浙教版初升高一数学暑假预习练习题：含参数的一元二次不等式（原卷版+解析）

含参数的一元二次不等式

解含参数的一元二次不等式需要对字母的取值进行分类讨论，常用的分类方法有以下三种:

1.按二次项系数。的符号分类，即Q>0,Q.=0,Q,<0；

2.按判别式△的符号分类，即△>(),△=(),△<()：

3.按方程。吠'2+般+。=0的根的、g的大小分类，即©>5，的=£2，xx<x2.

例I：讨论二次项系数

解不等式：a①2+(Q+2)n+1>0

【解答】见解析

［解析】•/△=b2—4ac=(a+2)2—4a>0,

-a—2-+4-a—2++4

解方程以+(a+2)/+1=0得Ci=

•siAcab/n4.f、一。-2+y/a~-\--A__ix-d_2-a~

••当a>0时，解f集为-------z-------或eV------z--------

2a2a

当c=0时，不等式2o+l>0,解集为

、北屐曲“J-。-2+/02+4-a—2—y/a2+4]

当c<0时，解集为<)-------z--------<x<-------z-------?.

2a2a

例2：谈论根的判别式

解不等式：/+凶+4>0

【解答】见解析

【解析】•..△=标-4切=。2—16,

・••当a£(-4,4),即△<()时，解集为R,

当&=±4时，即△=()时，解集为{/A且£W卜；

当G>4或。V-4,即△>()时，此时两根分别为©=

2

.fz-jeu\-a+Va2—16_pu-a—x/a2—16

此时x}>x2y・•不等式的解集为/x>---------------或2V------2------

例3：讨论方程解的大小

解关于2的不等式：-L-<l-a

X—L

【蟀答】见解析

【解析】原不等式可转化为工T—(1—a)VO,即竺tFVO,

N—IX—L

(ax+1—a)•(z—1)V0,

当c>0时，不等式化为g——1)<0,

,・•口•<1,・••不等式的解集为］

aa

当。=0时，不等式化为/—IV。，即/VI,・••不等式的解集为QlrrVl｝：

当GV0时，不等式化为卜一巴>0,

・••不等式的解集为｛»|①VI或z>『｝.

综上，原不等式的解集为当a>。时，｛々"Jv/Vl卜当a=0时，｛x\x<1｝；当aVO时,

卜比<1或£>“〃J｝.

例4：由解集求参数

已知关于2的不等式A；—1+2的解集为，•>-J,求实数k的值.

【解答】k=-^

【解析】原不等式可化为(-左一1)N>-必+2,

-A:-l>0A：<-1

由题意得—A：94~21,解得上=］或一,，

-k-12

3

24

巩固练习

一.选择题

1.不等式/+ai+bW0（小加R）的解集为（HriWxWr｝,若ki|+g|W2,则（）

A.|a+2〃22B.|a+2b|W2C.同21D.|〃|W1

2.若存在唯一的正整数xo,使关于x的不等式?-3/-办+5-«<0成立，则a的取值范围是()

1353

A.B.2C.D.

3*3543:24'2

3.若关于x的不等式一+以-1>0的解集是｛xjl<x<2｝,则不等式力f+(八.-।vo的解集是()

2}

A.a:-1<re<—>B.xx<T或出>,

212—1

c.2-可<2<1,D.,工2<-可或2>1；

4,设OQVl+m若关于x的不等式(x-力)2>(ar)2的解集中的整数解恰有3个，则()

A.-l<a<0B.OVaVlC.\<a<3D.3<A<6

二.填空题

5.设关于x的不等式a1+8(a+1)x+7a+1620,(证Z),只有有限个整数解，且0是其中一个解，则全部

不等式的整数解的和为.

6.已知关于x的不等式0?-如+2>0在R上恒成立，则实数。的取值范闱是.

7.不等式，-"+3VO存在正整数解，则〃的取值范围为.

8.若关于x的不等式如2+犬-2〃<()的解集中至少有4个整数解，则实数〃的取值范围为.

9.已知关于x的不等式ar^,v+c>0的解集为｛x|l〈x<2｝,则不等式ex2-bx+a>0的解集

为•

10.若不等式|Xx+9|V7和不等式加^^口〉。的解集相同，贝1Ja+〃=.

三.解答题

11.若“WR,解关于x的不等式”入2+(a+1)x+l>0.

12.若不等式依2+5厂2>0的解集是｛n<X<2

(1)求不等式a?-5A+«2-1>0的解集.

(2)已知二次不等式oA/zr+eVO的解集为公X<4或］，，求关于式的不等式(?/-云+心0的解集.

JZ,

13.已知不等式--3戈+6>4的解集为｛由<I,或x>。｝,

(1)求。，b；

(2)解不等式小(ac+b)x+/?c<0.

14.若不等式a^+bx+cX)的解集为{x|xV-2或x>3},求关于x的不等式cx^+hx+aX)的解集.

15.已知不等式a^2+5x+b>0的解集为{x|-1Vx<6},解不等式bx2+ax<(b-ax')x.

含参数的一元二次不等式

解含参数的一元二次不等式需要对字母的取值进行分类讨论，常用的分类方法有以下三种:

1.按二次项系数Q的符号分类，即Q>0,Q.=0,Q,<0；

2.按判别式△的符号分类，即公>0,△=(),A<0；

3.按方程。算2+厄+。=0的根Ni、g的大小分类，即①i=6，xY<x2.

例1：讨论二次项系数

解不等式：32+(Q+2)z+1>0

【解答】见解析

［解析】△=b2—4ac=(a4-2)2—4a>0,

解方程g2+(°+2)，+l=0得为=士会化H,-a-2+^+4,

2ala

,、［/_,,■nr_f、-。-2+,a?+4__p.-a-2-+4

••当a〉0时，解集为-------产-------或①V--------产------->；

2a2a

当c=0时，不等式2i+1>0,解集为｛c勺>-3>；

Wn-4.JJ-\-a_2++4—(I-2_7a?+W

当cV0时，解集为<2-------z--------<x<--------z--------.

I2a2a

例2：谈论根的判别式

解不等式：/2+2+4>0

【解答】见解析

［解析］△=b2—4ac=a2—16,

・••当a£(―4,4),即△<()时，解集为R,

当6=±4时，即△=()时，解集为｛/R且勺W今,；

当G>4或。04,即△>()时，此时两根分别为应=一“十、,―16,的=M

此时多〉。2,・••不等式的解集为或2V-a-W'一2｝.

例3：讨论方程解的大小

2

解关于z的不等式：--r<l-a

x—1

【解答】见解析

【解析】原不等式可转化为上T—(l—a)<0,即VO,

X—1"X—，L

｛ax+1—a),(x-1)VO,

当c>0时，不等式化为［一与1)<0,

・••不等式的解集为

aa

当G=0时，不等式化为。-1V0,即/VI,・••不等式的解集为VI｝；

当eV0时，不等式化为卜一巴户)(/-1)>0,

・••不等式的解集为｛句/Vl或

综上，原不等式的解集为当。>。时，｛〈ajVnVI卜当。=0时，｛x\x<1｝；当aVO时,

｛1|N<1或2>“〃J｝.

例4：由解集求参数

已知关于2的不等式兴一&>1+2的解集为I>-J,求实数上的值.

【解答】k=-^

【解析】原不等式可化为(-左一1)N>-必+2,

-A:-l>0fk<-l

由题意得4-小+21,解得V7.3,

l^r=-2］上=i或一5

巩固练习

一.选择题

I.不等式/+ar+bWO(a,/?ER)的解集为(MXIWXWAI),若|刈+|X2|W2,则()

A.|a+2b|22B.|a+2“W2C.同21D.

【解答】D

【解析】:•不等式f+av+bWO(a,bER)的解集为｛"1WxWxi｝,

则川、X2是对应方程/+。计6=0的两个实数根：，wx2=b，

又11nl+IMW2,

不妨令。=-1,/?=0,则xi=O,x2=l,但|a+2臼=1,工4选项不成立;

令1=2,b=1,则xi=x2=l,但|a+22|=4,B选项不成立;

令。=0,/?=-1,贝r=l,但同=0,C选项不成立;

。选项正确.

2.若存在唯的正整数AU,使关丁式的不等式J・3『・"什5・0成立，则a的取值范围是()

53

D.

(il4,2

【解答】B

【解析】设/(x)-3.V2-ar+5-a,

则存在唯一的正整数刈，/(xo)<0,

再设g(x)=/-3.1+5,h(x)=a(x+l),

两个函数图象如图：要使存在唯一的正整数M),

“D2MD1-3+522°

g(2)2》(2),即(8—12+5<3。，

{g(3)力卜(3)127-27+524。

14

解得3v。&4；

3.若关于x的不等式+以-1>0的解集是{MlVx<2},则不等式法。依-ivo的解集是(

/-1</V,}、2

A.B.xx<-1或/>^•

O

22TJ

C.n-ev£<1>D.仔2<-耳或

【解答】C

1+2=--

【解析】由题意可知，1和2是关于x的方程ad+法-1=0的两实根，由韦达定理可得〈:,解

1-2=--

a

Q19

所以，不等式-1<0,即为一—1<0,即3/-X-2V0,解得一3<NV1.

4.设0<方<1+小若关于x的不等式(x-b)2>(办)2的解集中的整数解恰有3个，则()

A.-\<a<0B.OVaVlC.\<a<3D.3<a<6

【解答】C

【解析】关于x的不等式Cx-b)2>(at)2即Ca2-1)x^+lhx-^2<0,V0<Z?<l+6/,

[(«+1)x-bV\(a-1)x+b]<0的解集中的整数恰有3个，

・•・不等式的解集为二VI,所以解集里的整数是-2,-1,0三个.

a—1a+l

-3W-—~rrV-2,

a—1

A2<—^-<3,2a-2VbW3a-3,

a—I

：,2a-2<\+a,

，aV3,

综上，1V〃V3,

二.填空题

5.设关于x的不等式ad+8(a+1)x+7a+1620,(«eZ),只有有限个整数解，且0是其中一个解，则全部

不等式的整数解的和为.

【脩答】-10

【解析】设y=/+8(a+1)x+7a+16,其图象为抛物线.

对于任意一个给定的。值其抛物线只有在开口向下的情况下才能满足)，20而整数解只有有限个，所以aVO.

因为0为其中的一个解可以求得a2-竽，又aWZ,所以a=-2,-1,

则不等式为-2?-8x+220和-£+920,可分别求得-仙一24工&g-2和-3

〈X为整数,・"t=-4,-3,-2,-1,0和x=-3,-2,-1,0,1,2,3

・••全部不等式的整数解的和为-10

6.已知关于x的不等式〃『-亦+2>0在R上恒成立，则实数。的取值范围是

【解答】0/V8

【脩析】①若。=0,则原不等式等价为2>(),此时不等式恒成立，所以a=0.

②若则要使不等式ax2-ax+2>0恒成立,

a>0a>()a>0

则有即《，所以《，解得0<a<8.

△<0△=a2—8G<00<a<8

综上满足不等式a?-av+2>0在R上恒成立的实数a的取值范翦0W〃<8.

7.不等式/-取+3<0存在正整数解，则a的取值范围为.

【解答】修+8)

【解析】由题意知，xeN\由x2-ai+3V0,可得a>f=，+乡，

xx

构造函数/(%)=x+—,其中则a>f(x)min,

由双勾函数的单调性可知，函数/(X)在工=1或x=2处取得最小值，

777

因为/'(I)=4,/(2)=5,所以，函数/(%)的最小值为亍，所以，a>x.

8.若关于x的不等式依2+X-2”V0的解集中至少有4个整数解，则实数a的取值范围为.

【解答】98,勺

【解析】当a=。时，原不等式即为xVO,符合该不等式的整数解有无数个，合乎题意！

当a<0时，符合不等式ad+x-为V0的整数解也有无数个，合乎题意！

当40时，则△=1+8/>0,则方程aP+x-24=0有两个实数解，

设函数/(x)=ax2+x-2a,则/(。)=-2«<0,/(I)=1-a,/(2)=2a+2>0.

(1)若<0时，即当a>1时，则整数解由大到小至少有I、0、-1、-2,

而/(-2)=2«-2>0,矛盾！

(2)若/(I)20时，即当aWl时，则整数解由大到小至少有。、7、-2、-3,

则/(-3)=7«-3<0,解得GV?,又〃>0,所以0Va<^.

综上所述，\8,.

9.己知关于x的不等式/+法+。>0的解集为{x|lVx<2},则不等式c/-云+”>()的解集

为.

【解答】

【解析】关于x的不等式ar+bx+cX)的解集为31VxV2},

I)c

由题意得：4V0,且---=1+2=3,—=1X2=2,

aa

即b=~3a,c=2a,

故不等式ex1-bx+a>0可化为：2r+3x+1<0,

化简得(2x+l)(x+l)<0,

解得：-1VxV-.

乙

・••所求不等式的解集为(-1,-目.

10.若不等式|8x+9|V7和不等式〃/+队-2>0的解集相同，则”+8=

【解答】-13

【解析】|8x+9|V7=-7<8x+9<7,解得-2<x<--r,

4

因为不等式|8x+9|V7和不等式a^bx-2>0的解集相同，

・•・-2和-1是方程a^+bx-2=0的两根，

21_b

'2-4—afa=-4

由韦达定理得：<

卜汉周7

故«+/?=-13.

三.解答题

11.若“6R,解关于X的不等式©2+(〃+])X+1>0.

【解答】见解析

【解析】当。=0时，X>-1.

当时，a(x+-)(1+1)>c,

\。

当〃时，

vod(rr+l)<cfW-W-l<.r<4-

当”>0时，0+))

(x+1)>c,

当口=1时，xW-1.

当0Vgi时,<2或Q-L

当4>1时，X<-I,或/>-L.

a

・••当aV0时，解集是(-1,

；当。=0时，解集是(・1,+8)；当OVaWl时，解集是

一1U(-1,+oo)；当a>l时，解集是(-8,-1)U(-，,+oo).

a

12.若不等式口，+5.12>0的解集是｛42V±V2

(1)求不等式ar-5x+«2-l>0的解集.

I1

(2)已知二次不等式a?+bx+c〈O的解集为xx<2或％,2，求关于X的不等式2-饭+心0的解集.

oZ

【解答】(1)(-3,I)；(2)(-3,-2)

【解析】(1)因为等式^的解集是｝

所以4和2是一元二次方程av2+5x-2=0的两根,

1?

.­-4x2=--,解得a=-2,

2a

:.不等式ar2-5x+a2-1>0可化为-2?-51+3>0,即2^+5%-3V0,

:.(2v-I)(x-3)<0,解得-3<rV〈，

所以不等式/TX+J-AO的解集为(-3,<)；

(2)由(1)知a=-2,・••二次不等式-2?+法+c<0的解集为xX<<I1或①>卦,

・•・4和春是一元二次方程・2?+欧+c=0的两根,

JN

1,1611c

••3十2―-2532-2，

41

解得人=%，c=一五，

JJ

15

所以不等式c/-/zr+a>0可化为：-—2>0