2025~2026学年广东省东莞市两校联考高一下册6月质量检测数学试题【含答案】

/数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在ΔABC中，若b=3，，，则A. B.362 C.32 2.某学校有2500名学生，其中高一1000人，高二900人，高三600人，为了了解学生的身体健康状况，采用分层抽样的方法，若从本校学生中抽取100人，从高一和高三抽取样本数分别为、，且直线与以为圆心的圆交于、C两点，且，则圆C的方程为（）A. B.C. D.3.若z1=1+2i,z2=-1+i,且z+z2=z1,则z的共轭复数=A. B.C. D.4.在中，，分别为线段AB，上的点，直线，交于点，且满足，则（）A. B. C. D.435.《九章算术》中有如下问题：“今有圆亭（圆亭可看作圆台），下周三丈，上周二丈，高一丈.”则该圆亭的侧面积为（）A.平方丈 B.平方丈C.平方丈 D.平方丈6.如图，等边三角形的中线与中位线相交于，已知是绕旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是A.恒有⊥B.异面直线与不可能垂直C.恒有平面⊥平面BCDED.动点在平面上的射影在线段上7.某市有一宝塔主体是由圆柱、棱柱、球等几何体构成，如图所示．为了测量宝塔的高度，某数学兴趣小组在宝塔附近选择楼房AB作为参照物，楼房高为，在楼顶A处测得地面点处的俯角为15°，宝塔顶端C处的仰角为，在处测得宝塔顶端C处的仰角为60°，其中在一条直线上，则该宝塔的高度CD=（）A. B.C. D.8.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）称之为“堑堵”．如图，三棱柱为一个“堑堵”，底面是以AB为斜边的直角三角形且，，点在棱BB1上，且，当的面积取最小值时，三棱锥P−ABC的外接球表面积为（）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.下列说法正确的是（）A.复数z满足B.，，，则，中至少一个为0C.复数z满足，则最大值为2+1D.的虚部为10.已知等腰△MAD，MA=MD，取，MD中点，C，将沿翻折至，使得为正三角形，若底面，则下列说法正确的是（）A.四棱锥P−ABCD存在外接球 C. D.四棱锥P−ABCD的体积为11.点在所在的平面内，则以下说法正确的有（）A.若，则点为的外心（外接圆圆心）B.若，则动点的轨迹一定通过的重心C.若，，分别表示△AOC，的面积，则D.若，则点是的内心三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知i是虚数单位，若是纯虚数，则实数____13.已知四面体的所有棱长均为，M，N分别为棱的中点，F为棱AB上异于A，B的动点．有下列结论：①线段的长度为1；②当F为棱AB中点时，点C到面的距离为；③周长的最小值为；④三棱锥的体积为定值．其中正确结论的序号为_____________．14.已知F1，F2为椭圆与双曲线的公共左，右焦点，为它们的一个公共点，且，O为坐标原点，e1，e2分别为椭圆和双曲线的离心率，则四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，且，点P为的费马点.（1）求A；（2）若，求的值；（3）若，求的最大值.16.已知函数，x∈R（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的最小正周期；（Ⅲ）求使取得最大值的x的集合．17.如图，在三棱柱中，为棱的中点，平面．（1）试确定点的位置，并证明平面；（2）若是等边三角形，AB=AA1=2，，且平面平面ABB18.已知函数是R上的奇函数．（1）求实数的值，并判断函数的单调性（单调性不需要证明）；（2）若对，都有成立，求实数的取值范围．（3）设为常数，且，若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围．19.如图；在三棱柱ADP−BCQ中；侧面（1）若PD⊥面；，，求证：；（2）若二面角的大小为θ；，且；设直线和平面所成角为；问当θ变化过程中能否取到；若能；请证明；若不能请说明理由．

数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在ΔABC中，若b=3，，，则A. B.362 C.32 答案：D解析：思路：由正弦定理构造方程即可求得结果.解答过程：由正弦定理asinA本题正确选项：方法提示：本题考查正弦定理解三角形的问题，属于基础题.2.某学校有2500名学生，其中高一1000人，高二900人，高三600人，为了了解学生的身体健康状况，采用分层抽样的方法，若从本校学生中抽取100人，从高一和高三抽取样本数分别为、，且直线与以为圆心的圆交于、两点，且，则圆的方程为（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：根据分层抽样的定义进行求解，，利用点到直线的距离公式，求出到直线的距离，可得半径，即可得出结论．解答过程：解：由题意，，，，直线，即，则到直线的距离为，直线与以为圆心的圆交于，两点，且，，圆的方程为，故选：C．3.若z1=1+2i,z2=-1+i,且z+z2=z1,则z的共轭复数=A. B.C. D.答案：A解析：思路：由复数的加减法运算得到z=,由共轭复数的概念得到结果.解答过程：由题意知z1=1+2i,z2=-1+i,故z+(-1+i)=1+2i,即z=,则．故选A．方法提示：若复数的代数形式已知，则根据共轭复数的定义可以写出z，再进行复数的四则运算．必要时，需通过复数的运算先确定出复数的代数形式，再根据共轭复数的定义求z;若，它的共轭复数，则．互为共轭的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称,特别地，实数和它的共轭复数在复平面内所对应的点重合，且在实轴上．4.在中，，分别为线段，上的点，直线，交于点，且满足，则（）A. B. C. D.43答案：C解析：思路：根据平面向量基本定理，结合向量共线得出相关线段比例关系，进而根据三角形的面积公式求解．解答过程：已知，由共线，设，，故，，则，，，故，故；设，则，即，则，，解得，由得出，故，由知，设到的距离为，则，由知，设到的距离为，则，即，．5.《九章算术》中有如下问题：“今有圆亭（圆亭可看作圆台），下周三丈，上周二丈，高一丈.”则该圆亭的侧面积为（）A.平方丈 B.平方丈C.平方丈 D.平方丈答案：B解析：思路：由条件求圆台的底面半径和侧棱长，再由圆台侧面积公式求解.解答过程：如图，ABCD是圆台的轴截面，O，H分别为AB，CD的中点，则OH⊥AB，过点C作于G由题意知丈，丈，CG=1丈，得BC=（丈），所以该圆亭的侧面积为所以（平方丈）.6.如图，等边三角形的中线与中位线相交于，已知是绕旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是A.恒有⊥B.异面直线与不可能垂直C.恒有平面⊥平面BCDED.动点在平面上的射影在线段上答案：B解析：解答过程：对A来说，DE⊥平面，∴⊥；对B来说，∵E、F为线段AC、BC的中点，∴EF∥AB，∴∠A′EF就是异面直线A′E与BD所成的角，当（A'E）2+EF2=（A'F）2时，直线A'E与BD垂直，故B不正确；对C来说，因为DE⊥平面，DE平面，∴平面⊥平面，故C正确；对D来说，∵A′D=A′E，∴DE⊥A′G，∵△ABC是正三角形，∴DE⊥AG，又A′G∩AG=G，∴DE⊥平面A′GF，从而平面ABC⊥平面A′AF，且两平面的交线为AF，∴A'在平面ABC上的射影在线段AF上，正确；故选B7.某市有一宝塔主体是由圆柱、棱柱、球等几何体构成，如图所示．为了测量宝塔的高度，某数学兴趣小组在宝塔附近选择楼房作为参照物，楼房高为，在楼顶A处测得地面点处的俯角为15°，宝塔顶端处的仰角为，在处测得宝塔顶端处的仰角为，其中在一条直线上，则该宝塔的高度CD=（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：由已知条件解三角形△ACM得CM，再解求CD即可.解答过程：，在中，易得，在△ACM中，易得，由正弦定理得：，在中，.故选：B8.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）称之为“堑堵”．如图，三棱柱为一个“堑堵”，底面是以为斜边的直角三角形且，，点在棱BB1上，且，当的面积取最小值时，三棱锥P−ABC的外接球表面积为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：利用基本不等式可求的面积最小值为18，再根据几何体的特征可得为外接球的直径，从而可求外接球表面积.解答过程：解法一：由“堑堵”的定义可知，为直角三角形，故，易知，又，，所以平面，而AP⊂平面，于是得．设，BP=t，则，则，，，由，得，整理得，所以，所以，当且仅当，即时的面积取得最小值18．此时．设三棱锥P−ABC的外接球半径为因为，，故线段为外接球的直径，故所求外接球的表面积．故选：D．解法二：令，则，，，又因为AC⊥平面，所以，又．所以平面ACP，所以．的面积当且仅当时，取最小值，此时，．在三棱锥P−ABC中，因为，取中点为，则，故为三棱锥P−ABC所以为外接球直径，．故选：D．方法提示：本题考查空间中几何图形面积的计算、几何体外接球的表面积计算，注意根据几何体的特征合理确定球心的位置，本题属于较难题.二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.下列说法正确的是（）A.复数z满足B.，，，则，中至少一个为0C.复数z满足，则最大值为2+1D.的虚部为答案：BC解析：思路：对于A：取特殊值复数z=i，否定结论；对于B：设.直接计算即可判断；对于C：设复数z=x+y解答过程：对于A：取复数z=i，则，不满足.故A不正确；对于B：设.则，所以，则或.所以，中至少一个为0.故B正确；对于C：设复数z=x+由可得：表示点Z在以为圆心，1为半径的圆上.表示点Z到的距离.由圆的性质可得：.因为，所以.即最大值为2+1.故C正确；对于D：因为.所以的虚部为.故D错误.故选：BC.10.已知等腰△MAD，MA=MD，取，MD中点，，将沿翻折至，使得为正三角形，若底面，则下列说法正确的是（）A.四棱锥P−ABCD存在外接球 C. D.四棱锥P−ABCD的体积为答案：ABD解析：思路：根据折叠前后的线段关系，线面垂直的性质，为正三角形，结合勾股定理可得，从而可判断四棱锥P−ABCD是否存在外接球，即可判断A；利用四边形内的角度关系，结合余弦定理与可得线段的值，即可判断B；根据空间向量数量积的运算性质计算的值，即可判断C；求解四边形的面积，计算四棱锥P−ABCD的体积，即可判断D.解答过程：由题意可知AB=DC，因为为正三角形，PA=22所以，又底面，所以，则，故四棱锥P−ABCD的外接球球心为，故A正确；由于，则，所以在平面中，，则①，在中，由余弦定理得：②，在中，由余弦定理得：③，由①②③可得又，所以，，故B正确；由③可得，则为锐角，所以，所以，因为，则，故C错误；由可得，则四边形的面积故四棱锥P−ABCD的体积为故选：ABD.11.点在所在的平面内，则以下说法正确的有（）A.若，则点为的外心（外接圆圆心）B.若，则动点的轨迹一定通过的重心C.若，，分别表示△AOC，的面积，则D.若，则点是的内心答案：BCD解析：思路：A选项，计算出，OB⊥，同理可得⊥，⊥，则点为的垂心；B选项，作出辅助线，得到，故点在中线上，故向量一定经过的重心；C选项，作出辅助线，得到，从而得到所以，故；D选项，作出辅助线，得到，故⊥，并得到在的平分线上，同理可得，在的平分线上.解答过程：A选项，，即，故OB⊥，同理可得⊥，⊥，则点为的垂心，A错误；B选项，过点作⊥于点，取的中点，连接，则，，则，故点在中线上，故向量一定经过的重心，B正确；C选项，如图，分别为的中点，，则，故，所以，故，C正确；D选项，分别表示方向上的单位向量，故，，故⊥，由三线合一可得，在的平分线上，同理可得，在的平分线上，则点是的内心，D正确.故选：BCD方法提示：结论点睛：点为所在平面内的点，且，则点为的重心，点为所在平面内的点，且，则点为的垂心，点为所在平面内的点，且，则点为的外心，点为所在平面内的点，且，则点为的内心，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知i是虚数单位，若是纯虚数，则实数____答案：1解析：思路：利用复数的除法运算化简复数，根据复数为纯虚数求得的值.解答过程：依题意，为纯虚数，故.方法提示：本小题考查复数的除法运算、乘法运算，考查纯虚数的概念，考查运算求解能力，属于基础题.13.已知四面体的所有棱长均为，M，N分别为棱的中点，F为棱上异于A，B的动点．有下列结论：①线段的长度为1；②当F为棱中点时，点C到面的距离为；③周长的最小值为；④三棱锥的体积为定值．其中正确结论的序号为_____________．答案：①②解析：思路：由正四面体结合勾股定理求出即可判断①；通过等体积法即可判断②；通过展开图求出的最小值即可判断③；由为定值，点F到平面的距离随着点F的变化而变化即可判断④.解答过程：∵四面体所有棱长均为，∴四面体为正四面体，对于①，作平面，垂足为O，连接，∵四面体为正四面体，∴O为的中心，∴且，取中点G，连接MG，则，则平面，∵，∴，∴，∵平面平面，∴，∴，①正确；对于②，当F为棱中点时，设点C到面的距离为h，由①知，又，则，，，到平面的距离，由得，解得h=12，②正确；对于③，将等边三角形与沿展开，可得展开图如图所示，则MF+NF≥MN，当且仅当F为中点时取等号，∵四边形为菱形，M，N分别为中点，∴，∴，在四面体中，周长的最小值为2+1，③错误；对于④，三棱锥的体积等于三棱锥的体积，因为为定值，而点F到平面的距离随着点F的变化而变化，所以④错误.故答案为：①②.14.已知，F2为椭圆与双曲线的公共左，右焦点，为它们的一个公共点，且，O为坐标原点，e1，e2分别为椭圆和双曲线的离心率，则的最大值为_________．答案：10解析：思路：由题意可知，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知，由勾股定理可得三边关系，由离心率的定义可得，再利用向量法即可求出最大值.解答过程：由题意可设椭圆和双曲线的方程分别为，因为二者共焦点，所以，如图，设，由椭圆和双曲线的定义可知，由此解得，由题意知，所以，故在中，由勾股定理可知，代入的表达式可得，由离心率的定义可得，设，则，所以问题转化为求的最大值，设，由可得，当且仅当两向量同向共线时即取等号，所以的最大值为10.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，且，点P为的费马点.（1）求A；（2）若，求的值；（3）若，求的最大值.答案：（1）90∘（2）（3）解析：思路：（1）法一：根据二倍角公式计算结合正弦定理计算求解；法二：根据二倍角公式计算结合两角和差正弦公式计算求解；（2）应用面积相等列式计算结合平面向量数量积公式计算求解；（3）应用费马点的定义结合平面向量基本定理有，应用余弦定理结合基本不等式计算得出最值.（1）法一：因为，所以，即，整理得：，所以由正弦定理可得，所以；法二：因为，且，所以，所以，整理得，因为，所以，所以.（2）由（1）可得，，所以三个内角都小于，则由费马点的定义可知：，设，由，得，整理得：，所以；（3）由费马点的定义可知：，设，则，又，所以由平面向量基本定理有.由余弦定理可得：，，，因为，所以，所以有，化简可得：，将代入上式，化简得.因为，当且仅当结合解得时等号成立，设，所以，解得或，因为，所以，所以，即的最大值为.16.已知函数，x∈R（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求fx（Ⅲ）求使fx取得最大值的x答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）π；（Ⅲ）．解析：思路：（Ⅰ）由，令求解；（Ⅱ）根据，利用周期公式求解；（Ⅲ）根据，令求解.解答过程：（Ⅰ）因为，所以f0（Ⅱ）因为，所以，，所以，fx的最小正周期为π（Ⅲ）因为，所以fx当且仅当时，即时，fx取得最大值，所以使fx取得最大值的x的集合为．17.如图，在三棱柱中，为棱的中点，平面．（1）试确定点的位置，并证明平面；（2）若是等边三角形，AB=AA1=2，，且平面平面ABB答案：（1）延长，交的延长线于点N；证明见解析；（2）.解析：思路：（1）延长，交的延长线于点N，由平面的基本性质可得点N即为所求，然后利用棱柱的性质及线面平行的判定定理即证；（2）取线段A1B1的中点G，由题可得是三棱锥（1）延长，交的延长线于点N．∵，A1B1⊂∴平面A1B又∵，∴平面，点N即为所求．连接，交直线B1C于点O，连接OM．∵，∴．又∵M为线段的中点，∴，即M为线段NB的中点．在三棱柱中，四边形BCC1∴O为线段中点，∴OM为中位线，∴．又∵平面，平面，∴平面．（2）取线段A1B1的中点G由条件知，△A∴，且．∵平面平面ABB1A1，平面A1B1C∴平面，即是三棱锥的高．又∵，∴．由（1）知，，，∴，∴四面体的体积．18.已知函数是R上的奇函数．（1）求实数的值，并判断函数fx的单调性（单调性不需要证明）；（2）若对，都有成立，求实数的取值范围．（3）设为常数，且，若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围．答案：（1），fx在R上单调递增，理由见解析（2）（3）解析：思路：（1）根据函数为奇函数得到，从而得到方程，求出，并利用复合函数单调性和函数奇偶性得到函数单调递增；（2）不等式变形为，根据的单调性得到，故得到，换元得到，分q=1和时，求出；（3）求出fx有唯一零点0，得到在区间上有解，显然，令，只需求出的最小值，，根据单调性得到当时，取得最小值，求出的最小值为，从而得到答案.（1）由题意得，即，故，即，所以，解得，负值舍去；函数fx显然在0,+∞上单调递增，又在上单调递增，由复合函数单调性值，fx在0,+又fx是R上的奇函数，且为连续函数，故f（2）对，都有，即，由（1）可知在单调递增，故，所以只需，即，令，则，因为，所以，则，，当q=1时，恒成立，当时，，其中，故；（3）fx在R上单调递增，且f故fx有唯一零点0，故，函数在区间上有解，显然，当时，等号成立，要求的最小值，且在区间上始终有解，令，只需求出的最小值，，随着的增大，增大，，先减小，后增大，且当时，，，故，故当时，取得最小值，解得，故的最小值为，故