重庆市某中学2025-2026学年高一年级下册期中数学（解析版）

数学试题

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.已知向量4=（，,一1）,若贝iJ/=（）

A.2B.gC.-2D.3

【答案】C

【解析】

【分析】根据向量平行的坐标表示运算求解.

【详解】因为4=（2/）,〃二（八一1）,

若万〃b,Ki]2x（-l）=lxr,即f=—2.

故选：C.

2.下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的一纣基底的是（）

A.A=（0,0）,力=（1,-2）B.«=（-1,2）,b=（5,7）

C.«=（3,5）,Z?=（6,10）D.«=（2.-3）,Z?=（4,-6）

【答案】B

【解析】

【详解】对A,因为零向量跟任何向量共线，则两者是共线向量，故A错误；

对B,因为-1X7-2X5=-17H0,则两者不是共线向量，则B正确：

对C,由于0=（3,5）,/?=（6,10）,则人=2〃，是共线向量，故C错误；

对D,由于@=（2,-3）,人=（4,一6）,则8=2〃，是共线向量，故D错误.

3.已知复数z=—3+2i,则彳・（l+i）的虚部是（）

A.5B.-5C.5iD.-5i

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定条件，利用共他复数的意义及复数乘法运算求解即可.

【详解】且数z=-3+2i,则5(l+i)=(-3-2i)(l+i)=-l-5i.

所以所求虚部是-5.

故选：B

4.已知向量〃,/?满足|=21/?|=2»且24-Z?=VT5，则方一。二()

A.1B.2C.y/2D.75

【答案】B

【解析】

【分析】先根据W-*J将得仅〃一匕『二15,进而得即可得"4=2.

【详解】因为(2Q-〃『=4d2+〃2-4a/=4x22+12-4“-Z?=15,所以。•/?二；,

故b—a=J(/?—〃)=\/ci2+b2—2a,b=^22+12—2xy=2.

故选:B

5.在VABC中，内角A，B,。的对边分别为。，b,c.若2A=8+C,=bc，则VABC一定是

()

A.三边不全相等的锐角三角形B.钝角三角形

C.直角三角形D.等边三角形

【答案】D

【解析】

7F

【分析】由已知易求得A=§,利用余弦定理，结合a2=bc，可得/?=c,可得结论.

【详解】在VA3C中，2A=3+C,又A+4+C=TI,故从=3.

3

由余弦定理得42=〃2+/一2〃《064=/?2+/一税，结合。2=%，得〃+。2一2从、=0，

解得力=c,所以VABC一定是等边三角形.

故选：D.

6.已知圆台上下底面面积分别为兀,9兀，母线长为6,则该圆台的体积为()

10兀13兀-20兀26n

3333

【答案】B

【解析】

【分析】先求出圆台高，再利用体积公式求解.

【详解】由题意上下底面的半径为1,3,则圆台的高〃=0=Z=1，

所以圆台的体积V=g卜+9兀+JT虱)-1=牛.

故选：B

7.在VA3C中，内角A，B,C的对边分别为。，b,c,若卜8+4。|二卜8-4。，且A+C=〃COSB,

则〃：〃：c二()

A.V3:l:lB.V2:l:lc.1:1:1D.2:73:1

【答案】B

【解析】

【详解】因为|AB+A4=|A8-A。，两边平方可得战2十注器.注=玛二注2.2器.浅，

整理可得AB.AC=O，即A8_LAC，BPAB1AC,则c=，/cos3,而Z?+c=〃cos8,

于是/?=acosB=c=-^。，所以Q::c=:1:1.

8.如图，在VA3c中，点。是BC的中点，过点。的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M,N,若

_.28

AB=inAM，AC=nAN6>0,〃>0,则一+一的最小值()

mn

A.2B.8C.9D.18

【答案】C

【解析】

m-•n、

【分析】由向量加法及数乘的几何意义得AO=-AM+—AN,再由向量共线的结论有根+〃=2,最后

22

应用力”的代换及基本不等式求最小值.

【详解】由题意，AO=^-(AB+AC)=^AM+^AN,又M,O,N共线，则m+〃=2,

222

n八八口-y28、/14、一〃4〃2、,C/n4”？小

.11>0,7/>0,所以—I——（/»+/?）（—4—）—5+—F--之5+2、/------9,

mninninnymn

2428

当且仅当，〃;二,〃二不时取等号，即一+一的最小值为9.

33tnn

故选：C

二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

9.下列说法正确的是（）

A.若VA6c的面积为4，则用斜一测画法画出它的直观图的面积为J2

氏用一个平面去截圆锥，圆锥底面与截面之间的部分是圆台

C.有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体为棱台

2兀

D.若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为:-的扇形，则该圆锥的母线与底面半径之比为3：1

3

【答案】AD

【解析】

【详解】若VA3c的面积为4,根据舞二李，可得直观图的面积为YZX4=0,可知A正确；

S原44

当用一个不平行于底面的平面去截圆锥，得到的不是圆台，可知B错误；

侧棱的延长线相交于一点才是棱台，可知C错误；

2兀

若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为可的扇形，设圆锥母线为/,底面半径为，，

27r尸27r

可得==——，解得/：r=3：1，可知D正确.

I3

10.己知复数z满足回=卡，则下列结论正确的是（）

A.z在复平面内对应的点可能是（2,、历）

B.z-z=4

C.z的实部与虚部之积小于等于3

D.复数4=l+i,则|z-zj的最大值为遥+夜

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据夏数的几何意义，可知z在复平面对应的点为以原点为中心，半径为迷的圆上，从而判断AB；

利用基本不等式判断C；由复数减法的几何意义判断D.

【详解】|z|=V6,则z在复平面对应的点为以原点为中心，半径为遥的圆上，

复平面的点（2,垃），其模为6,A正确；

z巨=|z1=6,B错误;

2.2

令z=a+历，则有片+/=6,所以实部与虚部之积=3,C正确；

2

|zj=0,则|z-z［闫z|+|zj="+及，D正确.

故选：ACD.

11.在VA3c中，角人、B、。所对的边分别为。、b、c,且3加osC+3ccosBu/,则下列说法正确的是

（）

A.若3+C=2A,则VA8C的外接圆的面积为3兀

»若人=:,且VA3c有两解，则〃的取值范围为［3,30］

C.若C=2A,且VA3C为锐角三角形，则c的取值范围为（3及,36）

D.若力=2C,且sin3=2sinC,。为VA8c的内心，则V403的面积为拽二

4

【答案】ACD

【解析】

【分析】先由正弦定理得到a=3,选项A,求出A二三，进而由正弦定理得到VABC的外接圆的半径和表

3

面枳：B选项，又余弦定理得到c?-伤c+〃-9=（），将其看做关于c的二次方程，结合方程有两正解,

得到不等式，求出力的取值范围；C选项，由正弦定理结合。=3得到c=6cosA,再根据VABC为锐角三

角形得到当<4<=，从而得到c的取值范围；D选项，由正弦定理得到6=2c,sin3C=2sinC,结合

64

三角恒等变换得到cos?。=一，从而得到C=2,A=-fB=-t由4=3求出力=2月,c=b，由直

4632

角三角形性质得到内切圆半径，进而求出VAOB的面积.

【详解】因为3Z?COSC+3CCOSB=Q2，所以由正弦定理，得351118©05。+35访。以%8=45111/1,

即3sin（B+C）=asinA,

因为A+3+C=7i,所以sin（3+C）=sinA,且sinAwO,所以a=3.

选项A：若B+C=24,则A=4,所以VABC的外接圆的直径2R=」一二26,

3sinA

所以R=»

所以VA3C的外接圆的面积为兀x（JJ『=3兀，选项A正确；

选项B：由余弦定理/二尸+c?-2%cosA得9=〃+T-0%,

将此式看作关于。的二次方程?-6bc+户-9=0，由题意得此方程有两个正解，

%2-9>0

故;6b>0,解得。w（3,3&）,所以选项B错误；

（V2/?）2-4（/?2-9）>0

选项C：由正弦定理，得‘一二」一，即c=2acosA,

sinAsin2A

因为。=3,所以c=6cos4,

7TLL17t47T

因为VA3c为锐角三角形，所以<0<8<"™9即・0<71—3A<一,所以二v4<二,

2264

兀

0<C<0<2A<-

2[2

所以c=6cosA£（3j^,3G）,故选项C正确；

选项1）：因为sin/=2sinC,庄正弦定理得。=2c,

因为A=2C,所以sinB=sin（A+C）=sin3C,

hc2（'c

所以由正弦定理一一,得二一-=-即sin3c=2sinC,

smBsinCsin3CsinC

所以sin2CcosC+cos2CsinC=2sinC,

即2sinCcos?C+2cos2CsinC-sinC=2sinC，所以2cos?C4-2cos2C=3»

3

所以cos?C=-,

4

/\

又因为A=2C，所以0,；,故C=jA=j解得8=2,

I2J632

因为。=3,所以匕=---=2c=。tan300=后，

cos30°

即VA3c是直角三角形，所以内切圆的半径为,•='([+c-))=土芭

2V72

所以VAOB的面积为S=Jc7=lx6x上正二拽三，选项D正确.

2224

故选:ACD.

【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或

与角度有关的范围问题，

常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；

②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，

通常采用这种方法；

③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.复数范围内方程“2+16=0的根为-

【答案】±4i

【解析】

【详解】由f+16=0，得了2=_]6，所以X=±，—16=±4j.

13.若向量。=(-4,3),〃=(1,3),则6在方方向上的投影向量坐标为.

13

恪案】号万)

【解析】

【分析】利用投影向量的意义求解即可.

【详解】向量々=(-4,3),/?=(1,3),则々.〃=—><1+3><3=5,|〃|=>/12+32=瓦,

所以4在〃方向上的投影向量为「a•b人-=一16-=(一1,23).

IM2222

13

故答案为：(于])

14.现有一块如图所示的三棱锥木料，其中N4VB=N4VC=N3VC=40°，VA=VB=VC=6f木工

师傅打算过点A将木料切成两部分，则截面AAEF周长的最小值为.

r

【答案】6x/3

【解析】

【分析】将三棱锥侧面沿着例展开，截面周长的最小值即求从A出发沿着侧面回到力的最短距离.

【详解】将三棱锥侧面沿着，4展开，如图：

则忆4=，4'=6,乙4办'=120，

由余弦定理可得：AA,2=62+62-2x6x6cos120=108,则/VT=66，

所以截面4A石厂周长的最小值为6G.

故答案为：6-73-

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.已知复数z=i2°2°+（l—i『（其中i为虚数单位），若复数z的共筑复数为1且Jz|=4+3i.

（1）求复数，

（2）求复数4：

（3）若Z1是关于1的方程Y-/火+9=0的一个根，求实数〃，4的值，并求出方程/一/乂+夕=0的

另一个复数根.

【答案】⑴z=I+2i

（2）Zj=2—i

(3)〃=4,g=5,另一根为2+i

【解析】

【分析】（1）化简复数Z,再根据共辗复数的概念求解；

（2）根据复数的除法的运算求解；

（3）将4=2—i代入方程尢2一川+4=0运算求出PM,代回方程求解.

【小问1详解】

2=严+（1—丁才-方=1-方，

所以复数z的共扰复数为I=i+2i.

【小问2详解】

因为z・Z1=4+3i,

所以？_4+3i_（l—2i）（4+3i）io_5i_2j

1l+2i（l-2i）（l+2i）5

所以4=2-i.

【小问3详解】

若Z=2-i是关于x的方程/—阴+9=0的一个根，则已一旷一〃（2-i）+q=（）,

g|J（p-4）i+3-2p+^=0,

3-2〃+4=0,

所以《

〃-4=(),

解得：〃=4,q=5,

则?一4工+5=0,即(x-2『=i2,

所以方程另一根为2+i.

16.如图长方体ABCO-AACA，底面是边长为3的正方形，高为4,E为CG的中点.

Di

（1）求长方体的表面积和它的外接球的表面积;

（2）求三极锥£一48。和长方体的体积之比.

【答案】（1）长方体的表面积为66,它的外接球的表面积为34］；（2）-

9

【解析】

【分析】（1）根据长方体的表面积公式直接求解即可，求出外接球半径，即可求出外接球表面积;

（2）求出长方体体积，根据等体积法求出三棱锥石-A/。的体积，即可求出体积之比.

【详解】（1）由题可得该长方体的表面积为（3X3+3X4+3X4）X2=66,

该长方体的外接球的半径为+32+42=浮,

则外接球的表面积为4不、（与|=34乃；

（3）长方体的体积为3x3x4=36,

VEABC~以FBC=—X1x3x2x3=3,

31

则三棱锥E-A.BC和长方体的体积之比为—

369

17.记VABC的内角AB,C的对边分别为a,b,c,满足2c+»-24cos3=0.

（1）求角A；

（2）若。=26，BAAC=^,AO是VA3C中线，求AO的长.

【答案】（1）A=-7t

3

⑵AD普

【解析】

【分析】（1）根据边角转化，将题干条件均化成角，结合诱导公式，三角恒等变换进行化简求值;

（2）利用4O=LA8+1AC,平方后求A。;结合余弦定理来处理.

22

【小问1详解】

因为2c+〃一2acos8=0,由正弦定理可知：2sinC+sin8-2sinAcos8=0,

由C=兀一A—8,故sinC=sin(7r_4-8)=sin(A+3),

2sin(A+8)+sin8-2sinAcos8=0

/.2cosAsinB+sinB=0(BG(0,n),sinB0),

cosA=--,又Aw(0,兀)，

2

2

所以A=一兀；

3

【小问2详解】

3713

根据数量积的定义，由/M.AC=；,得cbcos-=-n%=3,

232

又〃=2石，在VA8C中由余弦定理得：a2=h2+c2-2Z?ccosA=>b2+c2=9

VAD=-AB+-AC・•・4。」AB~+AC~+2ABAC

22~4~

所以

2

18.已知VA8C中，角人，B,C所对的边分别为mb,c,且2bsin[A+e=o+c.

（1）求3的大小；

（2）若点M在线段AC上，NABM=/CBM,&0=4,求2。+。的最小值.

7T

【答案】（1）B=-

3

⑵462

3

【解析】

I兀

【分析】(1)在VASC中，利用正弦定理边角互化，化简得到cos5=一,所以〃=—；

23

(2)利用面积关系可得关系，然后利用基本不等式求最值.

【小问I详解】

在VAAC中，由2Z?sinA+与］=及正弦定理，得2sin8sinA+m=sinA+sinC,

I6JI6J

则73sinBsinA+sinBcosA=sinA+sin(A+5)=sinA+sinAcosB+cosAsinB,

整理得百sinBsinA=sinA4-sinAcosB，

而sinA>0,则l+cos8=J^sinB，两边平方得(l+cos3『=3sin?8=3(1-cos3)(1+cos8),

又0<8<兀，所以COS3>-1,1+COSB>0,于是1+COS3=3(1-cos3),解得cos8=；,所以

R=-.

3

【小问2详解】

ITIT

由(1)知/A8C=-,由NA3M=NC3M,则NABM=NCBM=一,

36

cCnI1.Tt1..7t1..7t

由九席=5,“+5八海，BM=4,则丁3噂=y4'"+5。・4加不

即工十■二立，

则y/5ac一4a十4c，

ac4

因此2a+c*（2a+c）9++意3+>扑静+2唇｝g苧,

当且仅当5=-^，即c=+#）时等号成立，

所以2O+C的最小值为+蜉.

19.如图.在梯形A3CO中，AB=2DC,E、r是。。的两个三等分点，G、”是AB的两个三等分点，线

l«lULMI

段8c上一动点P满足3尸=；18。（044«1）,4尸分别交反7,a/于/、N两点，记48=&AO=〃.

DEFC

1UATHIT兀uuumiu

(l)当求APAC的值;

34

.1,、AM-，，

(2)若4二一，求——的值；

2MP

（3）若AN=〃AP,求4一%的取值范围.

【答案】（1）2+V2

（2）1

\_2

(3)不5

【解析】

11111

【分析1（1）分解向量得AC=《A8+A。,uun5Iuuw

AP=-AB+-AD,然后由向量的数量积即可求解;

263

uun3111011uun

（2）分解向量得AP=」AB+—A。，由£,M,G三点共线可设

42

AM=PAE+（\-JLI）AG=^-AB+JLIAD,根据AM,P三点共线求得〃的值即可进一步求解；

6

（1A__uun2-m^uuu皿独

（3）分解向量得AP=[l-5/ljA8+/UO,/l£[0,l],AN=—^AB+mADt结合AN=〃AP,

4

可得〃=丁~7，/£[01]，从而所求可转换为关于4的函数•

6—X,

【小问1详解】

由题意AC=AO+OC=-AZJ+AO,

2

AP=AB+BP=AB+-BC=AB+-(BA+AC}=-AB+-AC

33、733

)I(I、5I

=-AB+-\-AB+AD\^-AB+-AD,

3312)63

所以AC.AP=(gA3+AO)A3+；回=白痴+；AD2+ABAD

=--22+--12+2-1--=2+x/2：

1232

【小问2详解】

2

22222(2J42

uuiuuinuuuiuuurunuiuinuuuuuiniuim

AE=AD+DE=-DC^-AD=-AB