湖南省浏阳市2023-2024学年高一年级下册期末质量监测数学试卷（含答案）

湖南省浏阳市2023-2024学年高一下学期期末质量监测数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题

目要求.

1.已知向量有=（1,2）,6=（3,m），若五10+3），则m的值为（)

A.-4B.4C.D.6

复数z=黑在复平面内对应的点在（

2.)

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.边长为2的正三角形的直观图的面积是（)

B、/73

A.C.D.V3

TTT

4.已知圆锥的底面圆周在球。的球面上，顶点为球心0,圆锥的高为3,且圆锥的侧面展开图是一个半圆,

则球。的表面积为（）

A.247rB.36"C.487rD.647r

5.下列说法正确的是（）

①已知为三条直线，若Q,b异面，瓦c异面，则Q,C异面;

②若a不平行于平面a,且Q0a,则a内的所有直线与a异面;

③两两相交且不公点的三条直线确定•个平面;

④若△A8C在平面a外，它的三条边所在的直线分别交Q于P、Q、R,则P、Q、R,三点共线.

A.①②B.③④C.①③D.②④

6.已知某样本的容量为50,平均数为70,方差为75.现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有

误，一个错将80记录为60,另一个错将70记录为90.在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数

为九方差为S2,则（）

A.%=70,s2<75B.x=70,S2>75

C.x=70,s2=75D.x<70,s2>75

7.如图所示，已知点G是△48C的直心，过点G作直线分别交4BMC两边于M,N两点，且宿二不而，AN=

yAC^则2x+y的最小值为（）

A2&3B.2^2+3C.4D.2

8.某工业园区有4、B、C共3个厂区，其中88=6V5km，BC=10km,LABC=90°,现计划在工业园区

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内选择P处建一仓库，若乙4P8=120。，则CP的最小值为（)

A.6kmB.8kmC.4V3kmD.6y/2km

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.

9.给定一组数5,5,4,3,3,3,2,2,2,1,则（）

A.平均数为3B.标准差为得

C.众数为2D.85%分位数为5

10.有6个相同的小球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次，每次取1个球.用工表

示第一次取到的小球的标号，用y表示第二次取到的小球的标号，记事件4：戈+y为偶数，B：孙为偶数，

C：x>2,则（）

A.P（B）=,B.4与B相互独立

C.4与C相互独立D.8与C相互独立

11.正多面体也称柏拉图立体（被誉为最有规律的立体结构），是所有面都只由一种正多边形构成的多面体

（各面都是全等的正多边形）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正

八面体、正十二面体、正二十面体.已知一个正八面体ABCDEF的棱长都是2（如图），则（）

A.8E〃平面AOF

B.直线8c与平面8E0F所成的角为60°

C.若点P为棱上的动点，则力P+CP的最小值为26

D.若点P为棱E8上的动点，则三棱锥F—40P的体积为定值”

•X

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.如图，某学校共有教师200人，按老年教师、中年教师、青年教师的比例用分层随机抽样的方法从中抽

取一个60人的样木，则被抽到的青年教师的人数为.

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老年教师30%

青年教师

13.抛两枚质地均匀的骰子，向上的点数分别为x,y,则x,y,3能够构成三角形三边长的概率

为.

14.在△A8C中，点分别在边BC和边A8上，且DC=2BD=2,BE=2AE,AD交CE于点P,设前=

五，瓦5=9.用乙方表示前为;若M为CE上一动点且4EC8=30°,则晶.质的最小值

为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.一条东西方向的河流两岸平行，河宽250m,河水的速度为向东2旧km".一艘小货船准备从河的这一边

的码头A处出发，航行到位于河对岸B（AB与河的方向垂直）的正西方向并且与B相距250百瓶的码头C

处卸货.若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为6km/九，则当小货船的航程最短时，求合速度的

方向，并求此时小货船航行速度的大小.

16.在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手（1到5号）登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌

手.各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，

另在3至5号中随机选2名.观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中选3名歌手.

（1）求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；

（2）X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求“X22”的事件概率.

17某市政府积极鼓励居民节约用水.计划调

整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准工（吨），一位居民的月用水量不超过力的部分按

平价收费，超出x的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年200位居民每人的月均

用水量（单位：吨），将数据按照[（H）,[1,2）,…，但,9）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图，其中

0.4a=b.

频率

砸

b

0.04

0.02

°23456789月均用水量（吨）

（1）求直方图中的值，并由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数（每组数据用该组区间中点值

作为代表）；

（2）设该市有40万居民，估计全市居民中月均用水量小低于2吨的人数；

（3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计工的值.

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18.如图，在四棱锥P-A8C。中，底面A8C0是矩形，PA=AD=4,48=2,PA_L平面ABCO,且M是PO

的中点.

(1)求证：AM，平面PCD；

(2)求异面直线CO与8M所成角的正切值；

(3)求直线CO与平面4cM所成角的正弦值.

19.任意一个复数z的代数形式都可写成复数三角形式，^z=a+bi=r(cosO+isinO^其中i为虚数单位，

r=|z|=Va2+b2>0,06[0,2兀).棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗(16677754)创立.设两个复数用三角函

数形式表示为:Z\=(cosOi+isinOl'),Z2=r2(cos02+isin/)，则：z^z2=rlr2[cos(0A+&)+

nn

isin(6]+&)]•如果令Zi=z2=•­­=zn=z,则能导出复数乘方公式：z=r(cosnd+isinnJ).请用以上知识

解决以下问题.

(1)试将z=3-写成三角形式；

(2)试应用复数乘方公式推导三倍角公式：sin33=3sin0-4sin30;cos30=4cos33-3cos3；

(3)计算:cos,。+cos4(0+120°)+cos”。一120°)的值.

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答案解析部分

1.【答案】A

【解析】【解答】解：由向量益=(1,2),b=(3,m)，可得五之=|五产=5,元.石=3+2m,

因为苍，0+母，可得小0+石)=片+小石=5+3+2血=0，解得巾=一4.

故答案为：A.

【分析】根据题意结合向量垂直的坐标表示，从而列出方程得出实数m的值.

2.【答案】D

【解析】【解答】解：2=名=9瑞曷=*一"在复平面内对应的点为&一|)，位于笫四象限.

故答案为：D.

【分析】根据复数代数形式的除法运算求z,再结合复数的几何意义判断即可.

3.【答案】A

【解析】【解答】解：易知正三角形的面积为：S=*X22=V5，

则直观图的面积为：遮乂¥=华

故答案为：A.

【分析】先求正三角形的面积，再由直观图和原图的面积比为a:4求直观图的面积即可.

4.【答案】C

【解析】【解答】解：设圆锥的底面半径为r,因为圆锥的高为3,所以圆锥母线长/=历彳=相与/，

又因为圆锥的侧面展开图是一个半四，所以m/=另/2,即/=2r,

即2r=，9+二2,解得丁=百，则I=2r=28，

故球。的表面积为S表=4山2=487r.

故答案为：C.

【分析】设出圆锥的底面半径，结合圆锥底面半径、母线及高的关系与侧面面积计算即可得其母线长，再结

合球的表面积计算公式计算即可.

5.【答案】B

【解析】【解答】解:①、直线%b异面，b、c异面,则a、c可能平行、相交或异面，故①错误；

②、易知a与。相交，设ana=P,在Q内过点P的直线I与a共面，故②错误；

③、两条相交直线确定一个平面，第三条直线与前面两条直线的交点在此平面内，故③正确；

④、设平面an平面A8C=，，因为PCa,PW平面48C,所以PE1,

同理QW故P、Q、R三点共线，故④正确.

故答案为：B.

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【分析】利用空间中直线、平面的位置关系逐项判断即可.

6.(答案】A

【解析】【解答】解：由题意可知：更正后样本的均值为元=70x50+80/60+70—9=70,

OU。

设收集的48个准确数据分别记为不/2,…,无48，

2222

则75=亲[(9-70/+(x2-70)+…+(x48-70)+(60-70)+(90-70)]

JU

=春[(%]-70)2+区—70)24—+=48-70)2+500]»

]

2222

s2=宛[(%i-70)+(x2-70)+…+(X48-70产+(80—70)4-(70-70)]

=告[Qi-70产+3-70)2+…+=48-70)2+100]<75,所以s2V75.

故答案为：A.

【分析】根据平均数、方差公式计算即可.

7.【答案】A

【解析】【解答】解：点G是△A8C的重心，贝1」40=聂8C，

因为AM==y4c所以HG=》M+/AN，

又因为MG,N三点共线，所以++/=L

则2x+y=(2x+y忌+/)=符+差+1之2高碌+1=次|起

当且仅当砥=蚤，即％=笠&丫=粤1时等号成立，

则2x+y的最小值为过|士1

故答案为：A.

【分析】利用重心的性质结合平面向量共线定理得到表+4=1,再利用基本不等式求最值即可.

8.【答案】B

【解析】【解答】解：法一：设乙84P=。，(0°<6»<60°),

则4A8P=60。一氏乙PBC=90°-(60°-6)=30。+仇

在4BAP'P,由正弦定理sin篇尸=sinl^PB,

BP6^3_

则高历=W，所以8P=12sin。，

T

在^PBC中，

CP2=RP2+RC2-2RP•RC-ccs/PRC

=144sin20+100—24Osin0cos(0+30°)

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=144sin20+100-24Osin0(cos0cos3O0-sin0sin3O°)

=144sin20+100—240sin。

=264siM。+100-12O\/3sin6>cos0

=232-12(llcos20+5V3sin20)=232-12x14sin(20+g)(其中tang=战)，

所以，当28+(p=90°时=232-12x14=64,

所以CP最小值为8km.

法二：如图，因为乙4PB=120。，

所以点P在如图所示的圆。上，

则圆。的直径为R0X车市=6，

2sinl20

由圆周角的性质可得乙4DB=180°-120°=60°,

所以4AOB=120。，/-OBA=30°.

连接。C,可得OP+CPNOC(当P为OC与圆。的交点时取等号)，

在△OBC中，OB=6,BC=10,4。8c=120。，

根据余弦定理可知。C2=624-102-2x6x10x(-1)=196,

即。。二14,所以CP的最小值为14一6=8(Am).

故答案为：B.

【分析】设乙8Ap=仇(0。<。<60。)，利用正弦定理得到8P=12sin6,在△PBC中利用余弦定理得到

CP2,再由三角恒等变换公式和三角函数的性质，从而求出进而得出C尸的最小值.

9.【答案】A,D

【解析】【解答】解：由平均数的计算公式，可得受=5+5+4+3+3*3+2+2+2+1=所以A正确；

由方程的公式，可得s2=存x[(5-3尸x2+(4-3)2+(3-3/x3+(2-3>x3+(1—3)2]=

所以标准差为JI，所以B错误；

由众数的定义，可得数据的众数为2和3,所以C错误；

将数据从小到大排序得1,2,2,2；3,3,3,4,5,5,可得i=10x85%=8.5,

所以第85百分位数为5,所以D正确.

故答案为：AD.

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【分析】根据平均数、方差、众数和百分位数的概念与计算方法，逐项判定，从而找出正确的选项.

10.【答案】A,C,D

【解析】【解答】解：A、由题意，可得p⑻=|xl+|x|=|^=',故A正确；

D…、33,331813391

B.p^=-X-+-X-=-=-fP(<AB)=-X-=-=_f

则P(m•尸⑻=另擀=称=尸(48),即4与B不相互独立,故B错误；

422323121

-=-X-+X-=---

6p((/I66636

3,

--

则PQ4)-P(C)=/xW=PG4C),6即4与C相互独3立,故C正确;

4J。

D、P(FC)=|xl+|x|=i|=1

32

则P(8)•-X-』=P(BC),即8与。相互独立，故D正确.

P(C)43乙

故答案为：ACD.

【分析】由题意，根据独立事件乘法公式计算即可判断A；根据相互独立事件定义，分别计算出P。)、

P⑻、P(AB)后,验证是否满足P(4)•P⑻=P(4B)即可判断BCD.

11.【答案】A,C

【解析】【解答】解：A、连接8D,EF,如图所示：

由正八面体4BC0EF的性质可知，EF工平面ABCD,

且相交于点0,。为80和£7邛勺中点，

因为BE=0E=8/。尸=2,所以四边形BFDE为菱形，所以BE//DF,

又因为。尸u平面40F,85仁平面49F，所以8E〃平面40凡故A正确；

B、连接AC,如图所示：

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E

则AC,8。相交于点。，

因为四边形48co为正方体，所示4CJLB。，

由A选项，同理可得四边形4EC/为菱形，故AC1EF,

又因为80CE尸=。，BD.EFaW-^BEDF,所以AC1平面8E0产，

艮|J直线8c与平面BED尸所成的角为NC80,

由题意得8。=NAB?+=2遮,AC=2V2,故80=CO=75,即=45。，故B错误；

C、由题意得，AP=CP,故只需/IP最小，

在等边三角形/IBOll当P为BE的中点时，AP±BE,此时力P最小，

且AP=b，故若点P为棱EB上的动点,则4P+CP的最小值为28，故C正确；

D、VF-ADP=^A-FDP1其中A到平面FDP的距离为A0=V2,

设菱形BFDE的面积为S,则s=IPD-EF=Ix2V2x2V2=4,ShFDP=鼻=2,

若点P为棱EB上的动点，则三棱锥F-力DP的体积为定值•企=孥，故D错误.

故答案为：AC.

【分析】由对称性可得四边形BFDE为菱形，故BE〃DF,从而得到线面平行即可判断A；作出辅助线，得到

直线8c与平面8EDF所成的角为乙CB。，求出边长，得到夹角即可判断B：AP=CP,故只需”最小，当P为

BE的中点时，AP1BE,此时4P最小，且4P=H，从而求出AP+CP的最小值即可判断C；等体积法得到

三楂锥尸-4DP的体积为定值孥即可判断D.

12.【答案】18

【解析】【解答】解：易知青年教师的比例为30%,则青年教师被抽出的人数为60x30%=1B.

故答案为：18.

【分析】根据青年教师的比例计算即可.

13.【答案】书

【解析】【解答】解：易知抛两枚骰子，共有36种结果，

因为x,y,3构成三角形的三边长，所以卜一y|V3V%+y,

当％=y，有5种情况：x=2,345,6：

当xvy（x>y的情况只需又与y互换即可，即两种情况相同）时,

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x=l,y=3；x=2,y=3,4；x=3,y=4,5；x=4,y=5,6；x=5,y=6,

共有54-2x8=21（种）情况，则明求概率为P=H=白

故答案为：令

【分析】由题意，利用列举法、结合古典概型概率公式计算即可.

14.【答案】而=鼻+与；

7716

【解析】【解答】解：如图所示：

因为。。=28。，BE=2AE,所以丽乌灰，BE=

JJ

设而=疝X,

则丽=~BD+~DP=\BC+ADA=演+A（BA-丽）

=1FC+A（BA-=^a+Ab,

设前=面,则前=丽+丽=1BA+面=1BA+灰阮-屈）

汨而+〃瓯/而）=叫辿族+逋，

DOKJ

1-A

由平面向量基本定理得，工二），解得”却共

则成=婴d+高=金+与；

以8为原点，8c所在直线为x轴，垂直于8c方向为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示:

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则B(0,0),C(3,0),D(l,0),

因为乙=30°,所以直线CE的斜率为k=tanl50°=—浮，

所以直线8的方程为：y=-^(X-3)>

设点M的坐标为g,V5一孚Q),aG(0,3)

两=(Q,百一卑a)，丽=(a-l,V5-辱a)，

22

则^?•方法=Q(Q—1)+(V5—苧a)=a2-0+3-2a+蓊2=*层-3a+3=\(a-+装’

当Q=1时，丽•丽有最小值为弃.

o10

故答案为：FP=ya4-yS；装.

【分析】利用向量的线性运算及平面向量的基本定理求解即可；

以B为原点，建立平面直角坐标系，由zECB=30。，得直线CE的斜率，求得直线CE的方程，再由点M在直线

CE上，设点M的坐标(a,b-号Q)，再根据向量数量积的坐标表示，得到关于Q的函数，最后根据一元二次函

数的最值求解即可.

15.【答案】由题意，作出图形，如图所示：

qV3

易知48=250m=0.250km,BC=250x/3m=耳km，tanzCi4S==°%0=遮，

则乙CAB=60",Z-CAD=90°+60°=150°,

即合速度的方向与水流的方向成150。的角，

设小货船的速度为西，水流速度为近，合速度为讥则访二方一访，

v22

|v]|=Jv-2v-v2+2=^6-2x6x2V3cosl50°+(2%/3)=2y[21km/h-

则小船航行速度的大小为2\/7Tkm.

【解析】【分析】由题意，作出图形，利用直角三角形结合余弦定理求解即可.

rl

16.【答案】解：(1)设4表示事件“观众甲选中3号歌手”，B表示事件“观众乙选中3号歌手“则P(/l)=-1=

”(B)=藉

•.,事件a与8相互独立，A与后相互独立

则4月表示事件“甲选中3号歌手，且乙没选中3号歌手”

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224

•••尸①月)=尸5)•PW=P(4)•口-pWl=3x5=T5

即观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率是点

(2)设C表示事件“观众丙选中3号歌手”，则P(C)=g=。

依题意，A,B,C相互独立，A,B.。相互独立，5.ABC,ABC,ABC,ABC彼此互斥

23222313333

P(X=2)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=-=x-=+-=x-=x-==

23318

P(X=3)=P(ABC)=Wx耳*耳=yg-

,、,、

•••PCX22)=P(X=2)+P(X=3)=无33+云18=云17

故“X>2”的事件的概率为累

乙J

【解析】【分析】(I)根据古典概型计算公式(一个事件的概率等于该事件包含的基本事件数除以样本空间中

所有可能的基本事件数)分别求出甲、乙选中3号歌手的概率；利用P(4g)=PQ4),P(g)求得结果；

(2)根据尸(XN2)=尸(X=2)+P(X=3),分别求解出两人选择3号歌手和三人选择3号歌手的概率，加和

得到结果.

17.【答案】(1)解：由频率分布直方图各矩形面积和为1,可得0.04+0.08+Q+0.20+0.26+Q+匕+

0.04+0.02=1,

因为0.4a=bt所以a=0.15,b=0.06)

则该市居民用水的平均数估计为：JC=0.5x0.04+1.5x0.08+2.5x0.15+3.5x0.20+4.5x0.26

+5.5x0.15+6.5x0.064-7.5x0,C4+8.5x0.02=4.07；

(2)解：由频率分布直方图可得：月均用水量不超过2吨的频率为：0.04+0.08=0.12,

则月均用水量不低于2吨的频率为：1一0.12=0.88,

即全市40万居民中月均用水量不低于2吨的人数为：40x0.88=35.2(万)；

(3)解：由频率分布直方图知月均用水量不超过6吨的频率为：0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=

0.88,

月均用水量不超过5吨的频率为：0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73,

则85%的居民每月的用水量不超过的标准》(吨)，5Vx<6,

0.73+0.15(%-5)=0.85,解得％=5.8,即标准为5.8吨.

【解析】【分析】(1)由频率分布直方图各矩形面积和为1以及04a=b列方程组求得a力的值，并由频率分

布直方图中间值作为代表，计算平均数即可；

(2)计算不低于2吨人数对应的频率，求出对应的人数即可；

(3)由频率分布直方图计算频率，可判断5Vx<6,再根据频率列出方程，求x的值即可.

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（1）由频率分布直方图可得0.04+0.08+Q+0.20+0.26+Q+b+0.04+0.02=1,

又0.4a=b,则a=0.15,b=0.06；

该市居民用水的平均数估计为：

x=0.5x0.04+1.5X0.08+2.5x0.15+3.5X0.204-4.5x0.26+5.5x0.15+6.5x0.064-7.5x0.04+

8.5x0.02=4.07；

（2）由频率分布直方图可得，

月均用水量不超过2吨的频率为：0.04+0.08=0.12,

则月均用水量不低于2吨的频率为：1-0.12=0.88,

所以全市40万居民中月均用水量不低于2吨的人数为：40X0.88=35.2（万）；

（3）由频率分布直方图知月均用水量不超过6吨的频率为：0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=

0.88,

月均用水量不超过5吨的频率为：0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73,

则85%的居民每月的用水量不超过的标准x（吨），5<x<6,

0.734-0.15（%-5）=0.85,解得x=5.8,即标准为5.8吨.

18.【答案】（1）证明：在四棱锥P—48CD中，因为PH_L平面ABCD,COu平面48c0,所以PA1CO,

又因为底面A8C0是矩形，所以

因为。<八24=4,所以CDJ■平面P40,

因为AMu平面/M。，所以CD1AM,

又因为M是PO的中点，PA=AD=4,所以4M1P0,

又因为COCPD=O,所以力ML平面PC。；

（2）解：因为底面48co是矩形，所以CO〃84则异面直线CD与8M所成角即为直线8A与直线所成的

角，

由（1）得CD_L平面P4D,则84平面P4D,

因为力Mu平面P力。，所以所以△B4M为直角三角形，

又因为M是PO的中点，PA=AD=4,所以AM=2&，

在RtaBAM中，乙即为异面直线CO与BM所成角，tan乙4BM=器=及，

即异面直线C。与所成角的正切值为企；

（3）解：取4。中点为N,连接MN,AC,如图所示：

第13页

M

在4240中，M,N分别为线段尸D,AD的中点，故MNI]PA,MN=、PA=2,

因为PA_L平面力8C0,所以MN1平面力8c0,

所以VM—4CD乌xMNx劣x40xCO=小

J乙o

由（1）得平面PCO,因为MCu平面PCD,所以AM1MC,

因为24=40=4.所以PO=4\②MO=2四，又因为=CD=2,所以MC=20,

所以S"MC另xAMxMC=2后

设点。到平面AMC的距离为/i,直线CO与平面ACM所成角为8,

84

解得h

T=后

则VD-AMC=3XhXSgMC=^M-ACD

则sin8=含=当

故直线C。与平面ACM所成角的正弦值为竽.

KJ

【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明CD_L平面PAD,证明C0_L4M,再利用线面垂直的判定

定理证明即可；

（2）根据题意可得异面直线CD与所成角即为直线BA与直线BM所成的角，利用线面垂直可证△B4M为直

角三角形，求4的正切值即可；

（3）利用等体积法求解点0到平面AMC的距离儿直线CD与平面所成角为dsin6=备，再求解直线

CD与平面力CM所成角的正弦值即可.

（1）解：・.・PA1平面48CD,COu平面力BCO,：.PA1CD,

又四边形48co是矩形，：.CD1DA,

DAdPA=A,I.CD_1_平面P40,

TAMu平面PAD,/.CD1AM,

又M是P0的中点，P4=40=4.MIPD,

\'CDnPD=0,所以4M_L平面PCD.

第14页

(2)解：•・•底面A8C0是矩形，:.CD”BA,

・••异而直线CO与所成角即为直线ZM与直线3M所成的角，

由⑴得G)上平面P40,・・・84平面PAD,

••YMu平面PAD,：.BA1AM,，△B4M为直角三角形，

又M是P0的中点，P4=4D=4,:,AM=2立,

，在中，乙18M即为异面直线CD与8M所成角，故tan"BM=骋=&,

・•・异面直线CO与8M所成角的正切值为a.

(3)解：取4。中点为N,连接MN,AC,

在△P40中，M,N分别为线段PD,4D的中点，故MN“PA,MN=&PA=2,

•IP力1平面A8C0,1.MN1平面ABC。，

11Q

^M-ACD-^xMNx^xADxCD=^

由（l）得4Ml平面PCO,・・・MCu平面PCD,：.AMLMC,

*：PA=AD=4,:・PD==2也,又AB=CD=2,:・MC=2相,

•'•S^AMC=，xAMxMC=2V6»

设点。到平面AMC的距离为九，直线CO与平面ACM所成角为仇

[R4,

则VDTMC=WXhXSfMC==不，解得：h=浜,

故sine=六=等，

所以直线CD与平面ACM所成角的正弦值为第.

19.【答案】（1）解：复数z=3—V3i»则r=\z\—V3+9=2V3,故z=2x^3（里一

2-73（cos+sin^；

(2)解：设模为1的复数为z=cosO+isinO,

第15页

则z3={cosO+isinG)=cos36+3(cos20)•(isinO')+3(cos0)•(isind)+{isinOy

=COS36+i(3cos26-sinO)-3cos6sin26—isin30

=(cos36—3cos6sin20')+i(3cos26-sinO-sin36)

=[cos30—3cos0(l—cos20)]+43(1—si^O'jsinO-sin3G]

=(4COS3G—3cos8)+i(3sin0-4sin30),

由复数乘方公式可得z3=cos30+is讥3仇

23

故s讥3。=3sin3-4sin0tcos30=4cos0—3cos9：

(3)解：cos6+cos(e+120°)+cos(6-120°)

=cos6-1cosO-y/3.1心143._

~2~sinnO—2cosO+sinOn=0n,

由于cos38=4COS30—3cos8,则4cos3。=cos30+3cos仇

13

则4cos%=cos30cos0+3cos26=亍(cos46+cos20')+5(1+cos20)

i3]

=2cos4。+2cos20+故cos%=百(cos48+4cos2。+3),

则cos4(04-120°)=i[cos(40+480°)+4cos(28+2400)+3]

1

=J[cos(4。+120°)+4cos(20-120。)+3],

o

1

cos4(6-120°)=6[cos(48-480°)+4cos(2。-2400)+3]

o

=g[cos(40-120°)+4cos(2。+120°)4-3],

故cos%+cos^CO+120°)+cos4(0-120°)

=Q(cos43+4cos28+3)+不[cos(49+120°)+4cos(2。—120°)+3]

oo

1

+6[cos(40-120°)+4cos(26+120°)+3]

1o

-