2026年高考数学一轮复习讲义简单的三角恒等变换（知识+试题+6类考点+1类典型易错）

第04讲简单的三角恒等变换

目录

第一部分：基础知识..............................................................................1

第二部分：高考真题回顾.........................................................................2

第三部分：高频考点一遍过........................................................................2

高频考点一：三角函数式的化简...............................................................2

高频考点二：三角函数求值问题（给角求值型）................................................4

高频考点三：三角函数求值问题（给值求值型）................................................5

高频考点四：三角函数求值问题（给值求角型）................................................6

高频考点五：半角公式.......................................................................8

高频考点六：万能公式.......................................................................8

第四部分：典型易错题型.........................................................................9

第一部分：基础知识

1、半角公式

2、万能公式（拓展视野）

a

2ctan-

.2

(1)sma=---------

.a

l+tan~2—

2

l-tan~—

cosa=2

1+tan--

2

2tan—

(3)tana=---------2—，其中。w2k兀+兀(kGZ)

1-tan2—

2

3、和差化积公式（拓展视野）

„.cc+Ba—0

cosa+cosp=2cos—广cos—

na+B.ct-p

cosa-cosp=-2sin---sin---

..0_.Ct+PCL—P

sina+sinp=2sin---cos---

&ra+P.a-p

sina—sinp=2cos------sin......-

22

4、积化和差公式(拓展视野)

cosacos夕=g[cos(af+/?)+cos(a-P)\

sinasinp=-g|cos(a+/?)-cos(a-77)]

sinascosfi=-[sin(a+£)+sin(a-0)]

cos«ssin/3=—[sin(cz+/?)-sin(tz-/?)]

2

第二部分：高考真题回顾

1.(2023•新课标II卷•高考真题)已知a为锐角，cosa=5&,贝1Jsin[=().

42

口7+#

.3-出r3-亚nT+6

8844

第三部分：高频考点一遍过

高频考点一：三角函数式的化简

典型例题

例题1.（24-25高一下•江苏盐城•期中）设a=」cos7。-@sin7。，力二即|二J-c：50。，则有（）

221+tan-12°V2

A.c<b<aB.a<c<hC.b<c<aD.a<h<c

例题2.（23-24高一下•全国•课后作业）（1）已知cosa-cos£=；,sina-sin〃=-；,求sin（a+/7）的值;

(2)已知cosa-cos/?=-,sina-sin/?=-一，试求cos(a+/)的值;

23

例题3.（23-24高一•全国•课后作业）已知cosa=；,求si吟，cos^,ta吟的值.

精练高频考点

1.（24-25高一上•上海•课堂例题）已知Icos夕|=:，言＜夕＜3兀，求sinq、cos?、tan?的值.

52-22

2.（2024高一上•全国•专题练习〉化简J匕罗+J号”，其中3兀＜。＜4兀.

cos2a

3.（24-25高一上•陕西西安・期末）（1）化简：—!—-tan-；

a2

tan—

2

(2)求值：sin500(l+5/3tanl00).

高频考点二：三角函数求值问题（给角求值型）

典型例题

Iez4・入上也jf迎士、上、1+tan19002cos70°.、

例题1.(23-24高一下•女徽芜湖•开学考试)------------.=()

1-tan370°sin40°

A.tan20°B.tan70°C.-tan20°D.-tan70°

例题2.(2025•湖南永州•模拟预测)回电二1的值为()

sinlO

A.2B.4C.-2D.-4

精练高频考点

1.(24・25高一下•江苏宿迁•阶段练习)sin401-^tanlO=()

1@新

X/2

A-B3C3D

3**3

(an123

2.(23-24高一•全国•课后作业)7-­；：；'=___.

(4cos~12-2jsin12---------

3.(23-24高一下•陕西咸阳・期中)计算求值：

...2cosl0-2^3cos(-100)，垢

⑴计算-------====——L的值；

Vl-sin10

(2)已知"均为锐角，sina=；,cos(a+/7)-纪,求*in/7的值.

高频考点三：三角函数求值问题（给值求值型）

典型例题

例题1.（24-25高一下•湖北咸宁•期末）已知cosa=（,二£（九2兀），贝！］cosg=（）

A2&R1力2&

3333

例题2.（2025•内蒙古包头•模拟预测）已知tan（a+；）=|,则cos2a=.

例题3.（24-25高一下•江西南昌•期中）已知。£（0,兀），Pesin（〃-a）=1,cos（a+/?）=-^.

⑴求cos2月的值；

⑵求lan%的值.

精练高频考点

1.(24-25高三上•山东淄博•期末)已知sin(a-/7)=-],H=则sin(a+Q)的值为

)

3tanp3

2I12

A.----B.一一C.-D.—

3333

2.(24-25高三上•山东烟台・期末)若cosje-J=T，则sin(26+g=()

\6/3\6,

3.（24-25高一下•江苏宿迁•阶段练习）已知sin（7t-a）-cos（7t-a）=：・

J

（1）求sin2。的值：

cos2a

⑵求cos(T)的值,

高频考点四：三角函数求值问题（给值求角型）

典型例题

例题1.（24-25高一下•四川内江•期中）己知。，Z?e（O,7t）,且tana、tan/7是方程/2一3.2=（）的两根,

则。+尸的值为（）

n3兀57r77r

A—B,TcTD,T

2

已知锐角%"满足cosa=。'sin"噜

例题2.（24-25高一下•四川成都•期中）

⑴求lan%的值.

（2）求a+q的大小.

例题3.（24-25高一下•江苏•阶段练习）已知aJ,11,sina=巫.

I4）10

（1）求tancr和sin2a的值；

⑵若sin（a+/）=-^5,仅为锐角，求sin（a-尸）的值；

5

⑶若tan/?=；,p为锐角，求角l+2月.

精练高频考点

1.（24-25高三下•重庆•阶段练习）设1@!10^11尸是方程/+6信+7=（）的两根，且。/［一,3,则4=

\乙乙）

亚，sing-m—正

2.（24-25高一下•四川德阳•阶段练习）已知aG

105

(1)求tan(a-〃)；

(2)求2。一万.

3.（24-25高一下•四川成都•期末）已知cosa=3aw（—2,0）.

⑴求sin(g"a)的值;

(2)若sin(a+〃)=-需，/w(0,]),求/的值.

高频考点五：半角公式

典型例题

例题1.（24-25高三上•陕西•阶段练习）如果|cosa|=:，］兀＜。＜3兀，那么tang=（）

A府Rx/6c娓力屏

5225

例题2.（2025•辽宁本溪•模拟预测）若。«0,兀），且2cos2a-cosa=l,贝！|tan^=.

例题3.（24-25高三上•吉林长春・期末）若aJo。］,且sine,cosa是5丁—7x+?=0的两个根，则

I4；5

cos—=.

2----------------

精练高频考点

1.（24・25高一下•辽宁•期中）已知a是第四象限角，若cosa=g,贝ljtan£=（）

A.2B.—@C."D.一星

2233

2.（23-24高一下•河北保定•开学考试）已知sin（a+¥）=|,与）.

⑴求sin（2a+：）的值；

⑵求3吟的值.

高频考点六：万能公式

典型例题

例题1.（24-25高三上•安徽•阶段练习）已知2a叫2+:|+"-3,则as2a的值为（）

tan—=------------------------------

2sina

na

例感2.（24-25高一•全国•课后作业）已知（兀,2兀）且sin]=],求:

⑴福

(2)sin^+2cos^.

精练高频考点

1.（23-24高一下•江苏南京•期中）已知0」。,?],且cos20=虫，则tanO=（）

I4J3

A.三史B.三5C.正D.更或6

2455

2.（2024•河北•模拟预测）若a40,，卢当一二J,则8sfa+[）=（）

I2J1+tana8I6J

A.—B.—C.；D.1

222

3.（24-25高三上•湖南•阶段练习）在平面直角坐标系xO.v中，角。与角/均以。'为始边，它们的终边关

于直线）=工对称，若【ana=2,则sin（77+3a）=.

第四部分：典型易错题型

易错点一：求角时忽略了角的范围而造成错误

1.（24-25高三上•江苏南京•阶段练习）若:＜/＜兀＜。＜与，且cos（a+〃卜一卷，sin2〃=?,则2—万=

（）

,4

2.(24-25高三上•广东梅州•阶段练习)已知ae(。，2,夕G(0,TT),sin(a+/?)=2cos(a-/?),tailcr+tan~，

则a+A=()

n-5n5K7兀13兀

A.-B.7或-7C.--D.丁或丁

444444

3.(24-25高一下•上海•阶段练习)已知一0"＜兀，sin2a=j,cos〃=—述，贝U

445"10

2a—6=.

第04讲简单的三角恒等变换

目录

第一部分：基础知识..............................................................................1

第二部分：高考真题回顾.........................................................................2

第三部分：高频考点一遍过........................................................................2

高频考点一：三角函数式的化简...............................................................2

高频考点二：三角函数求值问题（给角求值型）................................................4

高频考点三：三角函数求值问题（给值求值型）................................................5

高频考点四：三角函数求值问题（给值求角型）................................................6

高频考点五：半角公式.......................................................................8

高频考点六：万能公式.......................................................................8

第四部分：典型易错题型.........................................................................9

第一部分：基础知识

2tanl

(1)sina=

.a

1+tan7—

2

.2a

I-tan--

(2)cosa=2

,a

1+larr2—

2

ca

2tan—

(3)tancz=------，其中a#2匕r+)(ZEZ)

,，a

l-tan"—

2

3、和差化积公式(拓展视野)

jcosa-p

cosa+cosP=2cos

2~T

cosa—cos/?=—2sin

..个.a+Bcc—P

sina+sinpo=2sin—^-cos—

a+B.a-fi

sinar-sin0=2cos----sin

2

4、积化和差公式（拓展视野）

cosacosP-—[cos(a+ft)+cos(a-/?)]

2

sinasin/?=~—[cos(a+/?)-cos(a-/9)l

sinascos0=—[sin(a+P)+sin(a-ft)]

cosassinp-—[sin(a+P)-sin(a-/7)]

第二部分：高考真题回顾

1.（2023•新课标n卷•高考真题）已知a为锐角，85。=上或则呜=().

4

一"石

A3-亚R7+至r3-亚D.

8844

【答案】D

【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出.

【详解】因为cosa=l-24/q=匕无，而a为锐角，

24

解得：sin§=卜-石/（」-『一行-1.

故选：D.

第三部分：高频考点一遍过

高频考点一：三角函数式的化简

典型例题

例题】.（24』5高一下.江苏盐城.期中）设八上7。-冬访7。-我荒一产号,则有（）

A.c<b<aB.a<c<bC.b<c<aD.a<b<c

【答案】D

【分析】利用辅助角公式，二倍角的正弦，余弦公式化简，利用正弦函数的单调性比较大小即可.

【详解】6/=1cos7°-sin7°=sin30°cos7°-cos30°sin7°=sin（30°-7°）=sin23°,

2sin12°2sin12°

b=21an12。=cos?。=W埋2L=2sinl20cos120=sin24°,

2

1+tan12°1+si/12。I

+cos212°COS212°

由于y=sinx在0,y上单调递增，所以sin23。vsin24。vsin25。，

乙）

即4<。<C,

故选：D

例题2.（23-24高一下•全国•课后作业）（1）已知cosc-cos£=g,sina-sin〃=-g,求sin（a+⑶的值;

（2）已知cosa-cos/?=g,sina-sin/?=-§,试求cos（a+0的值；

【答案】⑴g12（2）s

【分析】（1）先用和差化积公式分别将cosa-cos/?,sina-sin/?进行变形，求出⑶】生芋，再用万能公式

求得sinQ+尸）的值；

（2）先用和差化积公式分别将（^0-8044】。-加〃进行变形，求出建山区产，再用万能公式求得

cos（a+/7）的值；

【详解】（1）cosa-cos^=-,.\-2sin^-^sin———

2222

T7••n1.B.a~P1

又sina-sinp=2cos---sin—.

•.^^々^/。，...由①②，得Tai幺出=-3,即lan空2=3.

22222

c.a+fia+0

2sin----cos...-

sin(«+/?)=_______22

.2a+4•»a-p

sin----+cos"----

22

ca十分.3

2tan----2x—1O

2.2=12.

.2a+A.913'

1+tan'——匕1+-0

24

a+a

(2)因为cosa-cos夕=',-2sin^sjn=—«®

2222

又因为sina-sin〃二一1，所以2cos々：尸sin1=一♦.（2）

3223

因为sin巳二2”）,

2

所以由①②，得飞!!学=1,即3与=1

、a+0.、a+P

cos------sin-----

所以cos(a+/?)=22

.2a+B)a+/

sin----+cos-...-

2

（23-24高一•全国•课后作业）已知cosa=；,求si吟，cos?la吟的值.

例题3.

.a」丛a、瓜a

【答案】sin—=±——；cos—=±——;tan——=±—

232322

【分析】用半角公式计算.

精练高频考点

1.（24-25高一上•上海•课堂例题）已知|cose|=J,今＜g＜3兀，求sinq、cos?、tan?的值.

52-22

r分索1.0厉。屈，aR

【合基】sin—=-------,cos—=--------,tan—=—.

252522

【分析】由。的范围可得cos6=-1,进而利用半角公式即可求解.

【详解】•「即。|=:，去"加,

15兀。3

0sin2a

tan—=-----——.

2夕2

COS-

2

2.（2024高一上•全国•专题练习）化简J匕罗+J号”，其中3兀＜。＜4兀.

【答案】V2cos

【分析】利用二倍角的余弦公式，结合所在的象限化简，利用辅助角公式计算即可.

__.,,1+cos2^->_1—cos2^.，小

【详A解M】由8s20=l-2sin-0=2cos-0-l,可得---=cos-0,---=snr。,

22

由3兀＜9＜4兀,可知3当7r〈二°＜2兀,

22

0.0

得原式=COS]-sin-

2

cosa

3.（24-25高一上•陕西西安・期末）（1）化简：———tan=；

*a2

tan—

2

（2）求值：sin50°（l+^tanl00）.

【答案】（1）1sin2a；（2）1

4

【分析】（1）化切为弦，结合正弦和余弦的倍角公式和半角公式得到答案:

（2）化切为弦，结合辅助角公式和诱导公式进行求解.

cos2a_cos2a_cos2a_cos2a_1

=—sinacosa=—sin2a

1.aa.a2ct.acosa24

Idllcos—sin—cos-----sin2—

【详解】（1）a222221

ian一sina

.a.aa

2sin—cos—sin—cos—2

2222

(2)sin50。(1+gtan10°)=sin50°fl+瓜⑺”]=sin50°瓜"1()-cos10。

s02sin40。2sin50°cos50csin100°sin(10°+90°)cos10°.

=sin5()。_______=______________=_______=___-_______-=______=\

cos10°cos10°cos10°cos10°cos10°

高频考点二：三角函数求值问题（给角求值型）

典型例题

例题1・（23・24高一下•安徽芜湖•开学考试）————---=（）

1-tan370°sin40°

A.tan20°B.tan70°C.-tmi20°D.-tiin70°

【答案】A

【分析】根据给定条件，利用诱导公式、二倍角公式及齐次式法求值化简即得.

、1+tan190°2cos70°1+tan10°2sin2001+tan10°1

I详1--------------------------------=-----------------------------------------=----------------------------

1-tan370°sin4001-tan1002sin20°cos2001-tan10°cos20°

_1+tanlO。_cos2100+sin210。=1+tan10°_1+tan210°

-i-tanl00-cos2100-sin2100-1-tan100-1-tan'10°

(l+tanlO°)21+tan210°2tan10°

I-tan210°I-tan-1001-tan-10°

故选：A

例题2.(2025•湖南永州•模拟预测)画吧W」的值为()

sin10

A.2B.4C.-2D.-4

【答案】D

【详解】先将GtanlO-1进行变形，再利用三角函数中辅助角公式、二倍角的正弦公式化简计算即可.

百sin10

园nlO-1cos107瓜出10-coslO2sin(10-30)=2sin20

【分析】===

sinlOsin10sin10cos10-sin20-sin2()

22

故选：D.

精练高频考点

1.(24-25高一下•江苏宿迁•阶段练习)sin401-y-tanlO=()

\/

A.1B.克C.BD.迈

3333

【答案】C

【分析】利用切化弦、辅助角公式、二倍角公式以及诱导公式化简可得所求代数式的值.

r性觎】M6sinl0］sin40(V3sinl0-3cosl0)

【详解】sin401------tan10—sm401--------------=--------------------------------------

、3J3cos10J3cos10

2\/3sin40sin(10-60)2Gsin40sin5025/3sin40sin(90-40)

3cos103cos(90-80)3sin80

26sin40cos4()_6sin8()丛

3sin803sin80-T

故选：C.

2.（233高一•全国•课后作业）丽V就

【答案】-473

【分析】先根据切化弦以及二倍角的余弦公式化简原式，然后利用辅助角公式以及二倍角的正弦公式进行

化简，由此可求结果.

x/3sin12^-3cosl2"2V3|-sinl20-—cos120

［详解］原式二cos12°22sin(12•-60)t也sin48

=-45/3

2cos24°sin12°cos24sin24sin48sin48

故答案为：-4>/3.

3.（23・24高一下•陕西咸阳•期中）计算求值:

32cos10_26cos（700

⑴计算-------/'-----的值；

Vl-sin10

（2）己知。、夕均为锐角，sin«=lcos（a+/?）='叵，求sin£的值.

714

【答案】（1）2及

⑵当

【分析】（1）利用诱导公式、辅助角公式、二倍角的正弦公式化简可得结果;

(2)利用同角三角函数的基本关系可求得cosa、sin(a+0的值，再利用两角差的正弦公式可求得sin的

值.

^"、皿2cosl0-2V3cos(-100)2cosl0-2V3coslOO2cosl0-2^cos(90+10)

[r详AJ解21](1)解：-------[------=------/-----=---------/-------L

VI-sin10Vl-sinlOx/l-sinlO

_4|—coslO+—sin10“八八、

_2cosl0+2V5sinlO=(22J=4cos(60-10)

Vl-sinlOVl-2sin5cos5cos5-sin5

4cos50_4cos50=2上.

\^2(cos45cos5-sin45cos5)应cos50

（2）解：Q。、夕都为锐角，贝！］0va+/?v兀,

114>/3I5^39G

?.sinp=sin[(a+/?)-a]=sin(a+/?)cosa-sinacos(a+尸)-X-------X----=-----

14771498

高频考点三：三角函数求值问题（给值求值型）

典型例题

例题1.（24-25高一下,湖北咸宁•期末）已知cosa=，。«几2兀），则cos£=（）

2>/21、2拉

AA.——BD.——C.-D.———

3333

【答案】D

【分析】利用半角公式，结合角的范围进行求解，得到答案.

【详解】ae（兀,2兀），故界/,，故8sl<0,

所以aII+cosa"92叵.

2V2V23

故选：D

例题2.（2025•内蒙古包头•模拟预测）已知tan（a+：）=g,则cos2a=.

a20

【答案】药

【分析】以；为整体，利用诱导公式可得cos2a=sin2（a+冬，再根据倍角公式结合齐次式问题运算求

4I4；

解.

【详解】因为tan（a+£|二m

由cos2a=cos|2\a+—|-

.力兀

=sin2a+—

I4

20

故答案为：—.

例题3.（24-25高一下•江西南昌•期中）已知aw（（U）,夕€（0弓），sin（^-a）=|,cos(c+夕)=得.

(1)求CC&2/7的值;

⑵求tan2a的值.

33

【答案】(l)cos2)=—之

65

(2)tan2a=—

63

【分析】（1）由角范围分析依次求得cos仍-0、sin（a+/?）即可由2£=（a+/7）+（/7-0结合两角和余弦

公式求解；

（2）由（1）和加=伍+£）-（£-0结合两角差的正切公式求解.

【详解】（1）因为a«（U）,^el0,|J,所以（4一。）兀

又因sin('_a)=：>0,(£—a)e(),?，故cos(/?-a)=[1-5而(4_0=J费=|,

5

因为（。+夕）40,与cos(a+/?)=-^>0,则(a+0)e(0.[,

13I/

则sin(a+/?)=yj\-cos2(a+/7)=12

13

又因为2p=g+Q)+(/—°),

所以cos2/?=cos[〃一a)+(a+/：|]

=cos(/7-6r)cos(6r+/?)-sin(/?-<z)sin(«+/?)=-x--—x-=--

51351365

|94

(2)由1知：tan(<2+/?)=—,tan(/?-6f)=-,

JJ

|2_4

因为勿=(a+/?)-所以tan2a=tan[(a+p)-(/7_a)]=53=《

1+—x-O>3

53

精练高频考点

0[ana|

1.(24-25高三上•山东淄博•期末)已知sin(c-〃)=-：,嬴彳=,则sin(a+⑶的值为()

21I2

A.——B.一一C.-D.—

3333

【答案】C

【分析】根据题意切化弦可得cosasin尸=-3sinacos4,再结合两角和差公式运算求解.

【详解】因为smaco、,_一；,可得cosasin〃=-3sinacos〃，

tanpcos«sinp3

2]

又因为sin(/y—/7)=sin<ycos/?—cas<ysin/?=4sin/rcos/?=,可得sin“ccs/?=,

36

所以sin(a+/?)=sinacos/?+costsin/?=-2sin«cos/?=g.

故选：C.

2.(24-25高三上•山东烟台•期末)若cos(0—=贝人访(20+7]=()

1155

A--9B.-C.D.-

【答案】A

【分析】先将26+3用夕-2表示为2夕+1=5+2(。-1)，再利用诱导公式和二倍角公式求解即得•

66626

【详解】因26+1=红23J),

626

贝!|sin(2^+—)=sin[—+2(^--)]=cos2(^--)=2cos2(^--)-1.

626669

故选：A.

3.（24-25高一下•江苏宿迁•阶段练习）已知、皿（兀-0）-85（兀+。）=晨

⑴求sin2a的值；

cos2a

⑵求8s（a+*的值•

【答案】⑴2*4

⑵孝

【分析】（1）利用诱导公式可得出sina+cosa=，在该等式两边平方，结合二倍角的正弦公式可求得sin2a

的值；

（2）利用二倍角的余弦公式、两角和的余弦公式化简可得所求代数式的值.

【详解】（1）因为sin（H-a）-cos（7r+a）=sina+cosa=—,

所以，（siim+coscr）-=sin2fz+ccs2a+2sincrcosfz=1+sin