直线与平面平行（第1课时）教案

第八章立体几何初步

8.5.2直线与平面平行(直线与平面平行的判断)

一、教学目标

1.直观感知直线与平面的平行,能初步理解直线和平面平行的判定定理;

2.能运用直线和平面平行的判定定理进行简单应用；

3.通过对直线与平面平行判定定理的学习，培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象等数学

素养.

二、教学重难点

1.直线与平面平行的判定定理的探索过程;

2.直线与平面平行的判定定理的应用.

三、教学过程：

(1)创设情景

请大家观察教室，注意到门扇的两边是平行的，当门扇绕着一边转动时，另一边与墙面

有公共点吗？此时门扇转动的一边与墙面平行吗？

学生回答，教师点拨

(2)新知探究

问题1:经过平面口外一点可以作多少条直线与「平行？如何判别直线与二平行？

学生回答(无数条)，教师点拨,从而提出本节课所学内容.

(3)新知建构

直线与平面平行的判定定理：

如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.

a<zct

baaf=>a//a

用符号可表示为：a//b；图示为:

练习：如图，在正方体AECD——A1B1C1D1六个表面中，与AB平行的平面有—

【答案】平面ACi、平面DiC

(4)数学运用

例1,如图，空间四边形A3CD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.

求证：（1）EH〃平面BCD；

⑵BD〃平面EFGH.

【答案】证明见解析

【解析】（DTEH为△ABD的中位线，.・.EH〃BD.

•••EHQ平面BCD,BDu平面BCD,

，EH〃平面BCD.

（2）VBD/7EH,BW平面EFGH,EHc平面EFGH,

，BD〃平面EFGH.

变式训练1:如图所示，在三棱柱ABC-ABG中，AC=BC,点D是AB的中点,

求证：B3〃平面CAP.

【解析】连接AG,设AGGAC=E,则E为AG的中点，又D为AB的中点，・・.DE〃BCi

YDEu平面A、DC,BCD平面ADC,

・・,BG〃平面ADC.

例2,如图，在四面体A-4CO中，M是的中点，P是的中点，点。在线段AC

上，且4Q=3QC求证：PQ〃平面3CO.

C

【答案】证明见解析

【解析】如下图所示，取8。的中点。，在线段C。上取点F,使得DF=3FC,连接。P、

OF、FQ.

A0DFI

QAQ=3QC,•.•全=*=3,.•.Q/7/A。，且（2尸二^人。

•・・O、户分别为3。、BM的中点、，：.OP//AD,ROP=-DM.

2

•・•”为A。的中点，...OP=，A。.

4

:.OP〃QF且OP=QF,四边形OPQF是平行四边形，.•.PQ〃OF.

22S平面8。，OEu平面38,...尸。〃平面BCD.

变式训练：已知有公共边人8的两个全等的矩形A8C。和ABE/不同在一个平面内，P,Q分

别是对角线4，B。上的点，且AP=。。.求证：P。〃平面C8E。

【答案】证明见解析

【解析】如图，作PM〃AB交BE于点M,作QN〃AB交BC于点N,连接MM,则四〃QN,粤=

AD

EPQN_BQ

EA*CD=BD，

VEA=BD,AP=DQ,，EP=BQ.

XVAB=CD,・・・PM〃QN,

・•・四边形PMNQ是平行四边形，・・・PQ〃MN.

又・・・PQa平面CBE,MNu平面CBE,

・・.PQ〃平面CBE.

四、小结:

直线与平面平行的判定定理:

如果平面外•条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.

a（za

bua>=>a//ct

用符号可表示为：U//b

图示为:

A级必备知识基础练

L［探究点一］有以下四个说法，其中正确的说法是（）

①若直线与平面没有公共点，则直线与平面平行；

②若直线与平面内的任意一条直线不相交，则直线与平面平

行；

③若直线与平面内的无数条直线不相交,则直线与平面平行；

④若平面外的直线与平面内的一条直线平行,则直线与平面

不相交

A.①②B.①②③

C.①③④D.①②④

2」探究点二］已知直线/〃平面8点PW平面出那么过点P且

平行于直线I的直线（）

A.有无数条，仅有一条在平面a内

B.只有一条，且不在平面a内

C有无数条，均不在平面。内

D.只有一条，且在平面a内

3.［探究点一］如果两直线4〃。,且〃〃%则b与a的位置关系

是（）

A.相交B.h//a

CbuaD.b//a或bua

4.（多选题）［探究点一］如图，在正方体ABCD-AiBiGDi

中,M,N,P分别是CIDI,BC,AI£>I的中点，下列四个结论正确的

有（）

A.AP与CM是异面直线

B.AP,CA/QQi相交于一点

C.MN〃BD\

D.MN〃平面BB\D\D

5」探究点一］如图，在五面体FE-ABCD中,四边形CDEF为矩

形,M,N分别是BF,BC的中点，则MN与CF的位置关系

是,MN与平面ADE的位置关系是.

AB

6［探究点一］如图，在正方体ABCD^BiC^中£尸分别是棱

BC,CiDi的中点，则石尸与平面BDDB的位置关系

是.

茴：

AB

7」探究点三］如图,A3是圆。的直径，点C是圆。上异于A,B

的点,P为平面ABC外一点，邑F分别是PA.PC的中点.记平面

/与平面A3C的交线为/,试判断直线/与平面玄。的位置

关系,并加以证明.

8」探究点三］如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯

形/8〃。。/3=4,。。=2,点加在棱PD上.

（1）求证:CO〃平面PAB;

PM

⑵若尸8〃平面MAC,求薪的值.

c级学科素养创新练

9.（多选题）如图,在下列四个正方体中AB为正方体的两个顶

点、,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中，直线AB与

平面MNQ平行的是（）

10.（多选题）如图，在四棱锥P-ABCD中,MN分别为ACPC上

的点，且〃平面山。,则（）

A.MN//PD

B.MN〃平面PAB

C.MN//AD

D.MN//PA

11.如图，在底面边长为8cm,高为6cm的正三棱柱

ABC-A\BxC\中，若。为棱48的中点，则过8C和。的截面面

积等于cm2.

12.如图,在二棱柱八片。/血。1中，点E/分别是棱CG,RRi上

的点，点M是线段AC上的动点,EC=2FB=2.若M3〃平面4EE

试判断点M在何位置.

c级学科素养创新练

13.如图，已知三棱柱ABC-A\B\Cx中乃是BC上的动点Q是

AD

AAi上的动点，且£二蛆45〃平面DBC

⑴若石是的中点，则m的值为

(2)若E是BC上靠近B的三等分点，则m的值为

14.如图所示,四边形ABCD为梯形,A6〃CRCQ=2A优M为线

段PC上一点.在棱PC上是否存在点历,使得PA//平面MBD?

若存在，请确定点M的位置;若不存在,请说明理由.

参考答案

1.D③中若直线在平面内，虽与平面内的无数条直线不相交，但直线与平面不平行，故③

不正确,®(②④正确.

2.D过直线/与点P的平面有且只有一个，记该平面为夕.

因为平面a与尸相交于点P,所以平面a马B有唯——条交线，设为。，又/〃a,所以/〃&

因为过点P平行于直线/的直线只有一条,所以选D.

3.D由/?,且a//a,知b与a平行或Z?UQ.

4.

BD选项A中，如图，连接PMACAG,因为点M,P分别是C\D\A\D｝的中点，多面体

ABCD-A\BXC\D\是正方体，所以MP〃4G/C〃AiG,即MP//AC.

因为M*AC,所以AP与CM是同一平面内的相交直线，选项A错误；

选项B中,由选项A知4P与CM相交，设交点为凡则平面平面GCOOi,

又平面AAODi与平面GCOOi相交于所以点”在DD\上，

所以AP,CM,。。相交于一点，选项B正确；

选项C中，如图，连接AC与BD交于点O,连接ON0D,由正方体性质易知,0是3。的中

因为N是8C的中点，所以0N〃CD,ON=2CD.

因为D\M〃DCQ'MNDC,所以ON〃D\MQN=D\M、

故四边形0NMD\是平行四边形,易知选项C错误；

选项D中，因为MN//DiO,MNQ平面BSO|Q,O"u平面所以历N〃平面BBDD,

选项D正确.

故选BD.

5.平行平行因为M,N分别是BF.BC的中点，

所以MN〃CE又四边形COE77为矩形，所以C尸〃。E,所以MN//DE.

又MNQ平面ADEQEu平面4。£所以MN〃平面ADE.

6.平行

取DiBi的中点M连接a则FMJ2ByCi.

，四边形尸M8E是平行四边形.・・・E尸〃8M.〈BMu平面BDDB,EFQ平面BDD向,:・EF

〃平面BDDyBi.

7解直线/〃平面布C证明如下：

因为E,F分别是PA.PC中点，所以EF//AC.又£7也平面A3C,且ACu平面/WC所以EF

〃平面ABC,而EFu平面BEF,且平面8E/TI平面A8C=/,所以EF///.因为总平面PACEFa

平面附C,所以/〃平面PAC.

8.(1)证明因为CO〃A8,CDQ平面以反A8u平面办8,所以C。〃平面PAB.

⑵解连接BD交AC于点0,连接0M,因为P8〃平面MAC,且PBu平面P8O,平面PBDC

平面MAC=M0,

所以PB//MO.

PM01

所以△OOMs△O8P,所以“°叫

OB_AB

因为。。〃/\及易得4。。06/\4。8,则°°CD=2.

PM

故芯=2.

9.BCD对

于A,如图,0为底面对角饯.的交点，可得A8〃。。，又0QA平面MNQ=Q、所以直线A8与平

面MNQ不平行;对于B,由于/W〃MQ,结合线面平行的判定定理可知AA与平面MNQ平

行;对于C,由于A8〃MQ结合线面平行的判定定理可知A8与平面MNQ平行;对于D,由

于A8〃NQ,结合线面平行的判定定理可知A8与平而MNQ平行.故选BCD.

10.BD〈MN〃平面RlD,MNu平面B4C,平面以CCI立面PAD=PAy：,MN//PA.

•・•以u平面臣氏MNQ平面PAB,

・・・MN〃平面故选BD.

11.24'月

过

点。作OE〃囱G,交AG于点E,连接CE,则四边形BCED即为过8C和点D的横面,

因为。为棱的中点.。石〃囱C,所以E为4G中点,

所以。石是的中位线，

所以DE=2B\C\=4cm.

又因为BiG〃BC,所以DE〃BC,

所以四边形BCED是梯形；

过点。作。以L8C于点F,

)62+42-(^)2代

则DF=72=4(cm),所以截面BCED的面积为

1

S=2x(4+8)x4V，f3=24V,<3(cnr).

12.

解在平面ACGAi中，过点M作MN〃A4,交AE于点N,连接NE又A4|〃88,所以MN//

B凡即M,B,F,N四点共面.因为M8〃平面AEEMBu平面MBFN,平面MBFNC平面

AEF=FN,所以MB//FN,所以西边形MBFN是平行四边形.因为FB=1,所以MN=1,又

EC=2,MN〃ECM以MN是△4EC的中位线，所以点M是AC的中点.

13.(1)!(2)2

1

⑴如图，取BiC的中点G.连接EGQG,则EG二BBi,EG〃BB\.

•・・AO〃B3i,・・・AO〃EG可得AREG确定一个平面，设此平面为a.

•・・A£〃平面Q