内蒙古赤峰某中学2025-2026学年高二年级上册第一次月考数学试题（解析版）

赤峰二高二上学期第一次月考

数学试题

一、单选题

1.已知向量a=(TLi),方=(2，％1),且％,那么归卜()

A.2B.76C.回D.5

【答案】B

【解析】

【分析】由向量垂直的坐标表示求出〃，再计算模长可得.

【详解】因为"工5,所以-2+上+1=0,即x=l,

所以M=J4+1+1=6.

故选：B.

2.设;leR,则”;1=一3”是"直线3x+(/i-l)y=l与直线/Lx+(l-4)y=2平行”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据直线平行求得a=-3或4=1,再结合包含关系分析充分、必要条件.

［详解】若直线3戈+(2-l)y=1与直线+(1-My=2平行，

则3(1-/1)=/1(丸—1),解得4=-3或2=1,

当;1=一3时，直线3/-4y=l与直线3%-4)，二-2平行，符合题意；

当4=1时，直线x=1与直线x=2平行，符合题意；

3

标上所述：之「一3或；1=1.

显然｛一3｝是｛-3,1｝的真子集,

所以“丸=-3”是“直线3x+(4-l)y=1与直线芥+(1-A)y=2平行”的充分不必要条件.

故选:A.

3.某运动员每次投掷飞镖命中靶心的概率为40%,现采用随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖恰有

一次命中靶心的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中靶心，

5,6,7,8,9,0表示未命中靶心；再以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20

组随机数：

0293122585696834314573932875563587301107

据此估计，该运动员两次掷镖恰有一次命中靶心的概率为（）

A.0.50B.0.45C.0.40D.0.35

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意分析出两次投掷飞镖恰有一次正中靶心的基本事件数有9个，总的事件数有20个，根据

古典概型概率计算公式计算即可.

【详解】因为1，2,3,4表示命中靶心，5,6,7,8,9,。表示未命中靶心，

所以两次投掷飞镖恰有一次正中靶心表示：随机数组中有且只有一个数为1,2,3,4中的一个；

它们分别是02,93,25,45,73,93,28,35,30共9个,

即满足条件的基本事件数有9个，总的事件数有20个，

9

所以该运动员两次掷镖恰有一次命中靶心的概率为二=0.45.

20

故选：B.

_2___

4.如图，空间四边形。48C中，OA=a，OB=b，沃=，,点M在。4上，且两=一），点、N为BC

中点，则丽等于（）

1-1-1-2-1T1-

A.—a+—b---cB.a十一。十一c

222322

2-2;[-D.二办马上

C.—a+-b—c

332332

【答案】B

【解析】

【分析】利用空间向量的加法及减法运算法则进行线性运算，逐步表示即可得到结果.

【详解】•・•点N为8c中点,

:.ON=OB+BN=OB+-BC=OB+—(OC-OB)=—OB^-OC=-b+-c,

222222

____________2__i1771i

：.MN=ON-OM=ON--OA=-b+-c--a=--a+-b+-c

3223322

故选：B.

5.已知空间向量方=（2,—2,—1）,B=（3,0,l）,则向量〃在向量日上的投影向量是（）

10105]_12_工］

79~~9)3一丁‘一力

【答案】A

【解析】

【分析】根据投影向量的定义即可求得向量6在向量△上的投影向量.

【详解】由题意有：向量6在向量1上的投影向量是:

ab2x3+(—2)x0+(—1)x1吟(2,-2,-1)=愕10二)

ra=192,9)

~a22+(-2)2+(-I)29

故选:A.

6.已知直线/过点（0,4）,且与直线小-），+4=0及x轴围成等腰三角形，则/的方程为（）

A.j3x+y-4=0或4-3y+12=0B.瓜-3），+12=0或31-，3），+4>/3=0

C.>/3x—y+3=0D.6x+y-3=0

【答案】A

【解析】

【分析】根据直线所过点、倾斜角以及等腰三角形等知识求得正确答案.

①当直线/为x=0时，直线/、直线JJx—y+4=0与x轴围成的三角形是VAOB,不是等腰三角形,

所以直线/的斜率存在.

②当直线/的斜率为负时，设9关于）'轴的对称点为C（3，0l，当直线/过AC两点时，

A8=4CqA8C是等腰三角形,

JT4

又乙45C=；,所以VA3C为军边三角形，满足题意，因为04=4,。。=方，所以此时直线/的方程

3V3

为6r+),-4=0.

③当直线/的斜率为正时，设直线/与工轴负半轴相交于点。，则=由直线AB的斜率为G，倾

TTTT

斜角为；，可得44。8二:，

36

所以直线4£＞，也即直线/的斜率为立，对应方程为百x-3y+12=0.

3

综上，直线/的方程为6x+y—4=0或®-3），+12=（）.

故选:A.

7.已知直线/：x—y+l=0,从点4（一2,3）射出的光线经直线/反射后经过点8（2,4）,则光线从A到8

的路程为（）

A.2B.3C.5D.6

【答案】C

【解析】

【分析】求出A关于直线/的对称点H的坐标，再求得48的长即得.

m-2〃+3i_

-----------+1=0,

2m—2,

【详解】设点4（—2,3）关于直线！的对称点为4（加川，则有《2解得＜

n=-l,

m+2

因为光线从A到B的路程即\AB\的长，而|A3|=5.所以光线从A到B的路程为5.

故选:C.

=(4,-1,0),而二(0,3,0),AS=(-3,1,-4),则三棱锥S—48。的体积

为（）

A.5B.6C.8D.9

【答案】C

【解析】

【分析】先求出平面的法向量正，再利用向量求出点S到平面A3。的距离，然后利用向量求出点3

到直线A。的距离，进而求出△A3。的面积，最后利用三楂锥的体积公式即可.

【详解】设平面的法向量为沅=（x,yz）,

ABw=4x-y=0/、

则＜_,则沆=（0,0,1）,

ADni=3y=0

|屈•司|-4|

则点S到平面ABD的距离为d=L——।=1—1=4,

网1

UUUUUU"

又484。二一3，4）=3，

则点小到直线AO的距离为［AB-

则Sjm=gx4x3=6,

故三棱锥S-A8。的体积为;5八,加・〃=；乂6乂4=8.

JJ

故选：C

二、多选题

9.已知直线/：工-3），+1=0,则下列说法正确的是（）

A.直线/在x轴上的截距为1

B.直线/与直线4：工一3），+2=0之间的距离为典

10

C.直线/关于x-），=0对称的直线方程是3x—y+l=0

D,直线/与直线4：3x+y+l=0垂直

【答案】BD

【解析】

【分析】令），=。可判断A；利用平行线之间的距离公式可判断B；求出直线的斜率可判断C；由方程判断

两直线的位置关系可判断D

【详解】令），=（）,工=一1，故直线/在x轴上的截距为一1，A错误；

直线/与直线4：区―3），+2=0之间的距离“二二叵,B正确：

产2一2,10

>/1+3

直线/斜率为且与x-y=o交于点

11）

故直线/关于/-y=0对称的直线斜率为3且经过点（5,5）方程为3工一），-1=0,C错误；

直线/斜率为J,直线。斜率为-3,两直线的斜率乘积为一1，两直线垂直，D正确.

3-

故选：BD.

10.先后两次掷一枚质地均匀的骰子，A表示事件“两次掷的点数之和是4”，4表示事件“第二次掷出的点数

是偶数”，。表示事件“两次掷出的点数相同”，/）表示事件“至少出现一个奇数点”，则（）

_，、3

A.A与C互斥B.P（D）=-

C.P（BD）=：D.B与C相互独立

【答案】BCD

【解析】

【分析】列出两次出现的点数组a，y）,由互斥事件与对立事件的定义可判断A选项；由对立事件和独立事

件的概率公式可判断BCD选项.

【详解】先后两次掷一枚质地均匀的侬子一,两次出现的点数组。，y）如下表所示:

7二次

第戈、123456

1(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)

2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)

3(31)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)

4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)

5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)

6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)

共有6x6=36种,

C表示事件“两次掷出的点数相同”，仁表示事件“两次掷出的点数不同”，其中包括（L3）,即4与3不互

斥，故A错误;

“至少出现一个奇数点''的对立事件是“两次掷的点数都是偶数”

_aa2

P(D)=l-P(D)=l--x-=-,故B正确;

oI

表示事件“第一次为奇数，第二次为偶数”共9种：P（BD）=—=-,故C正确;

v7364

1Q1

9兽件”第二次掷出的点数是偶数”共18种；P（B）=—=-

362

C事件“两次掷出的点数相同”共6种：P（C）=2=，

366

表示事件“两次为相同的偶数”共3种：P（5C）=3=I，

'73612

即P（5C）=P（3），（C）,8与C相互独立，故D正确.

故选：BCD

11.在校长为4的正方体ABC。—A与GR中，点E，尸分别是楂8C,CG的中点，则（)

A.D.EA.DFB.AR〃平面DEF

4

C.平面BCR与平面DEF相交D.点4到平面DEF的距离为不

【答案】BCD

【解析】

【分析】如图建立空间直角坐标系。利用空间垂直向量的坐标表示判断A；利用线面平行的向量

法判断B；利用面面平行的向量法判断C；利用向量法求出点到平面的距离公式判断D.

【详解】如图，建立空间直角坐标系。一不2,

则。(0,0,0),44,0,0),8(4,4,0),C(0,4,0),A,(4,0,4),

4(4,4,4),C,(0,4,4),D,(0,0,4),E(2,4,0),F(0,4,2),

A：丽=(0,4,2),屏=(2,4,T),有灰屏=8#0,

则DF与RE不垂直，故A错误;

B：的=«0,4),DF=(0,4,2),DE=(2,4,0),

设平面OE尸的法向量为〃(x,y,z),

fnDF=4y+2z=0

则：___,令丁二-1,得x=2,z=2,

n-DE=2x+4^=0

所以3=(2,T2),得/A£＞；=0,所以AR〃平面。£/，故B正确；

C：南=(T,0,4),西=(T,-4,4),由8选项可知平面。£尸的法向量/；=(2,-1,2),

设平面3GA的法向量分别为］(%,y,4)，

n-BC=-4x+4Z]=0

}1令％=1,得4=[y=0,

n-BQ=-4X[—4y+4z1=0

所以瓦=(1,0,1),得7/吊不成立，所以平面BCQ与平面。/相交，故C正确:

D：由丽二(4,4,0),平面OE/的法向量3=(2,-1,2),

DB-n4

则点5到平面的距离为d=—r：—=-,故D正确.

/?|3

故选：BCD.

三、填空题

12.两条直线《：x-y+3=0与:2x+)，=0的交点到直线x+)，-3=0的距离为

【答案】五

【解析】

【分析】求出直线人(的交点坐标，再利用点到直线距离公式计算得解.

x-y+3=0[x=-l

【详解】由:八，解得一，则直线3,交于点(T2),

2x+y=0[y=2

所以点(—1,2)到直线x+y—3=0距离d=|一：：2:31二正

Vi2+12

故答案为：V2

13.“青年大学习”是共青团中央发起的青年学习行动，每期视频学习过程中一般有两个问题需要点击回

答.某期学习中假设同学小华答对第一、二个问题的概率分别为22，且两题是否答对互不影响.则小华

53

恰好答对一个问题的概率为

7

【答案】-

【解析】

【分析】根据相互独立事件概率计算公式，计算出所求概率.

【详解】小华恰好答对一个题有两种情况，第一个问题答对第二个问题答错，或者第一个问题答错第二个

问胭答对.

2(1W17

故恰好答对一个问题的概率为三、1--+1--x-=—.

7

故答案为：—.

14.在正方体A8CO—AAG。中，以。为圆心，正方体楂长为半径，分别在正方形A8C。和正方形

6AC内画圆，点M为弧AC上任一点，点N为弧上任一点，点M,N到平面AQRA的距离相等,

【答案】21立或三叵

44

【解析】

【分析】设正方体棱长为1,建系。一个z,由题意可设“(〃?、〃,()),N(0,〃,〃)，则所求问题转化成向量

QM,QN.夹角的余弦值，即〃2,根据已知求〃即可.

【详解】设正方体棱长为1,建系D-xyz,曰题意设M(〃z,小O),N(O.〃,p),则

DM=(/??,n,0)廊=(0,〃,〃)，璃=(1,1,1),

:丽^和力耳都单位向量，

/.tn2+n2=n2+p2=\.

7TB*4不西OM-DB[L加十〃

'：DM,DB,=—cosDM,DB,=i.门——=-=——

।40丽力瓦V32，

DN•DB】_〃+〃_>/2

・・・DN,函=%,cosDN,DB；二

旦

m+n=2'

/?+/?=旦

2

m=p.

又〃，+/=/+“2=1,

逐土后

n-

4

丽•丽2R七五'_2±>/3

/.cos/MDN=cosDM,DN=

|DM||D?7|74广k

答案：巨立或土史

15.下面有两个关于“袋了•中装有红、白两种颜色的相同小球，从袋中无放回地取球”的游戏规则，这两个

游戏规则公平吗？为什么？

游戏1游戏2

2个红球和2个白球3个红球和1个白球

取1个球，再取1个球取1个球，再取1个球

取出的两个球同色一甲胜取出的两个球同色一甲胜

取出的两个球不同色一乙胜取出的两个球不同色一乙胜

【答案】规则是公平的.

【解析】

【分析】本试题主要是考查了古典概型概率的求解，利用游戏规则，我们只需要判定甲胜的概率和乙胜的

概率的大小即可.概率不一样就说明不公平.分别求解游戏1和游戏2中的胜出的概率值，我们可以判断

游戏1不公平，游戏2公平.

【详解】解：游戏1：从2个红球和2个白球中，取1个球，再取1个球，基本事件共有12个.

”取出的两个球同色”包含的基本事件有4个.

所以P（甲胜）=-,P（乙胜）=[--=-

333

因此规则是不公平的.

游戏2：从3个红球和I个白球中，取I个球，再取1个球，基本事件共有12个.

“取出的两个球同色”包含的基本事件有6个.

所以P（甲胜）=；,P（乙胜）=1--=-

222

因此规则是公平的.

16.已知直线/：b一y+l+2A=（）（AER）.

（I）证明：直线/过定点；

（2）若直线/不经过第四象限，求A的取值范围；

（3）若直线/交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点4O为坐标原点，设△HOB的面积为S,求S的最

小值及此时直线/的方程.

【答案】（1）证明见解析；（2）[0,+8）；（3）S的最小值为4,直线/的方程为工一2），+4=（）.

【解析】

【分析】（1）直线方程化为y=A（x+2）+1,可以得出直线/总过定点；

（2）考虑直线的斜率及在y轴上的截距建立不等式求解；

（3）利用直线在坐标轴上的截距表示出三角形的面积，利用均宜不等式求最值，确定等号成立条件即可

求出直线方程.

【详解】（1）证明：

直线/的方程可化为y=2（x+2）+1,故无论女取何值，直线/总过定点（一2,I）.

（2）直线，的方程为），=履+2Z+1,则直线/在），轴上的截距为踪+1,要使直线/不经过第四象限，则

仅NO

\…八解得Q0，故A的取值范围是[0,+8）.

1+2Z20

1

（3）依题意，直线/在x轴上的截距为———,在），轴上的截距为1+2匕

K

（1+2攵八1

：.A\———,0l,B（0,1+2公.

]+2k

又-------<0且1+2攵>0,

k

：.k>0.

,।।14-2k

故S=；|O4||OB|=5x--------x(1+2&)4^+-J-+4|>lx(4+2」4kJ)=4,

2k2)2Vk

当且仅当42=，,即4=3时，取等号.

故S的最小值为4,此时直线/的方程为A—2y+4=0.

17.新高考实行“3+1+2”选科模式，其中“3”为必考科目，语文、数学、外语所有学生必考：“1”为首选科

目，从物理、历史中选择一科：“2”为再选科目，从化学、生物学、地理、思想政治中任选两科.某大学的

某专业要求首选科目为物理，再选科目中化学、生物学至少选一科.

（I）从所有选科组合中随机选一种组合，并且每种组合被选到的可能性相等，求所选组合符合该大学某

专业报考条件的概率；

（2）甲、乙两位同学独立进行选科，求两人中至少有一人符合该大学某专业报考条件的概率.

【答案】（1）之

12

⑵至

144

【解析】

【分析】（1）利用列举法和古典概型的概率公式可求出结果；

（2）根据对立事件概率公式和独立事件的乘法公式可求出结果.

【小问1详解】

依题意，样本空间为。=｛物化生，物化地，物化政，物生地，物生政，物地政，史化生，史化地，史化

政，史生地，史生政，史地政）,"（0=12,

记事件A=”所选组合符合该大学某专业报考条件"，则人=｛物化生，物化地，物化政，物生地，物生

政｝,〃（A）=5,所以P（A）=^^=W.

〃（Q）12

【小问2详解】

记事件一“甲符合该大学某专业报考条件”，事件-“乙符合该大学某专业报考条件”，事件”=

“甲、乙两人中至少有一人符合该大学某专业报考条件”，

由⑴可知,P（Mj=P（%）=，

P（M）=1-P网西=1-P网状西=1一？卷=需.

18.立德中学积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了

“刍薨”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图I,E,£G分别是边长

为4的正方形三边A及8,的中点，先沿着虚线段AG将等腰直角三角形的裁掉，再将剩下的五边

形48CFG沿着线段砂折起，连接A8、CG就得到了一个“刍卷”（如图2）.

图1图2

（1）若。是四边形EBB对角线的交点，求证：40//平面GC77；

2

（2）若一面角A—E/一6的大小为1冗，求直线A8与平面GCf所成角的正弦值；

（3）在（2）的条件下，在棱AG上是否存在点P,使得平面£的与平面Gb所成的二面角的正切值为

述?若存在，求出点，的位置，若不存在，请说明理由.

q

【答案】（1）证明见解析；

⑵立：

7

（3）存在，当P与A点重合时，平面EBP与平面GC/所成的二面角的正切值为第.

3

【解析】

【分析】（1）取C〃中点〃，连接OM,GM,由题意可得四边形人OMG为平行四边形，再由线面平行的

判断定理即可得证：

（2）以E为坐标原点，丽，瓯分别为x轴，），轴正向，建立空间直角坐标系利用空间向量求解

即可；

（3）假设存在满足条件的点尸，设4户=/14（5=（0,240）（0《义工1）,利用空间向量求出义的值即可.

【小问1详解】

取C77中点用，连接。M,GM,

又因为0是矩形EBC/对角线的交点,

所以QM〃七F且。M='£7"

2

所以AG//QM且AG=OM,

则四边形AQWG为平行四边形，

所以AO//MG且AO=MG,

又因AOz平面Gb,GMu平面GCF,

所以AO//平面Gb；

【小问2详解】

因为在图1中所"LAEE/LBE,且所=4,AE=8E=2,

在图2中上述关系依然成立，

2

所以NAE8即为二面角4—石尸一3的平面角，则44班=一兀，

3

以E为坐标原点，丽,前分别为工轴，）'轴正向，垂直平面石BC尸向上方向为z轴,

建立空间直角坐标系石一与之，如图所示：

则8(2,0,0),尸(0,4,0),。(2,4,0),

xA=AE-cos-=-\,yA=0,zA=iAEsin-=>/3,

33

所以4—1,0,JJ),

又因为AG=2,AG//平面BC庄，所以G(—1,2,6),

所以A*=(3,0,-6),FC=(^0,0),GC=(3,2,一百)，

设平面GFC的一个法向量3=(x,)，,2)，

f—八八fx=0

FC-n=2x=0_

则—L，则有《百，

GCh=3x+2y-yl3z=0[y=：Tz

取G=(0,6,2),

所以|cos〈4反/；>|=雪J=—,

\AB\-\n\7

所以直线AB与平面GCF所成角的正弦值为立；

7

【小问3详解】

假设存在满足条件的点「，

设/=丸而=（0,24,0）（0<A<\）,所以P（—1,226）,

则丽=（-1,2%6）,胪=卜3,2%6），

设平面EBP的一个法向量为m=（%,券,z0）,

z

i）i•EP=-x0+24yo+^o=。

m-BP=-3x0+2丸），0+V3z0=0

=°

所以，24y0,取〃?=（0,，3,-2%）,

L西

由（2）知平面GR7的一个法向量3=（0,6,2）,

mn3-42

l^ll«lJ7（4%十3），

要使平面EBP与平面GC尸所成的二面角的正切值为迈,

3

则只需8$2〈尻/；〉=2,即(44-3)23

77(4万+3)7

整理得4分一244=0,解得4=0或4=6（舍去），

所以当尸与A点重合时，平面£肿与平面GCr所成的二面角的正切值为也.

19.在空间直角坐标系Oxyz中，己知向量〃=（a,0,c）（其中。、氏C不同时为0）,点发（与，No，Zo）.若

直线/以日为方向向量且经过点E，则直线/的标准方程可表示为二也=上子=三亘（时"0）：若

abc

平面。以及为法向量且经过点6,则平面。的点法式方程可表示为

6z（x-A0）+/7（y-y0）+c（z-z0）=0,将其整理为一般式方程为at+8y+cz-d=0,其中

J=av0+byQ+cz0.

x—1）+2x—2y+l

（l）已知直线4的方程为访=q—=-z,直线,2的方程为三一=W=z-5,求直线4与4所成

角的余弦值；

（2）若直线4：U=），=一卜一1）与直线/2：一（X一1）=?=得都在平面a内，求平面a的i般方

程；

（3）已知斜三棱柱4BC-AGG中,侧面二阴斜所在平面》经过三点P（4,0,0）,<2（3,L-1）,

”（-1,5,2）,侧面BCC田所在平面△的一般式方程为x+2），+z+4=0,侧面ACQA所在