2026年六年级下册奥数培优讲义：立体图形的表面积（知识梳理+例题讲解+提升练习）原卷版+解析

专题12立体图形的表面积

I知识点梳理I

一、基本概念

1.表面积定义：立体图形所有面的面积总和，单位为平方单位（如cm?、5了）。

2.核心公式及推导：

长方体：6个面（相对面面积相等），表面积=2x（长x宽+长x高+宽x高），字母表示：

（S=2（ab+ah+bh））（（2）为长，（1））为宽，（11）为高）。

推导：前后面面积=2x（长x高），左右面面积=2x（宽x高），上下面面积=2x（长x宽），总和为三者

相加。

正方体：6个面完全相同（正方形），表面积=6x棱长x棱长，字母表示：（S=6a2）（（a）为棱长）。

推导：每个面面积为（a?）,6个面总和为（6a2）°

圆柱：2个底面（圆形）+1个侧面（展开为长方形，长=底面周长，宽二高），表面积=2x底面

积+侧面积，字母表示：（S=2兀产+2兀力）（（r）为底面半径，（h）为高）。

推导：底面积=（兀产），侧面积二底面周长x高=（2m<h）,总和为2个底面积加侧面积。

3.关键要素：明确图形类型（长方体/正方体/圆柱/不规则图形），确定面的数量及形状，准确代

入公式计算。

二、核心解题方法

1.公式直接应用法（基础方法）

方法要点：针对完整、规则的立体图形，直接代入对应表面积公式计算。

示例：一个长方体长5cm,宽4cm,高3cm,表面积为

（S=2x（5x4+5x3+4x3）=2x（20+15+12）=94cm2）“

2.切割/拼接问题转化法（进阶方法）

方法要点：分析切割或拼接后表面积的变化（切割增加面，拼接减少面），先确定增加/减少面

的数量及面积，再结合原表面积计算。

示例：棱长4cm的正方体切成两个相同的长方体，切割1次增加2个正方形面，每个面面积

=4x4=16cm2,增加表面积=2x16=32cm2。

3.不规则立体图形表面积计算法（综合方法）

方法要点：

三观图法：分别从正面、上面、侧面观察，计算各方向看到的面积总和x2（相对面面积相同），

注意重合而不重复计算。

面的分解法：将不规则图形分解为规则图形，计算各面面积总和，减去重叠部分。

示例：3个棱长2cm的正方体拼成“一字型”长方体，长=6cm,宽=2cm,高=2cm,表面积

2

=2x（6x2+6x2+2x2）=56cm0

三、常见题型

1.基础公式应用型：直接给出规则图形的棱长、长宽高、半径高等数据，计算表面积。

2.切割/拼接变化型：已知切割或拼接方式，求表面积变化量或变化后的表面积。

3.不规则图形计算型：由多个小正方体或规则图形组合而成的不规则立体图形，计算表面积。

i例题讲解।

一、基础题（公式直接应用法）

例1：一个长方体无盖玻璃鱼缸，长8dm,宽5dm,高6dm,制作这个鱼缸至少需要多少平方

分米的玻璃？

解题步骤：

1.确定而数：无盖长方体，共5个面（缺少上面）。

2.公式选择：表面积=长乂宽+2x（长x高+宽x高）。

2

3.代入计算：（8x5+2x（8x6+5x6）=40+2x（48+30）=40+156=196dm）0

易错点：忽略“无盖”导致多算顶面面积。

跟踪练习1：一个正方体礼品盒棱长1.2m,包装它至少需要多少平方米包装纸？（接头处忽略）

答案：（6x（1.2）2=8.64m2）。

例2：一个圆柱底面直径4cm,高10cm,求表面积。（兀取3.14）

解题步骤：

1.分解表面积：2个底面积+侧面积。

2.计算底面积：半径（r=4：2=2cm）,底面积（=兀产=3.14x22=12.56cm2）,2个底面积

=2x12.56=25.12cm2o

3.计算侧面积：底面周长(C=nd=3.14x4=12.56cm),侧面积=(Cxh=12.56x10=125.6cm2)。

4.总表面积=25.12+125.6=150.72cm2o

易错点：混淆直径与半径，或侧面积漏乘高。

跟踪练习2：圆柱底面半径3cm,高5cm,表面积是多少？

答案：(2x3.14x32+2x3.14x3x5=56.52+94.2=150.72cm2)。

二、进阶题(切割/拼接问题转化法)

例3：棱长6cm的正方体木块沿水平方向切成3个相同的长方体，表面积增加了多少？

解题步骤：

1.切割次数与增加面数：切成3个长方体需切2次，每切1次增加2个正方形面,共增加(2x2=4)

个面。

2.单个面面积：(6x6=36cm2)»

3.增加表面积:(4x36=144cm2)o

规律总结：切割(n)段需切(n-1)次，增加(2(n-l))个面。

跟踪练习3：长10cm、宽8cm、高6cm的长方体切成两个小长方体，表面积最多增加多少？

2

答案：最大面面积=10x8=80cm2,增加2个面，(2x80=160cm)o

例4：4个棱长2cm的正方体拼成大长方体，哪种拼法表面积最小？

解题步骤：

1.两种拼法：

一字排列：长=8cm,宽=2cm,高=2cm,表面积=2x(8x2+8x2+2x2)=72cm2。

2x2排列：长=4cm,宽=4cm,高=2cm,表面积=2x(4x4+4x2+4x2)=64cm2。

2.比较：64cm2V72cm2,2x2排列表面积最小。

规律总结：相同体积的长方体，长、宽、高越接近，表面积越小。

跟踪练习4：2个长5cm、宽4cm、高3cm的长方体拼成大长方体，表面积最少减少多少？

答案：最小面面积=4面=12cm2,减少2个面，(2x12=2乙cnf

三、挑战题(不规则立体图形表面积计算法)

例5：由5个棱长1cm的小正方体搭成的立体图形，三视图如下(正面3个正方形，上面4个，

左面3个)，求表面积。

解题步骤：

1.三视图法：正：面面积=3xl=3cm2,上面=4x1=4cm2,左面=3xl=3cm2。

2.总表面积=2x(3+4+3)=20cm2。

验证:露在外面的面：正面3、后面3、上面4、下面4、左面3、右面3,总和=3+3+4+4+3-3=20cm2。

易错点：漏算相对面或重复计算重叠面。

跟踪练习5：3个棱长2cm的正方体拼成形，表面积是多少？

2

答案：露在外面的面共18个(每个面4cm2),(18x4=72cm)o

提升练习

1.如图是个柱体，高是2()厘米，底面是一个半径为1()厘米，圆心角为27()。的扇形，求这个

柱体的表面积和体积。

2.将12个棱长为1的正方体积木拼成一个长方体，拼成的长方体的表面积最大是多少？最小

是多少？

3.如图，一个正方体的表面积是90平方厘米，如果把这个正方体沿虚线切开得到3个长方体,

那么这三个长方体的表面积之和为多少平方厘米？

4.一个长方体，如果高截掉2厘米，表面积就减少了32平方厘米，剩下的正好是一个正方体,

原来长方体的体积和表面积分别是多少？

5.两个完全相同的长方体，长6厘米，宽4厘米，高2厘米，拼成一个表面积最大的长方体,

拼成后的长方体表面积比原来两个长方体的表面积减少多少平方厘米？

6.把一个长方体截去一个高为8厘米的长方体后，剩下的部分是一个正方体。正方体的表面

积比原来长方体的表面积减少320平方厘米。求原来长方体的体积。

7.如果一个小正方体的表面积是6平方厘米，由27个这样的小正方体组成一个大正方体，大

正方体的表面积是多少平方厘米？

8.建造一个长方体游泳池，长3()米，宽1()米，深1.6米，池的四壁和底面用瓷砖铺砌，如

果每平方米用瓷砖25块，共需要多少块？

9.一个正方体木块，棱长是15.从它的八个顶点处各截去棱长分别是1、2、3、4、5、6、7、

8的小正方体.这个木块剩下部分的表面积最少是多少？

10.如图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为1厘米的

正方体小洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为1/2厘米的正方形小洞，第三个正方形

小洞的挖法和前两个相同，棱长为1/4厘米，那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘

米？

II.如图，一个正方体形状的木块，棱长1米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，

每条又锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块.那么这60块长方体表面积的和是多少平

方米？

12.圆柱形的售报亭的高和底面直径相等（如图），开一个边长等于底面半径的正方形售报窗

口.问窗口处挖去的圆柱部分的面积占圆柱形侧面积的几分之几？

13.如图，在一个正方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上下底面的中心打通一

个圆柱形的洞.已知正方体边长为10厘米，侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形，上下侧

面的洞口是直径为4厘米的圆，求此立体图形的表面积和体积.

14.一个圆柱体的体积是50.24立方厘米，底面半径是2厘米.将它的底面平均分成若干个扇

形后，再截开拼成一个和它等底等高的长方体，表面积增加了多少平方厘米？（兀=3.14）

15.有一个圆柱体的零件，高1()厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的直孔,

如下图：圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米。如果将这个零件接触空气部分涂上防锈漆，一共

需涂多少平方厘米?

16.如图，用高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的3个圆柱组成一个物体.问

这个物体的表面积是多少平方米？(兀取3.14)

17.如图所示，一个5x5x5□勺立方体，在一个方向上开有1x1x5的孔，在另一个方向上开有

2x1x5的孔，在第三个方向上开有3x1x5的孔，剩余部分的体积是多少？表面积为多少？

18.如图，棱长分别为1厘米、2厘米、3厘米、5厘米的四个正方体紧贴在一起，则所得到

的多面体的表面积是多少平方厘米？

19.如图，这是一个用若干块体积相同的小正方体粘成的模型.把这个模型的表面（包括底面）

都涂上红色，那么，杷这个模型拆开以后，有3面涂上纥色的小正方体比有2面涂上红色的小

正方体多多少块?

20.如图8-4,用4个大小相司的立方体拼成图中的形状.如果用涂料涂立方体中的一个侧面

需用工料费3元，那么涂完图中的所有表面，共需要工料费多少元？

专题12立体图形的表面积

I知识点梳理I

一、基本概念

1.表面积定义：立体图形所有面的面积总和，单位为平方单位（如cm?、dm?）。

2.核心公式及推导：

长方体：6个面（相对面面积相等），表面积=2x（长x宽+长x高+宽x高），字母表示：

（S=2（ab+ah+bh））（（a）为长，（b）为宽，（八）为高）。

推导：前后面面积=2x（长x高），左右面面积=2x（宽x高），上下面面积=2x（长x宽），总和为三者

相加。

正方体：6个面完全相同（正方形），表面积=6x棱长x棱长，字母表示：（S=6a?）（（a）为棱长）。

推导:每个面面积为（a?）,6个面总和为（6a2）。

圆柱：2个底面（圆形）+1个侧面（展开为长方形，长二底面周长，宽二高），表面积=2x底面

积+侧面积,字母表示：”=2E2+2兀力）（（「）为底面半径，（h）为高）。

推导：底面积=（兀产），侧面积二底面周长x高二（2?trxh）,总和为2个底面积加侧面积。

3.关键要素：明确图形类型（长方体/正方体/圆柱/不规则图形），确定面的数量及形状，准确代

入公式计算。

二、核心解题方法

1.公式直接应用法（基础方法）

方法要点：针对完整、规则的立体图形，直接代入对应表面积公式计算。

示例：一个长方体长5cm,宽4cm,高3cm,表面积为

（S=2x（5x4+5x3+4x3户2x（20+15+12）=94cm2）。

2.切割/拼接问题转化法（进阶方法）

方法要点：分析切割或拼接后表面积的变化（切割增加面，拼接减少面），先确定增加/减少面

的数量及面积，再结合原表面积计算。

示例：棱长4cm的正方体切成两个相同的长方体，切割1次增加2个正方形面，每个面面积

-4x4-16cm2,增加表面积-2x16-32cm2。

3.不规则立体图形表面积计算法（综合方法）

方法要点：

三观图法：分别从正面、上面、侧面观察，计算各方向看到的面积总和x2（相对面面积相同），

注意重合而不重复计算。

面的分解法：将不规则图形分解为规则图形，计算各面面积总和，减去重叠部分。

示例：3个棱长2cm的正方体拼成“一字型”长方体，长=6cm,宽=2cm,高=2cm,表面积

2

=2x（6x2+6x2+2x2）=56cm0

三、常见题型

1.基础公式应用型：直接给出规则图形的棱长、长宽高、半径高等数据，计算表面积。

2.切割/拼接变化型：已知切割或拼接方式，求表面积变化量或变化后的表面积。

3.不规则图形计算型：由多个小正方体或规则图形组合而成的不规则立体图形，计算表面积。

「例题讲解i

一、基础题（公式直接应用法）

例1：一个长方体无盖玻璃鱼缸，长8dm,宽5dm,高6dm,制作这个鱼缸至少需要多少平方

分米的玻璃？

解题步骤：

1.确定而数：无盖长方体，共5个面（缺少上面）。

2.公式选择：表面积=长乂宽+2x（长x高+宽x高）。

2

3.代入计算：（8x5+2x（8x6+5x6）=40+2x（48+30）=40+156=196dm）0

易错点：忽略“无盖”导致多算顶面面积。

跟踪练习1：一个正方体礼品盒棱长1.2m,包装它至少需要多少平方米包装纸？（接头处忽略）

答案：（6x（1.2）2=8.64m2）。

例2：一个圆柱底面直径4cm,高10cm,求表面积。（兀取3.14）

解题步骤：

1.分解表面积：2个底面积+侧面积。

2.计算底面积：半径（r=4：2=2cm）,底面积（=兀产=3.14x22=12.565?）,2个底面积

=2x12.56=25.12cm2o

3.计算侧面积：底面周长(C=nd=3.14x4=12.56cm),侧面积=(Cxh=12.56x10=125.6cm2)。

4.总表面积=25.12+125.6=150.72cm2o

易错点：混淆直径与半径，或侧面积漏乘高。

跟踪练习2：圆柱底面半径3cm,高5cm,表面积是多少？

答案：(2x3.14x32+2x3.14x3x5=56.52+94.2=150.72cm2)。

二、进阶题(切割/拼接问题转化法)

例3：棱长6cm的正方体木块沿水平方向切成3个相同的长方体，表面积增加了多少？

解题步骤：

1.切割次数与增加面数：切成3个长方体需切2次，每切1次增加2个正方形面,共增加(2x2=4)

个面。

2.单个面面积：(6x6=36cm2)»

3.增加表面积:(4x36=144cm2)o

规律总结：切割(n)段需切(n-1)次，增加(2(n-l))个面。

跟踪练习3：长10cm、宽8cm、高6cm的长方体切成两个小长方体，表面积最多增加多少？

2

答案：最大面面积=10x8=80cm2,增加2个面，(2x80=160cm)o

例4：4个棱长2cm的正方体拼成大长方体，哪种拼法表面积最小？

解题步骤：

1.两种拼法：

一字排列：长=8cm,宽=2cm,高=2cm,表面积=2x(8x2+8x2+2x2)=72cm2。

2x2排列：长=4cm,宽=4cm,高=2cm,表面积=2x(4x4+4x2+4x2)=64cm2。

2.比较：64cm2V72cm2,2x2排列表面积最小。

规律总结：相同体积的长方体，长、宽、高越接近，表面积越小。

跟踪练习4：2个长5cm、宽4cm、高3cm的长方体拼成大长方体，表面积最少减少多少？

答案：最小面面积=4面=12cm2,减少2个面，(2x12=2乙cnf

三、挑战题(不规则立体图形表面积计算法)

例5：由5个棱长1cm的小正方体搭成的立体图形，三视图如下(正面3个正方形，上面4个，

左面3个)，求表面积。

解题步骤：

1.三视图法：正：面面积=3xl=3cm2,上面=4x1=4cm2,左面=3xl=3cm2。

2.总表面积=2x(3+4+3)=20cm2。

验证:露在外面的面：正面3、后面3、上面4、下面4、左面3、右面3,总和=3+3+4+4+3-3=20cm2。

易错点：漏算相对面或重复计算重叠面。

跟踪练习5：3个棱长2cm的正方体拼成形，表面积是多少？

2

答案：露在外面的面共18个(每个面4cm2),(18x4=72cm)o

提升练习

1.如图是个柱体，高是2()厘米，底面是一个半径为1()厘米，圆心角为27()。的扇形，求这个

柱体的表面积和体积。

【答案】表面积为1813平方厘米，体积为4710立方厘米

3

【分析】底面圆心角是一个270。的扇形，用270。除以360。可以先求出这个扇形占圆的二。根

4

3

据圆柱的体积公式“圆柱的体积=底面积x高”先求出完整圆柱的体积，然后乘二即可求出这个

4

柱体的体积。

33

这个柱体的表面积包括了上下两个二圆、完整圆柱侧面积的二、两个长方形，依次求出每部

44

分的面积然后相加即可求出这个柱体的表面积。

3

【详解】270。+360。=」

4

33

表面积：3.14xIO?x二x2+2x3.14xl0x20x二+10x20x2

44

33

=314x-x2+62.8x20x-+200x2

44

33

=628x二+1256x二+400

44

=471+942+400

=1413+400

=1813（平方厘米）

体积：3.14X102X20X-

4

=314x20x-

4

=6280x-

4

=4710（立方厘米）

答：这个柱体的表面积为1813平方厘米，体积为4710立方厘米。

2.将12个棱长为1的正方体积木拼成一个长方体，拼成的长方体的表面积最大是多少？最小

是多少？

【答案】

最大是50,最小是32

【分析】将12个棱长为1的壬方体拼成长方体，体积为12,即需找出所有长、宽、高为整数

且乘积为12的组合，然后分别计算出表面积。据此即可比较出拼成的长方体的表面积最大是

多少，最小是多少。

【详解】体积：1x1x1x12=12

①12=12x1x1

表面积：(12x14-12x1+1x1)x2

=(12+12+1)x2

=25x2

=50

②12=6x2x1

表面积：(6x2+6xl+2xl)x2

=(12+6+2)x2

=20x2

=40

③12=4x3x1

表面积：(4x3+4xl+3xl)x2

=(12+4+3)x2

=19x2

=38

012=3x2x2

表面积：(3x2+3x2+2x2)x2

=(6+6+4)x2

=16x2

=32

50>40>38>32

答：拼成的长方体的表面积最大是50,最小是32。

3.如图，一个正方体的表面积是90平方厘米，如果把这个正方体沿虚线切开得到3个长方体，

那么这三个长方体的表面积之和为多少平方厘米？

【答案】150平方厘米

【分析】根据正方体的表面积是90平方厘米可以先求出这个正方体每个面的面积为：90-6=

15（平方厘米］然后观察这个图形，把这个正方体沿虚线切开得到3个长方体后，表面积会

增加4个面的面积，即表面积增加了：15x4=60（平方厘米）。最后用原来的表面积加上增加

的表面积即可求出这三个长方体的表面积之和为多少平方厘米。

【详解】986x4+90

=15x4+90

=60+90

=150（平方厘米）

答：这三个长方体的表面积之和为15（）平方厘米。

4.一个长方体，如果高截掉2厘米，表面积就减少了32平方厘米，剩下的正好是一个正方体，

原来长方体的体积和表面积分别是多少？

【答案】原来长方体的体积是96立方厘米，表面积是128平方厘米。

【分析】一个长方体高截掉2厘米后剩下的正好是一个正方体，由此可知原来这个长方体的长

与宽相等，即4个侧面完全一样。根据表面积就减少了32平方厘米，即可知道减少的4个侧

面的面积为32平方厘米，因此用32平方厘米除以4先求出减少的一个侧面的面积，再除以高

2厘米，即可求出这个长方体的长与宽。加上2厘米就是这个长方体原来的高。最后根据长方

体的表面积公式和体积公式即可求解。

【详解】长：32+4+2

=8+2

=4（厘米）

高：4+2=6（厘米）

体积：4x4x6

=16x6

=96（立方厘米）

表面积：（4x4+4x6+4x61x2

=（16+24+24）x2

=64x2

=128（平方厘米）

答：原来长方体的体积是96立方厘米，表面积是128平方厘米。

5.两个完全相同的长方体，长6厘米，宽4厘米，高2厘米，拼成一个表面积最大的长方体，

拼成后的长方体表面积比原来两个长方体的表面积减少多少平方厘米？

【答案】16平方厘米

【分析】两个完全相同的长方体拼成一个大的长方体，一定有两个面会拼在一起，因此新的长

方体的表面积一定会比原来两个长方体的表面积之和减少两个面。要使得拼成一个表面积最大

的长方体，因此可以将宽4厘米，高2厘米的这两个面拼在一起。由此即可解决。

【详解】4x2x2

=8x2

=16(平方厘米)

答：拼成后的长方体表面积比原来两个长方体的表面积减少16平方厘米。

6.把一个长方体截去一个高为8厘米的长方体后，剩下的部分是一个正方体。正方体的表面

积比原来长方体的表面积减少32()平方厘米。求原来长方体的体积。

【答案】1X00立方厘米

【分析】正方体的表面积比原来长方体的表面积减少320平方厘米，即截去的高为8厘米的长

方体的侧面积为320平方厘米。由于剩下的部分是一个正方体，因此截去的长方体每个侧面的

面积相等。用320平方厘米除以4,即可求出一个侧面的面积。再除以8,即可求出剩余的这

个长方体的长与宽。长加上8厘米即可求出这个长方体的高。最后再根据“长方体体积=长乂

宽x高”即可求解。

【详解】320+仔8

=80=8

=1()(厘米)

10x1Ox(10+8)

=100x18

=1800(立方厘米)

答：原来长方体的体积是1800立方厘米。

7.如果一个小正方体的表面积是6平方厘米，由27个这样的小正方体组成一个大正方体，大

正方体的表面积是多少平方厘米？

【答案】54平方厘米

【分析】根据小正方体的表面积是6平方厘米即可求出小正方体的棱长是多少厘米。由27个

这样的小正方体组成一个大正方体，则大正方体的棱长是小正方体棱长的3倍。最后再根据正

方体的表面积公式“正方体表面积=棱长x棱长x6”即可解决。

【详解】解：设小正方体的棱长是x厘米。

6x^=6

解得X=1

因此小正方体的棱长是1厘米。

27=3x3x3

因此大正方体的棱长是3厘米。

大正方体的表面积：3x3x6

=9x6

=54(平方厘米)

答：大正方体的表面积是54平方厘米。

8.建造一个长方体游泳池，长30米，宽10米，深1.6米，池的四壁和底面用瓷砖铺砌，如

果每平方米用瓷砖25块，共需要多少块？

【答案】10700块

【分析】长30米，宽10米，深1.6米，因此可以先求出池的四壁和底面的面积之和。口知每

平方米用瓷砖25块，因此再用池的四壁和底面的面积之和乘25,即可求出共需要多少块瓷砖。

【详解】(30x10+30x1.6x2+10x1.6x2)x25

=(300+96+32)x25

=428x25

=10700（块）

答：共需要1070()块瓷砖。

9.一个正方体木块，棱长是15.从它的八个顶点处各截去棱长分别是1、2、3、4、5、6、7、

8的小正方体.这个木块剩下部分的表面积最少是多少？

【答案】1252

【详解】截去一个小正方体，表面积不变.

只有在截去的小正方体的面相重合时，表面积才会减少.

所以要使木块剩下部分的表面积尽可能小，应该在同一条棱的两端各截去棱长7与8的小正方

体(如图所示)，

这时剩卜.部分的表面积比原正方体的表面积减少最多.

剩下部分的表面积最小是：15x15x6-7x7x2=1252.

想想为什么不是15x15x6-7x7-8x8.

10.如图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为1厘米的

正方体小洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为1/2厘米的正方形小洞，第三个正方形

小洞的挖法和前两个相同，棱长为1/4厘米，那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘

米？

【答案】29.25平方厘米

【详解】俯视图发现上表面积就是大正方体的一个面的面积

表面积为大正方体表面积加上3个小正方体的侧面积

1111

2x2x6+1x1x4+—x—x4+—x—x4

2244

1

=24+4+1+—

4

=29.25（平方厘米）

11.如图，一个正方体形状的木块，棱长1米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，

每条又锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块.那么这60块长方体表面积的和是多少平

方米？

//

【答案】24平方米

【详解】我们知道每切一刀，多出的表面积恰好是原正方体的2个面的面积.

现在一共切了（3-1）+（4-1）+（5-1）=9刀，而原正方体一个面的面积1x1=1（平方米），所

以表面积增加了9x2x1=18（平方米）.

原来正方体的表面积为6x1=6（平方米）.

所以现在的这些小长方体的表积之和为6+18=24（平方米）.

12.圆柱形的售报亭的高和底面直径相等（如图），开一个边长等于底面半径的正方形售报窗

口.间窗口处挖去的圆柱部分的面积占圆柱形侧面积的几分之几？

【答案喋

【详解】窗口上下的弧长为底面圆周长的六分之一

窗口的高为圆柱的高的二分之一

挖去的圆柱部分的面积占圆柱形侧面积的Lx1二二

6212

13.如图，在一个正方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上下底面的中心打通

个圆柱形的洞.已知正方体边长为10厘米，侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形，上下侧

面的洞口是直径为4厘米的圆，求此立体图形的表面积和体积.

【答案】表面积785.12（平方厘米），体积为668.64（立方厘米）.

【分析】本题考点不规则图形的表面积及体积.大正方形减去右边图形就是我们要求的体

积,打通部分可看为两个小圆柱，两个小长方形和一个大长方形共五部分组成，这样计算体积

非常容易，但在计算表面积时要考虑公共面.这道题是人大附中分班考试题目.

【详解】解:外侧表面积为：6x10x10-4x4x4-nx22x2=536-8n.

内侧表面积为：16x4x3+2x（4x4-万X22）+2x2〃x2x3=192+32-8〃+24乃=224+16〃.

总表面积=224+16"+536-8%=760+8%=785.12（平方厘米）.

计算体积时将挖空部分的立体图形取出，如图，只要求出这个几何体的体积即可.

挖出的几何体体积为：4x4x4x3+4x4x4+2x7rx22x3=l92+64+24加=256+24兀.

所求几何体体积为：10x10x10-（256+24兀）=668.64（立方厘米）.

14.一个圆柱体的体积是50.24立方厘米，底面半径是2厘米.将它的底面平均分成若干个扇

形后，再截开拼成一个和它等底等高的长方体，表面积增加了多少平方厘米？（兀=3.14）

【答案】16

【详解】从图中可以看出，拼成的长方体的底面积与原来圆柱体的底面积相同，长方体的前后

两个侧面面积与原来圆柱体的侧面面积相等，所以增加的表面积就是长方体左右两个侧面的面

积.

（法1）这两个侧面都是长方形，且长等于原来圆柱体的高，宽等于圆柱体底面半径.

可知，圆柱体的高为50.24+（3.14x22）=4（厘米），所以增加的表面积为2x4x2=16（平方厘

米）；

（法2）根据长方体的体积公式推导.增加的两个面是长方体的侧面，侧面面积与长方体的长的

乘积就是长方体的体积.由于长方体的体积与圆柱体的体积相等，为50.24立方厘米，而拼成

的长方体的长等于圆柱体底面周长的一半，为3.14x2=6.28厘米，所以侧面长方形的面积为

50.24+6.28=8平方厘米，所以增加的表面积为8x2=16平方厘米.

15.有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的直孔，

如下图：圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米。如果将这个零件接触空气部分涂上防锈漆，一共

需涂多少平方厘米？

【答案】307.72平方厘米

【详解】涂漆的面积等于大圆柱表面积与小圆柱侧面积之和，为:

6兀乂10+兀x（6+2）茨2+4外5

=60兀+18兀+20兀

=9