第九章 因式分解（复习讲义）-苏科版八年级数学下册【含答案】

第九章因式分解(复习讲义)

■2,区

单元目标聚焦•明核心

1.理解因式分解的定义，明确其本质是把一个多项式化成几个整式的积的形式的恒等变形;

清晰区分因式分解与整式乘法的互逆关系，能运用整式乘法检验因式分解结果的正确性；

2.掌握因式分解的一般方法：提公因式法、运用公式法，掌握因式分解的基本顺序(一提、

二套、三检查)；

3.感悟“因式分解”与“整式,乘法”是互逆过程，领悟用逆向思维、转化、整体的数学思想方

法.

区又

知识图造梳理•固基础

一一定义：多项式一几个整式的积

与整式乘法：互逆变形

二丁一分解原则：必须分解彻底

'结果要求：只含积，不含加温

找公因式：系数最大公约数+相同字母最低次第

1.提公因式法—公式：ma+mb+mc=m(a+b+c)

易错：首项为负要提负号、别漏写1

2公式法yr^一平方差公式：a2-b・(a+b)(a-b)

/二、常用方法X

一完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2

3.十字相乘法0---------------x2+：p+q)x+pq=(x+p)(x+q)

74.分组分解法Y二鬻器鬻芸器”、式

思居：分组后可提公因式/套公式

:『三、一般步骤一提：优先提公因式

二套：套用柒法公式

三分：分组继续分解

四查：检查是否彻底、符号正确

提公因式不彻底

提负号后不变号

Q.常见易点。—混涓平方差与完全平方

'\-分解不彻底

结果写成澳履形式

'五、实际应用8y化简求值

乙一筒便运算

一几何面积计算

7判断三角形的形状

教材要点精析•夯重点

试卷第1页，共16页

知

识重点归纳常见易错点

点

1.混淆“因式分解”与“整式乘法”

概念：例如：把

因

x2-4=(x-2)(x+2)

1.多项式的因式：一般地，如果一个多项式可

式

以表示成若干个整式的乘积，那么其中的每个整再展开回去，以为还要继续算，这

分

式都叫作这个多项式的因式.是最常犯的错误.

解

2.因式分解：把一个多项式表示成几个整式的2.因式分解是在整式范围内进行.

的

乘积形式，这样的变形叫作多项式的因式分易错：出现类似

概

解.因式分解也可称为分解因式.x2-x=x2\1-i

念kX)

这种带分式的变形，根本不是因式

分解.

1.提公因式法：当多项式的各项含有公因式时，1.漏提系数的最大公因数如分解

可以采用添括号的方法把公因2X2-4X,只写成X(2X—4)

式提到括号外，把多项式写成公因式与另一个多,没杷系数2提出来.

项式的积的形式，概念误区：认为“只要有因式就

因

这种分解因式的方法叫作提公因式法.行“，不理解公因式要提尽.

式

ab+ac+ad=a[b+c+d)2.当多项式的第一项系数为负数

分

2.公式法：时，通常把负号作为公因式的符号

解

逆向使用平方差公式、完全平方公式等乘法公式进行因式分解.

的

进行因式分解3.把和的形式”强行拆成积，如一

方7J

的方法叫作公式法.+4不能分解，学生却乱写成

法

『或)

a2-b2=(a+b)(a-b)(x+2(x+2(x-2),

4.分解后不整理，不符合“最简

a2+2ab+b2=(a+b)2

形式

a2-2ab+b2=(a-h)~

5.因式分解结束后，忘记检查是否

试卷第2页，共16页

3.因式分解的方法步骤和目标：分解彻底.

方法步骤：

（1）先提公因式；

（2）再运用公式；

（3）检查检查每个因式是否可以继续分解.

目标：

必须把每一个因式都分解到不能再分解为止.

QO

考点题型突破•拓思维

题型一根据因式分解概念判断是否为因式分解

[例1]

1.下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（）

A.x0+N)=x+.UB.X2-4J+4=(X-2)2

C.x2+x-9=(x+3)(x-3)+xD.前三个都是

【变式1-11

2.下列等式由左边至右边的变形中,属于因式分解的是（）

A.x:+5x-l=x(x+5)-lB.24x2y=4x-6xy

2

C..r+2x-3=(x+3)(x-l)D.x+\=x[x+-

【变式1-2】

3.下列从左到右的变形属于因式分解的是（）

A.(x+l)(x-l)=x2-1B.m2-2:n-3=???(/«-2)-3

C.2x2+\=x2x+-D.x2+2.V+1=(x+l)2

鹿型二根据困式分解的结果求参数的值

【例2】

4.多项式ax+4可因式分解为ax（l-y）,则力为（）

A.aB.一叼c.-ayD.ay

试卷第3页，共16页

【变式2-1】

5.若多项式V—改+12可分解为（工+3）（3-%），则”6的值为（)

A.3B.-3C.11D.-11

【变式2-2】

6.若关于X的二次三项式/+依+/，因式分解为（》-1）（.3）,则仕+〃产5的值为（）

A.-7B.7C.-1D.1

题型三公因式的概念

【例3】

7.多项式2力2+3心,3_6巧，中，各项的公因式是（）.

A.口B.x2yC.2x2yD.3/y

【变式3-1]

8.把多项式2产+4个分解因式，应提取的公因式是（）

A.XB.yC.2xD.2y

【变式3・2】

9.（1）多项式21+4岫中各项的公因式是______:

（2）多项式几『"I五八中冬顶的公因式是_____；

（3）多项式-31+9中-6》中各项的公因式是_______.

题型四找出多项式各项的最大公因式

【例4】

10.多项式6〃3年+124362c-3。2b中,各项的最大公因式是（）

A.-a2b2B.3a2bC.3a2bcD.a2b

【变式4-1]

11.多项式3/-6〃的最大公因式是（）

A.nB.n-2C.3D.3〃

【变式4.2】

12.多项式1+6crb-24R）中各项的最大公因式是_____.

题型五利用提公因式法因式分H

试卷第4页，共16页

【例5】

13.因式分解：

(1)3nr-6m;

(2)2a(b-c)-3(c-b).

【变式5-1]

14.囚式分解.

(1)3ma3+6ma2-12ma

(2)3x(Q_〃)_6y(b-Q)

【变式5-2]

15.把下列各式因式分解:

(\)2a(x-y)+(x-y)；

(2)x(a-5)-3(5-a)；

(3)3m(a-b)2-m2(b-a)3；

(4)by(a+b)(a-b)-h3(a+b)2.

题型六判断能否利用公式法分解因式

【例6】

16.下列多项式中，不能用公式法因式分解的是（）

A.-x2+\6y2B.-x2-2x-\

厂221,

C.W—mn+—n~D.-x2-/

39

【变式6-11

17.下列四个多项式中，不能因式分解的是()

A.。〜―6a+9B.—a~+1C.x2+5yD.x2-5x

【变式6-2]

18.下列不能用公式法因式分解的多项式是()

A.-x2+y2B.9a2—6ab+b2C.x2+1D.a~—6^z+9

题型七运用平方差公式分解因式

试卷第5页，共16页

【例6】

19.下列多项式中，能用平方差公式分解的因式有（）

①/+〃；②/一/；③_〃/+〃2；（4）-^2,⑤_/+4.

A.2个B.3个C.4个D.5个

【变式6-1】

20.囚式分解：4a2-b2=.

【变式6-2】

21.因式分解：x2-9y2=.

题型八运用完全平方公式分解因式

【例6】

22.因式分解：〃2_]2〃+36=.

【变式6-1】

23.因式分解：（x-y）2+12（x-y）+36=.

【变式6-2】

24.因式分解：9-6m+用2=.

题型九综合运用公式法分解因式

【例6】

25.分解因式：（/+1丫-4/

【变式6-1]

26.分解因式：（x24-r）2-4x2/.

【变式6-2】

27.分解因式:（a+Z＞）4-2（a+Z＞）2+l.

题型十综合运用提公因式法和公式法分解因式

【例6】

28.因式分解:

⑴一6。%+3加一12欣：

试卷第6页，共16页

⑵“—尸+⑹/；

(3)16x2jv+24,vy+9v；

(4)4(x+y)2-16(x-y)2.

【变式6-1】

29.把下列各式因式分解.

⑴3(.3)2-12；

(2)-4x]，+16xy-16y；

(3)25-10(x+y)+(x+j，)\

(4)6(x+y)2-2(x-y)(x+y)

【变式6-2]

30.把下列各式因式分解：

(1)X4-8X2+16；

⑵2』(工-力+84”工)；

(3)x2-2xy+y2+2x-2y；

(4)(x-2y)"-3(2尸4+2(x-2».

题当•一利用因式分解型士数4的值

【例6】

31.已知6=4,«/7=3,贝+加的值为.

【变式6-1】

32.已知：m+n=5.mn=6,1l!!j—nfn+m2n'+—nuf=.

22------

【变式6-2】

33.若x+y+z=2,x2-(y+z)2=6,则.

题型卜工利用因式分解判断三角形的形状

【例6】

34.若。，b,c为△18。的三边长，Ra2+b2+c2-6a-Sb-Sc+4\=0,试判断△力8c的

试卷第7页，共16页

形状，并说明理由.

【变式6-1]

35.(1)△Z5C的三边长满足等式2/+从=3仍+--雨,试判断△力4c的形

状.(2a-"cwO)

(2)若△NBC的三边长为。，b,c,且满足/+〃+/+3=20+26+2入试判断△力8C的

形状.

【变式6-2】

36.已知。、b、。是△Z8C三边的长.

(1)若〃、b、c满足/+°2_2/)("/)+0)=0,试判断△NBC的形状，并说明理由；

(2)若。、b、。满足八2一丘2=/一乩试判断△48。的形状，并说明理由.

题型十三关于因式分解的材料阅读问题

【例6】

37.对于二次三项式/+2仆-3力，不能直接运用公式法分解因式.此时，我们可以在二次

三项式,/+2.丫-3片中先添加一项片,使它与/+2o¥的和成为一个完全平方式，再减去

力,整个式子的值不变.过程如下：

x2+2ax-3a2

=(x?+2av+a，)-q，-3a'

=(X+Q)2~(2a)2

=(x+a+2a)(x+a-2a)

二(X+3〃)(X-Q).

像这样，先添加一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的

方法称为“配方法”.

请解答卜.列问题：

(1)用“配方法”分解因式：W+6X+8.

(2)19世纪的法国数学家苏菲•热尔曼解决了“把+4分解因式”这个问题：

d+4=/+4/+4—4/=(x2+2)*-4x2=(x2+2)~~(2x)2=(x2+2x+2)(x2-2x+2).请分

解因式：x4i64./.

试卷第8页，共16页

【变式6-1】

38.阅读材料：我们把多项式/+2融+〃及片-2"+从这样的式子叫做完全平方式.如果

一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加•个适当的项，使式子中出现完全

平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法.配方法是一种重要的

解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非

负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等.

例如：分解因式/+2x-3.

原式=(X2+2X+1-1)-3=(X+1)2-4=(X+1+2)(X+1-2)=(X+3)(X-1).

根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题.

(1)利用配方法分解因式：/_6X-27;

(2)当x为何值时，多项式-/-6》+9有最值，判断是最大值还是最小值，并求出这个最值:

(3)已知止数b,c满足/+/+T-6。一86—10。+50=0,求。+b+c.

【变式6-2】

39.仔细阅读下面的例题，解答问题.

例题：已知二次三项式》2一4.丫+〃?因式分解后有一个因式是(x+3),求另一个因式以及〃?的

值.

解：设另一个因式为(x+〃)，

x2-4x+〃?=(x+3)(x+〃)，

贝！Jx2-4x+w=x2+(/?+3)x+3〃,

〃+3=-4

m=3〃

n=-7

解得

w=-21

问题：仿照以上方法解答下面的问题：

(1)已知二次三项式——工+加因式分解后一个因式为(1+2),求另一个因式及加的值；

(2)已知二次三项式2/+3x-k因式分解后有一个因式是(2x-5),求另一个因式以及A-的值.

试卷第9页，共16页

分层阶梯训练•提能力

一、选择题

40.下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（）

A.（。+3）2+6a+9B.2a2b+2ab=2ab（a+\）

C.15ab=5bD.(a+b)(a-b)=a2-b2

41.若多项式X?一⑪一1可分解为（》-2）（彳-6）,则”人的值为（)

A.2B.1C.-2D.-1

42.下列多项式中,各项的公因式为542b的是（)

A.3Qabz-\0(rbB.15/6+20。%，

C.10a%-20ab3D.\5a?b+5ab

43.如果"b=3,岫=10,那么/万一加2的值是（）

A.-30B.-13C.13D.30

44•多项式（l-a）xy+（〃-l）因式分解的结果正确的是（）

A.(孙+1)B.(1-4加1)

C.("。(肛-1)D.("T乂xy+1)

45.下列多项式能用公式法分解因式的是（）

A.(厂—2a+4B.4b2+4/>-1

C.1+4cJD.-a2+4/72

46.下列二次三项式是完全平方式的是（）

A.x2+6x-9B.x2+8x+8C.x2+3工+9D.x2+4x+4

47.已知(x+3y)(）=-丁+9），2,则横线上应填的代数式是（）

A.x+3yB.x-3yC.-x-3yD.-x+3y

48.数学活动课上，同学们•起玩卡片游戏，游戏规则是：从给出的三张卡片中任选两张进

行加减运算，运算的结果能进行因式分解的同学进入卜一轮游戏，否则将被淘汰.给出的三

张卡片如图所示，则在第一轮游戏中被淘汰的是（）

试卷第10页，共16页

A.甲：M+NB.乙：M-NC.丙：N+PD.T：N-P

49.小明是一名密码翻译爱好者,在他的密码手册中有这样一条信息a-8，x-3,x+3,a+b,

X2-9,分别对应下列六个字：州，爱，我，德，游，美，现将，一9)/一，-9忖

囚式分解，结果呈现的密吗信息可能是()

A.我爱美B.德州游C.我爱德州D.美我德州

二、填空题

50.因式分解.

51.因式分解：“x—1)—3(x—1)=.

52.分解因式：X2-36=.

53.分解因式：-3/+12/-12a=.

54.分解因式：a2(x-y)+9(j^-x)=.

55.若实数x,N满足x+y=6,x-y=10,则3./一3/=.

三、解答题

56.把下列各式因式分解.：

⑴-;

2

(2)4X-9/;

(3)*+4xy-4y2:

(4)(672+/>2)2-4a2b2.

57.分解因式:

⑴"-4a'。十4加；

(2)1+24/Vy+8》2y2；

(3)4412孙+9./；

(4)(x+^)2-8(x2-y2)+16(x-^)2.

58.【阅读材料工将四项及四项以上的多项式进行因式分解.，我们一般使用分组分解法，对

于四项多项式的分组分解法々两种分法：一是T+1”分组，二是“2+2”分组.两种分组的

试卷第11页，共16页

主要区别在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用

“3+1”分组;若无法构成.则采用“2,2”分组.

例如：

x2+2.r+l-4

am+hm+an+bn

=[X2+2X+\)-4

=(am+hm)+(〃〃+bn)

=(X+I)2-4

=m(a+h)+n[a+b)

=(x+l+2)(x+l-2)

=(a+b)(m+n)

=(x+3)(x-1)

像这种将一个多项式适当分组后，再分解因式的方法叫做分组分解法.

【学以致用工

(1)因式分解：81-4X2+12A7-9/.

【拓展延伸】

(2)己知a,b,c为等腰的三边长，且满足/+/=204+246—244,求等腰△力8。的

面积.

59.利用图1中甲、乙、丙三种矩形卡片若干张拼成图2的正方形(卡片间不重叠、无缝

隙)，可以用来解释(〃+〃『=/+2”力+〃.

(1)【发现】若要拼成图3的矩形，请通过计算说明需要利用图1中的三种卡片各自的张数;

(2)【探究】若要利用1张甲卡片、4张乙卡片和4张闪卡片拼成一个正方形，则该正方形的

边长为(用含/力的式子表示)；

(3)【应用】若(24+3)2=4/+尉+9,则〃=；若(5x+m『=25/+10工+〃，则加=

一、选择题

试卷第12页，共16页

60.下列各等式中，从左到右的变形是因式分解且分解正确的是()

A.(a+-b)=a2-b2B.a2+2a+l=〃(a+2)+l

C.x2-2xy+y2=(x+y)2D.x(x+2)-(x+2)=(x-l)(x+2)

61.若多项式5/-17x-12可因式分解为(x+a)(，)x+3),其中a,。均为整数，则。+人的值

是()

A.9B.-9C.-1D.1

62.将6/b(j，-x)2+8"2(x-y)’因式分解，应提取的公因式是()

A.2ab(x-y)2B.4Sab(x-y)1

C.48a8(工一丁丫D.2«/?(x-y)3

63.若〃?+2〃=1,则3〃产+6”?〃+6"的值为()

A.1B.2C.3D.4

64.下列多项式：①-F+i6y2：②81(1—2ab+〃)—(〃+b)2；@//r+；

④/+/.其中能用公式法因式分解的有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

65.“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，数形结合思想是数学学习中的一种重要的思想,

请仔细观察下列图形，其中能说明等式/-/=(4+9(”与成立的是()

试卷第13页，共16页

D.

前1

[||g

66.已知△力AC的三边分别长为a,b,c,且满足(a-17『+b-15|+c2-l6c+64=0,则

△ABC是()

A.以。为斜边的直角三角形B.以方为斜边的直角三角形

C.以c为斜边的直角三角形D.不是直角三角形

67.如果多项式4/+小芍+81/是一个完全平方式，那么〃?的值是()

A.18B.36C.±18D.±36

68.词牌名有固定的格式与声律，决定着词的节奏与音律.李华令3x,x2+\,x-y，

3x+y,y,(x+y『分别对应6个字：乌、月、西、江、夜、啼.现请你将+3不？

因式分解，结果呈现的词牌名可能为()

A.乌江夜B.啼西月C.西江月D.乌夜啼

69.小明是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：a-b,a+b,

a2-b\c-d,c+d,分别对应下列六个字：勤，奋，博，自，主，学，现将

(42_/卜2_(/一因式分解，结果呈现的密码信息应是()

A.勤奋博学B.博学自主C.勤奋自学D.勤奋自主

二、填空题

70.若孙=2026,x-3y=-\,则x2y-3xy2+xy=.

71.已知。一/>=1,ab=2,则/。一〃〃的值为.

72.已知x-y=4,贝1」丁-/-8»=.

73.若整式9/+1加上一个单项式后，能用完全平方公式分解因式，则加上的单项式是.

74.若a=2025x2024-\.b=20252-2025x2024+20242,则ab.(请用“>皿〈”或

“=”表示)

75.甲、乙两人在分解因式x2+ar+5时，甲看错了。的值，分解的结果是(x-3)(x+2)：乙

看错了力的值，分解的结果是3),则。-力=.

试卷第14页，共16页

三、解答题

76.分解因式：

(l)6w2-3w；

(2)(x+)，『-4(x+y)+4；

⑶/1一)+/伍—〃)；

⑷(5x+3y)2-(3x+5j，)2.

77.阅读并解决问题：对于形如V+2x+l这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成

('+1)2的形式.但对于二次三项式一+2“-3,就不能直接运用公式了.此时，我们可以在

二次三项式/+2x-3中先加上一项产，使它与V+2x的和成为一个完全平方式，再减去产

整个式子的值不变，于是有：

解：x2+2x-3

=x2+2.r+l2-l2-3

=(X+1)2-4

=(X+1)2-22

=(x+3Xx-l).

像这样，先添一适当项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的

方法称为“配方法”.

(1)利用“配方法'’分解因式:a2-6a+8.

(2)若/+b'一12。一66+45=0，求〃、的值；

(3)当a为何值时，二次三项式/+4〃+5有最小值？最小值为多少？

78.瓜瓜在学习了因式分解之后，尝试对多项式/-36产+X-6)，进行因式分解.

一一36产+..6),解：原式=(』-36/)+(x-6j,)第一步

①提公因式法；

=(x-6y)(x+6p)+(x-6j)第二步

②公式法.

二(x-6y)(x+6y+l)第三步

(1)瓜瓜从第一步到第二步因式分解运用的方法是法，第二步到第三步因式分解运用

的方法是法(从右框中分别选择一种方法填入序号)

试卷第15页，共16页

(2)请你按照上述方法分解因式：/-69+9必-3x+9y

(3)应用:已知△力8c的三边长0、6、c满足条件：a4-y+62c2-a2c2=0.试判断△48。的

形状.

79.深度学习“乘法公式”时，小慧发现数学结论：当两个不同的正整数同为偶数或同为奇数

时，这两个数之和与这两个数之差的平方差一定能被4整除，且这两个数的积可以表示为两

个正整数的平方差.为了验证这一结论的正确性，进行了如下探究：

【特值验证】选取两个正整数3和1都是奇数，验证如下：

由于(3+1)2—(3—1『=16—4=12,12+4=3即能被4整除：

而且3x1=2272,可以表示为2和1的平方差.所以结论正确.

(1)若选取两个正整数4和2都是偶数，请你模仿上述示例给予验证；

【规律探究】设两个正整数机，〃，且〃和〃同为奇数或同为偶数,试证明:

(2)(〃?+〃)2-(〃?-〃)2是4的倍数；

(3)〃训可以表示为两个正整数的平方差.

试卷第16页，共16页

1.B

【分析】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的枳的形式的定义判断即司;

【详解】解：A、该变形是整式的乘法，是因式分解的逆运算，不属于分解因式，故本选

项不符合题意；

B>x2-4x+4=(x-2)',是因式分解，故本选项符合题意；

C、等式右边不是整式积的形式，不属于分解囚式，故本选项不符合题意：

D、本选项不符合题意.

2.C

【分析】因式分解是把一个多项式变形为几个整式乘积的形式，根据定义逐一判断即可.

【详解】解：A.右边不是几个整式乘积的形式，不属于因式分解，故该选项不符合题意，

B.左边24/y是单项式，不是多项式，不属于因式分解，故该选项不符合题意，

C.左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，故该选项符合题意，

D.右边的,不是整式，因此右边不是几个整式乘积的形式，不属「因式分解，故该选项不

X

符合题意.

3.D

【分析】根据因式分解的定义，因式分解是把一个多项式转化为几个整式乘积的形式，且变

形后左右两边相等，据此逐一判断即可.

【详解】解：A、从左到右是整式乘法，是将乘积化为多项式，故不属于因式分解；

B、等式右边不是几个整式乘积的形式，故不属于因式分解；

C、等式右边的!是分式，不是整式，不符合因式分解定义中分解为整式乘积的形式，故不属

X

于因式分解；

D、符合因式分解的所有要求，属于因式分解；

4.B

【分析】将因式分解后的结果展开，对比原式对应项即可求出力.

【详解】•••多项式公+4可因式分解为ar(l-y),ax(\-y)=ax-axy.

A=-axy.

5.B

【分析】本题主要考查了刃式分解，

答案第1页，共32页

通过展开因式分解形式并与原多项式比较系数，求出。和b的值，再求出代数式的值即可.

【详解】解：•.•.一一奴+12=(工+3)"—9=/+(3一/7)工一36,

：.3—b=—a,—3b=12,

解得6=-4,〃=-7,

:.a-b=-l-(-4)=-3.

故选:B.

6.C

【分析】本题考查了因式分解，代数式求值，掌握相关运算法则是解题关键.展开因式分解

后的表达式，与原二次三项式对比系数，求出％和〃，再计算k+b的2025次辱.

【详解】解：•••(X—1)(X—3)=X2—4X+3,

22

Ar+kx+h=r-4r+.

Zr=­4,b=3,

A+b=—4+3=-1,

/,,2025/1\2O2S.

4+6)x=(-l)=-l,

故选：C.

7.B

【分析】本题考查多项式公因式的确定方法.确定多项式的公因式，从系数的最大公约数、

各项共有的相同字母、相同字母的最低次辕这三方面分析组合.

【详解】解：•.•各项系数2、3、6的最大公约数是1,

v多项式各项都含有的相同字母为小V，

x的最低次幕是2,V的最低次塞是1,

•••各项的公因式是一),.

故答案为：B.

8.C

【分析】本题主要考查了用提公因式法分解因式，找出多项式各项系数的最大公因数和变量

的公共部分，组合即为公为式.

【详解】解：•••多项式为2?+以＞，中系数2和4的最大公因数为2,变量部分f和孙的公共

因子为x，

答案第2页，共32页

・••应提取的公因式为2x.

故选：C.

9.2anr2-3x

【分析】公因式是指多项式的各项都含有的因式，据此求解即可.

【详解】解：(1)多项式2/+4,力中各项的公因式是2Q；

(2)多项式口％+“’中各项的公因式是；

(3)多项式-3x2+9xy-6x中各项的公因式是-3x.

10.B

【分析】此题考查了多项式的最大公因式.

根据最大公因式的定义，先确定各项系数的最大公约数，再确定各项都含有的字母的最低次

事，结合选项判断即可.

【详解】解：•••多项式3/人各项系数6、12、-3的绝对值的最大公约数是

3,各项都含有的字母为b,。的最低次幕是2,力的最低次第是1,

••.该多项式的最大公因式可以为九%,

故选：B

11.D

【分析】本题主要考查了求多项式的最大公因式，找最大公因式的要点是：(1)最大公因式

的系数是多项式各项系数的最大公约数；(2)字母取各项都含有的相同字母；(3)相同字母

的指数取次数最低的，据此求解即可.

【详解】解：由题意得，多项式37-6〃的最大公因式是3〃，

故选：D.

12.6ab

【分析】根据公因式中系数是各系数的最大公约数，相同字母的最低次塞的积，解答即可.

本题考查r提取公因式，熟练掌握公因式的定义是解题的关键.

【详解】解：多项式12a2方2+6/b-24ab中各项的公因式是公6.

故答案为:6ab.

13/1)3小(〃?-2)

(2)(b-c)(2a+3)

【分析】(1)直接提取公因式3〃?即可；

答案第3页，共32页

(2)把2。伍-。)-3(。叫变形为2贴-。)+3@-。),再提取公因式(一)即可.

【详解】(1)解：3m2-6/M

(2)解：2a(b-c)-3(c-b)

=2a(b-c)+3(b-c)

=(Z)-c)(2a+3).

14.(\)3ma^a2+2«-4)

(2)3(a-6)(x+2j)

【分析】(1)提公因式3m%即可因式分解;

(2)将化为。-八再提公因式3(。-8)，即可因式分解.

【详解】(1)解：3〃疗+6ma2-12ma=(/+2a-4).

(2)解：3x(a-6)-6y—o)=3x(a-〃)+6y(。一〃)=3(〃一/))(x+2y).

15.(l)(x-j)(2tz+l)

⑵(a-5)(x+3)

(3)m(b-a)2(3-mh+ma)

(4)-2b\a+b)

【分析】运用提公因式法分解即可.

【详解】(1)解：2a(x-y)+(x-y)

二(x-y)(2a+l)；

(2)解：x(a-5)-3(5-a)

=x("5)+3(a-5)

=("5)(X+3)；

(3)解：3m(a-b)2-m2[b-a)3

=3ms-a)2-m2(b-a)'

答案第4页，共32页

=m(b-a)2[3-m(b-a)]

=m(b-4)2(3-mb+ma)；

(4)解：b-(a+b)(a-b)-h3(a+h)2

=b，(a+b)(a-h-a-b)

=h\a+b)(-2b)

=-2b\a+b).

16.D

【分析】根据平方差公式、完全平方公式的结构特征判断即可.

【详解】解：A、-x2+16y2=16y2-x2=(4y+x)(4y-x),故此选项不符合题意；

B、-x2-2x-l=-(x2+2.r+l)=-(.r+l)2,故此选项不符合题意；

m2--mn+-n2=(ni--n,故此选项不符合题意；

39I3J

2222

D、-x-y=-(x+y)t不能用公式法分解因式，故此选项符合题意；

17.C

【分析】本题考查因式分解的判断，利用提公因式法、公式法(完仝平方公式、平方差公式)

分析每个多项式是否能因式分解.

【详解】解：••,A选项/-64+9=^-3)=符合完全平方公式，可因式分解；

•••B选项-/+1=1-1=(1-。)(1+〃)，符合平方差公式，可因式分解；

•••C选项V+5y没有公因式，也不符合常见公式的形式，无法因式分解：

•••D选项/-5x=x(x-5):提公因式x即可因式分解；

故选：C.

18.C

【分析】本题考查公式法因式分解，关键是熟练应用知识点解题；需判断各选项是否符合平

方差公式或完全平方公式的形式.

【详解】解：•.・公式法因式分解常用平方差公式/-〃=(〃+/))(〃—/))和完全平方公式

答案第5页，共32页

(a±b)2=a2±lab+b',

・•.对各选项分析如下：

A选项：f2+jj=y2-/=(y+x)(y7)，可用平方差公式因式分解，

B选项：9。2-6。6+/=(3。-与2,可用完全平方公式因式分解，

C选项：一+1不符合平方差公式或完全平方公式的形式，不能用公式法因式分解，

D选项：/-6。+9=(“-3>,可用完全平方公式因式分解，

故答案为：C.

19.B

【分析】先明确能用平方差公式分解因式的条件：多项式为两项，两项符号相反，且每一项

都可化为平方的形式，再逐一判断即可得出符合条件的个数.

【详解】解：①/+〃，两项同号，小符合，不能分解;

@x2-y2=(x+y)(x-y),符合条件，能分解；

(3)-m2+n2=n2-m2=(/?4-m)(n-m),符合条件，能分解；

④-/从不是多项式，无法进行因式分解；

⑤_/+4=22_(叫，(2-叫(2+叫，符合条件，能分解；

综上符合条件的共有3个.

20.(2a+b)(2a-b)

【详解】4a2-b2=(2a+b)(2a-b).

21.(x+3y)(x-3y)

【详解】根据平方差公式可求得，原式=x2・(3y)2=(x+3y)(x-3y)

22.(a-6)2

【分析】本题考查了因式分解，观察多项式的结构特征，判断其符合完全平方公式的形式,

利用完全平方公式进行因式分解即可.

【详解】解：/-12。+36=(。—6『，

故答案为：(。-6)2.

答案第6页，共32页

23.(x-y+6)"

【分析】本题考查因式分解.熟悉根据完全平方公式进行因式分解，是解题的关键.可以将

(x-丁)看作一个整体，根据完全平方公式将原式转化为(x-y+6)2即可.

【详解】解：(x-j，y+12(x-j，)+36,

=(x-J，)？4-2x(x—,v)v6+62,

=(x-y+6)2.

24.(3-m>

【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的公式法是解题的关键.

根据完全平方公式分解因式即可.

【详解】解：9一6〃?十〃J=3?—2X3K"?十.

故答案为：(3-相『.

25.(«+I)2(«-l)2

【分析】先利用平方差公式因式分解，然后利用完全平方公式因式分解.

【详解】解：(。2+1)2-4/

=(〃2+1+2°)("+1-2a)

26.

(》+田(7)2

【分析】先利用平方差公式初步分解，再使用完全平方公式进行分解即可.

【详解】解：(x2+/)2-4x2/=(X2++2xy)(x2+y2-2xy^=(x4-j^)2(x-y)2.

27.(a+"l)2(a+8-1/

【分析】先运用完全平方公式进行因式分解，最后再运用平方差公式进行因式分解，即可作

答.

【详解】解：(a+/，)4-2g+〃『+l

答案第7页，共32页

=[(〃+力)[-2(4+32+]

=[(a+Z))2-1

=[(。+4-可

=[(a+b+l)(a+b-l)了

=(4+6+1(q+b-1)~

28.(l)-3“6(2c/-A+4c)

(2)(x+2y)2(x-2y『

⑶y(4x+3『

(4)4(3x-y)(3y-x)

【详解】(1)解：-6/b+3ab272abe

=-3ab^2a2-b+4c^；

(2)解：x4-8x2/+16/

=(x2y-2/x4y2+(4j?y

=(X2-4/)2

=[(x-2j，)(x+2y)y

=(X+2^)2(X-2J«)2：

(3)解：16x/+24q，+9y

=y(16/+24x+9)

=y(4x+3『；

(4)解：4(x+^)--16(j-y)2

=4^(X+J)2-4(X-JV)2

=4(x+y+2x-2y)(x+y-2x+2y)

答案第8页，共32页

=4(3x-y)(3y-x).

29.⑴3(x-5)(1)

⑵-4y(x-2『

(3)(5-x-

(4)4(x+y)(x+2y)

【分析】(1)先提公因式3,再利用平方差公式进行因式分解即司.；

(2)先提公因式-4y,再利用完全平方公式进行因式分解即可；

(3)把x+N看作一个整体，直接利用完全平方公式进行因式分解即可;

(4)直接利用提公因式法进行因式分解即可.

【详解】(1)解：3(X-3|2-12

=3[(x—3『—4],

=3(x-3-2)(x-3+2),

=3(x-5)(x-l).

(2)解：-4储尸+16个，-16y

=-4y(^x2-4x+4),

=-4v(x-2)2.

(3)解：25-10(x+y)+(x+y『

=[5-(x+^)]2,

=(5T7)2

(4)解：6(x+y1-2(x-y)(x+y)

=2(x+班3(x+y)-(x-»],

=2(x+y)(3x+3v-x+y),

=2(x+y)(2x+4y),

答案第9页，共32页

=4(x+y)(x+2y).

30.(1)(x4-2)2(X-2)2

⑵2(工-以工-2)，启+2日

⑶(x-y)(i+2)

(4)(x-2y)2(x-2y+\)(x-2y+2)

【分析】(1)将V看作整体，利用完全平方公式进行初步分解，再利用平方差公式进夕亍分

解；

(2)先提取公因式2(x-y),再利用平方差公式进行分解：

(3)先分组分解，再提取公因式。-力；

(4)设x-2y=/,提取公因式后，用十字相乘进行分解，冉将/还原成％-2y即可.

【详解】(1)解：x4-8x2+16=(x2-4)2=(x+2)2(x-2)2；

(2)解：

2x2(x-y)+Sy2(y-x)=2x2(x-y)-Sy2(x-y)=2(x-y)(x2-4y2)=2(x-y)(x-2y)(x+2y)

*

(3)解：x2-2xy+y2+2x-2y=(x-y)2+2[x-y)=(x-y)(x-y+2)；

(4)解：(x-2^)4-3(2>-x)3+2(x-2^)2=(x-2v)4+3(x-2,y)?+2(x-2^)2,

设x-2j，=z,

原式=「+3』+2/="(/+3/+2)=/«+]也+2),

•：t=x-2yf

二原式=(x-2y『(x-2y+1)(x-2y+2).

31.12

【分析】把所求式子因式分解为MS+力)，再代入求值即可.

【详解】解：方=4,ab=3,

•••cJb+ab，

-+

答案第1()页，共32页

=3x4

=12.

32.75

【分析】先提取公因式;加〃，然后用完全平方公式分解因式，将数据代入求出结果即可.

【详解】解：+

=；mn("J+2mn+//)=；mn(m+〃)2，

因为m+〃=5,mn=6,

原式=；X6X52=75.

故答案为：75.

33.3

【分析】根据/-(y+z)2=6可推出(x+y