期中复习讲义：正余弦定理解三角形【8大题型】原卷版-2025-2026学年高一数学下学期（人教A版必修第二册）

正余弦定理解三角形【8大题型】

内容导航

明♦期中考清把握命题趋势，明确备考路径

记•必备知识梳理核心脉络，扫除知识盲区

破•重难题型题型分类突破，方法技巧精讲

题型01余弦定理解三角形

题型02正弦定理解三角形

题型03面积公式的应用

题型04正余弦定理解三角形综合

题型05正余弦定理判定三角形形状

题型06正弦定理判断三角形解的个数

题型07正余弦定理的边角互化

题型08正余弦定理的应用

过•分层验收阶梯实战演练，验收复习成效

.明•期中考情.

核心考点复习目标考情规律

正余弦定理解三能根据已知条件合理选择正余弦定理：掌核心高频考题，需具备整体分析能力，根据

角形握边角互化技巧；熟练求解多解或需检验条件特征选择最优解法

的三角形

正余弦定理判定利用边角互化将条件转化为边的关系或中等难度，注意特殊三角形（等腰、直角、

三角形形状角的关系；结合三角恒等变换判断三角形等边）的判定条件，避免漏解

形状

正弦定理判断三掌握已知两边一对角时，通过比较距易错考点，需理解几何意义，结合图形分析

角形解的个数加出力、力的大小关系判断解的个数更直观

正余弦定理的边熟练将边化角（用正弦定理）或角化边贯穿所有题型，是解三角形综合题的关键步

角互化（用余弦定理）；能识别条件中的齐次式骤，需根据目标灵活选择互化方向

结构

1/14

正余弦定理的应掌握解三角形在实际问题中的应用（测基础题，注重数学建模素养，需准确理解角

用量、航海、几何图形等）：能建立数学模度术语（仰角、俯角、方向角等）

型并求解

■记•必备知识,

限知识点01余弦定理

对三角形△ABC,角A对应的边为a,角B对应的边为b,角C对应的边为c

余弦定理公式：a2=b2+c2-2bccosA；b2=c2+a2—2accos8；c2=a2+b2-2abcosC.

^+江―c2

推论:cos力=十;［一0,cos-=

2be2ab

典知识点02正弦定理

1、正弦定理的表示

abc

仕中，若角4A,C对应的边分别是a,b,c,则有

sinAs:nBsinC

若ZUBC外接圆半径为R,则有sinJ-sin5sin「R

2、正弦定理常见变形：

-sinAasinCcsinBb

Qsin8=/7sin4,tzsinC=csinA,/)sinC=csinB；

sinBbsinAa,sinCc

②a_bca+b4+。b+ca+b+c

ysinAsinBsinCsin4+sin4sinA+sinCsinB+sinCsin力+sin4+sinC'

@a:b:c=s\nA:s\nB:sinC；

3、三角形的边角关系：

由正弦定理可推导出，在任意三角形中，有“大角对大边，小角对小边”的边角关系.

〃>6o/>6。sin力>sin8ocos4<cos8

EX知识点03三角形的面积公式

1、SAABC=^absinC=gbesinA=^acsinB

2、SAABC=^=^a+b+cyr（r是三角形内切圆的半径，R是三角形外接圆的半径.）

属知识点04解三角形

1、解三角形的概念

一般地，三角形的三个角48C和它们的对边Q,瓦c叫做三角形的元素.在三角形中，已知三角形的几个

元素求其他元素的过程叫做解三角形.

2、余弦定理在解.三角形中的应用

2/14

（1）利用余弦定理求边跟角：

已知两边及它们的夹角，求第三边和其他两个角；

已知三边，求三角形的三个角.

（2）判断三角形形状

将已知的边角关系全部化为纯边的关系式（利用余弦定理将角换成边），然后进行代数恒等变形。

若a2+b2=c2,则90。（勾股定理逆定理）。

若小+炉>。2,则“<90°（锐角）。

若a2+/〈c2,则，C>90°（钝角）。

（3）求三角形边长或角的范围

结合余弦定理与基本不等式（如〃+c2z2bc）或二次函数性质，确定边或角的取值范围。

3、正弦定理在解三角形中的应用

（1）已知两角和任意一边，求其他的边和角，推荐使用正弦定理

（2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，推荐使用正弦定理

（3）在解三角形题口中，遇到题目条件含有边角的时候，若含有边的齐次式或者sin的齐次式，可以考虑

用正弦定理。

三角形中的射影定理：在中，a=bcosC+ccosB；b=acosC+ccosA；c=bcosA+acosB

湾知识点05三角形解的个数

在△/IBC中，己知”，方和/时，求B角的时，解的情况如下:

若A为锐角时：

若A为直角或者钝角时:

RX知识点06测量问题

3/14

1、测量距离问题：解三角形法测距的关键是将实际问题转化为三角形模型，选择可测数据作为已知量，通

过正弦定理、余弦定理及三角函数的直角边关系逐步求出未知距离。画出清晰图形、选择合适的初始三角

形是解题的突破11。

（1）两点间不可达又不可视，如图，A、B两点间有障碍物，但分别可以到达力

和8,并能测量力C、BC及

方法：已知两边及夹角（AC、BC、ZC）,用余弦定理直接求AB。

①在△4C0中由CD及匕AOC求AC或力。。

②在△BC。或△中继续用正弦定理或余弦定理最终求力从

2、测量高度问题：利用水平面（或基线）、视线构成的三角形，通过测显角度和可及距离，计算出不可直

接测量的高度。基本关系（在直角三角形中）：高度=水平距离Xta〃（仰角），其中仰角是观测点与目标顶

端连线和水平线的夹角。

（1）底部可达：利用直角三角形解

（2）底部不可达（仰角在不同位置测两次）：设两次测量点与塔底共线，测得仰a、。及两次距离差（或直

接距离）,建立方程求高。

4/14

测量高度问题关键：画图、标已知、选三角、列方程。

3、测量角度问题

（1）仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角

（2）方位角是从指北方向线顺时针转到目标方向线的角

（3）方向角：相对于某一正方向的水平角.例：北偏东*即由指北方向顺时针旋转a到达目标方向.

（4）坡角与坡度：坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数；坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比.坡

度又称为坡比

（5）测量角度的核心思想是：

将待测角置于一个或一系列三角形中，通过测量足够数量的边和其他角，利用三角形内角和定理、正弦定

理、余弦定理反推出目标角。

.破•重难题型.

②题型一余弦定理解三角形

俑「题「£「后

［利用余弦定理来解三角形的情况：

i1、已知三边，求任意角。

5/14

...................................................................................................................r

i2、已知两边和其中一边的对角，可用余弦定理。

：3、三角形中有分线的情况，可以考虑用两次余弦定理来处理。:

:4、余弦定理跟面积公式结合去解三角形的三边。：

L________.....-------........-------.............---------------....----------------............_______________________.......................____...........------------.......____............--------------------------------I

【典例1］（25-26高一下•全国•课后作业）已知钝角三角形48C的三边。=攵，b=k+2,c=k+4,则左

的取值范围为.

【典例2】（多选）（25-26高一下•全国・单元测试）在△/3C中，已知/+/+°4=24/+/）,则角。

的可能值为（）

A.45°B.60°C.135°D.120°

【变式1］（2026高一•全国•专题练习）△/SC中，48=2上，BCf,4=45°,/B为△力BC中最大

角，。为力。上一点，AD=^DC,则40=（）

A.2GB.30

C.旧D.2石

【变式2】（25-26高一下•全国•课后作业）在锐角三角形44c口，。、b、c分别为内角/、5、C所对的

边，若a+c=5,8=（且a>c,b=布,求荏•就的值.

3题型二正弦定理解三角形

善i金曜除

正弦定理解三角形的情况：

1、已知两角和任意一边，求其他的边和角，推荐使用正弦定理

2、已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，推荐使用正弦定理

3、在解三角形题目中，遇到题目条件含有边角的时候，若含有边的齐次式或者s讥的齐次式，可以考虑用正

弦定理。

35

【典例1］（25-26高一下•全国•单元测试）在中，已知8sN=cos5=—,b=3,则。=

【典例2］（25-26高一下•全国•课堂例题）在中，若彳=60"，〃=3,则.，=（）

sinA+sinn+sinC

A.巫B,巫C.迹D.2百

333

【变式1】（多选）（25-26高一下•全国・单元测试）在UHC中，sinC+sin（4-8）=3sin2B.若。=不

6/14

则，等于（）

0

A.*B.1C.2D.3

【变式2】（2026高一下•全国•专题练习）在△力8c中，已知8=60。，最大边与最小边的比为正1,则三

2

角形的最大角为（）

A.60°B.75°C.90°D.115°

包题型三面积公式的应用

三角形面积公式的应用情况：

1、已知两边及夹角，直接用S"BC=，加»。=??csin/l=；acsinB

2、已知三边，可先用余弦定理求出角，然后再用面积公式求面积

3、最值同题：利用面积公式转化为函数，用均值不等式或三角函数求最值°

【典例1］（25-26高一上•浙江湖州,期末）在△月4c中，内角儿B,C的对边分别为。，儿。，若4=24,

c=26=2,则△ABC的面积为（）

A.6B.1C.—D.v

22

【典例2】（2026高一下•全国•专题练习）已知。的内角为力，B,C满足

sin（B+C-⑷+sin（4+C-4）+sin（4+8-C）=：,且MBC的面积为2,则LABC外接圆面积等于

【变式1】（2026高一•全国•专题练习）设△48。的内角力，B,。所对的边分别为。，b,c,记其面积

4SV

为S、周长为L,——-=a2co3B+abcosA,b=3,则:的最大值为.

tan4L

【变式2】（2026高一•全国•专题练习）已知也力鸟。的外接圆半径为R,角力，B,。所对的边分别为

32

b,c,^asin5cosC+-csinC=—,则ZUBC面积的最大值是.

2R

秀题型四正余弦定理解三角形综合

看商T面席

1、边角互化：正弦定理将边化为角的正弦，或将角的正弦化为边，常用于齐次式、比例式。余弦定理将边

与角余弦联系，适合已知三边或两边及夹角。

2、方程联立：面积公式常与正余弦定理联立，形成关于边或角的方程组。

3、多解判断：已知两边及对角时，用正弦定理先求角，注意可能对应一解、两解或无解。

7/14

【典例1】（2026高一•全国•专题练习）在△力8c中，4。为4c上的中线，48=1,AD=5,乙4BC=45°,

则£in/4OC=,AC=.

【典例2］（25-26高一上•黑龙江哈尔滨・期末）△48C所对的三边为4,"C6+C2=4/,则驾宴的最

sin5sinC

小值.

【变式1】（25-26高一下•全国•课堂例题）在锐角ZUBC中，b2-a2=ae,则」■;一一二的取值范围是

tanAtanB

（）

A.（L+8）BJi,割c."）D.（a,明

【变式2】（2026•河南南阳•模拟预测）已知△ZBC的内角48,C的对边分别为。,4忆若

」—+—!—=,s\nA+s\nC=—,则（）

sin"tanZ?2ac

A.75B.2C.3D.4

3题型五正余弦定理判定三角形形状

誉僮|茂T福

将已知的边角关系转化为统一的边或角的关系，再判断形状。

1、观察条件是边的关系、角的关系还是混合。条件为边的等式，尝试余弦定理化角。条件含正弦/余弦函数，

尝试正弦定理化边，或直接三角变形。化为最简的边等式或角等式。

T根据化简结果判断：

（1）出现边相等的时候，可判断等腰或者等边。

（2）若小+块二/,则90°（勾股定理逆定理）。

（3）若。2+炉＞。2,则ZCV90。（锐角）。

（4）若。2+炉＜。2,则乙。＞90。（钝角）。

（典例1］（25-26高一上,全国•课后作业）若△相。的三个内角1,8,C满足cos2J-8s28=2si/C,则LABC

是（）

A.直角三角形B.等边三角形

C.等腰三角形D.锐角三角形

【典例2】（多选）（25・26高一下•陕西西安•月考）己知△48C的内角4民。的对边分别为。也c,则能判

定△彳8c一定是等腰三角形的为（）

,A

A.i/cosZ?=/＞cosJB.cosBcosC=sin2—

2

C.a—b=c（cosB-cosJ）D.sin2A+sin2B=2sin/Isin^sinC

8/14

【变式1】（多选）（25-26高一下•全国•月考）在△ABC中，若（。一ccos〃）sin4=（8-ccos4）siM,则△ABC

的形状为（）（多选题）

A.等腰三角形B.等边三角形

C.直角三角形D.钝角三角形

【变式2］（25・26高一下•全国•课堂例题）在△/8C中,已知

（sin2J+sin25）（acosB-Z>cosJ）=（sin2/I-sin2^）（acosB+Z>cosJ）,plijLABC的形状为.

3题型六正弦定理判断三角形解的个数

答「题T祈福

在&ABC中，已知a,b和4时，求B角的时，解的情况如下：

若耳为锐角时：根据a与加出4、b之间关系判断解的个数。

若4为钝角或直角时：根据。与匕之间关系判断解的个数。

【典例1】（多选）（25-26高一下•全国•单元测试）根据下列情况，判断三角形解的情况，其中错误的是

（）

A.。=8,6=16,4=30。，有两解B.b=18,c=2O,4=60。，有一解

C.a=5,c=2,4=90。，无解D.a=3O,人=25,4=150。，有一解

【典例2】（25-26高一上•上海宝山・期末）在△力3C中，角力、B、C所对的边分别为。、b、。，已知

a=g,△=要使该三角形有唯一解，则力的取值范围为________.

O

【变式1】（2025高一下•江苏南京•专题练习）在△48。中，已知8c=2,B=g若该三角形有两个解,

则,4。的取值范围是—.

【变式2】（25-26高一下•全国•课堂例题）己知一三角形中a=2石，b=6,4=30。，判断三角形是否有

解，若有解，解该三角形.

3题型七正余弦定理的边角互化

善商i谓i福

正余弦定理实现三角形的边角互化，可以用来化简题目中的条件。

（1）利用正弦定理进行边角互化，需要对等式中的每项进行统i变换。

（2）利用余弦定理，化角为边。

【典例1］（2026,湖南永州•二模）在△力8C中，内角4B,C所对的边分别为a,b,c,且满足

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b-2a+4asiif且上=0,则（）

2

A.角C为锐角B.2a2+2b2-c2=0

C.2tanJ+tanC=0D.tanB的最大值为立

3

【典例2】（多选）（25・26高三上•湖北•期中）△"（:中，角力，8，。所对的边分别为。，b,。且皿=四二

cosBb

下列说法正确的是（）

A.B=-B.若6=2且△N2C有唯一解，则0＜。42

4

C.若sinC=&sin4，则/）=。D.若6=2,则△力8C面积最大值为1+&

【变式1］（多选）（2026•江西•一模）在△/出C中，三个内角4氏。所对的边分别为。力,c,若

sin2J+sin25=l+cos2C»cosBcosC=-,△ABC的面积为1,则（）

A.be=2B.C.cosC=cos（A-B）D.bcosC+ccosB=正

【变式2】（多选）（2026•辽宁抚顺•一模）在△月8C中，角4瓦。的对边分别为dAce/BC外接圆的半径

为2,且acos8+/）cos%=c（4cos4-l）,则下列结论正确的是（）

A.A=^

6

B.a=25/3

C.△月6c面积的最大值为37g

D.若b-c=2,角力的平分线交8c于点。，则力。=生巨

3

3题型八正余弦定理的应用

善询i痴后..............................................

正余弦定理的应用在测量高度、距离、角度问题上，构造三角形，应用解三角形的思想来求解。

......................................................................................-............!

【典例1】（25-26高一下•上海浦东新•月考）10世纪阿拉伯天文学家阿尔•库希设计出一种力案，通过两个

观察者异地同时观测同一颗流星来测定流星的高度.如图，设有两个观察者在地球上力、8两地同时观察到

一颗流星S,仰角分别是a和/（M4,A/8表示当地的地平线）.设a=30'，P=45,益=500km，地球

的半径R=6371km,则流星的高度约为km（精确到1km）.

10/14

s

【典例2】（2026高一•全国•专题练习）如图，两座相距60m的建筑物48、的高度分别为20m、50m,

BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角ZCAD的大小为.

【变式1】（25・26高一卜,全国理兀测试）如图，某城市有一条公路从止西方40通过市中心。后转向北偏

东角方向的.位于该市的某大学〃与市中心。的距离OM=305km,且乙40M=0.现要修

筑一条铁路在。力上设一站力，在08上设一站5,铁路在48部分为直线段，且经过大学其中

tana=2,cos/?=—^=,AO=15km.

⑴求大学M与站力的距离4%;

⑵求铁路川？段的长度.

【变式2】（25・26高一下•全国•课后作'业）如图所示，一辆汽车从力市出发沿海岸一条直公路以100km/h

的速度向东匀速行驶，汽车开动时，在A市南偏东方向距A市500km且与海岸距离为300kin的海上B处有

一快艇与汽车同时出发，要把一件材料交送给这辆汽车的司机.

（1）快艇至少以多大的速度行驶才能把材料送到司机手中？

11/14

（2）求快艇以最小速度行驶时的行驶方向与48所成的角；

（3）若快艇每小时最快行驶75km,快艇应如何行驶才能尽快把材料交到司机手中，最快需要多长时间？

.过•分层验收.

期中基础通关练（测试时间：10分钟）

A4-z*

1.（25・26高一下•全国•课后作业j若1+cosW:一则三角形的形状为（）

A.直角三角形B.等腰三角形或直角三角形

C.正三角形D.等腰直角三角形

2.（25-26高一下•全国•课后作业j设△力8c的内角力，B,C的对边分别为。，b,c,若。=2,

c=2G,cos力=—，则力=（）

2

A.2或4B.3C.5D.2a

3.（25-26高一下•全国•课堂例题）已知△力4c的三边满足a:6:c=5:U:13,则ZUBC（）

A.一定是锐角三角形B.一定是直角三角形

C.一定是钝角三角形D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形

4.（25-26高一上•北京东城•期末）在△力8。中，若力=120°,AB=5,BC=7,则4C等于（）

A.8B.6C.4D.3

5.（多选）（25-26高一下•全国•单元测试）已知△力8c的面积为6且6=2,c=2,则4等于（）

A.30。B.150°C.60°D.120°

期中重难突破练（测试时间：10分钟）

1.（2026高一•全国•专题练习）已知△力8c的面积S=〃sin4,角4的平分线4。交3C于。，AD

a=6,则b=

2.（2026•河南•模拟预测）在△力BC中，AB=4,BC=5,4C=JIT，。为边力C上一点，且平分

NXBC,则8。=（）

&20GR后「914

A.-------B.-1J.一

9323

3.（25-26高二上•安徽滁州•期末）已知的三个内角48,C所对的边分别为=△/出C的面

12/14

积为6，角4的平分线交边4c于点。，且BD=2DC,则。为（）

A.72B.V10C.7l4D.4

4.（2026高一下•全国•专题练习）在非直角△/BC中，设角4B,C的对边分别为a,b,c,已知

asin/l+bsin8-csinC=4bsin8cosC,C。是角C的内角平分线，且CD=b,则cos。等于（）

13八21

A.-B.-C.-D.—

8436

5.（2026高一下•福建莆田•专题练习）在△XBC中，AB=AC,。为ZC中点，BD=6,则△