2025年山东省济宁某校中考数学预测卷（附答案解析）

2025年山东省济宁学院附中中考数学预测试卷

一、选择题（每小题3分，共30分.下列各题只有一个正确选项）

1.（3分）下列实数中，无理数是（）

「2

A.V2B.-C.0D.-3

2.（3分）根据中国乘用车协会的统计数据，2025年第一季度，我国新能源汽车销量为307.5万辆，其中

“307.5万”用科学记数法表示为（）

A.0.3075X107B.3.075X106

C.30.75X105D.307.5X104

3.（3分）下列运算正确的是（）

A.2a2+3a3=5a5B.a2*a5=a6

C.（-（72）3=-a6D.aA-ra2=a6

4.（3分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（）

5.（3分）如图，在平面直角坐标系中，B'C是由△48C绕点尸旋转得到，则点P的坐标为（）

第1页（共25页）

A.（1,0）B.（0,1）C.（1,1）D.（1,2）

6.（3分）如图，三角形纸片/8C中，/历IC=90°,AB=2,BC=V13,沿过点力的直线将纸片折叠，

使点4落在边8c上的点。处；再折叠纸片，使点。与点。重合，若折痕与AC的交点为£,则力上的

长是（）

B卜、

AEC

7.（3分）我国古代著作《四元玉鉴》中记载“买椽多少”问题，其大意为：现请人代买一批椽，这批株

的价钱为6210文.如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于•株椽的

价钱.根据题意可列方程3x（x-1）=6210,其中x表示（）

A.剩余椽的数量B.这批椽的数量

C.剩余椽的运费D.每株椽的价钱

8.（3分）如图，力是反比例函数y=名的图象上一点，力轴于8,点。在x轴上，若△4EC面积为2,

9.（3分）若关于x的不等式组上<小的整数解共有4个，则用的取值范围是（）

（7-2x<l

A.6<w<7B.6&mV7C.6WmW7D.6<〃？W7

1（）.（3分）如图，矩形力4C。中，48=2,AD=3,点七、厂分别为力。、0C边上的点，且M=2,点G

为环的中点，点、P为BC上一动点、,则R1+PG的最小值是（）

第2页（共25页）

C.5D.6

二、填空题（每小题3分，共15分,只要求填写最后结果）

11.（3分）因式分解：Z？-8.t=.

Y—Q3

12.（3分）若关于x的分式方程一；一一二1无解，则〃=___________.

x-1x

13.（3分）如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂的长为40cm,灯罩8c的长为3（）”?，底座厚度为

2c〃?，灯臂与底座构成的/区4。=60°.使用发现，光线最佳时，灯罩4C与水平线所成的角为30°,

此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是cm.

14.（3分）已知一次函数y=*x+l的图象与y轴相交于点4,以。山为边作等边△。小与，点与在第

一象限内，过点S作y轴的平行线与该一次函数的图象交于点心，与x轴交于点以。血为边作

等边△。1小处（点处在点夕］的右边），以同样的方式依次作等边△。》3夕3，等边△。3幺4以,…，则点

15.（3分）如图，点E是△力8C的内心，4E的延长线和△/8C的外接圆相交于点。，与8。相交于点G,

则下列结论：①N助。=NC4O；②若NA4c=60°,则/8EC=120°；③BD=DE；④若点G为

8C的中点，则8G_LGO,其中一定正确的序号是.

第3页（共25页）

三、解答题（共75分.要有必要的解答过程）

16.（9分）⑴计算：（i）-1-V27-s-3tan30°+|V3-2|；

（2）解一元二次方程：x2-4.r-7=0.

17.（9分）作图题：请用圆规和直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹.

已知：△[4C及，C边上一点。.

求作：使OO与边4C相切，点。为切点，且圆心。到N84C两边的距离相等.

18（9分）百度推出了“文心一言”4聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”4聊天机器人

（以下简称乙款）.有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取

20份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：

A：60VxW70,B：70<x<80,C：80VxW90,D：90VxW100）,

下面给出了部分信息：

甲款评分数据中“满意”的数据：64,70,75,76,78,78,85,85,85,85,86,89,90,90,94,

95,98,98,99,100.

乙款评分数据中C组包含的所有数据：84,86,87,87,87,88,90,90.

甲、乙款评分统计表：

设备平均数中位数众数

甲8685.5b

乙86a87

第4页（共25页）

根据以上信息，解答下列问题：

(1)上述图表中a=,b=,m=.

(2)在此次测验中，有280人对甲款进行评分、300人对乙款进行评分.请通过计算，估计其中对甲、

乙两款聊天机器人非常满意(90<xC100)的用户总人数.

(3)DeepSeek(简称内款)推出后引发广泛讨论.现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自

随机选择其中一款进行体验测评.请用列表法或树状图法，求两人都选择同款聊天机器人的概率.

乙款聊天机器人的评分扇形统计图

19.(9分)如图，直线y=h+6与双曲线、=?。<0)相交于/(-3,I),B两点,与x轴相交于点C(-

4,0).

(1)分别求一次函数与反比例函数的解析式；

(2)连接04OB,求△408的面积；

(3)直接写出当xVO时，关于x的不等式kx+bV系的解笑.

20.(9分)如图，在中，ZJCZ?=90",NA4C的平分线交，C于点O,以O为圆心，OC为半

径画OO.

(I)求证：48是。。的切线；

(2)若力8=10,tanB=1求的半径.

第5页(共25页)

c

o

AB

21.（9分）贝壳粘贴画作为一种工艺品，它巧妙的将人与海结合起来，无不显示着人们欣赏美的情趣和想

象力.小颖是一位贝壳粘贴画的爱好者，她和朋友第一次用60（）元购买了若干力种贝壳粘贴画，第二

次又用600元购买了若T6种贝壳粘贴而.已知6种贝壳粘贴画的单价比4种贝壳粘贴两高山•半，

且第二次购买的B种贝壳粘贴画的数量比第一次购买的A种贝壳粘贴画少2幅.

（1）求力，月两种贝壳粘贴画的单价各是多少元？

（2）某艺术品收藏协会计划团购48两种贝壳粘贴画共20幅，且8种粘贴画的数量不低于4种粘贴

画的数量，和供应商商定后达成一致，4种贝壳粘贴画每幅降价10元，8种贝壳粘贴画在原价的基础

上优惠10%,那么应该怎样购买花费最少，最少费用是多少元.

22.（9分）已知矩形力8c。中，AB=BC=4,ZM=90°.

M

图1图2图3

（1）的一条直角边经过点C,另一条直角边与交于点P.

①如图1,当直角顶点M落在力〃的中点时，月P的长为；

②如图2,当直角顶点M在线段44上移动时，直角边M尸与4。始终交于点P.设《“长为x,力尸长

为"请你求出y与x之间的关系式，并直接写出PO的最小值；

（2）如图3,是矩形48CO的外接圆，点M是弧48的中点，点尸是上任意一点（尸与M不

重合），连接MP，过点M作血尸的垂线交直线PC于点〃.请直接写出的度数及尸口的最大值.

23.（12分）如图，在平面直角坐标系xQp中，抛物线y=位v+c的顶点为交x轴于点力（-1,0）

和点8.点。（3,4）是抛物线上一点.

（1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标：

（2）当1WXW5时，求二次函数y=-W+bx+e的最大值与最小值的差：

（3）若点P是x轴上方抛物线上的点（不与点儿B,。重合），设点。的横坐标为〃，过点P作尸0

第6页（共25页）

〃y轴，交直线4。于点。.当线段P0的长随〃的增大而增大时，请直接写出〃的取值范围.

第7页（共25页）

2025年山东省济宁学院附中中考数学预测试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题3分，共30分.下列各题只有一个正确选项）

1.（3分）下列实数中，无理数是（）

l2

A.V2B.-C.0D.-3

2

【解答】解：鱼是无理数：鼻是分数，属于有理数：0,-3是整数，属于有理数：

故选：A.

2.（3分）根据中国乘用车协会的统计数据，2025年第•季度，我国新能源汽车销量为307.5万辆，其中

“307.5万”用科学记数法表示为（）

A.0.3075X107B.3.075X106

C.30.75X105D.307.5X104

【解答】解：307.5万=3075000=3.075X106.

故选：B.

3.（3分）下列运算正确的是（）

A.2a2+3a3=5a5B.a2*a3=a6

2426

C.（-a）3=”6D.a^a=a

【解答】解：人两者不是同类项，不能合并，故选项不符合题意：

B、计算结果是故选项不符合题意；

C、（-a2）3=-小，计算正确，故选项符合题意：

D、计算结果是“2,故选项不符合题意；

故选：C.

4.（3分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（）

第8页（共25页）

A.B.

【解答】解：观察三视图可知，8选项中的几何体与题干三视图一致，符合题意.

故选：B.

5.（3分）如图，在平面直角坐标系中，"C是由△48C绕点尸旋转得到，则点尸的坐标为（）

1)C.(1,1)D.(1,2)

【解答】解：分别作线段44,8夕的垂直平分线，相交于点P,

则B'C是由△48C绕点尸逆时针旋转90°得到,

・•・点尸的坐标为（1,1）.

故选：C.

6.（3分）如图，三角形纸片月中，Z^C=90°,AB=2,EC=g,沿过点力的直线将纸片折叠,

使点8落在边8c上的点。处；再折叠纸片，使点。与点。重合，若折痕与4c的交点为E,则力七的

长是（）

第9页（共25页）

Bn

AEC

【解答】解：由折看的性质得：AB=AD=2,ED=EC,/ADB=/B,NEDC=NC,

■:NB4C=90°,

・・・N4+NC=90°,

；・NADB+/EDC=90°,

AZJDE=90°,

在Rt△力AC中，由勾股定理得：AC=^BC2-AB2=J(V13)2-22=3,

i^AE=x,则CE=EO=3-x,

在1中，由勾股定理得：AD2+ED2=AE2,

即22+(3-x)2=v2,

解得：％=圣

故选：C.

7.(3分)我国古代著作《四元玉鉴》中记载“买椽多少”问理，其大意为：现诗人代买一批椽，这批株

的价钱为6210文.如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的

价钱.根据题意可列方程3x(x-1)=6210,其中x表示()

A.剩余椽的数量B.这批椽的数量

C.剩余椽的运费D.每株椽的价钱

【解答】解：设这批椽的数量为x,则每株椽的价格为3(x-1),

依题意得：3x(A-1)=6210.

故x表示这批橡的数量，

所以只有选项4正确，符合题意，

故选：B.

8.(3分)如图，力是反比例函数y=［的图象上一点，釉于8,点。在x轴上，若面积为2,

则k的值为()

第10页(共25页)

【解答】解：连接。儿

•・Z8_Ly轴，

，48〃x轴，

S^AOB=S^ABC=2.

又•・•点A在反比例函数尸2的图象上，

.因

•­=2.

又•・,〃>（）,

；.k=4.

故选：D.

9.（3分）若关于x的不等式组上〈小的整数解共有4个，则机的取值范围是（）

t7-2x<1

A.6<w<7B.6W/nV7C.6W机W7D.6<w<7

【解答】解：由7-2AW1得，Q3,

'：x<m,

故原不等式组的解集为：3WxV/〃，

•・•不等式组的正整数解有4个，

・••其整数解应为：3、4、5、6,

••・〃？的取值范围是6〈小W7.

第11页（共25页）

故选：D.

10.(3分)如图，矩形力8CZ)中，月8=2,AD=3,点、E、尸分别为X。、DC边上的点，且4=2,点G

为上少的中点，点尸为4c上一动点，则以+PG的最小值是()

A.3B.4C.5D.6

【解答】解：如图，四边形力BCO是矩形，连接。G,

：・NB/iD=NADC=90°

•；EF=2,点G为EF的中点,

・・・QG=1,

作4关于8c的对称点,，连接，D,交BC于P,当点,P,G,。共线时，以+PG的值最小,

最小值为力'G的长；

，：AB=2,AD=3,

：,AAf=4,

在直角三角形力，。中，由勾股定理得：/1D=V42+32=5,

G=A'D-DG=5-1=4,

・・・R1+PG的最小值为4；

故选：B.

二、填空题(每小题3分，共15分.只要求填写最后结果)

11.(3分)因式分解：2^3-8x=2r(x+2)(x-2).

【解答】解：2t3-Sx=2x(X2-4)=2X(X+2)(X-2).

故答案为：2v(x+2)(x-2).

第12页(共25页)

r-（I3

12.（3分）若关于x的分式方程一---=1无解，则a=1或-2.

x-1x

【解答】解：方程两边都乘x（x-1）得，x（X-。）-3（x-1）=x（x-1）,

整理得，（。+2）x=3,

当整式方程无解时，。+2=0即。=・2,

当分式方程无解时：①x=（）时，。无解，

②人=1a=1,

所以a=l或-2时，原方程无解.

故答案为：1或-2.

13.（3分）如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂48的长为40c”，灯罩8C的长为30cm,底座厚度为

2cm,灯臂与底座构成的N8/D=60°.使用发现，光线最佳时，灯罩8C与水平线所成的角为30°,

此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是（17+20百）cm.

【解答】解：过点8作8M_LCO于点BF工AD于点F,

则四边形q是矩形，

:・MD=BF,

在RtZXCMA中，BC=30cm,NCBM=30°,

/.CM=BCsin300=30x|=15(cm),

在Rl△力心中，"=/8sin60'=40x=2(h/3(cm),

:・MD=BF=20Wcm,

；.CD=CM+DM=(15+2073)(C/M),

:・CE=CD+DE=(17+20V3)(cw),

即灯罩顶端C到桌面的高度CE是(17+20V3)cm,

故答案为：(17+20百).

第13页（共25页）

14.（3分）已知一次函数y=^x+l的图象与y轴相交于点出，以。山为边作等边△。小小，点的在第

象限内，过点61作y轴的平行线与该次函数的图象交丁点，2,与x轴交丁点。，以CM2为边作

等边△。加历（点比在点的右边），以同样的方式依次作等边△。乂3心，等边△。加以，…，则点

4025的纵坐标为_弓）2。24_.

y

/oGc?x

【解答】解：由题知，

将x=0代入y=苧x+1得，

尸1,

所以点出的纵坐标为1.

因为△。力|3|是等边三角形，

所以点S的横坐标为噂，

将x=*代入y=+1得，

3

产2，

所以点出的纵坐标为|.

927

同理可得，点43的纵坐标为；点44的纵坐标为工，…,

48

所以点Alt的纵坐标可表示为（力T.

当〃=2025时，

点42025的纵坐标为（，严4.

第14页（共25页）

故答案为：4）2。24

15.（3分）如图，点E是△48C的内心，4E的延长线和△48C的外接圆相交于点。，与8c相交于点G,

则下列结论：①N比1。=/。。；②若N84C=60°,则/8EC=120°；③BD=DE；④若点G为

8C的中点，则8G_LGO,其中一定正确的序号是①②③④.

【解答】解：①•・•£是△力8c的内心,

平分NH4C,

:.NBAD=NCAD,故结论①正确；

②如图，连接8E,CE,

D

丁后是△力8C的内心，

11

:・/EBC=》ABC,/ECB=RACB,

•・・N8力C=60°,

AZJ5C+ZJC5=180°-ZBAC=\800-60°=120°,

・・・N8EC=180°-QEBC+/ECB)=180°-\(ZJ5C+ZJC5)=120°,故结论②正确;

第15页（共25页）

・•・/ABE=/CBE,

,//DBC=ZDAC=/BAD,

，/DBC+/EBC=/EBA+/EAB,

:・NDBE=NDEB,

:.DB=DE,故结论③正确；

©■:/BAD=/CAD,

：,BD=DC,

:.BD=DC,ODLBC,

•・•点G为8C的中点,

・・・G一定在OO上，

:・NBGD=90°,

；.BG工GD,故结论④正确.

综上所述，一定正确的结论为①②③④，

故答案为：①②③④.

三、解答题(共75分.要有必要的解答过程)

16.(9分)⑴计算：(i)-1-V27-3tan30°4-|V3-2|；

(2)解一元二次方程：X2-4.r-7=0.

【解答】解：⑴(芬T一啰+3.30。+液一2|

=2-3+(3x+2-V3

=2-3^73+2-V3

=2-百+2-国

=4-2V3：

(2)4x-7=0,

x2-4x=7,

x2-4x+4=7+4,

(x-2)2=u,

x-2=±V1T,

解得勺=ar+2,xj=~vn+2.

17.(9分)作图题：请用圆规和直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹.

第16页（共25页）

已知：△48C及8C边上一点。.

求作：OO,使。。与边8。相切，点。为切点，且圆心。到N84。两边的距离相等.

18.（9分）百度推出了“文心一言”4聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”4聊天机器人

（以下简称乙款）.有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取

20份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：

At60cxW70,B：70Vx<80,C：80Vx<90,D：90<x<100）,

下面给出了部分信息：

甲款评分数据中“满意”的数据：64,70,75,76,78,78.85,85,85,85,86,89,90,90,94,

95,98,98,99,100.

乙款评分数据中。组包含的所有数据：84,86,87,87,87,88,90,90.

甲、乙款评分统计表；

设备平均数中位数众数

甲8685.5b

乙86a87

根据以上信息，解答下列问题:

(1)上述图表中86.5，b=85,m=20

第17页（共25页）

（2）在此次测验中，有280大对甲款进行评分、300人对乙款进行评分.请通过计算，估计其中对甲、

乙两款聊天机器人非常满意（90Vx/100）的用户总人数.

（3）DeepSeek（简称丙款）推出后引发广泛讨论.现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自

随机选择其中一款进行体验测评.请用列表法或树状图法，求两人都选择同款聊天机器人的概率.

乙款聊天机器人的评分扇形统计图

30%\

/<。%\\B\

【解答】解：（1）•・•甲款评分数据中“满意”的数据中85出现的次数最多，

・•・众数6=85,

乙款软件48组人数和为20X（10%+30%）=8（人），

乙款软件的中位数为第10、11个数据的平均数，而这2个数据分别为86、87,

•/.X.Jia-86+87°,.

..中位数a=-2—=86.5,

20—8—8

乙款软件评分在。组人数所占百分比为F—xl00%=20%,即加=20,

故答案为：86.5、85、20：

（2）280x^+300X20%=144（名），

答：估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意（90<xW100）的用户总人数为144名;

（3）画树状图为：

甲乙丙甲乙丙甲乙丙

共有9种等可能的结果数，其中两人都选择同款聊天机器人的结果为3种，

所以两人都选择同款聊天机器人的概率为g=7-

19.（9分）如图，直线y=h+6与双曲线y=£QV0）相交于4（-3,I）,B两点,与x轴相交于点C（-

4,0).

第18页（共25页）

（1）分别求一次函数与反比例函数的解析式；

（2）连接04,OB,求的面积；

（3）直接写出当工<0时，关于x的不等式kx+bV2的解集.

【解答】解：（1）将力（-3,1）,C（-4,0）代入），=履+6,

珥［-3k+6=1

^l-4k+b=0,

解得:忆：，

・•・一次函数的解析式为y=x+4,

将力（-3,1）代入y=?（%U0）,

得〃?=-3,

・•・反比例的解析式为尸二G<0）；

人

（2）直线AC的解析式为y=x+4与y轴交点D,

工点。的坐标为（0,4）,

叱二二解幅;3%二1,

X

工点8的坐标为（7,3）,

/\AOB的面积=SA4OD-S^3OD=^x4x3-^x4xl=4；

（3）观察图象，当xVO时，关于x的不等式"+的解集是xV-3或-IVxVO.

20.（9分）如图，在Rt△48C中，/ACB=90：NA4c的平分线交8。于点。，以。为圆心，0C为半

径画O。.

（1）求证：力8是。。的切线；

4

（2）若力8=10,tanB=求。0的半径.

第19页（共25页）

c

o

AB

【解答】（1）证明：过点。作于点

VZ/4CB=9O°,04平分NC4B,

：.ZCAO=ZDAO,

在△力CO和△/1DO中，

Z.CAO=Z-DAO

Z-ACO=Z-ADO=90%

OA=OA

/.AACO^AADO（AAS）,

：.OC=OD,AD=AC,

•・・oc是半径，

・・・0。是半径，

又・・・。。_1_力8,

・・・力8是。。的切线；

（2）解：在RtZ\4C8中，ZACB=90°,

・・，口44c

・ta】R=3=^

・•・设力C=4x,BC=3x,

•：AC1\BC2=AD2.

・•・16/2+9/=100,

解得M=2,X2=-2（舍去）,

:・BC=6,AC=8,

由（1）得△力CO之△力Z）。，

/.AC=AD=8,

VJB=10,

第20页（共25页）

BD=AB-AD=2,

设。。的半径为r，则OC=OD=r,

在RtZXOQA中，NODB=9Q0,

*：OB2=OD2+BD2,

/.（6-r）2=a+4,

解得r=

8

所以OO的半径为？

21.（9分）贝壳粘贴画作为一种工艺品，它巧妙的将人与海结合起来，无不显示着人们欣赏美的情趣和想

象力.小颖是一位贝壳粘贴画的爱好者，她和朋友第一次用600元购买了若干4种贝壳粘贴画，第二

次又用600元购买了若干B种贝壳粘贴而.已知8种贝壳粘贴画的单价比力种贝壳粘贴画高出一半，

且第二次购买的B种贝壳粘贴画的数量比第一次购买的A种贝壳粘贴画少2幅.

（1）求48两种贝壳粘贴画的单价各是多少元？

（2）某艺术品收藏协会计划团购44两种贝壳粘贴画共20幅，且4种粘贴画的数量不低于1种粘贴

画的数量，和供应商商定后达成一致，力种贝壳粘贴画每幅降价10元，4种贝壳粘贴画在原价的基础

上优惠10%,那么应该怎样购买花费最少，最少费用是多少元.

【解答】解：（1）设力贝壳粘贴画的单价是x元，则8两种贝壳粘贴画的单价为1.5X元，

两边同乘以L5x得：600+3》=600X1.5,

解得：x=100,

经检验，x=100是原分式方程的解，

/.1.5x=150,

答：A,8两种贝壳粘贴画的单价分别是100元，150元；

<2）设力贝壳粘贴画买a幅，则〃种贝壳粘贴画买（2（）a）幅，总价为y元,

则：y=9（）a+135（2（）-a）=-45a+2700,

•・・aW20-a,

—10,

•・•-45<0,

・•・当a=10时，y有最小值，为-45X10+2700=2250（元），

所以购买力，/两种贝壳粘贴数量都为10幅时，费用最少，为2250元.

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22.（9分）已知矩形45。。中，AB=473,8c=4,zM=90°.

图1图2图3

（1）NM的一条直角边经过点C,另一条直角边与力。交于点P.

①如图1,当直角顶点M落在力4的中点时，力户的长为3：

②如图2,当直角顶点.M在线段上移动时，直角边与力。始终交于点P.设4M长为小4P长

为y,请你求出j，与工之间的关系式，并直接写出尸。的最小值；

（2）如图3,OO是矩形48CD的外接圆，点M是弧力4的中点，点户是OO上任意一点（P与"不

重合），连接MP,过点M作A"的垂线交直线PC于点〃.请直接写出NMP”的度数及均/的最大值.

【解答】（1）解：①•・•四边形力8c。是矩形，

/.ZA=ZB=90a,

又〈NPMC=90：

AZAMP=90J-/BMC=NBCM,

:AAMPsABCM,

,AMBC

"'~AP=嬴'

又•・・AB=4g,M为45中点,

：.AM=MB=2百，

.2遮4

：，~AP=2^

：.AP=3；

故答案为：3；

②设/IM长为x,NP长为歹，则8M=46一x,

'：4AMPs丛BCM,

tAMBC

''~AP=嬴'

.x4

Ay=4VT^-