2025~2026学年广东省江门市恩平黄冈实验中学等校高一下册期中考试数学试题【含答案】

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.在△ABC中，，，则△ABC的外接圆半径为（）A.6 B.12 C. D.3.已知，，，则（）A. B. C. D.4.在中，点在边上，且满足，为的中点，则（）A. B.C. D.5.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则（）A. B. C. D.6.已知向量，满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.7.已知复数z满足，则的最小值为（）A. B.3 C. D.18.如图，在中，，E在边AC上，且，若，，则（）A.20 B.24 C.26 D.28二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数（），，若为纯虚数，则下列说法正确的有（）A. B.C. D.在复平面内对应的点为10.下列关于立体图形的说法错误的是（）A.有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥B.侧面都是矩形的四棱柱是长方体C.以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥D.圆台的母线延长后一定交于同一点11.已知函数是定义域为的奇函数，满足，且当时，，则（）A.函数的周期为4B.函数在上单调递增C.关于x的方程有且仅有2个不同的实根D.当时，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知一个正六棱柱的底面是边长为2的正六边形，且所有棱长之和为48，则该正六棱柱的侧棱长为__________.13.已知，，且，则的最小值为__________，此时__________.14.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则使有两解的k的取值范围是__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知复数.（1）求z的共轭复数；（2）求的实部和虚部；（3）若复数（）在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围.16.在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，.（1）求的值；（2）求的值；（3）求的面积.17.已知函数.（1）求函数的最小正周期和曲线的对称轴方程；（2）若关于x的方程在上有两个不同的实根，求实数m的取值范围.18.已知平面内两个非零不共线向量，满足，，且对任意实数t，不等式恒成立，向量满足.（1）求，夹角的余弦值；（2）求的最小值.19.某自动化港口的水平作业区为水平面，岸边桥吊作业点A，集装箱堆场B，维修站C构成三角形布局，米，，.无人集卡（无人驾驶集装箱卡车的简称）在作业区的最大行驶速度为10米/秒，道路均为直线通行.（1）求A，B到C的直线距离（结果保留根号）.（2）无人集卡从A运输集装箱到B（按10米/秒的速度行驶），行驶到AB的中点D时收到调度指令，需先前往C维修故障，再前往B卸货，其中从C到B按最大速度10米/秒行驶.为不影响卸货时效，从D点出发后的行驶总时间不得超过原计划D直接到B的时间的3倍，求无人集卡从D到C的行驶速度的最小值（结果保留根号）.（3）港口计划在∠ACB的角平分线上新建一个充电补给站P，使得补给站到A，B两点的距离相等.求补给站P到维修站C的距离（结果保留根号）.数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：，则，又，所以.2.在△ABC中，，，则△ABC的外接圆半径为（）A.6 B.12 C. D.答案：A解析：解答过程：因为，，所以.设外接圆的半径为，，则，所以外接圆的半径为.3.已知，，，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据指数函数和对数函数的单调性，分别判断与0、1的大小关系，即可求解.解答过程：指数函数在上单调递增，所以，即；指数函数在上单调递减，所以，又因为指数函数的值域大于0，所以，即.对数函数在上单调递减，所以，即.由上述分析可知，所以.4.在中，点在边上，且满足，为的中点，则（）A. B.C. D.答案：C解析：解答过程：.5.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：因为，为内角，则，则.6.已知向量，满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据向量垂直得到，再根据向量数量积运算得，最后利用投影向量计算公式即可得到答案.解答过程：由于，所以，即，又，，所以.则向量在向量上的投影向量等于：.7.已知复数z满足，则的最小值为（）A. B.3 C. D.1答案：B解析：思路：先根据复数的模的几何意义得到z在复平面上对应的点的轨迹图形，再由在复平面的几何性质即可得到其最小值．解答过程：因为，所以复数对应的点在以为圆心，2为半径的圆上，因为表示点与定点的距离，所以点与定点的距离的最小值等于圆心与的距离减去圆的半径，即.8.如图，在中，，E在边AC上，且，若，，则（）A.20 B.24 C.26 D.28答案：A解析：思路：根据给定条件，利用数量积的运算律及性质列式求解.解答过程：由，得，而E在边AC上，且，所以.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数（），，若为纯虚数，则下列说法正确的有（）A. B.C. D.在复平面内对应的点为答案：AC解析：思路：由复数的乘法结合纯虚数定义可得，再根据复数模计算公式、复数的加法运算结合复数的几何意义可判断各项.解答过程：由题意得，，因为为纯虚数，所以，解得，A正确；此时，，故B错误；C正确；，在复平面内对应的点为，故D错误.10.下列关于立体图形的说法错误的是（）A.有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥B.侧面都是矩形的四棱柱是长方体C.以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥D.圆台的母线延长后一定交于同一点答案：ABC解析：解答过程：对于A，棱锥的一个面是多边形，其余各面的三角形必须有公共顶点，若仅满足“一个面是多边形，其余各面是三角形”，不一定是棱锥（例如两个同底的三棱锥拼接得到的几何体符合描述，但不是棱锥），A错误；对于B，侧面都是矩形的四棱柱是直四棱柱，但直四棱柱的底面不一定是矩形，只有底面为矩形的直四棱柱才是长方体，B错误；对于C，只有以直角三角形的直角边为轴旋转一周，得到的旋转体才是圆锥，若绕斜边旋转一周，得到的是两个同底圆锥组成的组合体，不是圆锥，C错误；对于D，圆台是平行于圆锥底面的平面截圆锥得到的，因此所有母线延长后一定交于原圆锥的同一点，D正确.11.已知函数是定义域为的奇函数，满足，且当时，，则（）A.函数的周期为4B.函数在上单调递增C.关于x的方程有且仅有2个不同的实根D.当时，答案：ACD解析：思路：根据给定条件，求出函数的周期判断A；利用周期及对称性确定单调性判断B；求出方程的根判断C；利用对称性求出解析式判断D.解答过程：对于A，由上的奇函数满足，得，则，，因此函数的周期为4，A正确；对于C，当时，，由是奇函数，则当时，单调递增，，因此函数在上单调递增，，由，得函数的图象关于直线对称，则在上单调递减，，而函数的周期为4，则在上值域为，当或时，，于是方程在上无解，当时，由，得无解；当时，，，由，得，解得；当时，，由，得，解得；显然函数的图象关于直线对称，当时，，，由，得，于是，而此方程在上无解，因此方程在各有一个解，C正确；对于B，由选项C知，在上单调递减，由，得，又周期为4，因此函数在上单调递减，B错误；对于D，当时，，，D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知一个正六棱柱的底面是边长为2的正六边形，且所有棱长之和为48，则该正六棱柱的侧棱长为__________.答案：4解析：思路：根据正六棱柱性质，有6条侧棱，上下底面各有6条棱，上下底面的棱长度相等，所有棱长之和列出方程求解侧棱长.解答过程：正六棱柱上下底面均为正六边形，每个正六边形有6条边，所以上下底面的棱共有条，且每条棱的长度都为2，正六棱柱有6条侧棱，设侧棱长为，已知所有棱长之和为48，则，解得.综上，该正六棱柱的侧棱长为4.13.已知，，且，则的最小值为__________，此时__________.答案：①.12②.解析：解答过程：由，，则，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为12，此时.14.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则使有两解的k的取值范围是__________.答案：解析：解答过程：在中，由正弦定理及有两解，得且，解得，所以所求的取值范围是.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知复数.（1）求z的共轭复数；（2）求的实部和虚部；（3）若复数（）在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围.答案：（1）（2）实部为，虚部为（3）解析：思路：（1）先根据虚数单位的幂次规律化简，再根据共轭复数的定义求出；（2）先求出，再根据复数实部和虚部的定义确定其实部和虚部；（3）先求出的表达式，再根据复数在复平面内的坐标表示以及第四象限内点的坐标特征列出不等式组，求解的取值范围.（1）因为，所以.所以.（2）由（1）知，则，所以的实部为，虚部为.（3）已知，则，复数在复平面内对应的点的坐标为，因为该点位于第四象限，则，所以不等式组的解集为，即的取值范围是.16.在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，.（1）求的值；（2）求的值；（3）求的面积.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）根据余弦定理即得；（2）利用余弦定理可得，然后利用同角关系式即得.（3）结合（1）（2）由面积公式即可求解.（1）因为，所以，所以；（2）由余弦定理可得，又为的内角，所以（3）17.已知函数.（1）求函数的最小正周期和曲线的对称轴方程；（2）若关于x的方程在上有两个不同的实根，求实数m的取值范围.答案：（1），；（2）.解析：思路：（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再利用正弦函数性质求解.（2）确定函数在上的单调性及对应函数值变化情况，再利用直线与函数的上的图象有两个交点求出范围.（1）函数，所以函数的最小正周期为；由，得，所以曲线的对称轴方程为.（2）当时，，由，得，由，得，因此函数在上单调递减，函数值从递减到；函数在上单调递增，函数值从增大到，由方程在上有两个不同的实根，得直线与函数的上的图象有两个不同交点，因此，所以实数m的取值范围是.18.已知平面内两个非零不共线向量，满足，，且对任意实数t，不等式恒成立，向量满足.（1）求，夹角的余弦值；（2）求的最小值.答案：（1）；（2）.解析：思路：（1）结合数量积的运算律，等价变形给定不等式，再利用恒成立的一元二次不等式列式求解.（2）由（1）建立平面直角坐标系，设出点的坐标，利用数量积的坐标表示求出方程，再利用三角代换求出最小值.（1）不等式，设向量的夹角为，则,而，代入整理得，依题意，对任意实数，不等式恒成立，则需使，因对，，则有，解得，所以向量夹角的余弦值为.（2）以为原点，射线为轴非负半轴建立平面直角坐标系，则，由（1）知，而，不妨令，满足，设，则，，由，得，即，令，因此，当且仅当时取等号，其中锐角由确定，所以的最小值为.19.某自动化港口的水平作业区为水平面，岸边桥吊作业点A，集装箱堆场B，维修站C构成三角形布局，米，，.无人集卡（无人驾驶集装箱卡车的简称）在作业区的最大行驶速度为10米/秒，道路均为直线通行.（1）求A，B到C的直线距离（结果保留根号）.（2）无人集卡从A运输集装箱到B（按10米/秒的速度行驶），行驶到AB的中点D时收到调度指令，需先前往C维修故障，再前往B卸货，其中从C到B按最大速度10米/秒行驶.为不影响卸货时效，从D点出发后的行驶总时间不得超过原计划D直接到B的时间的3倍，求无人集卡从D到C的行驶速度的最小值（结果保留根号）.（3）港口计划在∠ACB的角平分线上新建一个充电补给站P，使得补给站到A，B两点的距离相等.求补给站P到维修站C的距离（结果保留根号）.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）根据正弦定理求解；（2）设从D到C的行驶速度为米/秒，先利用余弦定理求得，求出从C到B所需的时间及原计划D直接到B的时间，再根据题中时间关系列出关于