2026年中考数学二轮复习 高效培优练15 复杂计算的解题策略原卷版

专题15复杂计算的解题策略

A题型01实数混合运算（含特殊角三角函数值）＜

》技巧提炼

1.运算顺序模型：先乘方开方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内（小f中f大）。

方法2.符号处理技巧：负数的奇次第为负，偶次基为正；绝对值化简遵循"正数不变，负数取反”。

3.特殊值记忆：熟记30°、45°、60°的三角函数值，以及常见二次根式的化简。

谯4.简便算法应用：合理运用运算律（交换、结合、分配律），对带分数、小数进行形式统一。

5.检验步骤：估算结果合理性，检查符号和运算顺序。

1.乘方符号混淆

易错2.绝对值化简错误

3.运算顺序跳步

辨析4.特殊三角函数值记错

5.根式化简不彻底

♦例题剖析

【典例01】(2022•江西赣州•二模)若实数w满足广2+1+个=］则/g+/皿的值是()

x+y-xy=3

A.22O22+1B.22O22-1C.-22022+lD.-22O22-1

【典例02】(2026•陕西西安・三模)计算：-2X(V5)2+2COS45°+|V2-3|.

♦巩固训练，

【训I练01】(2026•福建三明一模)计算:(4-3)°+|2-叫-(-1)期6.

【训练02】(2023•浙江•模拟预测)已知实数工=驾二1,求(2/+2--53--57.丫+54广”的值.

【训练03】(2024•辽宁大连•模拟预测)定义，在平面直角坐标系中，对于任意两点4。力)，例〃?,〃),

若点T(x,y)满足工="巴,y=字，那么称点7是点48的“伴力融合点”，例如：4-L2),

ab

8(3,4),当点满足X=¥=-2,卜=?=3时，则点7(-2,3)是点48的“伴力融合点”.

⑴已知点力(2,-4),例-2,8),点T是点力，8的“伴力融合点”，则点7的坐标为；

(2)已知点C(2,-6),D(-l,-2),£(-1,2),请说明其中一个点是另两个点的伴哪个点的“融合点”？

(3)已知点。(db)是直线y=x上在第一象限内的一动点，P(如雨是抛物线y=-2/上一动点，点T(x,y)

是点Q,P的“伴。融合点”，试求出7中y关于x的函数表达式(表达式中含。)，并判断所有点7(x,y)

中是否存在最高点？若存在，求出最高点的坐标；若不存在，说明理由；

(4)M(-1,必)，N(“-1,%)为(3)中y关于x的函数表达式所对应的图像上两点，若点M,N之间的图

象(包括点M,N)的最高点与最低点纵坐标的差为6/，求。的值.

A题型02整式化简与求值(含绝对值化简)<

♦技巧提炼

1.运算法则模型：先乘方，再乘除，最后加减；同类项合并系数相加字母部分不变。

方法

2.乘法公式应用：平方差公式；完全平方公式。

3.整体代入技巧：当已知条件为x+y、X)，等形式时，将所求代数式变形为含已知整体的形式。

总结

4.去绝对值策略：先确定绝对值内式子的正负，再根据“正数不变，负数取反”化简。

5.因式分解先行：在分式运算前先分解分子分母，便『约分。

1.符号漏乘

易错2.公式记忆错误

3.合并同类项错误

辨析4.整体代入时未加括号

5.绝对•值化简条件判断错误

【典例01】（2022•贵州黔东南•模拟预测）计算：-产+|加一6|+（花-3.14『-tan60o+&=

【典例02】（2026•陕西西安•一模）先化简，再求值：（x-3y）~+2y（3x-4y）,其中工=1,y=-3.

♦巩固训练，

【训I练01】（2025•浙江•模拟预测）已知/_2工-3=0,求代数式（x+l）（2x-1）-5x的值.

【训练02】（2025•吉林长春•二模）先化简，再求值：（x+l）（x-l）-x（x-2）.其中x=2025.

【训练03】（2025•陕西•模拟预测）先化简,再求值：（2x+l）（x-2）-（x-3）2,其中x=-2.

A题型03分式混合运算与化简求值/

》技巧提炼

1.运算顺序模板：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内。

方法2.因式分解优先：分子分母先分解因武，便于找最简公分母和约分。

3.通分技巧：取各分母系数的最小公倍数和相同字母的最高次幕。

总结4.约分规则：分子分母同时除以公因式，注意符号处理。

5.求值代入：化简后代入数值计算，注意分母不为零的条件限制。

1.通分时漏乘：如通分时只乘分母未乘分子C

易错2.符号处理错误：分式前有负号时，分子各项都要变号。

3.约分不彻底

辨析4.求值时忽略分母不为零：代入使分母为零的值。

5.运算顺序错误：未按顺序进行乘除和加减运算。

♦例题剖析

（2、x2-4r+4

【典例01］（2026•广东珠海一模）先化简，再求值：1—―--，其中x=4.

\X）X

V24、V-1

【典例02】（2026•安徽合肥•一模）先化简，再求值：-—--r/其中/=3

x-2x-2x-2x+l

♦巩固训练》

X--1j.,[―

【训I练01】（2026•福建三明一模）先化简，再求值:―T--；»其中X=J^+1.

廿+2x+1

14-1+4-1,

【训练02】（2026•宁夏银川一模）先化简，再求值:f其中a__Q_6=0.

彳2—4什「L

【训练03】（2026•广东深圳一模）先化简，再求值:+—~~—，其中x=-2•

x-2x

A题型04分式方程求解与检验4

•技巧提炼

1.求解步骤模型：去分母一去括号f移项f合并同类项一系数化为1-检验。

方法2.去分母技巧：方程两边同乘最简公分母，注意每一项都要乘。

3.检验方法：将解代入最简公分母，若为零则为增根需舍去。

总结4.含参处理：用参数表示解，再根据条件确定参数范目。

5.应用题转化：将实际问题转化为分式方程，注意单位统一。

1.忘记检验增根：这是最常见的失分点。

易错2.去分母时漏乘常数项：如方程右边常数项未乘公分母。

3.符号错误：去括号时负号未分配。

辨析4.最简公分母找错：特别是分母为多项式时。

5.应用题中单位不统一：如速度单位不一致。

♦例题剖析，

【典例01］（2025・陕西西安•二模）己知/（项,乂），4（吃,月）两点都在反比例函数），=一的图象上，若

x

七吃=7,则（占+2%）（々一2/）的值为.

【典例02】（2025•云南•模拟预测）这是一道婚礼.上的方程，新郎需要在现场把这个方程解出来，才能

迎接新娘.请根据你解方程的过程完成填空：这个方程是（类型）方程，需要，就像检验

新郎是否是真心一样.其中的第一个根代表着一生不辜负爱妻，第二个根代表着否则你将

一无所有.

X2+13X+14X2-14X+13

520x2-13x-14-520x2+14x-13

♦巩固训练♦

【训练01】（2026•四川成都一模）若“二?T4=：,则〃?的值为.

m~-3m+1m2

【训练02】（2025•上海•模拟预测）我们知道凸透镜的焦距公式为］=十+：,其中/是凸透镜的焦距,

〃表示物距，v表示像距.若凸透镜和物体距离20cm时，凸透镜另一侧的光屏上成了一个清晰的像，

仅移动凸透镜，将像距减小10cm,光屏上又成了一个清晰的像，那么该凸透镜的焦距是.

【训练03】（2025•陕西汉中•模拟预测）解方程：（%+4）2-4=匕1

人I«J

A题型05二元一次方程组求解♦

•技巧提炼

1.解法选择模型：系数简单用代入法，系数复杂用加减法。

方法2.代入法步骤：从一个方程解出一个未知数一代入另一个方程一求解一回代。

3.加减法技巧：通过乘以适当系数使某一未知数系数相反或相同。

总结4.检验方法：将解代入原方程组验证。

5.含参讨论：根据解的情况讨论参数取值。

1.代入时代错方程。

易错2.加减时符号错误：特别是减负数时。

3.系数乘错：为使系数相同或相反时乘错数。

辨析4.计算粗心：简单的加减乘除错误。

5.应用题列错方程：等量关系找错。

♦例题剖析

a.x+b.y=c.|.r=8[4^..r+3Z>.y=5c,

【典例01】（2022•山东枣庄•模拟预测）方程组〈'/।的解为｛,，则方程组J'J

a2x+b2y=c2[y=34a2x+3b2y=5c

的解为（）

x=8fx=5[x=10[x=10

A.B.C.D.

y=3[y=4[y=5U'=1°

[a.x+b.y=c.fx=5

【典例02】（2025•浙江宁波•一模）若方程组:的解是「则方程组

[a2x+b2y=c2lj^=6

5。/_3如=4q

的解是

5a2x-3b2y=4c,

♦巩固训练，

【训练01】（2024・山西大同•模拟预测）阅读下列材料，并完成相应的任务.

换元法是指引入一个或几个新的变量代替原来的某些变量，变量求出结果之后，返回去求原变量的结果,

换元法是数学中重要的解题方法，对于•些较繁较难的数学问题，若能根据问题的特点进行巧妙的换元,

则可以收到事半功倍的效果，下面以一个例题来说明.

例1：计算：20163-2015x2016x2017.

解：设2016=不，则原式=1-（.丫一1）3（X+1）='3一%（一一]）=丫=2016.

请你利用上述方法解答下列问题：

（I）计算：123456789x1234567^6-123456788x123456787：

12"3/）=13储=8.3[2（A+2）-3（y-l）=13

⑵已知方程组，〈八的。的解是/S，则方程组]J„的解是.

3«+5/）=30.9g=1.2[3（A+2）+5（J-1）=30.9一

【训练02】（2024•广东珠海•三模）阅读下面材料，并完成用应的学习任务.

“整体思想''是数学解题中的一种重要思想方法，数学课上，张老师给出了一个问题：已知实数“3〃满

W+〃-2=（XD

足\«*，求〃?+〃和2"7-〃的值.

小真：利用消元法解方程组，分别求出加，〃的值后，再代入〃?+〃和2/〃-〃即可.

小善：由①，得阳+〃=2,（3）

将③代入②，得4X2+〃=5,解得〃=一3,

把〃=-3代入③，解得〃?=5,

m=5

所以原方程组的解为、

张老师对两位同学的讲解进行点评，指出小善同学的思路体现了数学中的“整体思想''的运用，请你参考

小善同学的做法，完成以下两个任务.

’2"36-5=0

（1）任务一：解方程组，2"38+2z八

----------F=0

7

（2）任务二：在（1）的前提下取a,b的值，若抛物线》=口-+云+，,与x轴有唯一的交点，求此抛物线

的解析式.

【训练03】（2023•陕西西安•模拟预测）在直角坐标系中,已知力（。，0）,80,-3）,且a,b满足

y/a+b-10+\la-3Z)|=0.

Si备用图图2

⑴求的面积;

（2）将线段44平移至。，且。（c，3）,且S「8=5,求点。的坐标;

m+2n+3s=14

(3)如图2,已知〃(加,0),N(n,-3)（点〃在线段。力上），且实数机、〃、3满足

4m4-3〃+75=36,

S4

连接MN交。8于点。，点P是线段48上的一点，连接PM、PD、AD,有黄丝二1，求点。的坐标.

々8D

A题型06一元二次方程求解与判别式应用＜

©技巧提炼

1.解法选择模型：能因式分解优先分解，否则用公式法，特殊形式用直接开平方法。

方法2.求根公式记忆，先计算判别式△。

3.判别式应用：△＞（）两不等实根，△=（）两相等实根，AV0无实根。

总结4.韦达定理应用，用于求对称式值。

5.含参讨论：根据根的情况确定参数范围。

1.求根公式记错。

易错2.判别式计算错误。

3.因式分解不彻底。

辨析4.忽略二次项系数不为零。

5.韦达定理应用条件不清：需在方程有实根前提下使月。

♦例题剖析

【典例01】（2025•陕西•中考真题）已知二次函数蚱尔+及-3（。工0）,当x>0时，歹的值随X值的

增大而减小，则下列结论正确的是（）

A.ab<0B.该函数图象的顶点位于第四象限

C.方程4/+队+1=0没有实数根D.该函数的最大值不小于-3

【典例02】（2024•四川成都三模）在平面直角坐标系中给出以下定义：点力（见〃），点E（M,〃'），

〃「=3%”=-6〃，则我们称8是4的“跳跃点”.若二次函数^=苏-5G-6。（20）的图象上恰有两个

点的“跳跃点”在直线N=-2x+36上，则a的取值范围为.

♦巩固训练》

【训I练01】（2024•江苏南通•二模）定义：如果两个实数加，〃满足工+,=1,则称〃?，〃为一对“互助

mn

数”.已知。，6为实数，且4-力，是一对“互助数”.若/-从=2-3,则P的值可以为（）

A.—B.6C.-D.3

22

【训练02】（2026・山东济南•一模）在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等或互为相反数,

则称点尸为“大美点”.例如点（1/），（L-1），（-V3.V3）,都是“大美点”.若二次函数

夕=。/+3》+0（。工0,。=0）的1,象上只有三个“大美点”，其中一个“大美点”是（2,2）,当机时，函

数），=以2+31+《〃。0,。。0）的最小值为—2,最大值为:，则〃?的取值范围为（）

A.3<m<6B.3<w<6C.0<///<3D.（）<m<3

【训I练03】（2026•福建莆田•模拟预测）已知二次函数p=ad+bx+c的最小值J

⑴求人的值；

⑵已知点（0,0）,（1,0）,中有且只有两个点在该二次函数图象上.

①求该二次函数的表达式；

②试说明：对于直线/：卜=1-1上任意一点P,该二次函数图象上总存在"，N两点，使M为PN中

点.

I►题型07一元一次不等式（组）求解与表示，

♦技巧提炼

1.解法步骤模型：去分母f去括号f移项一合并同类项一系数化为1（注意乘负变号）。

方法2.数轴表示规则：空心圈表示不包含，实心点表示包含；方向表示解集范围。

3.不等式组解集确定：同大取大，同小取小，大小小天中间找，大大小小无处找。

总结4.含参讨论：根据解集情况确定参数范围。

5.应用题转化：注意“至少”、“不超过”等关键词转化。

1.系数化为1时未变号：不等式两边乘或除以负数时，不等号方向未改变。

易错2.去分母时漏乘：常数项未乘公分母。

3.数轴表示错误：端点值是否包含表示不清。

辨析4.不等式组解集判断错误：特别是无解情况。

5.应用题中列错不等式：关系词理解错误。

♦例题剖析♦

【典例01】（2024•浙江宁波•一模）设二次函数3加（加为实数）的图象过点

（1，）。（2/2），（3，%），（4,，》），设必一为=。，为-居=〃，下列结论正确的是（）

A.若ab<0,且。+〃<0,则〃？>4B.若。6<0,且。+人>0,则5<小<7

C.若〃。>0,且a+b<0,则加>5D.若。6>0,且"+方>0,则/”>6

（4.V+1

-----<v+2

【圆例02】（2025•重庆•模拟预测）若关干工的一元一次不等式匆，3'有日仅有2个奇数解,

3x-a>3-4

y-2a-2\~（i

且关于。的分式方程/+力-7=1的解为整数，则满足条件的所有整数。的值之和为.

4一2y2y-4

♦巩固训练♦

【训练01】（2023•福建厦门•一模）已知抛物线y=G、4at+4（a<0）的顶点为M,直线y=kx+b（k<0）

与该抛物线交于点M和N（/〃/）,若a<〃<0,则直线y=h+6与x轴交点的横坐标p的取值范围是

（）

77

A.—</?<2+VJB.2<p<—

C.2Vp<2+75D.2-丛<p<2

【训练02】（2024・湖南•模拟预测）我们约定：如果一个二次函数的二次项系数和一个一次函数和一次

项系数相同，且一次函数的一次项系数和一次函数的常数项相同,则称这两个函数互为“友情函数”,例

如:二次函数y=2/+3x+1与一次函数y=2x+3互为“友情函数”.

⑴已知二次函数歹=a，+&+c,满足好＜0,试说明该二次函数与它的“友情函数”有两个不同的交点；

（2）当二次函数》=&-+反与它的，，友情函数，，仅有一个交点，且〃二c时，请判断这两个函数是否有交

点，如果有，请写出交点的横坐标；

⑶若二次函数j，=d+几满足以下条件：①函数图像过点（2,0）,②（5〃+劭+，,）（5〃+〃+,♦）＞0,若该

二次函数与它的“友情函数”的交点的横坐标用，x2,试判断|再-X2I的取值范围.

【训练03】（2024•四川达州一模）我们发现，关于x的一元二次方程尔+bx+c=0（aw0）,若A=〃_4ac

的值是一个完全平方数（两个相同的数相乘的结果）时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是若一

元二次方程的根都为整数，则△的值一定是一个完全平方数.

定义:两个根都为整数的关于）的一元二次方程加+瓜+0=05工0）称为“全整根方程”，代数式上二生

的值为该“全整根方程”的“最值码”，用。（。也c）表示，即。（％力/）="?；若另一关于上的一元二次

方程.2+"+’.=0（夕工0）也为“全整根方程”，其“最值码”记为0（p,w）,当满足

Q（a,b,c）-O（pMr）=c时，则称一元二次方程ad+bx+c=D（a。0）是+办+/.=。（.工。）的“全整根

伴侣方程”.

⑴“全整根方程"_3工+2=0的“最值码”是;

⑵若关于x的一元二次方程f-（2川-l）x+/-2〃?-3=。（加为整数，且4＜〃?＜15）是“全整根方程”,

求〃，的值；

⑶若关于x的一元二次方程寸+（1-m）》+〃[-2=0是》2+（〃一1）..〃=0（小，〃均为正整数）的“全整根

伴侣方程“，求〃?-〃的值.

I►题型08综合计算与错步辨析＜

1.错步辨析模型：逐步检查运算过程，找出错误步骤并纠正。

方法2.综合运算策略：先分析题目结构，确定运算顺序，分步计算并检查。

3.简便算法识别：观察数字特征，运用运算律简化计算。

4.估算验证：用近似值估算结果合理性。

总结

5.规范书写：步骤清晰，便于检查和纠错。

1.过程跳步过多：导致中间步骤错误难以发现。

易错2.符号累积错误：多个负号运算时出错。

3.公式应用条件不符：如平方差公式用于非平方差形式。

辨析4.检验方法不当：未用不同方法验证结果。

5.书写混乱：草稿与正式步骤混淆，导致抄错数字。

♦例题剖析》

【典例01】（2026•山东日照一模）我们规定：一个四位数M=abed，若满足a+b=c+d=10,则称

这个四位数为“十全数例如：四位数1928,因为1+9=2+8=10,所以1928是“十全数”.按照这个规

定，最小的“十全数''是:一个“十全数"砺，瘠其千位数字与个位数字调换位置，百位数

字与十位数字调换位置，得到一个新的数”=砺，记爪忖）=为萨，G（股卜”沪.若

4/（M）+G（M）+15也"整则满足条件的a的值是.这两个数分别是（）

1317--------

A.1928,3782B.1919,7382C.1919,3782D.1919,2837

【典例02】（2026•福建泉州一模）已知实数工，y满足/_刈+必=6,则/+个+V的最大值为一.

♦巩固训练》

【训练01】（2026,安徽合肥一模）若一列数不、々、不、…、匕（％为正整数），除不、七外，其余

每个数都等于与它相邻的两个数之和，则称这列数为'"层数列''，如：1、5、4、-1,满足5=1+4,4=5+（-1）,

所以1、5、4、T为“4层数列”.

（1）若3、〃[+1、2m-2为“3层数列”，则加的值为；

（2）若一个“60层数列”中，J31=2p-5,必=4-39,则7^-的值为

1+%

【训练02】（2026•新疆乌鲁木齐•一模）己知。工0且。工1,我们定义,/；（〃）=1匚，记为G；

1一。

人（。）=]匚，记为。2,……；<（。）二丁=，记为若将数组的各数分别作£的变换,

得到的数组记为（％舌,。）：将（q,4,q）作刀的变换，得到的数组记为（。2也,。2）：……则

q+Z>[+C[+%+Z>2+c?+...+。2026+4026+°2026的值为•

【训练03】（2026•安徽合肥•一模）对任意一个三位数〃，如果〃满足各数位上的数字互不相同，且都

不为零，那么称这个数为“迥异数将一个“迥异数''任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的

新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为厂（〃），例如〃=123,对调百位与十位上的数字得到

213,对调百位与个位上的数字得到321,对调十位与个位上的数字得到132,这三个新三位数的和为

213+321+132=666,666+111=6,所以*123)=6./(264)=.若八/都是“迥异数”，其

14y49,x、V都是正整数），当/（s）+b〃）=14时，虞的

中s=100x+12,f=340+y(1<x<9,

值为___________

题型强化训练

一、单选题

I.（2026•江苏南通•模拟预测）如果。>0,1<0,则Je-的值是（）

A.-3B.3C.2。+28+3D.-2a+26-5

2.（2026•山东聊城•一-模）为提升学生体质健康管理效率，某学校计划引入“4辅助智能体测”系统.该系

统通过摄像头捕捉运动姿态，分析数据以提供个性化训练建以.项目组在采购训练用智能跳绳时，发现

供应商提供两种优惠方案：

方案一：全部按定价的8折购买.

方案二：前5根按定价，超出部分按定价的6折.

经测算，如果为校跳绳队批量采购，选用方案二可比方案一节省160元：而如果用方案一的金额按方案

二购买，可多买10根.设每根跳绳定价为x元，计划购买〃根（〃>5）,则下列方程组正确的是（）

0.8/zx=5x+0.6x(〃-5)+1600.8/LX-[5X+0.6x(«-5)]=160

A.B.

().8〃x=5x+0.6x(〃+10-5)0.8/7X=5X+0.6X(H+10)

0.8〃x=5x+0.6x(〃一5)-1600.8〃x—5x+0.6x(//-5)=160

C.D.

0.8/LV=5x+0.6x(〃+10-5)0.8/w=5x+0.6x(〃+10-5)

n

3.（2026•重庆万州•一模）已知整式时:a0+aix+•••++anx,其中〃为自然数，%,6,qn-\»

均为正整数，且…下列说法：①当〃=2,%=5,且q为奇数时，则满足条件的所有

整式M的和为10/+6x+3;@若凡=4且％为偶数时，满足条件的所有整式M有且仅有3个：③当

%=5时，满足条件的所有整式”有18个.其中正确的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

4.（2026•重庆巴南一•模）已知整式力：斯+43+生/+…+。/'，其中旬为自然数，〃，6，%,…，。“为

正整数，且〃+叫+/+&+…+%=7.下列说法：

①满足条件的所有整式片中有且仅有1个单项式；

②当〃=3时，满足条件的所有整式力的和为4F+4x2+4x；

③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定是非负数的整式力共6个.

其中正确的个数是（）个

A.0B.1C.2D.3

二、填空题

5.（2019•湖北黄冈•三模）若直线x+2尸2利与直线2x+y=2而+3（冽为常数）的交点在第四象限,则整

数m的值有个.

6.（2022•甘肃陇南•模拟预测）观察下列等式:2+22=2—2;2+22+23=24-2;2+22+2,+24=25-2;

2+22+2J+24+25=26-2:....已知按一定规律排列的一组数：22°,221，222，2",224—238，

239,2,若22°=〃?，则22°+22,222+223+22、…+2贤+2抄+240=（结果用含m的代数式表

示）.

7.（2026•重庆万州•一模）一个四位自然数〃=砺满足各数，立上的数字均不为0,且a+6=c