浙教版初升高一数学暑假预习练习题：分式（原卷版+解析）

专题04：分式

I.分式的定义：形如《(其中B中含有字母)的式子叫做分式.

2.分式的性质：分式的分子与分母同时乘或除以一个不为0的整式，分式的值不变.

,AA,MAM..

如万二万下二g，z(M¥°)・

3.繁分式：当一个分式的分子或分母中仍含有分式时，此分式就称为繁分式.

如0或耳小—等.

X-4b_]

a

4.繁分式的化简：一般将其化成分式的除法进行运算.

(1)分数乘除法在运算过程中，可以先约分再运算；

(2)当分子或分母是多项式时，必须先对其进行因式分解，然后再进行约分计算；

(3)最后的运算结果应该保留成整式或最简分式；

(4)分母的乘除法，按照运算顺序依次计算.

例I：分式化简求值

已知(g_Z)2+3—9)2+(Z—X)2=("+Z—2力2+(N+£—2g)2+(6+y—2z)2,

+1)(切+1)(阴+1)

【解答】1

[解析】N)2+(：r—")2+(2—.T)2=(〃+N—2.T)2+(N+4一2〃)？+(%+”—22)\

[y—2)2—(g+z—2力2+($-g)2-(①+"-2z)2+(z—x)2(z+x-2y)2=0,

{y—z+y+z—2x)(y—z—y—z-\-2x)+Q—g+/+2z)(x-y—x—y-\-2z)+

(<z—x+z+x—2y)(<z—x—z—x+2y)=0,

/.2/+2/+2/-2xy—2xz—2yz=0,

-?/)2+(。一z)?+(9—Z)2=(),

•・・。、y、，均为实数，

$=y=z,

.Jz+1)(切+DQu+l)=(—+1)()+1)(4+1)=

-WWTwTi)-(/+1)(/+1)3+1)-L

例2：分式的意义

已知/为整数，且一3+二-+与土竽为整数，则所有符合条件的/值的和为_________.

c+33—x—9

【解答】12

【解析】该分式化简过程如下：

2221+18

c+33—Nrr2—9

=2Q-3)-2Q+3)+2z+18

=

_2x-\-6

=x2-9

_2

c—3

因为式子的值是整数，则2—3=±2或士1,则2=5或。=1或n=4或。=2,则所有符合条件的，的值

的和为12.

例3：分式的性质

若边长为Q的正方形与长、宽分别为〃?、/?的矩形面积相等，则下列比例式中，不正确的是()

ma_a+na+ma—nn_a—1n—1

A.—=—B.----------------0------「-------------------------

anamin—aam4-1Q+1

【解答】D

【解析】由题意可得。2="加，A选项正确；

an

・.・2=2，.」+必=1+工，即*=巴±三：

amamam

.(1>—'llTl

*.*a2=mn,.*.a2—an=mn—an,HPa(a-n)=n(7n-a),工巾_〃=£，C选项正确;

故选D.

例4：用公式求值

1

已知C+^=2,求424的值.

【解答】

【解析】化简过程如下：

X2

x4+x2+l

=1

/+1+。

Jb

1

G+i)2-1

将c+工=2代入上式得原式==(.

x4—13

例5：通分化简分式

匕简:占一+-*月

【解答】见解析

【解析】直接通分计算量较大，可采用逐步通分法，过程如下:

J._____1________2_______4_______8

x-1~x+1~x2+l~x4+l~x8-l

=z+l—①+1__J_______4_______

一—x2-lx，2+l~x4+l—xs-l

2248

x2—1/+1X4+1Xs—1

_2(/+1)_2(/2_1)48

=x4-lx4+l~xs-l

=4(一+1)—4(/-1)8

=xs-l7—1

=88

=x8-l~xs-l

=0

巩固练习

一.选择题

1.如果a,b,c,d是正数，且满足a+b+c+d=2,二工----F,,H----工,上,

Q+/)+C匕+c+da+c+d

+—7—7=4,那么—f—十,,,十十二"的值为()

a+b+d(1,-y-0~rcb~rc-rd(1-rc-raa.~rb-rd.

A.1B.C.0D.4

2.设x=海+既+1,则(；+1)'=

=()

A.3B.4C.5D.8

自然数力，满足，＞+,++Ji则［+*+3+4等于(

3.a,c,d5)

ca

13715

A-4B-8仁16D.32

4.设xVO,工一人=述，则代数式餐的值()

+c+i+1

42411

c

A.1B.万J47D-3

,、儿-a.b..1.1

5.己知a、b为实数且满足aW・1,1#・1,设“=_Ll+1_L1,八11+；，则下列两个结论

Q+15+1Q+16+1

)

①曲=1时，M=N,时，M>MMV1时，M<N.②若a+〃=0,则M・NWO.

A.①②都对B.①疝②错C.①错②对D.①②都错

八尸仙(/2-1)2+11用卜2|J_1________1________紫梢日

6.已知Q+l)(y+2)一0,如4+Gr+1)(y+1)+…+一+2001)，+2001)的值7c

2000200£20022003

A，2001B.2002C,2003D*2004

二.填空题

7.⑴已知匕皿=2,则在——

八、11尸...I3d—5ab—36

⑵已知丁广5,则“—3。〃一，

8・己知：片J==/念，则(b—c)'+(c-Q%+(Q—b)z的值为——•

9.已知a2-3〃-1=0,求a6+\20a'2=.

10.已知是不为()的实数，且吗■=<1冬=!，一鲁=。那么IJ的值是

a+b3b+。4o+a5ab+be支+ca-----------

11.如果小b,。是正数，且满足a+Hc=9,一次+7^+一一=半，则三一+-—+』■

的值为.

三.解答题

12.先化简，再求值：(二^+=豆)-2竟，其中立=收一3.

\x—3x+6)2x

13.(1)已知(«+/?)2=6,(a-b)2=2,求J+序与必的值;

⑵已知，+5=3,求/+5的值.

1T2

14-已知'+最=3,求ETT的值.

5已知〃2-6"9与叱"互为相反数'求代数式（占+渣*）+个告黑+!的值•

16.先化筒后求值：已知：£=通一2,求分式1—小工［（宁3—1卜修一!）］的值•

17.先化简,再求值：金,其中'是方程，3一。=。的解.

18.已知分式4=（0+1—一））+屋―4*+4,

（1）化简这个分式

（2）把分式人化简结果的分子与分母同时加上3后得到分式B,问：当。＞2时，分式B的值较原来分式人

的值是变大了还是变小了？试说明理由.

（3）若A的值是整数，且。也为整数，求出所有符合条件〃的值.

19.分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式.例

437之

如，分式TT，人是真分式.如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式.例如，

z+2x4—Ax

分式一，J是假分式・一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和•例如，

c+1（x-1）+2-2

x-1x-1x-1,

1

（1）将假分式2刍T—化为一个整式与一个真分式的和；

c+1

42

（2）若分式三•的值为整数，求工的整数值.

1+1

20.某快递公司有甲、乙、丙三个机器人分配快件，甲单独完成需要x小时，乙单独完成需要y小时，闪单

独完成需要Z小时.

(1)求甲单独完成的时间是乙丙合作完成时间的几倍？

(2)若甲单独完成的时间是乙丙合作完成时间的。倍，乙单独完成的时间是甲丙合作完成时间的人倍，丙

单独完成的时间是甲乙合作完成时间的c倍，求占+厂\+工的值.

Q，十】。十1。十1

21.观察下面的变形规律：

111_111_11

15?2=1-2?2^3=2-353^4=3"干…

解答下面问题：

(1)若〃为正整数请你猜想/[■,、=_________:

72(几+1)

(2)证明你猜想的结论；

(3)利用这一规律化简

___1___+___I___+___1___+...+_____1_____

Q+1)(X+2)(①+2)Q+3)(①+3)Q+4)。+2009)(，+2010).

(4)尝试完成.(直接写答案)-^―r+/+/-I,0+(J/皿、

E(N+2)(x+2)(r+4)Q+4)(c+6)(2+6;(工+8)

+_____1_____=

(x+2014)(,+2016)--------,

专题04：分式

A

1.分式的定义：形如存(其中B中含有字母)的式子叫做分式.

2.分式的性质：分式的分子与分母同时乘或除以一个不为0的整式，分式的值不变.

,AA,MA-i-Mz,

如万=B,M=8+MT

3.繁分式：当一个分式的分子或分母中仍含有分式时，此分式就称为繁分式.

1

如匚1或—等.

X3。-4G_]

a

4.繁分式的化简：一般将其化成分式的除法进行运算.

(1)分数乘除法在运算过程中，可以先约分再运算；

(2)当分子或分母是多项式时，必须先对其进行因式分解，然后再进行约分计算；

(3)最后的运算结果应该保留成整式或最简分式；

(4)分母的乘除法，按照运算顺序依次计算.

例I：分式化简求值

已知(财—N)2+(①一g)2+(n—c)2=(步+z—2%)12+(n+z—2y)2+(优+g—2z)2,

G/N+1)(敬+1)(制+1)/佗

本(7+1)(?>+1)(++1)的西‘

【解答】1

【解析】•・•(4一2尸+Q—u)2+(z—c)2=S+z—2化)2+(z+①一2y)2+Q+U-2N)2,

(y—z)2—(g+z—2力2+Q—g)2—Q+g_2z)2+(z—c)2(z+/—2g)2=0,

(y—z+y+z—2x)(y—z—y—z-^-2c)+(x—y+x+y—2z)(x—y—x—y+2z)+

(z—N+Z+N—2y)(z—①一z—c+2y)=(),

2x2+2/+2/—2xy—2xz—2yz=0,

3-"+(c—?)2+(7/—y)2—o,

「a、y、z均为实数，

x=y=z,

.[弊+1)(M+1)(1y+1)=Q2+1)()+1)(z「+l)=

-WW+WTi)-(/+i)(/+i)(z2+i)f

例2：分式的意义

已知》为整数，且一直+J-+空土学为整数，则所有符合条件的I值的和为_________.

4+33一2少“一9

【解答】12

【解析】该分式化简过程如F：

222T+18

1+33—nx2—9

_2(①一3)—2(/+3)+2z+18

=x2-9

=2i+6

=x2-^

_2

c—3

因为式子的值是整数，则2—3=±2或土1,则2=5或0=1或,=4或，=2,则所有符合条件的0的值

的和为12.

例3：分式的性质

若边长为Q的正方形与长、宽分别为，〃、〃的矩形面积相等，则下列比例式中，不正确的是()

marQ+〃a+m„a—nnn—

A.—=-B.--------=----------C---------=-

anam'm—aaa+1

【解答】D

【解析】由题意可得。2=小〃，・,・卫=巴，A选项正确；

an

・・・2=色，...1+必=1+工，即业=山；

amamam

a—n

G2—mil>u2-an—mn-an,HPa(<z-z?)=n(m—a),=/c选项正确;

m—a

故选D.

例4：用公式求值

1fr

已知①+上=2,求’.一2不，的值.

【解答】

【解析】化简过程如下：

X2

x4+x2+l

=1

+1+-2

_1

将e+工=2代入上式得原式=1=!.

x4—13

例5：通分化简分式

化简：_______I?48

弋一1x4-1二+1c'+la:8—1

【解答】见解析

【解析】直接通分计算量较大，可采用逐步通分法，过程如下：

1_____1248

x—1c+lx2+1x4+1Xs-1

=Z+1-N+1__J_____4_____8_

一—x2-lx2+l~x4+l~二一1

=2248

X2—1X2+\X4+1Xs—1

_2(/+1)—2(/—1)48

=x4-lx4+l~xs-l

_4(/4+1)—4(/4—1)8

Xs—1Xs—1

8_____8

~xs-l~-1

=0

巩固练习

一.选择题

1.如果a,b,c,4是正数，且满足a+b+c+d=2»~-----F入1】1~~;H------1】，，

a+6+cb+c+da+c+d

+,L)=4,那么的值为()

<2~rb-ra(i-rb-T~cb-rc-rda-rc-raa+b+d

A.1B.JC.0D.4

【解答】D

【解析］Va+b+c+d=2,—.!,------F>,,H---,H----,!.,—4,

a+b+cb+c+da+c+da+b+d

.da.bc

a+6+c6+c+(/a+c+〃a+6+d

2—(Q+b+c)2—(b+c+d)2—(Q+c+d)2—(a+6+d)

=-------------------------------------------------------------------------------------------------------

a+6+c6+c+da+c+da+b+d

2222

二1I1I1।1

a1)cO+c+da+c+da,+b-\-d

\Q+6+C6+c+da+c+da+6+d

=2x4-4

=8-4

=4

2.设/=萍+旗+1,则（［+1『=（）

A.3B.4C.5D.8

【解答】C

【解析】•••(同-1)(译+巡+1)=(旗)3—13=5—1=44=萍+旗+1,

_.次—])(逐+耨+1)3

・小一海+强+1+1

=(招—1+1)3

=5

3.自然数a,b,c,d满足［+,!=1，则:+,+g+1等于（）

A1n3厂7c15

A-4B-8C-16D-32

【解答】D

【解析】方+，+!+5=1，只有。、。、C、d自然数都相等的时候，等式才成立，即：a=b=c=d

=2；

将〃、b、c、d结果代入《+J+*+%.

4.设工VO,x--=y/5则代数式的值)

Xf3?喘+「］3：++/"+：”1；

42-41D.1

A.1B-47C,47

【解答】B

【解析】•・・/一▲=/,

x

邛一于=5，

(一+1)(d+1)

一(♦+1)(/+1)

=7/(/+i)

-3c(一+1)

_7x2•(-18x3)

-3x•47x4

42

=47

5.己知a、〃为实数且满足aW-1,b#-1,设〃=WT+WT，N=-T+士T，则下列两个结论

a+13+1Q+16+1

()

①ab=l时，M=N,必>1时，M>N；"VI时，MVN.②若a+Z?=O,则M・NWO.

A.①②都对B.①芯②错C.①错②对D.①②都错

【解答】C

r解析】———I———1———

［胛帆'M=a+16+TN=o+--l--十-/)+1'

M-N=—^7+b

a+1KTT圭+击

a—1+6-1

a+16+1

(a—1)3+D+(6-1)(a+D

(a+1)(6+1)

2向一2

(a+1)(6+1)

①当ub=1时，M-N=0,

:・M=N,

当油>1时，2ab>2,

：.2ab-2>0,

当。VO时，bVO,Ca+\)(b+1)>0或(a+1)(Z?+l)<0,

N>()或M-NVO,

；・M>N或M<N；

当研VI时，a和b可能同号,也可能异号,

:.(。+1)(〃+1)>0或(。+1)(b+1)<0,W2ab-2<0,

，M>N或M<N；

；・①错

a

②M-N=

a+1+/la+16+1/

aa+bb

十

(a+l)2(a+1)(6+1)(6+1)2

'：a+b=O,

‘原式=(a+1)2+(6+1)2

_Q(b+1).2+匕(Q+1)

(a+l)2(/?+l)2

4ab

(a4l)2(6II)2

I#-1,:.(a+1)231)2>o,

,：a+b=O

••・abWO,M・NW0.

••・②对.

(x2-l)2+|H-2|_11

6-已知(N+DG/+2)—O'则+…+的值是（）

2+(—Q+2001)("+2001)

2000200120022003

A,200l2002C2003D,2004

【解答】C

(――1)2+帆卜2|

【解析】•・•二0,

G+DG/+2)

A?-1=0,\xy\-2=0,x+1^0,y+2W0,

(下-1)2+||3|一2|

原式=

Q+l)(y+2)

------------1----------------1---------1---------------------------

1X2丁2X32002X2003

,1,11.,11

22320022003

L........-

2003

2002

2003

二.填空题

7・⑴已知1=2,则!=——

/八__i1_3a—jab—36

(2)已1A知一一工=5,则nil------——=

aI)a——b------------

【解答】⑴♦；(2)弓

【解析】(1)由巴二竺■=2,得到1+3•2=2,则2=4；

aaa6

(2)由工一1=5,得到纥工=5,即4-8=-5"，

abab

3(a—b)—5a6一].5(16—5a6_5

则原式=Lib

-5ab—3ab2'

X

8.已知：,---=J-r=,f----,则(6—c)/+(c—Q)g+(Q—b)z的值为

6+c-Qc±a-ba-tb-c

【解答】0

【解析】设7^^一=.y=—r^—=k，

b-rc—ac+a-Dha-rb—c

则，;+c—a=[①,ca—b=?②.a+b—c=1③.

kkk

由①+②+③得：a+、+c=N+.+Z④,

由④~①得：a=,

由④-②得：

由④-③得：c=x^~»

riqz-y,x—z.y-x_zx一期①+工期—+nz—xz

则原式=于/+-^"+*一=0.

2k

9.已知々2-3〃-|=o,求小+120/2=

【解答】1309

【解析】-a1-3a-1=0,

<r=3t/+l,

a(y=(/)3=(3«+i)2(3«+l)=(%上+6a+l)(3“+l)=[9X(3a+l)+6«+H(3a+l)=(33«+iO)(3«+l)

=99/+63a+10=99(3。+1)+63a+l0=360〃+109,

•・•/・3。=1,

120a-2=(a2-3a)=120--=120--X(a2-3a)=120-360a4-1080.Aa6+120«'2=

a~aa

3604+109+120-360a+1080=1309.

却,口-r-、i八八人口ab1be1ca1.abc„

10.已知”也c是不为°的实数，且布=3,年=不壬=守那么曲+上+CQ的值是.

【解答】I

【解析】•・•$=1，

a-bo3

:.=3,即工+：=3①；

abab

同理可得1+[=4②，

bc

R!=5③；

・••①+②+③得：2(|+|+1)=3+4+5?!+|+|=6

又•：仆的倒数为优+普+‘a,即为:+：+；=6,则原数为

ab十。c+caabcabco

11.如果a,b,c是正数，且满足a+Hc=9,=半，则+口一+

a+b/)+cc+a9b+cc+aa+b

的值为_______

【解答】7

【解析】9：a+b+c=9,

.•・。=9-(Z?+c),b=9~(a+c),c=9-(a+b),

5+c+c+a+a+b

9-(6+c)9-(c+a)9-(a+b)

b+cc+aa+b

=9/+++毋-3

..[]]二10

a-\-bb+cc+a9

•二原式=9X-3=7.

J

三.解答题

12.先化简，再求值：+其中，=V2—3.

\N—3z+3,lx

【解答】-A/3

hr,ifFj-p.①+3+N—33(3—x)3

r【解析】原式=3+3)3—3)-=-壬’

当—3时，原式=-，？•

13.(1)已知(a+h)2=6,(a-b)2=2,求/十序与的值;

(2)已知c+'=3,求的值.

x

【解答】(1)。2+序=4,4〃=1；(2)7

【解析】(1)V(«+/?)2=6,(a-b)2=2,

：.a1+2ab+b2=6①，

a2-2,由+82=2②，

①+②，得：2(t?2+Z?2)=8,

则<72+Z?2=4：

①-②，得：4ab=4,

则ab=l；

(2)Va：+-=3,

x

:.x2H—2=。+窑)-2=9-2=7.

1T2

14.已知工+上=3,求」24的值•

X/+犷+1

【解答】I

【解析】将丁+1=3两边同时乘以x,得/+l=3x,

x

X2__X2_X2_1

3+12+1=(a;2+l)2-x2=9x2-x2=8,

15.已知J.6Q+9与|6・1|互为相反数，求代数式(-42T—二+④).“的值.

\a-bab'-ab)a2bT+42a:b?+a'

【解•答】*

X乙

【解析】由已知可得J-6a+9+g-1|=0,

即(«-3)2+\b-1|=0,

•*•d=3,b=1,

(一+"1)二9+3-21

原式=

\9-13-9/e9+6十3

l31

-6Xx2+3

1

12

16.先化简后求值：已知:的值.

也、

［▼解h”答］—3-/4\一/3

【解析】原式=1-

=1-

(1+2)(企一2)41x-2

4

=1-

2+2

x-2

7+2

当£=通一2时,

y/3—2—2__4_3_4\/3

原式=

—2+2\/33

17.先化简，再求值：（^^7—二3）+与鸟，其中x是方程』-3x-10=0的解.

\x-4x-\-4x—2）x—4

【解答】J

【解利7】序式=「2"+1_____.(/+2)(1-2)

[解所J际队除一2)2①―2)21c+3

_①+3(/+2)(N—2)

(x—2)-1+3

。+2

V?-3x-10=0,

:.(x+2)(%-5)=0,

则工+2=0或x-5=0,

解得：x=-2或x=5,

又・・・/-4#0,

・FK±2,

••x=5t

当x=5时，原式=1_]|=1-

18.已知分式4=(。+1—一+.―4*+4,

(1)化简这个分式

(2)把分式4化简结果的分子与分母同时加上3后得到分式氏问：当。>2时，分式8的值较原来分式A

的值是变大了还是变小了？试说明理由.

(3)若A的值是整数，且〃也为整数，求出所有符合条件。的值

【解答】(1)竺雪；(2)变小；(3)0、3、4、6、-2

a—2

/I、\a2—4a—1a+2

【解析】(1)A=--------X彳-----7^2=-----o；

a—1(a—2)a—2

/.、4«•+2a+5

(2)A=-----K.B=—―,

a—2a+1

0a+2a+5

AA—B=-------------—

a—2a+1

_(a+2)(a+1)—(a+5)-2)

(a—2)(a+1)

12

(a—2)(a+1)

Vd>2,

AX-B>(),

答：分式B的值较原来分式人的值是变小了.

(3)4=丝片是整数，a也是整数，

，。=0时,A=-1；

a=3时，A=5：

a=4时，4=3；

a=6时，A=2；

u=-2时，A=0.

答：所有符合条件的。的值为0、3、4、6、-2.

19.分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式.例

如，分式$7,3「是真分式.如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式.例如，

£+2xA—4x

分式y,一三万是假分式.一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和.例如，

X—1N+1

C+1_(N—1)+22

一厂1—十FT

2r—1

(1)将假分式二三十化为一个整式与一个真分式的和；

(2)若分式一片的值为整数，求x的整数值.

【脩答】(1)2—(2)x=-2或()

N+1

【解析】(1)由题可得，至1=2(7)-3=2_3；

出+1/+1E+1

(2)(^-1)(^-1)+1_1

^L=£^1+1==t1+>

1+1c+1/+1/+1

•・•分式的值为整数，且X为整数，

:.x+1=i1,

/..x=・2或0.

20.某快递公司有甲、乙、丙三个机器人分配快件，甲单独完成需要x小时，乙单独完成需要y小时，丙单

独完成需要z小时.

(1)求甲单独完成的时间是乙丙合作完成时间的几倍？

(2)若甲单独完成的时间是乙丙合作完成时间的〃倍，乙单独完成的时间是甲丙合作完成时间的8倍，丙

单独完成的时间是甲乙合作完成时间的。倍，求+金T+-7的值.

Q