人教版九年级数学上册 实际问题与一元二次方程（第2课时 病毒传染、平均下降率问题）教学设计

25.3实际问题与一元二次方程

（第2课时病毒传播、平均下降率问题）教学设计

教学分析

教学内容与解析

1.教学内容

本节课时是人教版2024版九年级上册第二十五章《一元二次方程》，第三节《实际问题与一元二次方程》，

第2课时病毒传播、平均下降率问题.本节课承接第1课时数字、面积基础应用，聚焦指数型变化数量关系.传

播问题重点探究两轮传染的人数变化规律，提炼链式传播的一元二次方程模型；平均下降率问题聚焦商品

降价、产量减产、污染治理等生活场景，掌握连续两次等量下降的通用计算公式.课堂延续“审、设、歹U、解、

验、答”六步解题规范，重点根据人数、数量的正整数、正数实际意义取舍方程根，是一元二次方程动态变

化类实际应用的核心课时.

2.内容解析

本课时是一元二次方程实际应用的进阶核心课，承接静态等量关系应用，开启动态变化型方程建模学习.传

播问题、平均变化率问题是中考必考基础题型，其建模思想不仅适用于一元二次方程，更为后续二次函数

增减变化、指数函数规律学习奠定基础。同时，本节课完善了学生方程应用体系，实现从“静态数值、几何

面积”到“动态连续变化”的思维升级，在整章知识体系中起到承上启卜.的关键作用.本节课两类题型模型高度

固定、规律清晰：病毒传播问题核心是裂变式增长，每一轮传烫人数成倍增加，形成平方级数量关系；平

均下降率问题是连续两次同比例衰减，拥有标准化通用公式.相较「面积、数字问题，本节课更侧重变化规

律分析，重:点培养学生动态数量分析能力，是代数建模思想的重要拓展.通过生活中的传染防控、物价调控、

产量优化等真实情境，让学生体会数学服务于生活、服务于社会的价值；在规律探究、模型归纳中，培养

学生逻辑推理、数学建模、严谨求真的核心素养，提升学生用数学眼光分析动态变化问题的能力.

基于以上分析、本节课的教学重点为：探究并掌握两轮流感传播问题的数量关系，正确建立一元二次方程;

熟记并灵活运用平均卜.降率通用公式解决实际问题；规范动态变化类应用题的完整解题步骤.

教学目标与解析

1.教学目标

（1）掌握两轮流感传播问题的数显变化规律，能准确建立传播问题一元二次方程模型；熟练运用平均下降

率公式解决连续两次衰减类实际问题；严格规范应用题六步解题流程，能根据实际场景检验、舍去不合理

方程根.

（2）经历“情境观察一分析动态变化一提炼等量关系一归纳通用模型一变式应用巩固”的探究过程，掌握动

态变化类问题的建模方法，提升分析连续变化数量关系的能力.

（3）通过公共卫生、生活经济类情境，感受数学的实用性与社会性；在模型归纳与错题纠正中，养成严谨

规范的解题习惯，增强数学应用意识与探究信心.

2.目标解析

目标1精准落实教材两大核心题型，区分传播裂变模型与下降率衰减模型，掌握两类题型专属等量关系，区

别于上节课静态模型，完善一元二次方程应用知识体系，夯实中考基础考点.

目标2突破学生静态思维局限，培养动态数量分析能力，解决学生“看不懂变化过程、列不准方程”的核心问

题，熟练掌握模型套用与验根技巧，提升数学建模核心能力.

目标3渗透模型思想、动态转化思想、数形推理思想，引导学生从特殊题型归纳通用规律，培养归纳总结、

举一反三的数学思维，契合新课标核心素养育人要求.

学情分析

学生已掌握一元二次方程所有解法，熟练掌握静态数字、面积类应用题建模方法，具备基础的方程建模能

力；上节课初步接触增长率模型，对比例变化问题有一定认知，为本节课学习奠定基础.学生擅长静态固定

数量计算，对动态两轮连续变化的过程拆解能力薄弱，容易混淆单轮、两轮传染总人数；极易混淆增长率

与下降率公式，且普遍存在忽略实际取值、不验根的解题漏洞.病毒传播、商品降价情境贴近生活，趣味性

强，学生学习积极性高；但动态变化过程较为抽象，学生容易凭直觉列式，需要通过分步拆解、数形梳理、

模型归纳突破难点.

基于以上分析•，本节课的教学难点确定为：准确分析病毒两轮传染的裂变过程，理清每•轮的传染人数、

总患病人数；区分增长率与下降率公式，规避公式混用错误；结合人数为正整数、数量为正数的实际条件,

精准取舍方程的两个实数根.

^^教学过程设计

新课导入

创设情景，引入新课

复习提问：列一元二次方程解决实际的通用步骤？

审超意T巧设元一找等量T列方程一解方程T验实际一写答案.

本节课学习该方法解一元二次方程.

（设计意图：通过复习列方程解应用题的核心知识，搭建新旧知识桥梁，让学生明确列方程解应用题的步

骤，自然引出课题.）

新知探窕

探究点1病毒传播问题

活动1:平均1个人传染了多少个人？

问题某种传染病的传染速度很快，如果开始有1人被传染，经过两轮传染后共有121人被传染，那么每轮传

染中平均1个人传染了多少个人？

学生讨论交流，按通用步骤进行思考：

（1）审题梳理：初始患病人数I大，经过两轮完整传染，总人数121人，求单人每轮传染人数；

（2）规范设元：设每轮传染中平均一个人传染x个人；

（3）分步分析数量变化第一轮传染：1个患者传染x人，第一轮后总患病人数：1+x；第二轮传染：（1+x）个

患者，每人再传染x人，第二轮新增传染人数：x（l+x）；两轮结束后总患病人数：原有患者+两轮新增患者

=（l+x）+x（l+x）=（l+x）2；

（4）建立方程：（1+X）2=121；

（5）求解验根：解得占=10,与=-12传染人数不能为负数，舍去负根；

（6）规范作答，梳理完整解题步骤.

师生共同总结模型归纳：•轮起始、两轮传播通用模型：初始1人传播，两轮后总人数为（1+x）?（x为单人

每轮传染人数）.

追问：按照这样的速度，经过三轮传染后共有多少个人被传染？由此你能体会到阻断病毒传播的必要性？

（1+X）3=（1+1O）3=1331

（设计意图：采用分步拆解的方式，将抽象的裂变传播过程具象化，突破学生动态分析难点；通过逐轮梳

理人数变化，让学生理解公式来源而非死记硬背，从根源规避公式套用错误，落实本节课核心重点，培养

逻辑推理能力.）

探究点2平均下降率问题

活动2：哪种食品成本的年平均下降率较大？

问胭：两年前生产11甲种食品的成本是10000元，生产11乙种食品的成本是12000元.随着生产技术的进步，现

在生产11甲种食品的成本是6000元，生产11乙种食品的成本是7200元.哪种食品成本的年平均下降率较大？

追问1：甲乙两种食品成本年平均下降额是多少？

甲乙两种食品成本年平均下降额分别是（10000-6000）+2=2000（元），（12000-7200）"=2400（元）.

追问2：平均下降额与下降率有什么不同？

平均下降额是指平均下降的数值，下降率是比值

追问3：怎样比较哪种食品成本的年平均下降率较大？

可以分别求出两种食品成本的年平均下降率，再进行比较.

师生探究建模先求出甲种食品年平均下降率

(1)设元：设平均每年降价的百分率为X；

(2)分步表示价格：

甲种食品一年后成本：lOOOO(l-x)；

甲种食品二年后成本：10000(l-x)a-x)=10000(l-x)2；

(3)等量关系：原成本X(1-下降率)2二二年成本；

(4)列方程求解：10000(l・x)2=6000；

(5)解方程,得玉=0.225,x2«1.775

(6)验根取舍：下降率小于1、大于0,舍去不符合范围的根，规范作答.

学生自主求解甲种食品年平均下降率：得％=0.225,毛。1.775

追问4：经过计算，你得出什么结论？

食品年平均下降率相同

追问5：年平均下降额大，平均下降率就大吗？

年平均下降额大，平均下降率不一定大

师生共同总结模型归纳：

平均变化率通用模型：

连续两次增长：a(l+x)2=b；连续两次下降：a(l-x)2=b(a初始量，x变化率，b最终量).

(设计意图：结合生活经济情境，自然过渡下降率模型，通过对比增长率公式，帮助学生区分异同、精准

记忆；分步推导价格变化，让学生掌握公式推导逻辑，避免机械套用，突破公式混涌的教学难点.)

探究点3传播问题、下降率变式提升

活动3：讨论交流有2人感染流感，经过两轮传染后共有288人感染流感，求每轮平均每人传染的人数.

突破初始人数不为1,总人数公式调整为2(1+X)2=288,引导学生灵活变通模型，突破固定思维.

活动4：讨论交流某某工厂2023年年生产总值为50万元，经过增产到2025年年生产总值为98万元，求平均每

年增长的百分率.

学生讨论交流增长率设元后，列式建立方程50(l+x)、98.

学生小组纠错、对比辨析，强化两类模型的区别与应用场景.

(设计意图：通过初始人数非1的传播变式、下降率题型拓展为漕长率，拓展模型应用范围，培养学生灵活

变通的解题能力；通过易错对比训练，精准击破本节课高频误区，深化重难点掌握，实现学以致用、举一

反三.)

典型例题

例1.春季是传染病多发季节.2023年3月，我国某地甲型流感病毒传播速度非常快，开始有1人被感染，经

过两轮传播后，就有256人患了甲型流感.若每轮传染的速度相同，求每轮每人传染的人数.

【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，根据题意列出方程并解答是解题关键.设每人每轮传

染的人数为x人，则第一轮传染后有人患病，第二轮传染后有1+"+0+小=卜2+2"叫人患病，据

此列出方程求解即川.

【详解】解：设每人每轮传染的人数为x人，

由题意得，1+X+0+X)X=256,

解得x=15或x=-17(舍去)，

.••每轮每人传染的人数为15人.

例2.某汽车零部件生产企业的利涧逐年提高，据统计，2020年利润为2亿元，2022年利润为3.92亿元.求该

企业从2020年到2022年利润的年平均增长率.

【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该企业从2020年到2022年利润的年平均增长率为其，理解题意，

找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键.

【详解】解：设该企业从2020年到2022年利润的年平均增长率为x,

由题意得：2(1+力2=3-92,

解得：％=04=40%,%=-2.4(不符合题意，舍去)，

••该企业从2020年到2022年利润的年平均增长率为40%.

例3.利客来超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取

了降价措施，经过一段时间销售，发现销售单价每降低2元，平均每天可多售出4件.

(1)若降价6元，则平均每天销售数量为件；

⑵为了让顾客更实惠，每件商品降价多少元时，该商店每天销督利润为1200元？

【分析】本题考查一元二次方程的应用.

（1）根据销售单价每降低2元，平均每天可多售出4件，列式计算即可；

（2）设每件商品降价4元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出一元二次方程，进行求解即可.

找湮等量关系，正确的列出方程，是解题的关键.

【详解】（I）解：由题意，得：20+6+2x4=32（件）；

故答案为：32；

（40-x）|20+-x41=1200

（2）设每件商品降价x元，由题意，得：I2J,

整理，得：x2-3（）.v+200=0,

解得：、=1。,七=20,

•・•让顾客更实惠,

二应降价20元；

答：每件商品降价20元时，该商店每天销售利润为1200元.

（设计意图：落实本节课重点知识，规范解题书写过程，提升学生分析问题、解决问题能力.）

巩固练习

课本课堂练习（P22）.

（设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的

理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补抉，帮助教师及时调整教学策略）

拓展提升

1.某水果商场经销•种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每每次下降的百分率

相同.（1）求每次卜降的百分率；

⑵若每千克盈利10元，每天可售出500丁克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当

的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，旦要尽快减少

库存，那么每千克应涨价多少元？

【详解】（1）解：设每次下降的百分率为X,

依题意得：50（1-X）2=32,

解得：百=02=20%,/=L8（不符合题意，舍去）.

答：每次下降的百分率为20%.

(2)设每千克应涨价y元，则每千克盈利00+)')元，每天可售出(5°°-20)')元，

依题意得：(104->9(500-20^)=6000,

整理得：K-15y+50=0>

v

解得:>=5,.y2=10

又•.要尽快减少库存，

.•・丁=5.

答：每千克应涨价5元.

真题感知

1.(2025♦凉山州)某钢铁厂一产份生产钢铁560吨，月平均增长率相同，第一季度共牛产钢铁I860吨，

若设月平均增长率为为那么可列出的方程是()

A.560(1+x)2=1860B.560+560(1+x)+560(l+2v)=1860

C.560+560(l+x)+560(1+A)2=1860D.560+560(l+2x)2=1860

【解答】解：由题意可知，钢铁厂二月份生产钢铁560(l+x)吨，三月份生产钢铁560(l+x)2吨，

又•.•该钢铁厂第一季度共生产钢铁1860吨，

,••列方程为560+560(l+x)+560(l+x)2-186O.

故选：C.

2.(2025•重庆)某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客

达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为()

A.10%B.20%C.22%D.44%

【解答】解：设该景区这两年接待游客的年平均增长率为X，

根据题意得：25(l+x)?-36,

解得：xi=0.2=20%,%2=-2.2(不符合题意，舍去)，

该景区这两年接待游客的年平均增长率为20%.

故选：B.

3.(2025•泸州)某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本

的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2。24年每件的进价为80元.

（1）求乙种商品每件进价的年平均下降率；

（2）2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲

种商品.

（2）设购进），件甲种商品，则购进（100—），）件乙种商品，利用进货总价=进货单价x购进数量，结合进

货总价不超过780（）元，可列出关于>，的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论.

【解答】解：（1）设乙种商品每件进价的年平均下降率为尤

根据题意得：125（1-.丫）2=80,

解得：加=0.2=20%,.以=1.8（不符合题意，舍去）.

答：乙种商品每件进价的年平均下降率为20%；

（2）设购进y件甲种商品，则购进（100—），）件乙种商品，

根据题意得：（125-25x2）），+80（100—），长780（）,

蟀得：代40,

•.y的最小值为40.

答：最少购进40件甲种商品.

（设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以若助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检

验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力）

皿、结

1.知识技能：（1）流感传播模型：掌握两轮链式裂变传播的数量规律，初始1人传播总人数（1+X»,初始

多人可灵活套用a（1+x）2=b；明确总人数为正整数，需合理验根.（2）平均下降（增长）率模理：熟记连续

两次下降（增长）通用公式a（l孑x）2=b,可应用于降价、减产、减排（涨价、增产、增排）等所有等量衰减

（增加）问题.（3）通用技能：熟练掌握一元二次方程应用题审、设、歹U、解、验、答六步规范，能根据人

数、百分率、数量的实际取值范围取舍方程根.

2.思想方法：（1）动态建模思想：将生活中连续变化、裂变衰减的动态实际问题，抽象为固定的一元二次

方程数学模型.