2026年高考数学第一轮复习讲义：第九章 第3节一元线性回归模型及其应用（附答案）

§9.3一元线性回归模型及其应用

（分值：80分）

知识过关

一、单项选择题（每小题5分，共20分）

I.下列两个变量中，成正相关的两个变量是（）

A.汽车自身的重量与行驶每公里的耗油量

B.正方形的面积与边长

C.花费在体育活动上的时间与期末考试数学成绩

D.期末考试随机编排的准考证号与期末考试成绩总分

2.某校课外学习小组研究某作物种广的发芽率），和温度x（单位：C）的关系，由实验数据得到如图所示的散

点图.由此散点图判断，最适宜作为发芽率），和温度x的回归模型的是（）

\.y=a+bxB.广。+成(6>0)

C.y=a+bexD.y=a+b\nx

3.已知变量），关于变量x的非线性经验回归方程为.什0.24,其一组数据如表所示:

Xee3e4e6e7

y12345

若户泮，则），的值大约为（）

A.4.94B.5.74C.6.81D.8.04

4.为了研窕），关于x的线性相关关系，收集了5组样本数据（如表所示）：

Xi2345

y0.50.911.11.5

若已求得经验回归方程为，="+0.34,则下列选项中正确的是（）

n

附：样本相关系数r=i=1

E（Xi-x）2E（yi-y）2

A.6=0.2l

B.当户8时，y的预测值为2.2

C.两变量y与x负相关

D.去掉样本点（3,1）后，x与），的样本相关系数「不会改变

二、多项选择题（每小题6分，共12分）

5.（2025•南昌模拟汝口图对两组数据心），和火〃分别进行回归分析，得到散点图如图，并求得经验回归方

程分别是），U/Ji和“二以计最.并对变量-），进行线性相关检验，得到样本相关系数〃.对变量口〃进

行线性相关检验，得到样本相关系数，2,则下列判断正确的是（）

y

oo

A.bi<0B.b2>0

C.lqklqlD.n+r2<0

6.（2024.武汉模拟）某科技公司统计了一款APP,最近5个月的下载量如表所示，若y与x线性相关，且经

验回归方程为3=-04+2,则（）

月份编号X12345

下载最六万次）54.543.52.5

A.y与x负相关

A

B.a=5.6

C.预测第6个月的下载量约为2.1万次

D.残差绝对值的最大值为0.2

三、填空题（每小题5分，共10分）

7.甲、乙、丙、丁各自研究两个随机变量的数据，若甲、乙、丙、丁计算得到各自研究的两个随机变量的

样本相关系数分别为，『0.66,所-0.97,门=0.92,r4=0.89,则这四人中，研究的两个随机变

量的线性相关程度最高.

8.新能源汽车的核心部件是动力电池，电池成本占了新能源整车成本的大部分，而其中的原材料碳酸锂又

是电池的主要成分.从2020年底开始，碳酸锂的价格一路水涨船高，下表是2022年某企业的前5个月碳酸

锂的价格与月份的统计数据：

月份代码X12345

碳酸锂价格y（万元/kg）0.50.61m1.5

根据表中数据，得出），关于x的经验回归方程为，=0.28X+£根据数据计算出在样本点（5,1.5）处的残差为-

0.06,则表中m=.

四、解答题（共27分）

9.（13分）（2024.曲靖模拟）某地区2019-2023年的充电桩数量及新能源汽车的年销量如表所示：

年份20192020202120222023

充电桩数量V万台1579

新能源汽车的年销量辆2537485872

（1）已知可用线性回归模型拟合），与/的关系，请用样本相关系数加以说明（结果精确到0.001）；（6分）

（2）求），关于x的线性回归方程，预测当该地区充电桩数量为94万台时，新能源汽车的年相量是多少万辆？

（7分）

参考公式：

n

E（xi-x）（yi-y）

样本相关系数r=:“,

E（X/-X）2E（y._y）2

Qi=li=l

n

AAAAr（Xi-x）（yi-y）AA

经验回归方程尸a+bx中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为--------,a=y-bx.

E（Xi-x）2

i=l

555______

参考数据：£®-元）2=40,1（%-9）2=1326,£9产1430,V53040-230.304.

i=1i=1i=1

10.（14分）某科技公司为加大高科技研发投入，现对近十年来高科技研发投入情况分析调研，统计了近十年

的研发投入），（单位：亿元）与年份代码x共10组数据，其中年份代码人=1，2,…，10分别指2014年，

2015年，…，2023年.现用模型①尸A+〃，②产c+dy分别进行拟合，由此得到相应的经验回归方程，并

进行残差分析，得到如图所示的残差图.

10101010

ytE8-幻2£一£)2£(Vi-y)-U-x)

i=1i=1i=1i=1

752.2582.54.5121.428.82

（1）根据残差图，比较模型①②的抵合效果，判断哪个模型拟合效果更好，并说明理由；（5分）

（2）根据（1）中所选模型，求出,，关于x的经验回归方程（结果保留2位小数）；根据该模型，求该公司2029年

高科技研发投入），的预报值.（9分）

n

AAAA£（勺-幻（齐-9）AA

附：经验回归直线y=a+b工的斜率和截距的最小二乘估计分别为人出、--------,a=y-bx.

工（々-A

i=l

IE能力拓展

11题6分，12题5分，共11分

11.（多选）某地新开了一条夜市街，每晚平均客流量为2万人，每晚最多能接纳的客流量为10万人，主办公

司决定通过微信公众号和其他APP进行广告宣传提高营销效果通过调研，公司发现另一处同等规模的夜

市街投入的广告费M单位：万元）与每晚增加的客流量义单位：千人）存在如下关系:

MJ元123456

y/千人5689122()

现用曲线Cy=C1+C2X2'拟合变量x与），的相关关系，并利用一元线性回归模型求参数Q,6（精确到

0.01）,以所求经验回归方程C为预测依据，则（）

66666

参考数据：歹二10,E.孙=257,Exf=91,X2,=126,E(2^)2=5460,E2>19()6.

i=li=li=li=li=l

n

A£Xiyi-nxyAA

附：一元线性回归模型参数的最小二乘估计公式：片得------，a=y-bx.

£xf-nx2

i=l

A.C1=5.82

B.曲线C经过点(log221,10)

C.广存费每增加1万元，每晚客流量平均增加3000人

D.若广告费超过9万元，则每晚客流量会超过夜市街的接纳能力

12.(2024.邵阳模拟)某学习小组对一组数据(为，)力(：1,2,3,…，7)进行回归分析，甲同学首先求出回归

直线方程为，=5户4,7=2,齐/〃.乙同学对■甲同学的计算过程进行检查，发现甲同学将数据(2,3)误输成(3,

2),将这两个数据修正后得到回归直线方程为，二"+7,则实数仁.

答案精析

1.A[一般情况下，汽车越重，则每公里耗油量越多，成正相关，故A正确；

正方形的面积与边长是函数关系，故B错误；

一般情况下，若花费在体育活动上的时间越长，则期末考试数学成绩可能会降低，故不为正相关，故C错

误；

期末考试随机编排的准考证号与期末考试成绩总分没有相关关系，故D错误」

2.D|由散点图可见，数据分布成递增趋势，但是呈现上凸效果，即增长缓慢.

A中，y=a+公是直线型，均匀增长，不符合要求；

B中,y=a+/田(〃>0)是二次函数型，图象呈现下凸，增长也较快，不符合要求；

C中,小J是指数型，爆炸式雷长，增长快，不符合要求；

D中，)，=〃+/加工是对数型，增长缓慢，符合要求.

故对数型最适宜该回归模型.]

3.C[由j=blnx+0.24,

AA

令/=Inx,则y=bt+0.24,

1+3+4+6+71+2+3+4+5

由题意易得E二=4.2,y==3,

55

所以3:bX4.2+0.24,

解得g0.657,

所以（=0.6571nx+0.24,

若x=,解得y=6.81.]

4.D[x=]+2+；+4+5=3,-=o.5+o9+;+c+i.5=।,将（3,口代入，=鼠+（）.34得3（+0.34=I,解得.=0.22,

故A喑误；

当工=8时，）的预测值为3=0.22X8+0.34=2.1,故B错误；

因为力=0.22>0,所以两变量y与/正相关，故C错误；

去掉样本点(3,1)后，新样本数据的平均值没有变化，即元=3,9=1仍然成立，不妨设(3,1)为第5组数

据，即刖=3I,则&・元=0,)5-尸0,其余数据没有变化，则由样本相关系数公式r二

n

£(Xi-x)(yi-y')

JW5可知,即新样本数据X与)，的样本相关系数与原数据的样本相关系数相等，即X与,，

E(即一书2E(yz-y)2

虫=1虫=1

的样本相关系数「不会改变，故D正确」

AA

5.ABD［由散点图可知，大与y负相关，u与“正相关，贝1»广0,bz>0，故A,B正确；图形中点(x,y)比

”,〃)更加集中在一条直线附近，

则匕|>|厂21,又H<0,r?>0,则ri+r2<0,故C错误,D正确」

6.ACD［因为-0.6<0,所以变量y与x负相关，故A正确；

x=1x(l+2+3+4+5)=3,y=：X(5+4.5+4+3.5+2.5)=3.9,J=・0.6x+a,贝U-0.6X3+。=3.9，解得：=5.7,

故B错误；

当x=6时，，=-0.6X64-5.7=2.1,故可以预测第6个月的下载量约为2.1万次，故C正确；

当1时，<1=-0.6X14-5.7=5.1,\yi-^|=0.1；当x=2时，y2=-(16X2+5.7=4.5,\y2-y2\=0；当x

=

=3时，y3=-0.6X3+5.7=3.9,|v3-y3l=0->；当工=4时，y4=-0.6X4+5.7=33,|y4-y4l0-2；当x=

5时，二-0.6X54-5.7=2.7,\y5-y5\=0.2,故残差绝对值的最大值为0.2,故D正确.］

7.乙

解析因为同=0.97>网>匕|>|巾，所以这四人中，乙研究的两个随机变量的线性相关程度最高.

8.1.4

解析由题设，1.5—，=1.5—(0.28X5+：)=—0.()6,

可得a=0.16.

b—1+2+3+4+5r—0・5+0.6+l+m+l.5

又“—5—=3,y=---------5----------

_3.6+m

=~5-，

所以0.28X3+0.16二丝四,

5

可得m=1.4.

9.解(1)由题可知,x=^X(l+3+5+7+9)=5,

y=lx(25+37+48+58+72)

=48,

5

E(阳一幻(V-切

所以r=j=^-----------------------

E(xi-x)*12*510£(yi-y)2

虫=1i=l

5

Exiyi-^xy

|55

E(xi-x)2工(yi-y)2

NZ=11=1

1430-5X5X48230八八2

=—..-------0.999.

V40X1326230.304

因为P与r的样本相关系数近似为0.999,非常接近I,所以)，与x的线性相关程度很高，可以用线性回归

模型拟合y与x的关系.

5

£(Xi-x)(yj-y)

230

(2)b=i=i_____________

540

E(MT

i=l

=5.75,

a=y-bx=4S-5.75X5=19.25,

所以y关于工的线性回归方程为

y=5.75.r+19.25.

当x=24时，y=5.75X24+19.25=157.25,

所以当充电桩数量为24万台时，该地区新能源汽车的年销量为157.25万辆.

10.解(1)应该选择模型②.

由于模型②残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型①带状宽度窄，所以模型

②的拟合精度更高，相应的经验回归方程的预报精度就会越高.所以选模型②比较合适.

(2)根据模型②，令，=遮，研发投入)，与/可用经验回归方程来拟合，有、=，+山.

10

则d=f--------=普