2025-2026学年人教A版高二数学下册期末模拟考试数学（四）含答案

2025-2026学年高二下学期期末模拟考试（四）

数学

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、学号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡

上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第一部分选择题（共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.在空间直角坐标系O-Ayz中，点M（2,3「l）关于平面X。对称的点的坐标是（）

A.(2,3,1)B.(2,-3,-1)C.(-2,3,-1)D.(2,-3,1)

2.己知随机变量J等可能取值为1,2,3,…若?C<5）=:，则（）

A.w=20B.〃=18C.〃=16D.n=\4

3.根据下图的散点图，变量x和变量y的样本相关系数，•的值为（）

A.—0.81B.-0.20C.0.34D.0.88

4.某马拉松活动中，将5名志愿者分配到4个服务点参加志愿工作，每人只去1个服务

点，每个服务点至少安排1人，则不同的安排方法共有（）

A.60种B.120种C.240种D.360种

第1页，共6页

5.记为等比数列｛%｝的前〃项和.若q=1，。3。4=。5，贝心4=（）

A.39B.156C.—D.—

55

6.已知。>0,函数/""f—HnY+i在0,3）内是单调递增函数，则实数a的取值范围

是（）

A.0<^<2B.0<«<18C.2<^<18D.tz>2

2

7.已知椭圆/=1的左、右焦点分别为用，鸟，直线y=x+加与C交于点4,3两点,

若△片45面积是△用43的2倍，则加=（）

B.一走或一3五C..也

A.-3A/2D

33-4

11i

8.已知a>—5.ae^--(",c>—且“S=—e',贝ij1)

554433

A.c>b>aB.h>c>aC.a>c>bD.a>b>c

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项

是符合题目要求的.全部选对得满分，部分选对得部分分，有选错得。分.

9.下列求导运算不正确的是（）

AA./(S•ltly乃)=COS冗yB.(x-y[x)=1

2x

1

D.(ln(3x+l))'=

3x+l

10.有三个相同的箱子，分别编号1,2,3,其中1号箱内装有4个绿球、1个红球，2

号箱内装有2个绿球、3个红球，3号箱内装有5个绿球，这些球除颜色外完全相同.某人

等可能从三个箱子中任取一箱并从中摸出一个球，事件4表示“取到，•号箱（i=L2.3）”，

事件4表示“摸到绿球”，事件。表示“摸到红球”，则（）

2

A.P(B\A2)=-B.P(B|4)+P(C|4)=P(4)

cP⑶44

D.P(A,\B)=-

第2页，共6页

11.已知抛物线C:/=4x的准线为/,焦点为尸，尸为抛物线。上的动点，过点尸作

O/：f+（y_2）2=g的一条切线，。为切点，过P作/的垂线，垂足为B,则（）

A.准线/与圆4相切

B.过点£4的直线与抛物线相交的弦长为5

C.当点三点共线时，归0|=*

D.满足|尸4|=\PB\的点P有且仅有2个

第二部分非选择题（共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.曲线y=cos2x+工在X=工处的切线方程为___________.

44

13.。-2］（工+j）*的展开式中^/的系数为___________.

I）

14.如图，在三棱锥。-46C中，/P_L平面P8C,记48与面尸8C所成的角为0,

PB=PC,tan6?=—,=36，8C=6.若。为平面尸8C内一动点，满足

2〜

QB+QC=2d，则尸。最大值为.

第3页，共6页

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.一个不透明的盒子里有质地、大小相同的8个小球，其中2个红球、6个黑球，不放

回地从盒子里依次随机摸取一个小球，当有同一种颜色的小球全部取出时停止摸球.

（1）求停止摸球时盒子里恰好剩下4个黑球的概率；

（2）停止摸球时，记总的摸球次数为X,求X的分布列与数学期望；

（3）若将这8个球分别放在甲乙两个袋子中，每袋都装有1个红球、3个黑球.现从甲乙

两袋中分别任取一球交换放入另一袋中，重友〃次这样操作后，设甲袋子中恰有

1个红球的概率为匕，求月.

16.已知S”为数列｛%｝的前〃项和，已知S.=2q,-

（1）求数列｛端的通项公式；

（2）若4-Iog/，求数列•久»的前〃项和骞.

第4页，共6页

17.如图，在RtA/AC中，NC=90',RC=3,AC=6,Z),E分别是力C,/8上的点,

满足。E||8。且QE经过“8C的重心，将"OE沿OE折起到"QE的位置，使

A}C1CD,〃是4。的中点.

(1)求证：平面4CE_L平面8CDE；

(2)在线段4c上是否存在点N(不包含端点)，使平面8MN与平面C3"夹角余弦值为

手？若存在，求出4N的长度；若不存在，请说明理由.

18.已知抛物线C:x2=2py(p>0)上一点M(m,1)到焦点的距离为2.

(1)求。的方程：

(2)直线y=6+l与C交于48两点，过43分别作C的切线乙,小设的交点为P.

(i)求证：△尸49为直角三角形；

(ii)记△43的面积为S,求S的最小值，并指出S最小时对应的点尸的坐标.

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19.定义在区间。上的函数/（X）满足：若对任意演,巧£。，且芭>0，都有

/叫）（叽^^,则称〃x）是。上的“好函数”.

（1）若/（工）=公2一2x是[],+8）上的“好函数”，求。的取值范围;

（2）⑴证明:g（x）=hu是（O,+e）上的“好函数”.

（ii）设〃wN，证明：Invn+\>—I11•…H-----.

3572〃十1

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2025-2026学年高二下学期期末模拟考试(四)

数学

(考试时间：120分钟试卷满分：150分)

答案速查表

12345

BCACD

678910

ACDACDACD

1112131415

(1)言

(2)见解析

BCD8x+4y—371=012V22

(3)Pn=1(

A5

16171819

(1)即(1)x2=4y(2)(1)[|,+8)

(1)证明见解析

=2n(i)证明见解析

(2)存在，A.N(2)(i)证明

⑵Tn(ii)最小值4,此时见解析(ii)证

cn+2=V3

=22-n---P(0-l)明见解析

第一部分选择题(共58分)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.在空间直角坐标系。-xyz中，点M(2,3,-l)关于平面%Oz对称的点的坐标是()

A.(2,3,1)B.(2-3-1)C.(-2,3-1)D.(2-3,1)

【答案】B

【解析】在空间直角坐标系中，点MQ,y,z)关于平面xOz对称的点的坐标为Q,-y,z),即横坐标与

竖坐标不变，纵坐标取相反数.

•:点M的坐标为(2,3,-1)，

二点M关于平面xOz对称的点的坐标是(2,-3,-1).

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【点拨】本题考查空间直角坐标系中的对称问题.熟记“关于哪个平面对称，哪个平面的坐标不变,

另一个坐标取相反数”是解题关键.

2.已知随机变量《等可能取值为1,2,3,…几(几GN)若P(fV5)=1贝I」()

A.n=20B.n=18C.n=16D.n=14

【答案】C

【解析】•••随机变量f等可能取值为L2,3,…a

=k)=：(k=1,2,-vt).

<5)=j,即P(f=1)+P(f=2)+P(f=3)+P(f=4)=i

解得九=

n416.

【点拨】本题考查离散型随机变量的概率分布.明确等可能事件的概率计算公式是解题的基础.

3.根据下图的散点图，变量%和变量y的样本相关系数丁的值为()

%

2♦•

「：・：・

0-,二.三：.

••••

-1■••:•・・・・・：

-211111*1_>

-3-2-1012x

A.-0.81B.-0.20C.0.34D.0.88

【答案】A

【解析】由散点图可知，散点整体呈左上到右下的趋势，故变量%和变量y呈负相关，即样本相关

系数丁<0,排除C、D选项：

又散点分布比较集中在一条直线附近，说明相关性较强，所以样本相关系数r应接近-1,即厂<-

0.75,故-0.81符合题意.

【点拨】本题考查散点图与样本相关系数的关系.相关系数r的绝对值越接近1,线性相关性越强；

厂>0为正相关，为负相关.

4.某马拉松活动中，将5名志愿者分配到4个服务点参加志愿工作，每人只去1个服务

点，每个服务点至少安排1人，则不同的安排方法共有()

A.60种B.120种C.240种D.360种

【答案】C

【解析】将5名志愿者分配到4个服务点，每个服务点至少安排1人，则必然有1个服务点安排2

人，其余3个服务点各安排1人.

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第一步，将5名志愿者分为4组，人数分别为2,1,1,1,分组方法数为[=程=10种;

第二步，将分好的4组全排列分配到4个服务点，分配方法数为其=24种；

由分步乘法计数原理可得，不同的安排方法共有10X24=240种.

【点拨】本题考查排列组合中的“分组分配问题”.采用“先局部均分，后全排列”的策略，注意

局部均分时需除以相同人数的组数的阶乘以去重.

5.记％为等比数列｛斯｝的前几项和.若%=ga3a4=。5，则=()

A.39B.156C.yD.詈1S6

【答案】D

【解析】设等比数列｛Q〃｝的公比为q.

=口5，即Q1q2.Q[q3=Q]q4,

••5=50,；・aiq=1,解得q=5.

・••等比数列｛斯｝是以g为首项，5为公比的等比数列，

.c_01(1")二(1-5(二156

41-q1-55'

【点拨】本题考查等比数列的基本量运算.利用通项公式将已知条件转化为首项与公比的方程是通

法.

6.己知Q>0,函数/(%)=产一Qinx+1在(1,3)内是单调递增函数，则实数a的取值范围

是()

A.0<a<2B.0<a<18C.2<a<18D.a>2

【答案】A

【解析】V/(x)=x2-alnx+l,其定义域为(0,+8),

••./(%)=2x-.

•.•fO)在(1,3)内是单调递增函数，

"'(X)>0在(1,3)上恒成立，W2x->0在(1,3)上恒成立.

vxG(1,3)»Aa<2%2在(1,3)上恒成立.

vy=2/在(1,3)上单调递增，其最小值的极限为2x了=2,

•••a<2.

又已知Q>0,.,•实数Q的取值范围是0VQW2.

【点拨】本题考查利用导数研究函数的单调性求参数范围.籽单调性转化为导数的不等式恒成立问

题，再利用分离参数法求最值是常用技巧.注意端点值的取舍.

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7.已知椭圆C:1+y2=i的左、右焦点分别为玛,心，直线y=欠+m与C交于点/出两点,

若面积是△F2^B的2倍，则租=()

A.-3V2B.一今或一3四C.一孚D.-|

【答案】C

【解析】由椭圆C：q+y2=i得口2=3力2=1,则C2=2,故左、右焦点分别为F1(—四,0)产2(鱼，

0).

设点尸1，尸2到直线y=%+M(即％-y+m=0)的距离分别为由也.

•••△厂遇8面积是4尸248的2倍，且两三角形同底AB,

.@=2d2,即喑叫=2小，

1zV2V2

化简得|一四+m|=2|&+m],两边平方解得m?+6&m+6=0,解得m=—36或m=-争

«3

fV=X4-TH

2

联立匕2+3y2-3,消去y得4%2+6mx+3m-3=0,

由直线与椭圆相交于两点，得A=36m2—16(3m2—3)=48—12m2>0,解得—2VmV2.

v-3V2<-2,不合题意舍去：一孚€(-2,2),符合题意.

【点拨】本题考查椭圆的几何性质与直线与椭圆的位置关系.利用面积比转化为焦点到直线的距离

比是解题突破口，切记最后必须用判别式A>0检验直线与椭圆是否相交.

1】11】1111

8.已知Q>三且8>]且加工=/)，c>5且=点。'，则()

A.c>b>aB.b>c>aC.a>c>bD,a>b>c

【答案】D

【解析】由。折=9。，两边取自然对数得Ina+!=In?+m即lna-a=1拈一"

55555

同理可得lnb-b=%lnc-c=

构造函数f(x)=lnx-x(x>0),则/'(x)==一■.

当0<x<1时，ff(x)>0,fl*)单调递增；当x)1时，广(工)<0,f(x)单调递减.

vl<l<l<l,</(^)</(1)>W/(a)</(b)</(c).

又Q>且/(a)=/(1)»结合/(%)的单调性可知a>1.同理b>l,c>1.

•・•/(%)在(1,+8)上单调递减，且f(a)</(b)</(c),

.••a>b>c.

【点拨】本题考查利用导数比较大小.通过对数运算将等式化为同构形式，构造函数f(x)=lnx-x

是解题的关键，注意利用函数的单调性反推自变量的大小关系.

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项

是符合题目要求的.全部选对得满分，部分选对得部分分，有选错得0分.

9.下列求导运算不正确的是()

A.(si啜=cosgB.(x-Vx)'=1-

<3.(方=盘D.(ln(3x+1))，=高

【答案】ACD

【解析】对于A,siW为常数，常数的导数为0,即(siW)'=0,故A错误；

A3

对于B,(x-Vx)'=1--1=1一芸，故B正确；

2\fx2x

对于C,(力，=，1*产=竺煤竺=爷2,故C错误；

对于D,根据复合函数求导法则，(InGx+DyuW-Oz+iyuS?故D错误.

本题选不正确的，故选ACD.

【点拨】本题考查基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则.易错点在于A选项忽略了常数

的导数为0,D选项忽略了复合函数的内层函数求导.

10.有三个相同的箱子，分别编号1,2,3,其中1号箱内装有4个绿球、1个红球，2

号箱内装有2个绿球、3个红球，3号箱内装有5个绿球，这些球除颜色外完全相同.某人

等可能从三个箱子中任取一箱并从中摸出一个球，事件人表示“取到i号箱(i=1,2,3)”，

事件8表示“摸到绿球”，事件C表示“摸到红球”，则()

2

A.P(B|4)=5B・P(B|4i)+P(C|&)=P(4)

C・P(B)=装D・P(AI|B)=5

【答案】ACD

【解析】由题意知，P(Ai)=PQ42)=P(4)=:

A1

1号箱有5个球(4绿1红)，则P(8|4I)=7P(CMi)=g；

23

2号箱有5个球(22录3红)，则P(B|<2)=W，P(C[<2)=干

3号箱有5个球(5绿0红)，贝UP。14)=1，P(C|43)=0.

2

对于A,P(5|i42)=7，故A1E确；

对于B,P(8M1)+P(C|&)W+V=1HP(4),故B错误；

对于C,由全概率公式，P(B)=P(&)P(B|&)+PG42)P(B|42)+PQ43)P(B|A3)=；xg+：x(+

oooo

|x1=故C正确;

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对于D,由条件概率公式，P(A]|8)=与需=%黑也二年=白，故D正确.

产3)产31百11

【点拨】本题考查全概率公式与条件概率公式的应用.理清事件之间的关系，准确计算各条件概率

是解题的关键.

11.已知抛物线C:*=轨的准线为1,焦点为F,P为抛物线C上的动点，过点P作。A/

+(y—2)2=/的一条切线，Q为切点，过P作/的垂线，垂足为B,则()

A.准线，与圆4相切

B.过点F/的直线与抛物线相交的弦长为5

C.当点P/,B三点共线时,\PQ\=.

D.满足|P*=|PB|的点P有且仅有2个

【答案】BCD

【解析】由抛物线C:y2=4%得准线"=-1,焦点F(1,O).圆AM+(y-2)2=的圆心为4(0,2),半

径「=T-

对于A,圆心力(0,2)到准线以=一1的距离4=|0-(一1)|=1>丁，故准线2与/4相离，A错误；

对于B,直线F4的斜率上=言=一2,方程为y=—2(x—l).联立｛2之啜”一1)消去y得/一3x+l

=0.设交点横坐标为％1，x2，贝!工1+%2=3.由抛物线弦长公式，弦长=%I+%2+P=3+2=5,

B正确；

对于C,当P/,B三点共线时，由于PB_U,故P411,即P/,B所在直线平行于x轴.・・・4(0,2),.・・P

的纵坐标为2,代入y2=轨得也2).此时|PA|=«1-0)2+(2-2)2=1.在RtZkPQA中,\PQ\=

y/\PA\2-r2=Jl2-(^)2=y,C正确；

对于D,由抛物线定义知|P8|二|尸F|,若|P*=|P8|,则|P*二|PF|,即点P在线段4尸的垂直平

分线上.线段力广的中点为6,1)，斜率为一2,故其中垂线方程为y-l=/x-3,即y=、+*联立

V=—1X+,—3

224消去y得4/-52刀+9=0,△=(-52)2-4X4X9>0,故有两个交点，D正确.

ly=曲

【点拨】本题考查抛物线与圆的综合问题.灵活运用抛物线的定义将点到准线的距离转化为点到焦

点的距离是解决C、D选项的核心思路.

第二部分非选择题(共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.曲线y=cos2x+3在％=9处的切线方程为.

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［答案】8x+4y-37r=0

【解析】设f(x)=cos2x4-p则/(x)=-2sin2x.

当x=/寸，切点纵坐标y=f0=cos^+?=会即切点为职).

切线的斜率k=((力=-2sin^=-2.

故切线方程为y-3=-2(%-》化简得2x+y-午=0,即8%+4y-3〃=0.

【点拨】本题考查利用导数求曲线的切线方程.求出切点坐标和切线斜率，代入点斜式方程即可.

13.(1—)(%+丫产的展开式中％2y6的系数为

【答案】12

【解析】(x+y)8展开式的通项为77+1=C^ryr.

原式可化为(x+y)8-£(x+y)8.

要求％2y6的系数，即求(％+y)8中％2y6的系数与。+y)8中%y7的系数乘以一2之和

在(％+y)8中，令1=6,得%2y6的系数为鹰=28;

令丁=7,得盯7的系数为或=8.

故原展开式中第2y6的系数为28-2x8=12.

【点拨】本题考查二项式定理的应用.将多项式乘法转化为两个二项展开式特定项的系数和是常用

技巧.

14.如图，在三棱锥P—/BC中，4P_L平面PBC,记48与面PBC所成的角为dPB=PC,

tan®=乎，PA=3V3,BC=6.若Q为平面PBC内一动点，满足QB+QC=2，TT,则PQ最

大值为.

【答案】y/22

【解析】•・,4P_L平面P8C,PBu平面PBP,.MP1P8,即△APB为直角三角形.

又AP1平面P8C,.MB与平面PBC所成的角即为Z48P,故乙ABP=6.

在Rl△4PB中，tan6>=空=乎，又4P=373,解得PB=372.

PB〜

-PB=PC=3V2,BC=6,：.PB2+PC2=18+18=36=BC2,：.^LBPC=90".

第7页，共16页

在平面PBU内,以P为原点，PB,PC所在直线分别为x,y轴建立平面直角坐标系一则以3衣,0),C(0,

3日).

设Q(%y),由QB+QC=2VII>BC=6,可知点Q的轨迹是以8,C为焦点的椭圆.

椭圆的中心为BC的中点M(乎，竽)，长半轴Q=V1T,半焦距c=^BC=3,短半轴力=序*=

V2.

点P(0,0)到中心M的距离|PM|=J(苧到+(早尸=3.

由于P8=PC,ZkPBC为等腰直角三角形，点P在BC的垂直平分线上，即点P在椭圆的短轴所在直

线上.

以M为坐标原点，8C所在直线为/轴，中垂线为/轴建立新坐标系，则椭圆方程为哈+三=1,

点P的坐标为(0,-3).

设QQ3)，则|PQ『=%'2+8+3)2=11(1一亭)+(/+3)2=-y，2+64+20.

该二次函数开口向下，对称轴为噂jL

vy,G[-V2,V2],且>E[-V2,v2],

・,・当y'='时，|PQ『取得最大值一看尸+6x|+20=22.

故|PQ|的最大值为加1

【点拨】本题考查立体几何与解析几何的综合.利用线面垂直找到直角三角形求出边长，再根据椭

圆定义确定动点轨迹，最后通过建系转化为二次函数求最值，展现了极强的综合性.

四、解答题：本题共5小题，共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.

一个不透明的盒子里有质地、大小相同的8个小球，其中2个红球、6个黑球，不放回地

从盒子里依次随机摸取一个小球，当有同一种颜色的小球全部取出时停止摸球.

(1)求停止摸球时盒子里恰好剩下4个黑球的概率；

(2)停止摸球时，记总的摸球次数为X,求X的分布列与数学期望；

(3)若将这8个球分别放在甲乙两个袋子中，每袋都装有1个红球、3个黑球.现从甲乙

两袋中分别任取一球交换放入另一袋中，重复九(nEV)次这样操作后，设甲袋子中恰有1

个红球的概率为P八,求

【答案】⑴'

⑵分布列见解析;E(X)若

⑶P„=|(1)n+^

第8页，共16页

【解析】解：(1)停止摸球时盒子里恰好剩下4个黑球，说明取出了2个红球和2个黑球，且最

后一个取出的是红球(否则若最后取出黑球，说明红球早已取完，摸球早就停止了).

即前3次取出1个红球和2个黑球，第4次取出红球.

故所求概率P=4§x：=鸨x：=9......................................3分

Cg556528

(2)停止摸球时，总的摸球次数X的可能取值为2,3,4,5,6,7.

若红球先被取完，则第k次取完红球，前A-1次取出1红A-2黑，第k次取出红球，

其概率为P】(X=k)=专标x而占p

若黑球先被取完，则第k次取完黑球，前A-1次取出5黑攵-6红，第4次取出黑球，

其概率为P2(X=k)=箭x西匕

当X=2时，仅可能红球先取完，=2)=x1=^；

当X=3时，仅可能红球先取完，P(X=3)=2£XJ=4；

Co6

当X=4时，仅可能红球先取完，。(>=4)=普乂合费

当X=5时，仅可能红球先取完，P(X=5)=券=£

4Zo

当X=6时，红球先取完的概率为警x六另黑球先取完的概率为甯xg=

fcP(x=6)=A+±=A.

当X=7时，红球先取完的概率为警x2=/，黑球先取完的概率为警x；=/,

故P(X=7)=—+—=—

"乂I)282828

所以X的分布列为:

X234567

1234612

P

282828282828

....................................8分

数学期望E(X)=2x/+3x/+4x^+5x/+6x^+7x||=^=

：3)设操作n次后，甲袋中有1个红球的概率为心，有0个红球的概率为品，有2个红球的概率

为%.

由对称性可知，甲袋中有0个红球(即乙袋有2个红球)的概率等于甲袋中有2个红球(即乙袋

有0个红球)的概率，故qn=%=t#.

操作n次后甲袋有1个红球，包含以下三种互斥情况：

①操作n-1次后甲袋有1个红球，第ri次甲乙均抽出红球或均抽出黑球；

第9页，共16页

②操作几-1次后甲袋有0个红球，第兀次甲抽出黑球，乙抽出红球；

③操作n-1次后甲袋有2个红球，第71次甲抽出红球，乙抽出黑球.

所以P?i=Pn-1(^x1x+Qn-1(^x+rn-i(^xJ).....................................13分

=1^n-l+1(Qn-l+rn-l)=|^n-l+；(1-Pn-l)=1^n-l+

_

变形得：Pny-^n-l-y)-

又初始状态九=0时，甲袋有1个红球，即Po=l,Po-7=1

所以数列｛Pn-》是以2为首项，T为公比的等比数列.....................15分

故Pn号=副,即心=否尸+3......................................17分

【点拨】本题考查离散型随机变量的分布列与期望、全概率公式及马尔可夫链模型.第(2)问需分

类讨论哪种颜色的球先被取完；第(3)问利用全概率公式建立递推关系，再构造等比数列求通项,

体现了概率与数列的深度融合.

16.

已知Sn为数列｛an｝的前几项和，已知Sn=2an-2(n6N*).

(1)求数列｛的｝的通项公式;

(2)若益=log2Qn，求数列｛”｝的前几项和7V

an

n

【答案】(I)an=2

⑵%=2-崇

【解析】解：⑴因为Sn=2an-2,

当九=1时，S1=2%—2,即由=2。1-2,解得4=2.......................................2分

当〃>2时，an=Sn-Sn_!=(2an-2')-(2an-1-2)=2斯-2。八一i，

整理得即=2册.1......................................4分

所以数列｛Qn｝是以2为首项，2为公比的等比数歹U,

故斯=2X2k1=2n..................................6分

n

(2)由(1)^bn=log2a7i=log22=n,

所以?=合...................

8分

un4

则&=/+/+*+…+会①

夕n■+…+展+嘉②10分

①-②得：

=；+/+++…+白肃••12分

1

一N414分

1-12n+12n2"i・

2

第10页，共16页

所以加=2—蔡一/=2—噤.....................15分

【点拨】本题考查数列递推公式求通项及错位相减法求和.利用即=S〃-S71T求通项时要注意检验

71=1的情况；”等差X等比”型数列求和是错位相减法的典型应用场景.

17.

如图，在Rta/BC中，4。=90。，BC=3,AC=6,D,E分别是4&4B上的点，满足OE||

BC且。E经过△4BC的重心，将△40E沿DE折起至"△AiDE的位置，使41cle0,M是4

。的中点.

（1）求证：平面力iCEJ.平面8C0E；

（2）在线段4。上是否存在点N（不包含端点），使平面BMN与平面CBM夹角余弦值为学?

若存在，求出&N的长度；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）证明见解析

：2）存在，A”=如

【解析】（1）证明：在Rt2\,4BG|LDE||BC,且OE经过△ABC的重心，

根据重心的性质，AD.DC=2.1.

又力C=6,所以AO=4,CD=2...................2分

折起前，因为NC=90。,即8clAC,XDE||BCf所以。ElAC,即OE1A。，DE1CD.

折起后，DES，DEICD：

又A”CCD=D,4血CDu平面&C0,

所以DEI平面AiCD...................4分

因为&CU平面为iCO,所以。E_L&C.

又已知41cle。，且DEC!CD=。，u平面BCDE,

所以&C_L平面BCDE.

又&Cu平面&CE,

所以平面4CE1平面BCOE...................6分

⑵解：在RtZ\&CD中,AtD=AD=4fCD=2,

所以=月41。2_口2=^16^4=2VS.

以C为坐标原点，CBCQC4］所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

第11页，共16页

则C(0,0,0),B(3,0,0),“0,2,0),4(0,0,2两

因为M是的中点，所以M(0,l,遍).....................8分

假设存在满足条件的点N,设布=；1五(0V/IV1),

则N(0,0,2例).

丽=(3,0,0),CM=(0,l,V3),~BM=(-3,1,V3),~BN=(-3,0,273/1).

设平面CBM的法向量为叼=则

他•CB=3%i=0,_3,l、八

ln1-CM=y1+V3z1=0取=却得兀1=(。，一闻).....................1。分

设平面8MN的法向量为n?=(到/2/2)，则

n2,BM——3X2+丫2+V3^2=0

改,BN=-3X2+2V3AZ2=0

取Z2=V3,得与=24,y2=64—3,即n2=(2A,6A-3,V3).....................H分

由题意,

如(“洲=晶=益黑黑窑+3邛

V3\4-6A\叵

化简得

2V40/l2-36^+12=丁'

因|4-64=V10A2-9A+3.

两边平方并整理得:26A2-39A+13=0,即2/-3/1+1=0.....................14分

解得"1(舍去，不含端点)或"最

比时而女，即N为&C的中点.

所以4N=多1。=VI

故在线段上存在点N,使平面BMN与平面C8M夹角余弦值为手，&N的长度为

V3.....................15分

【点拨】本题考查空间线面垂直的证明及利用空间向量求二面角.折叠问题中寻找不变量(如垂直

关系)是建系的关键：存在性问题通常转化为参数方程求解，注意检验参数是否在规定范围内.

18.

己知抛物线=2py(p>0)上一点到焦点的距离为2.

(1)求。的方程；

(2)直线y=/cx+l与。交于4B两点，过48分别作C的切线匕右，设匕右的交点为

(i)求证：△P4B为直角三角形；

(ii)记△P4B的面积为S,求S的最小值，并指出S最小时对应的点P的坐标.

【答案】(1)%2=4y

C2)(i)证明见解析;(ii)最小值4,此时P(0,-l)

第12页，共16页

【解析】解：(1)由抛物线定义，点到隹点的距离等于它到准线y=-冷的距离.

所以1-(一令=2,解得p=2.....................2分

所以抛物线。的方程为/=4y.....................4分

⑵(i)设做乙21),5(x2..y2).

由/-4y得y=叁，求导得y，=9

所以切线h的斜率的二上切线/2的斜率6二字.....................6分

将直线y=kx+1代入/=4y,整理得/―4kx—4=0.

△=16k2+16>0恒成立.

由韦达定理得+%2=4k,xYx2=-4.....................8分

所以攵也=出当=竿=m=_1

所以11122,即P41P8,故△P4B为直角三角形.....................9分

Cii)切线一的方程为y—%=即y=.=~^x~yi-

44V4

同理切线功的方程为y=yx—>2-

却-y1

-

联立匕12的方程得(y7y解得孙二詈=2忆y=^=-l.

22P

所以点P的坐标为(2k,-1).....................11分

222222

弦长|4B|=Vl+k\xx-x2\—V1+ky/(xj4-x2)-4x1x2—V14-/cV16/c+16=4(k+1).

点P(2k,-1)到直线AB:kx-y+1=0的距离d=同2^^)+"=震|=2

y/k2+1.....................14分

所以△P4B的面积S=5ABi•d=；•4(炉+1).2『H+i=4(d+.....................16

分

因为4220,所以当k=0时，S取得最小值4.

此时点P的坐标为(0,-1).....................17分

【点拨】本题考查抛物线的切线问题及三角形面积最值.熟记抛物线切线交点坐标的结论(孙=

牛yp-常)可大幅简化计算，面积表示为关于斜率左的函数是求最值的常规路径.

19.

定义在区间。上的函数/(%)满足：若对任意％IMED，且巧>必，都有〃不)，3)>容,

(人］•人2

则称/(X)是。上的“好函数”.

(1)若f(x)=。工2_2%是［1,+8)上的“好函数”，求a的取值范围；

(2)(i)证明:。(%)=限是(0,+8)上的“好函数”.

第13页，共16页

(ii)设zifN*,证明：InWi+1>=+[+日+…+f=.

357Zn+l

【答案】(1)g+8)

：2)(i)证明见解析；(ii)证明见解析

【解析】解：(1)依题意，对任意为1，外€［1，+8),且石>外，都有/(一)73)>奈恒成立.

(0后一2勺)一(0据一2孙)必―小

即2>M+小

。［勺一七)(小+刀2)-2(必一外)>勺一切

2Xi+x2'

因为％1>孙工1，所以打一刀2>0，两边同除以％1-孙得:

皿+右)-2>1

2占+%2.............................

即呐+切)>2+篇，

所以Q>--+1X.

xj+x2(Xi+x2y

令t="l+%2，囚为“1>%2之1，所以£>2.

72

则Q>7+正对t€(2,+8)恒成立.....................4分

记九(£)=：+1，显然W)在(2,+8)上单调递减，