x−5)=10×0=0，故x=5是增根，舍去。【答案】原方程无解。旁批：这是教材上的经典例题，务必记住这种“先分解、后判增根”的处理顺序。📝第六步：随堂小测1.使最简公分母为________的根叫做增根，必须________。2.方程1/(x−5)=10/(x2−25)的解是________。3.分式方程无解有________种情形。4.验根时最简便的做法是把根代入________。5.判断：分式方程产生增根是因为计算出错。（）（四）分式方程的应用：列方程解实际问题🎯第一步：预习目标✔熟记列分式方程解应用题的六个步骤：审、设、列、解、验、答。✔掌握工程问题、行程问题、销售问题的基本数量关系。✔理解“双检验”：既检验是否为增根，又检验是否符合实际意义。✔会用列表法或线段图梳理题目中的等量关系。✔能用完整规范的语言写出应用题的解答过程。📌第二步：知识清单📌知识点16：列分式方程解应用题的六个步骤。①审：读懂题意，弄清已知量、未知量以及它们之间的数量关系；②设：设出未知数（可以直接设也可以间接设），并注明单位；③列：根据等量关系列出分式方程；④解：按去分母、解整式方程的办法求解；⑤验：双检验，先检验是否为增根，再检验是否符合实际意义（如速度、人数、天数必须为正数，人数还要是整数）；⑥答：写出完整的答语，回答题目所问。📌知识点17：工程问题的数量关系。工作总量=工作效率×工作时间。当题目没有给出具体工作量时，通常把总工作量看作单位1，那么“单独完成需要x天”就意味着“每天完成总量的1/x”。合作时效率相加，这就是列方程的依据。例如甲、乙合作t天完成全部工作，可列t(1/a+1/b)=1。📌知识点18：行程问题的数量关系。路程=速度×时间，因此时间=路程÷速度。当速度是未知数时，时间就成了分式，等量关系往往体现在“时间差”上，例如“甲比乙早到30分钟”“骑车比步行少用20分钟”。列方程前一定要统一单位：小时与分钟、千米与米不能混用。📌知识点19：销售与效率问题的数量关系。数量=总价÷单价，单价=总价÷数量。当单价未知时，数量就是分式，等量关系常常体现在“数量相同”“数量差为若干”上。类似地，人均量、单位面积产量等问题也都会产生分式方程。这类问题的关键是分清哪个量是“总量”，哪个量是“单位量”。📌知识点20：梳理关系的两个工具。表格法：把“总量、单位量、份数”三行或“路程、速度、时间”三列填成表，未知数填x，其余用含x的式子表示，等量关系一目了然。线段图法：用线段的长短表示路程或工作量，用括号标出“差”与“和”，特别适合行程问题。两种工具都能把文字叙述转化为可见的结构，是应用题得分的关键。💡方法点拨列方程时先找“等量关系句”，那句话通常带有“相同、相等、一共、比……多、比……少、提前、推迟”等字眼。找到它，把左边和右边分别翻译成含x的式子，中间画等号，方程就列好了。解完以后，不要忘记回头读一遍题目问的是什么——很多同学求出了速度却忘了题目问的是时间。⚠第三步：特别提醒⚠应用题的检验是“双检验”，只写“不是增根”还不够，还要说明结果符合实际意义。⚠单位必须统一：题目中出现“分钟”与“小时”混用时，先换算再列式。⚠设未知数时要写清含义和单位，例如“设步行速度为x米/分”，不能只写“设为x”。⚠答语要完整回答题目所问，若题目问“哪个队快”，就要比较后给出结论，而不是只报出数字。🔍第四步：易错点剖析❌错例：行程问题中把“少用20分钟”直接写成时间差等于20，而路程用米、速度用米/分。错因：这次其实是对的，但若速度单位是米/秒，时间差就应写成1200秒。单位不统一是行程问题最大的坑。✅规避：列式前先在题目旁标注统一单位，全程只用这一套单位。❌错例：解出x=−3后直接作答“速度为−3千米/时”。错因：忽略了实际意义检验。速度、时间、人数、单价都必须为正数，负数解应当舍去；若两个解都不符合实际，则说明题目条件矛盾。✅规避：写检验时分两句：第一句判增根，第二句判实际意义。✏️第五步：典型例题【例题8】（中档·★★☆·工程问题）两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成。哪个队的施工速度快？【解】设乙队单独施工x个月完成全部工程，则乙队每月完成总量的1/x，甲队每月完成总量的1/3。依题意得1/3+(1/3+1/x)×1/2=1。去分母，两边同乘6x，得2x+x+3=6x，移项合并得3x=3，所以x=1。检验：当x=1时，6x=6≠0，且x=1>0符合实际意义。【答案】乙队单独施工1个月可以完成全部工程，而甲队需要3个月，所以乙队的施工速度快。旁批：把总工程量看作1是工程问题的标准处理方式。【例题9】（中档·★★☆·行程问题）小明从家到学校的路程是3000米。他骑自行车的速度是步行速度的3倍，骑车比步行少用20分钟。求小明步行和骑车的速度各是多少。【解】设小明步行的速度为x米/分，则骑车速度为3x米/分。步行用时3000/x分，骑车用时3000/(3x)分。依题意得3000/x−3000/(3x)=20。最简公分母为3x，两边同乘3x得9000−3000=60x，即6000=60x，所以x=100。检验：当x=100时，3x=300≠0，且x=100>0符合实际意义。【答案】步行速度为100米/分，骑车速度为300米/分。旁批：可回代验算，步行30分、骑车10分，恰好相差20分。【例题10】（中档·★★☆·销售问题）某商店用2000元购进一批甲种文具，又用2400元购进一批乙种文具，乙种文具的单价比甲种文具的单价高2元，两批文具的数量相同。求甲种文具的单价。【解】设甲种文具的单价为x元，则乙种文具的单价为(x+2)元。由“数量相同”得2000/x=2400/(x+2)。最简公分母为x(x+2)，两边同乘得2000(x+2)=2400x，去括号得2000x+4000=2400x，移项得400x=4000，所以x=10。检验：当x=10时，x(x+2)=10×12=120≠0，且x=10>0符合实际意义。【答案】甲种文具的单价为10元（乙种为12元，两批各200件）。旁批：“数量相同”就是本题的等量关系句。📝第六步：随堂小测1.列分式方程解应用题的六个步骤是：审、设、列、解、________、答。2.工程问题中通常把总工作量看作________。3.行程问题的基本关系式是________。4.应用题的检验要做________次：既检验是否为增根，又检验是否符合________。5.甲每小时做x个零件，乙每小时比甲多做5个，甲做60个与乙做80个所用时间相同，可列方程________。（五）含参数的分式方程（拓展提升）🎯第一步：预习目标✔会由“方程有增根”这一条件反过来求出参数的值。✔会由“方程无解”这一条件求参数，并考虑到两种情形。✔会由“解为正数（或负数）”求参数的取值范围，并记得排除增根。✔体会分类讨论思想在含参问题中的作用。📌第二步：知识清单📌知识点21：已知有增根求参数。三步走：①令最简公分母等于零，求出可能的增根；②把原分式方程去分母，化为含参数的整式方程；③把增根代入这个整式方程，解出参数。注意增根必须同时满足这两个条件，所以代入的是去分母后的整式方程，而不是原分式方程（原方程在增根处根本没有意义）。📌知识点22：已知无解求参数。必须分两类讨论：第一类，去分母后的整式方程无解（当整式方程整理成kx=b的形式时，k=0且b≠0）；第二类，整式方程有解但解是增根。两类分别求出参数值，最后取并集。很多同学只想到第二类就交卷，白白丢分，这正是本知识点的价值所在。📌知识点23：已知解的符号求参数范围。先把方程解出来，得到用参数表示的解x=f(m)；再按题目要求列不等式（解为正数就令f(m)>0）；最后排除使解成为增根的参数值，也就是把f(m)等于可能增根时对应的m剔除掉。这一步几乎每次都会被遗漏，请务必牢记：范围题的答案通常形如“m<a且m≠b”。💡方法点拨含参问题的通用套路是“先当普通题解，再回头加条件”。也就是说，不管参数多复杂，都先把方程按常规步骤解成x=含参的式子，然后再根据“有增根”“无解”“解为正”等条件去写等式或不等式。把参数当成一个暂时不知道数值的常数即可，不要被字母吓住。⚠第三步：特别提醒⚠“有增根”与“无解”不是同一个条件：有增根一定要求整式方程有解，而无解还包含整式方程本身无解的情形。⚠求解的符号范围时，别忘了排除增根对应的参数值，答案往往要写成“且m≠某值”。🔍第四步：易错点剖析❌错例：求“方程无解时m的值”，只考虑了增根的情形。错因：遗漏了整式方程本身无解的情形，导致答案不完整。✅规避：看到“无解”就写两行：情形一、情形二，分别讨论后合并。✏️第五步：典型例题【例题11】（拓展·★★★）若关于x的方程x/(x−3)−2=m/(x−3)有增根，求m的值。【解】最简公分母为x−3，令x−3=0得可能的增根x=3。两边同乘x−3得x−2(x−3)=m，去括号得x−2x+6=m，即−x+6=m，所以x=6−m。因为增根是x=3，所以3=6−m，解得m=3。【答案】m=3。旁批：把增根代入的是去分母后的整式方程−x+6=m，不是原分式方程。【例题12】（拓展·★★★）若关于x的分式方程(2x+m)/(x−3)=1的解是正数，求m的取值范围。【解】两边同乘x−3，得2x+m=x−3，移项得x=−m−3。要使解是正数，需−m−3>0，即m<−3。又因为x≠3（否则为增根），所以−m−3≠3，即m≠−6。综合得m<−3且m≠−6。【答案】m<−3且m≠−6。旁批：漏掉“m≠−6”是本类题最典型的失分点。📝第六步：随堂小测1.关于x的方程x/(x−3)−2=m/(x−3)若有增根，则增根为x=________。2.上题中m=________。3.若分式方程(2x+m)/(x−3)=1的解为正数，则m的取值范围是________。4.分式方程无解包含“整式方程________”和“整式方程的解是________”两种情形。三、本节思维导图（中心：18.5分式方程）┌─概念：分母中含有未知数的方程（只看分母，不看分子）├─隐含条件：各分母都不为零├─解法：去分母→解整式方程→检验→下结论│├─最简公分母：先因式分解，取各因式最高次幂之积│└─去分母：每项都乘，分子多项式要加括号├─增根：整式方程的根+使最简公分母为零⇒舍去│└─无解两情形：整式方程无解/解全是增根├─应用：审设列解验答（双检验）；工程/行程/销售└─含参：有增根求参/无解求参/解的符号求范围图418.5分式方程知识结构图：概念、解法、增根、应用四条主线及其下位知识点。四、本节核心概念速查卡🔑分式方程：分母中含有未知数的方程。判别只看分母。🔑隐含条件：各分母都不为零，解题前先写出来。🔑基本思路：去分母，把分式方程转化为整式方程（转化思想）。🔑最简公分母：各分母因式分解后，所有因式取最高次幂的乘积。🔑五个步骤：找公分母→去分母→解整式方程→检验→下结论。🔑去分母要点：每项都乘，不漏乘；分子是多项式要加括号；相反数分母先统一。🔑增根：整式方程的根，且使最简公分母为零，必须舍去。🔑增根成因：两边同乘的最简公分母可能为零，变形不等价，解集被扩大。🔑验根方法：把解代入最简公分母：不为零是解，为零是增根。🔑无解两情形：整式方程无解；或整式方程的解全是增根。🔑应用六步：审、设、列、解、验、答；其中“验”是双检验。🔑三类模型：工程（总量看作1）、行程（时间差）、销售（数量相同或数量差）。🔑含参三型：有增根求参、无解求参（分两类）、解的符号求范围（记得排除增根）。记忆口诀：分母有元分式方程，去分母时莫漏项；括号补齐符号稳，公分母里验真章；为零即是增根现，舍去之后写无解；应用题目双检验，正数整数合情理。五、本节易错点汇总1.【判别失误】看到分数线就当分式方程，忽略了分母是数字或常数字母的情形。2.【漏乘项】去分母时不含分母的常数项、整式项忘了乘最简公分母，导致方程整体失衡。3.【缺括号】分子是多项式时约分后不加括号，减号只作用于第一项，符号全错。4.【不验根】求出整式方程的解就直接作答，既可能把增根当成解，又要被扣过程分。5.【误判增根】出现增根就以为自己算错，反复重算浪费时间；其实这说明原方程无解。6.【公分母不最简】分母没有先因式分解，取了过大的公分母，运算量翻倍还容易出错。7.【符号处理】遇到x−2与2−x这类相反数分母不做统一，硬取乘积作公分母。8.【单检验】应用题只检验增根，不检验实际意义，把负数速度、非整数人数当成答案。9.【无解漏情形】含参数求“无解”时只考虑增根，遗漏整式方程本身无解的情形。10.【范围漏排除】求解的符号范围时忘记排除使解成为增根的参数值，答案少写“且m≠某值”。六、本节分层自测卷（共10题）A层·基础巩固（5题）1.下列方程中是分式方程的是（）。A.(x−1)/2=3B.3/x−1=0C.x/2+x/3=1D.(2x+1)/5=x2.方程5/(x−1)=2的解是x=________。3.解分式方程时，方程两边同乘的是________________。4.解方程：2/x=3/(x+1)。5.分式方程的解必须经过________，使最简公分母为________的根是增根，应当舍去。B层·能力提升（3题）6.解方程：x/(x+1)=2x/(3x+3)+1。7.解方程：3/(x−2)+1=(x−1)/(2−x)。8.某工程队要修一条长1200米的道路，实际工作效率是原计划的1.5倍，结果比原计划提前2天完成。求原计划每天修路多少米。C层·拓展挑战（2题）9.若关于x的分式方程2/(x−1)=m/(x−1)+3无解，求m的值。10.说理题：为什么解分式方程必须验根？请结合“去分母时两边同乘的式子可能为零”作出说明，并举出一个产生增根的具体例子。七、参考答案与解析【随堂小测（一）分式方程的概念】1.未知数；2.B（只有B的分母x含未知数）；3.x≠2；4.不是（a是常数，不是未知数）；5.≠。【随堂小测（二）解分式方程的步骤】1.去分母；整式；2.x(x−1)；3.两边同乘x(x+1)得2(x+1)=3x，解得x=2，检验x(x+1)=6≠0，故x=2；4.两边同乘(x−1)(x+1)得3(x+1)=5(x−1)，解得x=4，检验(x−1)(x+1)=15≠0，故x=4；5.要。【随堂小测（三）增根与验根】1.零；舍去；2.无解（去分母得x+5=10，x=5是增根）；3.两；4.最简公分母；5.错误（增根由变形本身产生，不是计算错误）。【随堂小测（四）分式方程的应用】1.验；2.1（单位1）；3.路程=速度×时间；4.两；实际意义；5.60/x=80/(x+5)（解得x=15，检验x(x+5)=300≠0且符合实际，甲每小时15个、乙每小时20个）。【随堂小测（五）含参数的分式方程】1.3；2.3；3.m<−3且m≠−6；4.无解；增根。【分层自测卷·A层】1.B；2.两边同乘x−1得5=2(x−1)，即2x=7，x=7/2，检验x−1=5/2≠0，故x=7/2（即3.5）；3.最简公分母；4.两边同乘x(x+1)得2(x+1)=3x，去括号得2x+2=3x，所以x=2，检验x(x+1)=6≠0，故x=2是原方程的解；5.检验；零。【分层自测卷·B层】6.因为3x+3=3(x+1)，最简公分母为3(x+1)。两边同乘3(x+1)得3x=2x+3(x+1)，去括号得3x=2x+3x+3，即3x=5x+3，移项得−2x=3，所以x=−3/2。检验：3(x+1)=3×(−1/2)=−3/2≠0，故x=−3/2是原方程的解。7.因为2−x=−(x−2)，最简公分母为x−2。两边同乘x−2得3+(x−2)=−(x−1)，即x+1=−x+1，移项得2x=0，所以x=0。检验：x−2=−2≠0，故