2026初中数学58种模型：44、三角形“垂心”定理的7种证法

三角形“垂心”定理的7种证法

三角形“垂心”定理的证法

1.1定理：

三角形三条高相交于一点，这点叫做三角形的垂心（该定理俗称三角形“垂心”定理）.

已知，如图（）中

1ABC,AD,BE,CFA

分别是边BC,CA,AB上的高.

E

求证:AD,BE,CF相交于一点

F

1.2预备定理:

BDC

图（1）

1.塞瓦(Ceva)定理:设D、E、F分别是ABC三边BC、CA、AB

上的点,若

AFBDCE

1,则AD,BE,CF交于一点.

FBDCEA

2.三角形“外心”定理:三角形三边的中垂线相交于一点,此点与三顶点等距,这点叫做

三角形的外心.

3.三角形“内心”定理:三角形三内角平分线交于一点,此点与三边等距,这点叫做三

角形的内心.

1.3定理的证法

1.3.1证法1

AFAC

如图（1），由已知可得，CAF∽BAE,ABD∽CBF

AEAB

BDABCEBC

，ACD∽BCE.三式相乘得：

BFCBCDAC

AFBDCEACABBCAFBDCE

1.即1.由塞瓦定理可得AD，

AEBFCDABCBACBFCDAE

BE，CF相交于一点.

A

C'B'

E

1.3.2证法2

如图（2）分别过F

A、B、C做它们所在高的

垂线，使之相交成A'B'C'.

则AB//A'B',BC//B'C'C

BD图（2）

四边形ABCB'为平行四边形

ABCB'

-1-

A'

同理，四边形ABA'C为平行四边形,ABA'C,A'CCB'

可见，CF为边A'B'的中垂线。同理可得，BE为边C'A'的中垂线，AD为边B'C'

的中垂线.AD,BE,CF为A'B'C'三边上的中垂线.由“外心”定理可知，AD、

BE、CF相交于一点.

1.3.3证法3

如图（3）连结DE，EF，FD，

则A、B、D、E四点共圆，

12.在RtABE和RtACF中，

易知23，13.A

又、、、四点共圆，

AFDCE

34，

14.可见，AD平

F

分EDF.同理可得，BE

平分DEF，CF平分

EFD.在DEF中，241

3

由“内心”定理可得，AD，C

，相交于一点

BECF.BD

图（3）

1.3.4证法4

如图（4）设AB边上的高CF与BC边上的高AD相交于H，连结BH并延长交

AC于E.

连结DF，因A、F、D、C四点共圆，

A

12又B、D、H、F四点共圆，

23，E

13在BAE和中CAF中，

可知AEBAFC900，F

BEAC，H

3

为边上的高2

BEAC.1

由此可见，高AD、BE、CF

BC

相交于一点.D

图（4）

-2-

证法

1.3.55A

如图（5）设边BC，AC上的高AD，

BE相交于H.E

连结DE，作HFAB于F。

连结CH，F

5

3H

2

1

4

B

则A、B、D、E四点共圆，DC

图（5）

12又1与3互余，2与4互余.

34又C、E、H、D四点共圆，

45，35。又5BHC1800，

3BHC1800，

C、H、F三点共线。

即AB边上的高CF经过H点。因而三条高AD、BE、CF相交于一点.

1.3.6证法6

如图（6）设BC边上的高AD与AB边上的高CF相交于H，连结BH并延长交

AC于E.建立如图所示的直角坐标系，并设A、B、C三点的坐标分别为：

A（0，a），B（b,0），C（c,0）,则

y

A(0,a)

E

F

H

B(b,0)D(0,0)C(c,0)x

图（6）

-3-

a0ab

.CFAB,,

KAB0bbKCFa

bbc

CF所在直线方程y0(xc)即y(xc).令x0,得y.

KCFaa

bc

点H坐标为H0，.

a

bc

0

ca0a

a.又.

KBH0baKAC0cc

ca

()1

KBHKACac

BEAC

即BE为AC边上的高。可见高AD、BE、CF相交于一点.

1.3.7证法7

如图（7），设边BC上的高AD与AB边上的高CF相交于H，连结BH并延长交

A

E

a

F

H

c

b

BC

D

图（7）

AC于E。

设HAa，HBb，HCc则ABba。CFABABHC0

即bac,bcac.又BCcb,且ADBC，BCH